专题02 直线和圆（期中真题汇编，浙江专用）高二数学上学期

专题02 直线和圆 5大高频考点概览 考点01 直线与方程 考点02 圆的方程 考点03 直线与圆的位置关系 考点04 圆与圆的位置关系 考点05 圆的轨迹问题 地 城 考点01 直线与方程 一、单选题 1．(24-25高二上·浙江杭州江干区杭州四中吴山校区·期中)若直线的倾斜角为，则（    ） A．0 B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】根据直线的方程即可求解. 【详解】由，可得，所以直线的倾斜角. 故选：C. 2．(24-25高二上·浙江台金七校联盟·期中)已知直线：与直线：相交于点P，若点P始终在圆内，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线经过定点，且垂直可判断点的轨迹为，进而利用两圆的位置关系为内含，利用圆心距和半径的关系求解. 【详解】由于：恒过定点，直线：恒过， 且两直线互相垂直， 因此在以为直径的圆上运动，故点的轨迹为(去除点)， 由于点P始终在圆内，因此内含于， 故两圆的圆心距， 解得， 故选：D 3．(24-25高二上·浙江杭州江干区杭州四中吴山校区·期中)已知A，B两点的坐标分别是，直线AM、BM相交于点M，且直线AM的斜率是直线BM的斜率的2倍，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直线AM的斜率是直线BM的斜率的2倍，利用经过两点的直线斜率公式列出方程化简即可. 【详解】直线AM、BM相交于点M，不妨设， 因为当时，两直线重合，不合题意，所以， 则， 因为直线AM的斜率是直线BM的斜率的2倍， 所以， 整理得. 故选：C. 4．(24-25高二上·浙江杭州江干区杭州四中吴山校区·期中)点关于直线的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜率关系以及中点关系，即可列方程求解. 【详解】设关于直线的对称点坐标为， 则，解得，故对称点坐标为， 故选：B 5．(24-25高二上·浙江浙江星辰联盟·期中)已知直线与直线平行，则（    ） A．±2 B．2 C．-2 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用两直线平行的充要条件列式计算即得. 【详解】直线与直线平行，时不合题意， 不等于0时，则，所以. 故选：A 6．(24-25高二上·浙江温州十校联合体·期中)直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线斜率和倾斜角的关系即可求解. 【详解】由题意，直线的斜率, 设直线的倾斜角为，且,, 所以. 故选：C. 7．(24-25高二上·浙江温州环大罗山联盟·期中)直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，再求出点到直线的最大距离和最小距离，求出最大面积和最小面积即可. 【详解】解：因为直线分别与轴，轴交于A，B两点， 所以,，所以， 又因为圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 所以点到直线的最大距离为，最小距离为， 所以的最大面积是；的最小面积为. 故选：A. 二、多选题 8．(24-25高二上·浙江杭州西湖区学军西溪、学军紫金港、学军海创园、学军文渊·期中)已知为直线上的动点，下列结论正确的是（   ） A．若，则点的轨迹是一个圆 B．若，则点的轨迹是一条直线 C．若，则点到的距离为 D．是的一个方向向量 【答案】BC 【分析】设，，根据所给条件，求出点的轨迹方程，即可判断A、B，利用平行线间的距离公式判断C，求出直线的一个方向向量，即可判断D. 【详解】因为点为直线上的动点， 设，，若， 则，即， 因为，所以， 显然点的轨迹是由点确定， 当确定时，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故A错误； 若，则，所以， 又点在直线上，所以， 即点的轨迹方程为，它是一条直线，故B正确； 若，则点到的距离即为直线与直线的距离， 即为，故C正确； 直线的斜率为， 所以直线的一个方向向量为，所以不是的一个方向向量，故D错误. 故选：BC 三、填空题 9．(24-25高二上·浙江杭州西湖区学军西溪、学军紫金港、学军海创园、学军文渊·期中)将直线绕点逆时针旋转得到的直线方程为 ． 【答案】 【分析】首先得到已知直线的倾斜角，从而得到旋转后的直线的倾斜角与斜率，再由点斜式计算可得. 【详解】直线的斜率为，则倾斜角为， 又点在直线，将直线绕点逆时针旋转， 得到的直线的倾斜角为，则斜率为， 所以得到的直线方程为，即. 故答案为：. 10．(24-25高二上·浙江杭州江干区杭州四中吴山校区·期中)两条平行直线与间的距离是 . 【答案】2 【分析】先根据两条直线平行求出，再应用平行线间距离公式计算即可. 【详解】因为直线与平行得出 ，， 所以直线与平行得出距离， 所以. 故答案为：2. 11．(24-25高二上·浙江杭州S9联盟·期中)已知直线过定点，直线过定点，与的交点为，则的最大值为 . 【答案】 【分析】先根据几何关系得到，然后证明，最后说明时，即可得到结果. 【详解】根据的方程及，知恒过定点，根据的方程及，知恒过定点. 同时由可知两直线垂直，故，所以. 故，所以. 另一方面，当时，有，此时. 所以的最大值是. 故答案为：. 四、解答题 12．(24-25高二上·浙江杭州西湖区学军西溪、学军紫金港、学军海创园、学军文渊·期中)已知圆，直线恒过定点． (1)求点的坐标； (2)若过的直线与圆交于，两点，且为正三角形，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）依题意可得，令，解得即可求出定点坐标； （2）首先得到圆心坐标与半径，依题意可得圆心到直线的距离，分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求出，即可得解. 【详解】（1）直线， 即，令，解得， 所以直线恒过定点； （2）圆的圆心，半径， 因为为正三角形，所以圆心到直线的距离； 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得， 此时直线的方程为，即； 综上可得直线的方程为或. 13．(24-25高二上·浙江杭州江干区杭州四中吴山校区·期中)直线经过点，倾斜角为，直线经过点，倾斜角为.两直线相交于点P. (1)若； （i）请用表示线段PB中点Q的坐标； （ⅱ）求证：线段PB中垂线过定点. (2)当时，椭圆以A、B为焦点，且经过点P，H为椭圆的上顶点. （i）求椭圆的标准方程； （ⅱ）若直线与椭圆交于M、N，若.