第4节培优专题：直线的对称与最值问题讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦直线的对称与最值问题，系统梳理点关于直线对称、直线关于点或直线对称的求解方法，以及角平分线和最值问题的应用路径。通过从基础概念到典型例题再到变式训练的递进设计，构建起“知识—方法—应用”的学习支架，帮助学生实现从直观感知到逻辑推理的跃迁。 本资料突出体现数学核心素养中的抽象能力、逻辑推理与模型观念，例如在练习30中借助点关于直线对称的几何原理解决距离之和最小问题，展现数形结合的思想魅力。其亮点在于将抽象的对称关系转化为可操作的代数步骤，如方法二中利用平行直线系与距离公式求对称直线，强化了运算能力和建模意识。教师可直接用于课堂讲练结合，学生则能在真实情境中理解数学本质，提升解决问题的能力，实现教与学的双向优化。

第四节 专题:直线的对称与最值问题 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 93 学科网（北京）股份有限公司 ▍知识点1:直线与点的对称问题的方法 求线段垂直平分线 已知,求线段的垂直平分线的方程的方法如下: （1）线段的中点的坐标为; （2）当时,求直线的斜率; （3）线段的垂直平分线的斜率; （4）线段的垂直平分线的方程为 点关于直线的对称问题 点关于点的对称点的问题,主要依据两项原则: ①是线段的中点. ②与点所在的直线相互垂直. 设点关于直线的对称点为,则可求 直线关于点的对称问题 求直线关于点对称的直线的步骤: 方法一:回代法 （1）在上任取一点; （2）求关于的对称点; （3）将的坐标代入直线的方程,化简得所求的方程. 方法二: （1）直线与直线的斜率相同,所以只需要求出直线所过一点,即可求出直线的方程; （2）在直线上任取一点; （3）求关于的对称点. （4）将的坐标代入所设直线的方程,化简得所求方程 方法三:在已知直线上找两点,求出这两点关于点的对称点,根据求出的两个对称点求出对称直线. 方法四:直线与直线的斜率相同,根据对称点到两直线距离相等求出对称直线. 直线关于直线的对称问题 直线关于直线对称有两种类型: （1）若已知直线与对称轴相交于点,则交点必在关于对称的直线上,再求出上除点外任意一个已知点关于对称的点,那么经过交点及点的直线就是. （2）若已知直线与对称轴平行,则关于对称的直线到直线的距离和到直线的距离相等,由平行直线系和两条平行直线间的距离公式即可求出关于对称的直线. ▍练题型 点关于直线对称问题 1 【典例▪1】若点与关于直线对称,求点的坐标. 【练习▪2】若点与关于直线对称,求点的坐标. 【练习▪3】已知点关于直线对称,则对称点的坐标为（    ） A. B. C. D. 【练习▪4】已知点、,若、关于直线对称,则实数的值是（    ） A.3 B.1 C. D. 【练习▪5】已知点与点关于直线l对称,则直线l的方程是（    ） A. B. C. D. 【练习▪6】（2023·河北）若第一象限内的点关于直线的对称点在直线上,则的最小值是（    ） A.25 B. C.17 D. 【练习▪7】已知直线和点 （1）请写出过点且与直线平行的直线; （2）求点关于直线的对称点的坐标. 【练习▪8】已知直线,试求: （1）与直线的距离为的直线的方程; （2）点关于直线的对称点的坐标. ▍练题型 直线关于点的对称问题 2 ▷方法1:回代法 【典例▪9】已知直线的方程为,若直线和直线关于点对称,求直线的方程. 【练习▪10】已知点的坐标为,直线的方程为,求直线关于点的对称直线的方程. 【练习▪11】已知直线:,点A,求直线关于点A的对称直线的方程. 【练习▪12】已知,直线,求直线关于点的对称直线的方程. ▷方法2:找点对称法 【典例▪13】求直线关于点对称的直线的方程. 【练习▪14】已知直线,求直线关于点对称的直线方程. 【练习▪15】已知直线,试求直线关于点对称的直线方程. 【练习▪16】求直线关于点的对称直线的方程. 【练习▪17】若直线与关于点对称,求的方程; 【练习▪18】求直线,关于点的对称直线的方程. ▍练题型 直线关于直线对称问题 3 【典例▪19】求直线关于直线对称的直线的方程. 【练习▪20】（2024·高二专题）求直线关于直线对称的直线方程. 【练习▪21】求直线关于直线的对称直线的一般式方程. 【练习▪22】（2023·高二专题）求直线关于直线的对称直线的方程. 【练习▪23】求直线关于直线对称的直线方程. 【练习▪24】如果直线与直线关于直线对称,求的值. ▍练题型 有关角平分线的直线方程 4 【典例▪25】已知的顶点所在直线方程为,角平分线所在直线的方程为,求 （1）点的坐标; （2）求直线方程. 【练习▪26】已知的顶点,,一条角平分线所在直线为,求点A坐标. 【练习▪27】已知的顶点,边上的高线所在的方程为,角的角平分线交边于点,所在的直线方程为. （1）求点的坐标; （2）求直线的方程. 【练习▪28】已知顶点,边上中线所在直线方程是,的角平分线所在直线方程是. （1）求顶点坐标; （2）求边所在的直线方程. 【练习▪29】中,边上的中线所在直线方程为,的平分线方程为. （1）求顶点的坐标; （2）求直线的方程. ▍练题型 利用对称处理最值问题 5 【典例▪30】在平面直角坐标系xOy中,x轴上的动点R到两个定点,的距离之和的最小值为 . 【变式▪31】已知,点为轴上一动点,则的最大值是（    ） A. B. C. D. 【变式▪32】已知点在直线上,点, ,则的最大值为（    ） A. B. C. D. 【练习▪33】已知两定点,动点P在直线上,则的最小值是（    ） A. B. C. D. 【练习▪34】某地两厂在平面直角坐标系上的坐标分别为,一条河所在直线的方程为.若在河上建一座供水站,则到两点距离之和的最小值为（    ） A. B.32 C. D.48 【练习▪35】 已知点,点是直线上的动点,则的最大值为 . 【练习▪36】直线分别交轴和于点,,为直线上一点,则的最大值是 . 【练习▪37】（2024·河南郑州高三）已知点, 和直线,动点在直线上,则的最小值为 . 【练习▪38】已知两定点,且点是直线上任意一点,则的最小值是 . 【练习▪39】设点,在轴上,在直线上,则的周长的最小值为 . 【练习▪40】已知点,点M、N分别是y轴和直线上的两个动点,则的最小值等于 . 【练习▪41】（2024·浙江）已知点,,点在直线:上运动,则的最小值为 . 【练习▪42】已知,O为坐标原点,点分别在线段上,则周长的最小值为 . $第四节专题：直线的对称与最值问题 重点题型专练 【1】(0,7) 解析：设点W(a,b),点V与点M(2,3)关于直线x-2y+9=0对称 1+2-2×+3+9=0,-2×片=-1，解得a=0,b=7 2 2 a-22 ∴.点N的坐标(0,7) a传 解析：设点(-13)关于直线x-2y-2=0的对称点坐标为，)； 可得品1,0 中点坐标(，3牛凸)在直线x-2y-2=0上 2 2 即1-2×3+2-2=0② 2 2 由0©解得解=号=兰 13 放行对将点坐标为号，斗 【3】A 解析：设对称点坐标Q(α，b),由题意知直线QP与y=x+1垂直 结合y=x+1的斜率为1，得直线QP的斜率为-1， 所以16 -2-a =-1,化简得a+b+1=0,① 再由QP的中点在直线y=x+1上，+也=-2+1 2 2 化简得a-b-1=0,② 联立①②，可得a=0,b=-1,所以对称点Q的坐标为(0，-1).故选：A 【4】A 解析：由题意得；MW的中点在直线x+2y-2=0上，且直线 x+2y-2=0与直线MN垂直， [1+m+2x-2+2-2=0 即 2 2 2+2.（1 ,解得：m=3,故选：A (m-1(1 【5】A 解析：：点P(a,b)与点Q(b+L,a-1)关于直l对称 3ka-1-6=-1 b+1-a k=1, 故设直线！