求k的取值范围. 【答案】(1)（i）；（ⅱ）证明见解析； (2)（i）；（ⅱ） 【分析】（1）（i）先讨论斜率不存在的情况，然后再讨论斜率存在，利用直线的倾斜角与斜率的关系表示出斜率，然后再利用直线的点斜式方程写出两条直线方程，最后求出点的坐标，然后求得点坐标；（ⅱ）先讨论斜率不存在时线段PB中垂线的方程，然后再计算斜率存在时PB中垂线的方程，然后寻找定点即可； （2）（i）先求出点的坐标，然后建立方程组求出椭圆标准方程即可；（ⅱ）联立方程，得，然后利用建立不等式，利用韦达定理表示，然后利用表示，最后得到的关系，代入所建立的不等式求得的范围即可. 【详解】（1）（i）当，此时，，所以,所以 当时，此时，， 所以联立解得，所以 显然当时，为 综上所述， （ⅱ）由（1）（i）可知的中点为， 所以当时，的中垂线方程为； 当时，的斜率为， 所以此时的中垂线方程为 显然时，， 综上所述，线段PB中垂线过定点. （2）（i）由题可知，所以 设椭圆的标准方程为 由题易知 ，得， 所以椭圆的标准方程为 （ⅱ） 设， 的中点为，其中 易知 ，因为， 时，显然成立； 时，有; 联立方程 得， 所以有， ， 所以，所以 因为所以有，整理得， 因为，所以有， 解得,且；综上所诉， 14．(24-25高二上·浙江杭州江干区杭州四中吴山校区·期中)已知. (1)求AB的中垂线方程； (2)求经过A、B两点的椭圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得的斜率，可求得中垂线的斜率，进而求得的中点，利用点斜式可求得中垂线方程； （2）设过两点的椭圆的方程为，代入坐标求解即可. 【详解】（1）由，可得的斜率为， 所以中垂线的斜率等于，又的中点为， 所以中垂线的直线方程为，即； （2）设过两点的椭圆的方程为， 所以，解得，所以， 所以经过A、B两点的椭圆的标准方程. 15．(24-25高二上·浙江A9协作体·期中)已知的顶点在直线上运动，点为，点为. (1)求直线的方程； (2)的面积是否为定值？若是，求出该值.若不是，说明理由. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）利用斜率公式及点斜式方程即可求解； （2）由题意得，利用两平行直线的距离公式、两点间的距离公式及面积公式即可求解. 【详解】（1）由，得， 由点斜式方程，化简得. （2）的面积为定值， 由于，故， 又点在直线上运动， 故点到直线的距离为定值，即为两平行直线的距离， ， ， . 地 城 考点02 圆的方程 一、单选题 1．(24-25高二上·浙江杭州西湖区学军西溪、学军紫金港、学军海创园、学军文渊·期中)已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用代入验证法确定正确答案. 【详解】由圆，可知，即， ，A选项正确， ，不一定小于0，B选项错误， ，不一定小于0，C选项错误， ，不一定小于0，D选项错误. 故选：A 2．(24-25高二上·浙江杭州拱墅区源清中学·期中)已知圆与圆有且仅有两条公共切线，则正数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求圆心和半径，由题意可知：两圆相交，进而可得结果. 【详解】圆的方程整理可得，可知圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 由题意可知：两圆相交，且，， 所以. 故选：B. 3．(24-25高二上·浙江A9协作体·期中)已知平面上两定点，则满足（常数且）的动点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆.已知在中，，，则面积的最大值是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】将题中的点与圆放在平面直角坐标系中求解即可. 【详解】在平面直角坐标系中，不妨设 因为， 得， 化简得，， 易知，该圆圆心 ，三点共线，该圆半径， 所以面积的最大值是. 故选：D 4．(24-25高二上·浙江杭州第二中学·期中)已知实数满足，，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【分析】依题可得点在圆上，且，原问题等价为求解点和点到直线距离之和的倍的最大值，据此数形结合确定的最大值即可. 【详解】 由题意，可知在圆上， 由,可得,则, 因， 而和可理解为点到直线的距离和. 如图，取中点，连接,分别作于点，于点，于点， 则，且. 又,即点的轨迹方程为， 要使最大值，需使取最大值， 由图知，显然当线段经过圆心时，的值最大. 由点到直线的距离为， 故，此时， 故. 故选：D. 5．(24-25高二上·浙江浙江星辰联盟·期中)已知圆的方程为：，则圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的一般方程与标准方程互化可得圆心坐标. 【详解】易知圆方程可化为， 因此圆心坐标为. 故选：D 6．(24-25高二·浙江台州六校联盟·期中)已知圆与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 【答案】C 【分析】根据圆得到圆心及半径，求得两圆的圆心距，再结合两圆半径的关系，即可得到两圆位置关系. 【详解】圆圆心为，半径， 圆圆心，半径， 则， 圆心距， 因为， 所以两圆位置关系为外切. 故选：C. 二、多选题 7．(24-25高二上·浙江温州十校联合体·期中)已知圆，圆，直线，直线与圆相交于A，B两点，则以下选项正确的是（   ） A．若时，圆与圆有两条公切线 B．若时，两圆公共弦所在直线的方程为 C．弦长的最小值为 D．若点，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】确定两圆位置关系判断A；两圆方程相减求出公共弦所在直线方程判断B；求出直线所过定点，进而求出最短弦长判断C；求出弦的中点的轨迹，进而求出最大值判断D. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 对于A，当时，，圆与圆相内切，有一条公切线，A错误； 对于B，当时，，圆与圆相交，两圆方程相减得 ，即，B正确； 对于C，直线恒过定点，，点在圆内， 当时，取得最小值，C正确； 对于D，令弦的中点为，线段的中点为，当与点都不重合时， ，有，当与点之一重合，上式成立，则， 因此点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，， 而，因此的最大值为，D正确. 故选：BCD 三、填空题 8．(24-25高二上·浙江杭州江干区杭州四中吴山校区·期中)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在y的正半轴上，则该圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】由题意可知所求圆经过椭圆的下顶点和左、右顶点，可设圆心坐标为，半径为，可得出关于的方程组，求出这两个未知数的值，进而可得出所求圆的方程. 【详解】因为圆心在y轴的正半轴上，且圆经过椭圆的三个顶点， 所以该圆过椭圆的左顶点，右顶点和下顶点. 设圆心坐标为， ，半径为， 所以 ，解得， 所以，所求圆的标准方程为. 故答案为：. 四、解答题 9．(24-25高二上·浙江杭州拱墅区源清中学·期中)已知过点和，且圆心C在直线上． (1)求的标准方程； (2)椭圆过圆心C，且与直线切于点T，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的标准方程，用待定系数的方法，求得圆的方程； （2）由已知根据椭圆的对称性求出T点坐标，根据点到直线的距离公式求出T到直线之间的距离,计算即可得出结果. 【详解】（1）设所求的圆的方程为 依题意得： 解得：. 所以所求的圆的方程为：. （2）的标准方程为，圆心在椭圆上，则关于的对称点也在椭圆上, 又因为符合方程，则为直线与椭圆的公共点， 椭圆与直线切于点T，即. 由、可知: , 的方程为， 化简可得：. 到直线的距离, 所以的面积. 10．(24-25高二上·浙江杭州江干区杭州四中吴山校区·期中)已知直线和圆，过直线上的一点作两条直线PA，PB与圆C相切于A，B两点，如下图所示.    (1)当P点坐标为时，求以PC为直径的圆的方程，并求直线AB的方程； (2)直线l经过点P，与圆C交于M，N两点求的最小值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）以PC为直径的圆的方程的圆心为PC中点，半径为，据此可得圆的方程，将以PC为直径的圆的方程与圆C方程相减，可得直线方程； （2）由圆幂定理及圆外一点到圆上距离，可将化为只与和圆半径有关的式子，据此可得答案. 【详解】（1）由题可得圆， 则C，半径为2，. 故以PC为直径的圆，以PC中点，即为圆心，以为半径， 故相应圆的方程为：. 直线AB为以PC为直径的圆和圆C公共弦所在的直线， 则两圆方程相减为直线AB方程， 则AB：    （2）如图，连接PC，设PC与圆C交于点D，延长PC与圆C交于点E. 由圆幂定理，， 由（1）可得，则. 又由题及图可得直线和与相离，则， 故. 当直线与垂直时，最小，为点C到直线距离， 则.又注意到函数在上单调递增， 则. 当且仅当与直线垂直，M，N分别与D，E重合时取等号.    11．(24-25高二上·浙江宁波北仑中学·期中)已知动点与点的距离是它与原点的距离的2倍． (1)求动点的轨迹的方程； (2)经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于，两点和，两点，求四边形ACBD的面积的最大值． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）根据两点间的距离公式化简可得方程； （2）根据直线是否存在斜率进行分类讨论，当直线存在斜率时，利用点斜式写出两直线的方程，分别求出弦长，将四边形的面积用弦长表示，即可求出最大值. 【详解】（1）由已知得， 化简得，即， 所以动点的轨迹的方程为：. （2）若两直线都有斜率，可设直线AB的方程为，则直线CD的方程为， 由（1）的结论可知，轨迹是以点为圆心，半径长为2的圆． 到直线AB的距离，所以， 同理，， 所以． ， 当且仅当，即时，等号成立. 若AB、CD两直线中有一条斜率不存在，则另一条的斜率为0， 此时线段AB、CD的长分别为、4（或4、）， 所以． 综上所述，四边形ACBD的面积的最大值为7． 12．(24-25高二上·浙江温州十校联合体·期中)已知圆和圆外一点 (1)求的取值范围 (2)若，过点作圆的切线，求切线方程 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据圆的一般方程表示圆及点在圆外，列不等式即可求解. （2）根据条件求及圆的标准方程.讨论切线斜率是否存在两种情况，当斜率不存在时,可直接求得直线方程；当斜率存在时，由点斜式设出直线方程，结合点到直线的距离即可求解. 【详解】（1）根据题意：， 点在圆外，则， 所以实数的取值范围为. （2）由（1）知，且， 所以. 则圆的方程为： 当不存在时，直线，满足题意， 当存在时，设切线方程为 因为， 所以， 所以切线方程为， 综上，切线方程为：或. 13．(24-25高二上·浙江温州新力量联盟·期中)已知圆过点，，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)问是否存在满足以下两个条件的直线： ①斜率为1；②直线被圆截得的弦为，以为直径的圆过原点.若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法求得圆的方程； （2）首先设直线存在，其方程为，联立直线与圆的方程，得到根与系数的关系，根据解得b，得到直线方程，并需验证. 【详解】（1）设圆的方程为， 则有，解得，，， 圆C方程为：，即； （2）设直线存在，其方程为， 它与圆C的交点设为、， 则由，得 ， ， 为直径，  ，     ， 即，即， 或，容易验证或时方程的， 故存在这样的两条直线，其方程是或. 地 城 考点03 直线与圆的位置关系 一、单选题 1．(24-25高二上·浙江余姚中学·期中)若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题意得到圆心到直线的距离d满足，再分和两种情况分类讨论再结合直线斜率的定义即可求解. 【详解】由题可得已知圆的圆心，半径为， 如图，由图可知圆上至少有三个不同的点到直线的距离为， 则圆心到直线的距离， 当时，直线斜率不存在，倾斜角为， 此时圆心到直线的距离，不符合， 当时，直线斜率为，此时， 整理得，解得， 因为， ， 所以直线的倾斜角的取值范围是. 故选：A. 2．(24-25高二上·浙江浙江星辰联盟·期中)直线：，与圆C：相交弦中最短的弦长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】求出直线所过的定点，结合点到直线的距离公式求出最短的弦长. 【详解】直线：过定点，圆C：的圆心，半径， 则，点在圆内，当且仅当时，直线与圆相交所得弦长最短， 所以最短的弦长为. 故选：B 3．