的方程为y=x+C 又P9的中点坐标为e++1,a+6- 2 2 ,代入直线方程 a+b-L=a+b+L+C,解得C=1所以直线的方程为y=x-1, 2 2 【6】B 解析：设(m,n)关于直线x+y-2=0的对称点为(s),依据题意可得 3n++-2=0 2 解方程组每”又对称点在直线 2 2x+y+3=0上，代入可得 2n+m=9,且(m,n)在第一象限，则m>0,n>0,则 完二时甲名兰时等号废立我选B 【1)+2-5=02(居》 解析：(1)设过点A且与直线1平行的直线为x+2y+C=0(C≠-1)， 将A(12)代入，可得C=-5,所以直线方程为x+2y-5=0 (2)设A'(m,n),由题意可得 ,解得 m+1+2×+2-1=0 6 2 1=-5 36 所以点4的坐标为方5) 【8】①)+2+3=0或x+2-7=0(2)(后号） 解析：(1)设所求直线的方程为x+2y+C=0, 由题意，得上2-C5,解特c=3或c:-7, √P+22 所以所求直线的方程为x+2y+3=0或x+2y-7=0 (2)设点P(-2,-1)关于直线1的对称点为P(x。) 已知直线1的斜率为子，且PP的中点色，2，马在直线1上 22 [1。+1 -1 .2 则2+2 x25 ,解得 +0 所以点P(2,-)关于直线1 (2 的对格点为传号》。 【9】x-2y-4=0 解析：因为直线和直线，关于点(0,0)对称， 在直线12上任取一点A(,y),则A(x,)关于点(0,0)对称的点 A'(x,)在直线上，将点A'(x,y)代入直线可得-x+2y+4=0 所以直线1，的方程为x-2y-4=0. 【10】3x+y+18=0 解析：在直线1上任取一点P(x,y),设P(x,y)关于点A的对称点为 +=-4 P。),则{2 +y=4 ,解得由于'(8-3-)在直 2 线3x+y-2=0上，则3(-8-x)+(8-y)-2=0,即3x+y+18=0, 故直线1关于点A的对称直线”的方程为3x+y+18=0 【11】2.x-3y-9=0 解析：在直线”上任取一点P(x,y),设P(x,y)关于点A的对称点为 收以 y+y=- ,可得2 以，=4-y,由于(2-x,4-)在直 2 线1：2x-3y+1=0上，则2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,即2x-3y-9=0, 故直线1关于点A的对称直线”的方程为2x-3y-9=0. 【12】x-y-11=0: 解析：设，上任一点的坐标为（红，）， 则(x,y)关于点A(2,-3)的对称点的坐标为(4-x,6-y) 而点(4-x,6-y)在1上，所以(4-x)-(6-y)+1=0, 化简可得对称直线4的方程为x-y-11=0. 【13】x+2y+3=0 解析：由题意得11，故设1'：x+2y+c=0(c≠-1)，在l上取点AL,0), 则点A1,0)关于点(L-)的对称点是A'0,-2),所以1+2×(-2)+c=0,即 c=3,故直线1的方程为x+2y+3=0.故选：C 【14】3x-y-27=0 解析：在直线：y=3x+7上任意取出两个点C(0,7),D(-14), 求出这两个点关于点A(4,2)对称点分别为Q(8-3),H(9,0) 由题意可得Q(8-3),H(9,0),是所求直线上的两个点， 则直线斜率为3，则所求直线方程为y=3(x-9),即3x-y-27=0. 【15】2x-y-3=0 解析：设直线2x-y+3=0关于点M的对称直线方程为：2x-y+b=0, 则M(12)到直线2x-y+3=0与2x-y+b=0的距离相等， 所以上-2+到卫-2+d,解得：以3，即5=3（会去）或6=-3. 