(24-25高二·浙江台州六校联盟·期中)已知点在椭圆上运动，圆的圆心为椭圆的右焦点，半径，过点引直线与圆相切，切点分别为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的标准方程得到焦点坐标，即可求得圆心，通过面积关系得到等式，即可求得结果. 【详解】因为椭圆，即， 所以右焦点坐标为， 又圆的圆心为椭圆的右焦点，半径， 所以圆的标准方程为：， 设，根据圆的性质得， ， 因为，四边形的面积， 即， 设，则， 因为点在椭圆上，所以， 将代入到中得 ， 对于二次函数，其对称轴为， 所以，，所以， 当时，， 当时，， 所以， 故选：B. 4．(24-25高二上·浙江杭州钱塘联盟·期中)已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线，直线过定点，并可得出，得出的轨迹方程为，根据两圆圆心距离与半径的关系，求出的最大值，并且，然后即可得出的最小值． 【详解】依题意得，半径， 设点坐标，易知直线，恒过点， 直线恒过，且， 则，即，点轨迹为， 圆心为，半径为，但是去掉点， 若点为弦的中点，位置关系如图： ，连接,由易知， ，，故B正确． 故选：B． 5．(24-25高二上·浙江宁波北仑中学·期中)已知圆的方程为，直线与圆相交于两点，若(为坐标原点)，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将圆的方程与直线方程联立，设、 ，利用可得 ，利用韦达定理，即可求出. 【详解】由，得， 则，即， 联立，得， 设，，则，， 则， 因为，所以， 则，即，解得. 故选：C. 6．(24-25高二上·浙江杭州（含周边）重点中学·期中)已知直线与动圆，下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．当时，若直线与圆相切，则 C．若直线与圆相交截得弦长为定值，则 D．当时，直线截圆的最短弦长为 【答案】C 【分析】对于直线方程，可通过整理式子找到定点；对于圆的方程，化为标准方程可得到圆心和半径.然后根据直线与圆的位置关系相关定理，如相切时圆心到直线距离等于半径，相交时弦长公式等进行判断. 【详解】对于A，将直线整理为. 令，解方程组，得，即， 将代入得，所以直线过定点，故A选项错误. 对于B，当时，直线方程为，即. 圆，圆心，半径. 因为直线与圆相切，则圆心到直线距离等于半径，即， 或，解得或，故B选项错误. 对于C，圆，圆心，半径. 直线，根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离. 弦长，若弦长为定值，则为定值，与，无关. 当时，，，是定值，故C选项正确. 对于D，当时，求直线截圆的最短弦长 当时，圆，圆心，半径. 直线过定点. 圆心到定点的距离. 根据几何关系，直线截圆的最短弦长，故D选项错误. 故选：C. 7．(24-25高二上·浙江嘉兴八校联盟·期中)经过点作圆的切线，则切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出直线方程后，结合切线定义与点到直线的距离公式计算即可得. 【详解】易知切线斜率存在，设该切线方程为，即， 则有，化简得，故， 故该切线方程为，即. 故选：C. 8．(24-25高二上·浙江温州十校联合体·期中)过直线上的点作圆的两条切线，当直线关于直线对称时，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线关于直线对称，则直线与直线垂直，再联立直线与直线即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径为, 因为直线关于直线对称， 则直线与直线垂直， 所以直线的方程为，即， 由解得，， 所以点的坐标为. 故选：D. 二、多选题 9．(24-25高二上·浙江浙江星辰联盟·期中)已知圆C：，直线：，则（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆C有两个交点 C．当时，圆C上恰有三个点到直线的距离等于1 D．圆C与圆恰有三条公切线 【答案】ABC 【分析】求出直线所过定点判断AB；求出圆心到直线距离判断C；确定两圆的位置关系判断D. 【详解】圆C：的圆心，半径， 对于A，直线：，由，解得， 直线过定点，A正确； 对于B，，点在圆内，直线与圆C有两个交点，B正确； 对于C，当时，直线：，点到直线的距离， ，则圆C上恰有三个点到直线的距离等于1，C正确； 对于D，圆的圆心，半径，， 两圆相交，有2条公切线，D错误. 故选：ABC 三、解答题 10．(24-25高二上·浙江温州环大罗山联盟·期中)已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点，且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于，垂足为点，线段的垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程； (3)设与轴交于点，在曲线上是否存在一点，使得以为直径的圆与有除、外的公共点，若存在求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，． 【分析】（1）根据圆心到直线的距离公式得到，可得，进而结合离心率求解即可； （2）根据题意得到，可得点的轨迹为抛物线，进而求解； （3）设，，，且，，由结合向量可得，进而根据基本不等式可得，再根据二次函数性质求解即可. 【详解】（1）由题意，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切， 则，即，又，， 解得，，所以椭圆的方程是． （2）由条件可知， 即动点到定点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线的定义可知，点的轨迹为抛物线，且， 则点的轨迹的方程是． （3）由（2）知，若存在点， 设圆与抛物线的一个公共点与，则有． 设，，，且，， 则，， 所以， 整理化简得，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 则， 故的取值范围是． 11．(24-25高二上·浙江浙江星辰联盟·期中)某台风中心位于某地A处，距离台风中心A正西方向150km的B处有一人，正以北偏东角（为锐角）方向骑摩托车行进，速度为50km/h，已知距离台风中心km以内会受其影响. (1)若此人刚好不被台风影响，求的最大值； (2)若此人骑行方向为北偏东45°，（速度保持不变）求此人受台风影响持续多少时间？ 【答案】(1)； (2)小时. 【分析】（1）由题设知，骑行路线正好与圆相切时此人不被台风影响，此时角最大，结合已知求最大的正切值即可. （2）写出此人骑行方向为北偏东所在直线的方程，再利用弦心距、圆的半径与弦长的几何关系求该直线被圆所截弦长，即可求此人被台风影响持续时间. 【详解】（1）由题意，如图，圆是以坐标原点为圆心，为半径的圆， 要使此人不被台风影响，骑行路线正好与圆相切时，角最大， 由，，则，知，则最大. （2）由题意，骑行路线所在直线方程为，圆心到直线的距离为， 该直线与圆相交的弦长为， 即此人被台风影响持续时间为.    12．(24-25高二·浙江台州六校联盟·期中)在坐标平面上有两定点，动点满足 (1)求动点的轨迹方程； (2)若直线与圆交于两点，且，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，利用两点距离公式列方程求轨迹方程； （2）联立直线与圆得一元二次方程，应用判别式求参数k的范围，根据已知及向量数量积的坐标表示，列方程求参数值即可. 【详解】（1）设，因为，所以， 平方并整理得，即； （2）已知直线与圆交于两点，设， 联立，得， 所以，解得， ， 所以或，又，则. 13．(24-25高二上·浙江丽水五校高中发展共同体·期中)已知圆圆心在直线上，且经过点和. (1)求圆的标准方程； (2)自点发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在的直线与圆相切，求光线所在直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用待定系数法设圆的一般方程，即可求解； （2）因为反射光线所在的直线与圆相切，故对称圆与入射光线相切， 利用圆心到直线的距离等于半径列方程即可求. 【详解】（1）设圆的方程为， 可得   解得 所以圆的方程为，即圆的标准方程为； （2）圆关于轴的对称方程是， 设的方程为，即， 因为反射光线所在的直线与圆相切，故对称圆与入射光线相切， 所以对称圆心到的距离为圆的半径1， 则， 从而可得， 故光线所在直线的方程是或． 14．(24-25高二上·浙江金兰教育合作组织·期中)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点与两个定点的距离之比为常数且，则点的轨迹是圆.后来，人们以他的名字命名这个圆，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，圆上的点满足. (1)求圆的标准方程； (2)若直线过原点，且直线与圆相切，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设，利用两点之间的距离公式结合，即可求解； （2）讨论斜率是否存在，利用当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即可求解. 【详解】（1）设，则，， 又，即， 两边平方可得， 整理可得， 即圆的标准方程为. （2） 由（1）可知圆的圆心为，半径， 当直线的斜率不存在时，则直线的方程为， 此时，圆心到直线的距离，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设过原点的直线为，且与圆相切， 可得圆心到直线的距离，即，解得或， 则直线方程为或. 地 城 考点04 圆与圆的位置关系 一、单选题 1．(24-25高二上·浙江绍兴会稽联盟·期中)圆和圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．内切 D．内含 【答案】B 【分析】根据圆的方程写出圆心和半径，由圆心距与半径和差关系判断位置关系. 【详解】由的圆心为，半径为， 由的圆心为，半径为3， 所以圆心距为，即两圆外切. 故选：B 2．(24-25高二上·浙江嘉兴八校联盟·期中)已知圆：与圆：有两条公切线，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用公切线问题转化为两圆相交问题，再转化为圆心距范围问题，即可求解. 【详解】由圆：与圆：有两条公切线， 可知两圆位置关系是相交，即圆心距小于半径之和且大于半径之差， 则，解得：， 故选：A. 3．(24-25高二上·浙江台金七校联盟·期中)圆与圆的公共弦所在的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为2，则的值为（   ） A． B．3 C．7或 D．或3 【答案】C 【分析】先分析两圆的圆心和半径，列出相交需满足的条件，再求出公共弦所在直线的方程并表示出三角形面积，由此可计算出的值，注意检验. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆，圆心为，半径， 由题意可知两圆相交，且，所以； 两圆方程作差可得，即为公共弦所在直线的方程， 令，则，令，则， 所以直线与坐标轴围成的三角形面积为， 解得或，经检验或满足条件， 故选：C. 4．(24-25高二上·浙江丽水五校高中发展共同体·期中)圆与圆的位置关系是（   ） A．内含 B．内切 C．外离 D．相交 【答案】D 【分析】由圆心距与半径的和差比较可得． 【详解】， ，，因此两圆相交， 故选：D． 5．(24-25高二上·浙江金兰教育合作组织·期中)设圆和圆交于两点，则弦的长度为（    ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】先用两圆的方程相减求得公共弦方程，再利用垂径定理求解弦长即可. 【详解】两圆方程相减得公共弦方程为， 圆心，到公共弦的距离为， 所以所求弦长为. 故选：A. 二、多选题 6．(24-25高二上·浙江温州环大罗山联盟·期中)已知圆和圆，以下结论正确的是（   ） A．若和只有一个公共点，则 B．若，则和关于直线对称 C．若和外离，则 D．若，则和内含 【答案】BD 【分析】求两圆圆心距与半径和、差，根据圆与圆的位置关系的等价条件判断可得. 【详解】圆的圆心为，半径为. 圆的圆心为，半径为. 则两圆圆心距. A项，当时，，两圆内切， 和只有一个公共点，故A错误； B项，当时，两个圆的半径相等，圆心关于直线对称， 则和关于直线对称，故B正确； C项，若圆和圆外离，则， 即，解得，故C错误； D项，当，， 所以，所以两圆内含，故D正确. 故选：BD. 7．(24-25高二上·浙江温州新力量联盟·期中)已知圆和圆相交于A、两点，下列说法正确的是（   ） A．公共弦所在直线方程为 B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C．取圆上点，则的最大值为 D．直线被圆所截得弦长最短为 【答案】ABD 【分析】对A：根据两圆相交弦方程的求解，结合已知条件，求解即可；对B：求得到直线的距离，结合圆的半径，即可判断；对C：求得的参数表达形式，结合三角函数的最值，即可求得结果；对D：利用勾股定理可判断正误. 