5 5 故直线2x-y+3=0关于点M的对称直线方程为：2x-y-3=0 【16】3x+y-19=0 解析：因为直线1：3x+y-3=0与直线'关于点M3,2)对称，所以 k,=k=-3,在直线：3x+y-3=0上取一点P1,0),因为点P1,0)关于 点M(3,2)对称的点P'(5,4),直线'过点P,则由点斜式方程可得 y-4=-3(x-5),即3x+y-19=0.故直线'方程为3x+y-19=0 【17】4x-y+28=0 解析：易知直线'与直线1互相平行 设'的方程为4x-y+元=0，点P到两直线距离相等， 有1-2-3642-3+ V42+12 √42+12 即1=28，或2=-6（舍去）， 故1'的方程为4x-y+28=0 【18】y=2x-13 解析：由题意知，直线m的斜率为飞=2，设其方程为y=2x+b 在直线1上取一点(0,1)，它关于点A(3,0)的对称点为(6，-1)， 而该点在直线m上， 所以-1=2×6+b,解得b=-13, 所以直线m的方程为y=2x-13 【19】2x-y-4=0 解析：设直线与直线y=x的交点为B(P,g) 所以Pg p-2g+4=0解得p=g=4,则8(4,4) 在直线上取点C(0,2),设C(0,2)关于直线y=x对称的点为C(s,r) 则1-10 因为C(0,2)与C(s,r)的中点坐标为 0+82+r 22 所以0+8=2+上@， 2 2 由02可得=2 =0所以c,o), 因为直线和直线，关于直线y=x对称， 所以直线2经过点B(4,4)和点C(2,0), 所以直线人的两点式方程为”0=-2 4-04-2 整理得直线12的一般式方程为2x-y-4=0 【20】2x-y-5=0 解折：由y-1=0 ,x=4 {-2y+2=0,得=3所以两直线交于点C(4), 在直线12：x-2y+2=0上取一点D(0,),设其关于直线1，的对称点为 E(x。),则 x。+1 2 2 -1=0 -1 ,解得 x。=2 1=-1 。=-1即2，-)， x。-0 所以k3D=2 4-2 所以直线CE为y-3=2(x-4),即2x-y-5=0, 所以直线12关于直线4的对称直线方程为2x-y-5=0 【21】11x+2y-22=0: I 解析：联立 2t ,可得坐标为(2,0) y=2x-4 设对称直线的方程为：y=(-2),即G-y-2k=0 在直线y=2x-4取点3,2)， 所以21 13 13k-2-2k1 1 +1 V+ ,解得：k=号（舍去），k=-马 V4 ·所求对称直线方程为. 1 x-y+11=0,即11x+2y-22=0 【22】9x-46y+102=0 解析：在直线m上取一点M(2,0),则M(2,0)关于直线1的对称点M'必 在m上. 设对称点为M(a,b),则 解M630 1313 设m与1的交点为N,则由 2x-3y+10得43) 3x-2y-6=0 又，m'经过点W(4,3), ∴，由两点式得直线m'的方程为9x-46y+102=0. 【23】7x+y+13=0 解析：由 y=3x+7 =x+3可得 x=-2 b=1' 直线y=x+3与直线：y=3x+7的交点为E(-2,), 再在直线y=x+3上取一点M(0,3), 设点M(0,3关于直线1：y=3x+7的对称点为N(m,n), n-3x3=-1 m=_12 则由 解得 m+7 s19八，即w29) (55 02 n25 由题意可得E、V两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为一7， 则直线方程为y-1=-7(x+2),化简为7x+y+13=0。 【24】a=1b=6 3 解析：在y=ax+2上取一点(0,2)， 则由题意可得其关于直线y=x的对称点(2,0)在y=3x-b上 所以0=6-b,得b=6, 在y=3x-6上取一点(0，-6)， 则其关于直线y=x的对称点（-6,0)在y=x+2上， 所以0=6a+:,得a片综上a=6 【25】(1)4(6,6)(2)y=2x+3 「2x-y-6=0「x=6 解折：(（1)联立两直线方程长-y=0→=6，所以4(6,6) (2)设点B(4,2)关于直线x-y=0的对称点为B(a,b), [4+a_2+b=0 则21 2 ,解得a=2,b=4, 由于AD是角A的角平分线，故B'(2,4)在直线AC上， 故直线40方程为y-4名-2)，即y=分+3 【26】(3,2 解析：如图所示，可知点A在直线x-y-1=0上， 5 令点D(xoy。)