【详解】对A：圆和圆相交于两点， 故直线的方程为：，即，故A正确； 对B：到直线的距离，又圆的半径， 所以直线与圆相交且不过圆心，即圆上存在3个点到直线的距离为，B正确； 对C：圆，即， 因为在圆上，故可设， 则， 又的最大值为， 故的最大值为，C错误； 对D：将直线方程变形为， 由，解得，所以，直线过定点， 所以，圆心到直线的距离为最大值为， 因此，直线被圆所截得弦长最短为，D正确. 故选：ABD. 8．(24-25高二上·浙江金兰教育合作组织·期中)已知圆，圆，为坐标原点，动点在轴上，动点在圆上，线段的中点为.则下列选项正确的是（    ） A．的轨迹方程为 B．过点作圆的一条切线，则切线长最短为2 C．圆和圆有两条公切线 D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】对于A，设点，结合点为线段的中点，可得，求出的轨迹方程即可判断；对于B，根据切线长定理结合勾股定理转化为利用二次函数的性质求距离最小值即可；对于C，利用圆和圆的位置关系确定切线有几条；对于D，将的最大值问题转化为定点与圆上的任意一点的斜率的最大值即可求解. 【详解】对于A，设点，又点为线段的中点， 由，则， 又动点在圆上，则，即，即， 即的轨迹方程为，故A错误； 对于B，设点， 又圆，则圆心坐标为，半径， 则切线长为， 由函数的性质知，当时，切线长最短为，故B正确； 对于C，圆的圆心坐标为，半径， 圆，则圆心坐标为，半径， 又，， 则圆与圆相交，因此有两条公切线，故C正确； 对于D，由，则其几何意义可为定点与动点的构成的直线的斜率， 又动点在圆上，则也在圆上， 则问题转化为定点与圆上的任意一点的斜率的最大值， 由图知过点且与圆相切的直线的斜率存在， 设过点且与圆相切的直线为，即， 则到直线的距离，即，解得或， 结合图象知，斜率最大为，即的最大值为，故D正确； 故选：BCD. 三、解答题 9．(24-25高二上·浙江91高中联盟·期中)已知点与点关于直线：对称，圆：（），圆的半径为，且圆与圆交于，两点. (1)求的取值范围； (2)当时，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出点关于直线的对称点为，得到圆方程，再利用两圆位置关系得到关于的不等式组，解之即可得解； （2）先求出当时圆的圆心与半径，从而分析得是以为顶点的等腰三角形，进而利用三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）设点关于直线的对称点为， 则，解得， 故圆为， 因为圆与圆交于，两点， 所以， 解得. （2）当时，圆：，：， 故是以为顶点的等腰三角形， 由（1）可知，， 所以边上的高为， 所以的面积为. 10．(24-25高二上·浙江绍兴会稽联盟·期中)已知圆，直线是圆与圆的公共弦AB所在直线，且圆的圆心在直线上. (1)求公共弦AB的长度； (2)求圆的方程； (3)过点分别作直线，，交圆于,,,四点，且，试探究是否为定值，若为定值，请求出该定值;若不为定值，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)有定值，值为 【分析】(1)根据直线和圆相交求弦长，用直角三角形勾股定理等价条件进行求解即可； (2)圆的圆心在直线上，设圆心，求出圆心的半径即可得到圆的方程； (3)对直线，分两种情况讨论，即当过点的互相垂直的直线，为轴，垂直于轴时和当过点的互相垂直的直线，不垂直于轴时，分别计算和，再求. 【详解】（1）圆，所以圆的圆心坐标， 半径，圆心到直线的距离， 公共弦； （2）圆的圆心在直线上，设圆心，由题意得，，， 即，到的距离，所以的半径， 所以圆的方程：； （3）当过点的互相垂直的直线，为轴，垂直于轴时， ，这时直线的方程为，代入到圆中，， 所以，. 当过点的互相垂直的直线，不垂直于轴时， 设直线为：，则直线为：， 所以圆心到直线的距离，圆心到直线的距离， ，， 设，当或时，正好是轴及垂直轴， . 11．(24-25高二上·浙江A9协作体·期中)在平面直角坐标系中，已知圆及点和 (1)若斜率为1的直线过点，且与圆相交，截得的弦长为，求圆的半径； (2)已知点在圆上，且，若点存在两个位置，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆心为，求出圆心到直线的距离，根据弦长得到方程，求出半径； （2）点在以为直径的圆上，求出圆方程为，故两圆相交，从而得到不等式，求出，得到答案. 【详解】（1）圆化为，故，解得， 所以圆心为， 直线的方程为，圆心到直线距离为， 由垂径定理得，解得. （2）点在以为直径的圆上， 由于点和，故此圆方程为， 从而圆与圆有两个交点，其中圆心距， 只需满足， 得，即，解得 12．(24-25高二上·浙江G5联盟·期中)已知为坐标原点，直线过定点，设圆的半径为2，圆心在直线：上. (1)若圆心也在直线上，求过点与圆相切的直线方程； (2)若圆上存在点，使得，求圆心的横坐标的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先利用直线过定点的求法求得点坐标，再联立两直线方程求得圆心，再分类讨论所求直线斜率存在与否两种情况，结合圆的切线的性质列式即可得解； （2）将问题转化为两圆有交点，从而利用两圆位置关系列得相应不等式，解之即可得解. 【详解】（1）因为直线可化为， 令，则，故， 联立，解得，则圆心， 因为圆的半径为2，所以圆的方程为， 当所求直线斜率不存在时，此时直线方程为，易知与圆相切，符合题意； 当所求直线斜率存在时，设所求圆的切线方程为，即, 所以圆心到直线的距离为，解得, 所以切线方程为，即, 综上所述，所求圆的切线方程为或. （2）因为圆的圆心在直线：上，故设圆心为， 则圆的方程为， 又因为，故， 所以设为，则，设为圆，圆心，半径为， 则点应该既在圆上又在圆上，即圆和圆有交点， 所以，所以， 由，解得， 由，解得， 综上，的取值范围为. 地 城 考点05 圆的轨迹问题 一、单选题 1．(24-25高二上·浙江G5联盟·期中)已知抛物线：（）的焦点到的距离为1，是抛物线上的动点，到的距离与之和的最小值为1，则点的轨迹围成的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出抛物线的焦点坐标及准线方程，再探求点的轨迹图形，进而求出面积. 【详解】抛物线：的焦点，由到的距离为1，得， 而，解得，则抛物线的焦点，准线方程为， 直线与准线的距离为1，由到的距离与之和的最小值为1， 得到准线的距离与之和的最小值为2，因此的最小值为2， 显然，当且仅当点在线段上时取等号，则， 此时点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，由点在线段上，得点在圆内， 又直线与的距离为1，当点在直线上，点在直线及下方的抛物线弧上， 且垂直于直线时，到的距离与之和为1，符合题意， 因此点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆在直线及下方的圆弧与弦组成， 而点到直线的距离是1，则， 所以点的轨迹围成的面积扇形的面积减去的面积， 即. 故选：A 2．(24-25高二上·浙江金兰教育合作组织·期中)对于方程，表示的曲线，下列说法正确的是 （    ） A．曲线只能表示圆、椭圆或双曲线 B．若为负角，则曲线为双曲线 C．若为正角，则曲线为椭圆 D．若为椭圆，则曲线的焦点在轴上 【答案】B 【分析】对于A，根据的取值，即可判断；对于B若为负角，即，结合双曲线标准方程的形式，即可判断； 对于C，当时，结合圆的标准方程的形式，即可判断；对于D，变形后结合椭圆的标准方程的形式，即可判断选项. 【详解】对于A，当，即时，曲线的方程为，即， 此时曲线为两条平行的直线，故A错误； 对于B，若为负角，即，则， 此时曲线为双曲线，故B正确； 对于C，若为正角，即，当时，， 则曲线的方程为1，是圆，故C错误； 对于D，若为椭圆，当，，又可变形为， 则为焦点在轴上的椭圆，故D错误． 故选：B. 二、多选题 3．(24-25高二上·浙江丽水五校高中发展共同体·期中)已知线段是圆的一条动弦，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（   ） A．直线恒过定点 B．直线与圆恒相交 C．直线，的交点在定圆上 D．若为中点，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】由直线过定点即可判断A，由直线过定点以及点与圆的位置关系即可判断B，联立直线方程，然后消去即可得到点的轨迹方程，即可判断C，先求得点的轨迹方程，再由点的轨迹方程，即可得到的最小值，即可判断D. 【详解】对于选项A，因为直线，即， 令，解得，则直线恒过定点，故A正确； 对于选项B，因为直线，即， 令，解得，所以直线恒过定点， 将点代入圆可得， 即点在圆外，所以直线与圆不一定相交，故B错误； 对于选项C，联立两直线方程可得，解得， 消去可得，即，故C正确； 对于选项D，设，因为，且为中点，所以， 而圆的圆心，半径为， 则圆心到弦的距离为，即， 即点的轨迹方程为，圆心，半径为， 由选项C可知，点的轨迹方程为，圆心，半径为， 两圆圆心距为， 所以的最小值为，故D正确； 故选：ACD 4．(24-25高二上·浙江杭州北斗联盟·期中)过定点的动直线和过定点的动直线，点为两直线的交点，圆，则下列说法正确的有（   ） A．对任意，圆上恒有4个点到直线的距离为 B．直线以与圆相交且最短弦长为 C．动点的轨迹与圆相交 D．为定值 【答案】ABD 【分析】根据已经条件，可求出两个定点和的坐标，以及圆的圆心和半径.对于选项A，只需判断圆心到直线的距离，即可判断交点的个数；对于选项B：因为点在圆内，所以直线与圆相交，当直线与线段垂直时，所得弦最短，求出弦长即可判断；对于选项C：注意到直线与垂直，所以点的轨迹是以为直径的圆，判断两圆的位置关系，即可知晓点与圆是否相交；对于选项D：因为，所以为直角三角形，即可判断. 【详解】将方程写为，所以定点的坐标为， 将方程写为，所以定点的坐标为， 由圆的方程可知其圆心坐标为，半径为. 对于选项A：因为圆心到直线的距离为， 而半径，，所以圆上恒有4个点到直线的距离为，所以选项A正确； 对于选项B：点与圆心的距离为， 所以点在圆内，所以直线与圆相交，当直线与线段垂直时， 所交的弦最短，此时弦长为，所以选项B正确； 对于选项C：因为，所以， 所以点的轨迹是以为直径的圆，此圆的圆心为，半径为， 所以与圆的圆心距为，所以， 两圆的位置关系是内含，两圆无交点，所以点的轨迹与圆不相交，所以选项C错误； 对于选项D：由选项C的判断过程知，所以， 所以为直角三角形，所以，所以选项D正确. 故选：ABD. 5．(24-25高二上·杭州市江干区杭州四中·)已知圆及点，则下列说法正确的是（    ） A．圆心的坐标为 B．若点在圆上，则直线的斜率为 C．点在圆外 D．若是圆上任一点，则的取值范围为． 【答案】ACD 【分析】根据题意转化为圆的标准方程，由圆心坐标可判断A选项，通过点代入圆的方程求得的值，进而由斜率公式可求的斜率并可判断B选项，点与圆的位置关系可判断C选项，利用圆心到的距离可得的取值范围并可判断D选项； 【详解】将把转化为标准方程, 则，如图所示： 对于A：圆心C的坐标为，故A正确； 对于B：当点在圆上，则有， 化简得，解得. 即，所以直线的斜率为，故B错误； 对于C：因为，所以点在圆外，故C正确； 对于D：因为， ， 所以，即，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 6．(24-25高二上·浙江宁波北仑中学·期中)已知实数满足，则的最大值为 . 【答案】49 【分析】方程表示以为圆心，以为半径的圆，表示圆上的点与原点之间距离的平方，再根据定点到圆上的点的距离的最值问题即可得解. 【详解】由，得， 则方程表示以为圆心，以为半径的圆， 表示圆上的点与原点之间距离的平方， 设点与原点之间距离为， 则， 所以的最大值为49. 故答案为：49. 四、解答题 7．(24-25高二上·浙江杭州北斗联盟·期中)已知圆经过，两点，圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)是圆上一动点，求的范围； (3)已知为的中点，若的面积为2，求直线的方程. 【答案】(1) (2) (3)或. 【分析】（1）设圆心并解方程即可求出半径； （2）将几何问题转代数，转化为圆上动点到定点距离； （3）转化为直线与圆的交点问题，注意点的轨迹是圆. 【详解】（1）设圆心，由， 得 解得， 所以圆的标准方程为. （2）设，则 ， 因为表示圆上一动点到点的距离， 于是， 所以的范围是. （3）因为的面积为2，而， 到直线的距离为， 又直线的方程为， 设与直线平行且距离为的直线方程为， 令，得或， 设,,由（2）得点是圆上一动点， 则,即, 所以, 解得点的轨迹方程为， 直线与点的轨迹有交点，则， 联立方程， 解得或， 于是直线的方程为或. 8．(24-25高二上·浙江杭州钱塘联盟·期中)公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中，，且. (1)求点的轨迹方程； (2)过作（1）的切线，求切线方程； (3)若点在（1）的轨迹上运动，另有定点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）设，结合列出方程即可求解； （2）分切线斜率不存在和切线斜率存在两种情况讨论求解即可； （3）先求出到圆心的距离，进而结合圆上一点到定点的距离最值问题求解即可. 