为点C(L,-2)关于直线x-y-1=0的对称点. 由于直线CD与直线x-y-1=0垂直，且线段CD的中点在直线 x-y-1=0上， yo+2 =-1 于是就有 Jx。-1 。=-1 x+1。-2-1= ,解得。=0 ,因此点D的坐标为 (2 2 (-1,0) 根据对称性可知点D(-1,0)在直线AB上，又点B的坐标为(-5，-2)， 于提线48险方我为8-得即-+1。 x-2y+1=0 由x-y-1=0 解得化得点4的华标为62)，故答东为：6的 【27】(1)B(10,4)(2)x+7y+18=0 解析：(1)设B(x。y。),则由题意可知x。+2y。-2=0①， 又4B1cH,所以uk=x1=-1@, x。-5 联立①②方程解得x。=10,。=4,即B(10,4): y-1-0.5x 以、A (2) B 设A关于直线BM的对称点A'(a,b),则有A4'⊥BM,AA'的中点在直线 BM上， au 即{ a-5×0.5)=-1 b-1 告+2生-0 解之得=3 6=-3→4B-3). 2 显然直线BM为∠ABA'的角平分线，即直线A'B与BC重合 则=4).-，所以直线C的方程为 10-3 7 y+3=-26-3)今x+7y+18=0 【28】(1)B(2,-1:(2)x-7y-9=0 解折：)解：由题意可设(3-2刘.则边48的中点4生- 代入2x-y-6=0有t+4-(2-t)-6=2-4=0,解得t=2 所以顶点B坐标是B(2,1) (2)解：由题意知，点A关于直线2x+y-3=0的对称点A'在直线BC 2m+4+ -3=0 m=- 4 2 47 可设A'(m,n)得： 得 n-11 7 m-42 5 1*3 得直线BC的斜率k= -1 7 所以边C所在的直线方程是y-（-1)=,(-2),即x-7y-9=0, 【29】(1)(10,5)(2)2x+9y-65=0. 解析：()设），则AB的中点M色，在直线cM上 22 6x+3+10x1-59=0,3%+5%+4-59=0, 2 2 即3x。+5y。-55=0①， 又点B在直线BT上，则x。-4y。+10=0②， 由①②可得x。=10,。=5,即B点的坐标为(10,5). (2)设点A(3,-1)关于直线BT的对称点D的坐标为(a,b), 则点D在直线BC上 b+1x-1 由题知 a-34 a=1 ,得 +3-4xb- +10=0 b=7D0,7） 2 2 品号 直线8C的方程为y-5=-号-10)，即2x+9y-65=0 【30】5 解析：如图，设点A(0,)关于x轴的对称点为A(0,-1),则AR=AR, 所以AR+BR=AR+BR≥AB 所以动点R到两个定点A(0,),B(3,3)的距离之和的最小值为AB的长， 因为4=V3+4=5 所以x轴上的动点R到两个定点A(0,1),B(3,3)的距离之和的最小值为 5,故答案为：5 【31】A 解析：由已知点A关于x轴的对称点为C(0,-2), :号行直线0方程为时-：，令=0得6， 所以直线BC与x轴交点为Q(6,0), PA-P=PC-PB≤CB=V3-0)2+(-1+2)2=V10,当且仅当P 是BC与x轴交点Q时等号成立.故选：A 【32】C 解析：设点M(L,3)关于直线x-y+1=0的对称点为M'(x,y), 1 则 1+x_3+2+1=0 解得下=2 y=2 22 .M(2,2,又N(3,-1, ∴.4-|RM=RM|-RM sMM=io.故选：C. 【33】C 解析：如图，显然点A,B在直线x-y+1=0的同侧，设点B关于直线 x-y+1=0的对称点为点B矿(a,b), (a+2_b+4+1=0 22 则b4 ,解得a=3,b=3,即点B'(3,3), -1 a-2 由对称性知P4+P8=P4+PB1≥481√（3-3)+5-3=2o 当且仅当点P为线段AB'与直线x-y+1=0的交点P时取等号， 5 所以P4+PB的最小值是2√10.故选：C 【34】A 解析 BAO列 如图，设A关于直线x+2y-5=0对称的点为A(a,b), a=2即4(24， 得=4 易知A=4, 当A,P,B三点共线时 |P4+P=P4+Ps取得最小值， 最小值为4'√2+2+(4-0y=4W万.故选：A 【35】√10 解析：设点A(L-1)关于：y=x的对称点为C(m,n), 〔n+1=-1 +1解得m-1 则m-1 n=1 故c(-1, 2 2 由对称性可知，PA=PC, 当B,C,P可组成三角形时，根据三角形三边关系得到P8-PC<BC, 连接C并延长，交1：y=x于点p',则此时P'a-P4=BC, 即当B,C,P三点共线时，Pa-2A取得最大值， 最大值为Bc=2++(4-旷=o 故答案为：√10 【36】5 解析：由直线3x+4y-12=0分别交x轴和y于点A,B,可得 A(4,0),B(0,3), 如图所示，设点B(0,3)关于直线y=x+1的对称点为C(m,), 〔8-3×1=-1 则{m ,解得m=2,n=1,即C(2,1) 又由lPs=lPcd,即lP4-lPs=P4-lPcl,则lP4-Pal s4C, 当且仅当A,C,P三点共线时，等号成立， 即P4-PC的最大值为Ad=√4-2y+0-1-5,即PA-P的 最大值为√5.故答案为：5 【37】√65 解析： 设A(4,-1)关于1：x-y-1=0的对称点为A(m,n) 则号-10，= 2 m-4 解之得m=0,n=3故A(0,3) 连接BA交直线！于点P,如图所示 则此时|P叫+P到取得最小值为a4=v82+1=√65故答案为：√65 【38】3 解析：设点A关于直线x+y-1=0的对称点为A(x,y。), -2=1 则 。 。1,即4（←） x。=-1 ,解得 2 |24+P=2A+|P≥A=3,当且仅当4，P,B共线时等号成立. 故答案为：3， 【39】2W17 解析：设P(3,4)关于y=x-1的对称点为A(m,n),关于y轴的对称点为 B(-3,4), 〔n+4_m+3-1 则2 2 解得m5 h=2,故A,2, 连接AB交y轴于点Q,交直线y=x-1于点R,连接P2,PR 则Pg=|BgAR=PR 此时aPR的周长最小，最小值为A到=-3-5)+(4-2)=27. 4 P3,4) 故答案为：2√17 【40】2√5 解析：如图，由已知得4M+MW的最小值即为A(-2,1)到直线 x-2y-6=0的距离， 又直线x-2y-6=0与y轴的交点为W(0,-3), 此时a=+3=-2 -2-0 又直线x-2y-6=0斜率为7，其与AN垂直， 即当M,N均为直线x-2y-6=0与y轴的交点时，4M+W最小， 最小值为上2-2-125.故答案为：25. V1+4 【41】7 解析：如图： 设点A(2,-2),关于直线I的对称点为A'(x,y), 〔x+2+y-2-4=0 则2 2 y-(2=1 ,解得x=6,y=2,则A(6,2) x-2 则4'B=√(6+1)2+(2-2)2=7， 14+0=1041+4=7, 故答案为：7 【42】V10 解析：如图： 作点P关于直线AB对称点P(x,y)和关于y轴对称点p”,则 PP⊥AB,并且P,P的中点在AB上， 直线AB的方程为：y=-x+2,即 tw=-l(=-y=-10 P的中点坐标为（告引 ,代入直线AB的方程 得+2@ 联立①②解得x=2,y=1,即P(2,1),显然P(-1,0), △PW的周长=PM+MN+PN=P"N+MN+P'M≥P'P” PP=√2+1+1-0=而，故答案为：而