【详解】（1）设，由， 得， 整理得，，即， 则点的轨迹方程为. （2）由（1）知，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 当切线斜率不存在时，切线方程为，符合题意； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得， 所以切线方程为，即. 综上所述，切线方程为或. （3）点到圆心的距离为， 所以，即， 即的取值范围为. 9．(24-25高二上·浙江绍兴上虞中学·期中)已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动． (1)求线段AB的中点P的轨迹的方程； (2)设圆与曲线的两交点为M，N，求线段MN的长； (3)若点C在曲线上运动，点Q在x轴上运动，求的最小值． 【答案】(1). (2). (3). 【分析】（1）设点P的坐标为，点A的坐标为，由于点B的坐标为，利用点P是线段AB的中点，求出，，通过点A在圆上运动，转化求解中点P的轨迹的方程即可； （2）将圆与圆的方程相减得，求出圆的圆心到直线的距离d，即可求解； （3）由题可得，当且仅当A在线段且C在线段上时，取等号．设为关于x轴的对称点，可得，即 ，即可求解的最小值. 【详解】（1）解：设点P的坐标为，点A的坐标为， 由于点B的坐标为，且点P是线段AB的中点，所以， ， 于是有 ①， 因为点A在圆上运动，即： ②， 把①代入②，得，整理，得， 所以点P的轨迹的方程为． （2）解：将圆与圆的方程相减得： ， 由圆的圆心为，半径为1，且到直线的距离， 则； （3）解：圆是以为圆心，半径的圆， 圆是以为圆心，半径的圆， 所以①，当且仅当A在线段且C在线段上时，取等号． 设为关于x轴的对称点，则，代入①式得： ，当且仅当共线时，取等号． 所以的最小值为． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02直线和圆 ☆5大高频考点概览 考点01直线与方程 考点02圆的方程 考点03直线与圆的位置关系 考点04圆与圆的位置关系 考点05圆的轨迹问题 目目 考点01 直线与方程 一、 单选题 1.(24-25高二上浙江杭州江干区杭州四中吴山校区·期中)若直线1：x=tan号的倾斜角为a,则=() A.0 B.胃 C. D.不存在 2.(2425高二上浙江台金七校联盟期中)已知直线l1:kx-y=0与直线l2:x+ky-k-1=0相交于点P, 若点P始终在圆x-)2+(y-a)2=2内，则a的取值范围为（） A.（-3,) B.（-2,2 c.（-,2) D.(0,1 3.(24-25高二上·浙江杭州江干区杭州四中吴山校区期中)已知A,B两点的坐标分别是(-1,0)，(1,0)， 直线AM、BM相交于点M,且直线AM的斜率是直线BM的斜率的2倍，则点M的轨迹方程是() A.X=-3 B.x=3y≠0)C.x=-3y≠0)D.x2+y2=1y≠0) 4.(24-25高二上浙江杭州江干区杭州四中吴山校区·期中)点A(1,3)关于直线y=x+1的对称点坐标为 () A.(0,2) B.(2,2) C.(2,4) D.(4,2) 5.(24-25高二上浙江浙江星辰联盟·期中)己知直线x+2y-2=0与直线2x+ay+3=0平行，则a=() A.±2 B.2 C.-2 D.±V2 6.(24-25高二上浙江温州十校联合体期中)直线y=V3x的倾斜角为() A.晋 B.胃 c. D.要 7.(24-25高二上·浙江温州环大罗山联盟·期中)直线x+y+1=0分别与x轴，y轴交于A,B两点，点P在 圆(x-2)2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是() A.[] B.[1,5] c.[9,要]D.[E9] 1/12 面学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 二、多选题 8.(24-25高二上·浙江杭州西湖区学军西溪、学军紫金港、学军海创园、学军文渊期中)己知A为直线 :x十2y+3=0上的动点，下列结论正确的是() A.若AP=2,则点P的轨迹是一个圆B.若AP=(1,2),则点P的轨迹是一条直线 C.若A=(1,2),则点P到1的距离为VD.方=(1,2)是的一个方向向量 三、填空题 9.(24-25高二上浙江杭州西湖区学军西溪、学军紫金港、学军海创园、学军文渊期中)将直线x-V3y=0 绕点(V3,1)逆时针旋转30°得到的直线方程为一 10.(24-25高二上浙江杭州江干区杭州四中吴山校区·期中两条平行直线3x+4y-5=0与 6x+by+10=0间的距离是 11.(24-25高二上浙江杭州S9联盟期中)已知直线l1:x-my-2=0过定点A,直线l2:mx+y+2=0过 定点B,11与l2的交点为C,则AC十|BC的最大值为一 四、解答题 12.(24-25高二上·浙江杭州西湖区学军西溪、学军紫金港、学军海创园、学军文渊期中)己知圆 C:(x+2)2+(y-3)2=12,直线1：(3t+1)x+(t+1)y-4t-2=0(t∈R)恒过定点P. (1)求点P的坐标； (2)若过P的直线m与圆C交于A,B两点，且△ABC为正三角形，求直线m的方程. 13.(24-25高二上浙江杭州江干区杭州四中吴山校区期中)直线！1经过点A(-2,0),倾斜角为%，0<&<罗 ,直线2经过点B(2,0),倾斜角为α+.两直线相交于点P (1)若日=罩； (i)请用tanu表示线段PB中点Q的坐标； (ⅱ)求证：线段PB中垂线过定点 (2)当=，日=时，椭圆τ以A、B为焦点，且经过点P,H为椭圆τ的上顶点 ()求椭圆τ的标准方程； 2/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (ⅱ)若直线y=kx+m与椭圆τ交于M、N,若HM=HN.求k的取值范围 14.(24-25高二上浙江杭州江干区杭州四中吴山校区·期中)已知A(1,3),B(2,-1) (1)求AB的中垂线方程： (2)求经过A、B两点的椭圆的标准方程 15.(24-25高二上浙江A9协作体期中已知△ABC的顶点C在直线！：x-y+2=0上运动，点A为0，-2) ,点B为(2,0) (1)求直线AB的方程； (2)△ABC的面积是否为定值？若是，求出该值若不是，说明理由 目目 考点02 圆的方程 一、单选题 1.(24-25高二上浙江杭州西湖区学军西溪、学军紫金港、学军海创园、学军文渊期中)已知圆 C:2+y2+2x+a=0,其中a∈R,下列各点中一定在圆C内的是() A.(-1,0) B.(0,-1) c.(0,0) D.(1,0) 2.(24-25高二上·浙江杭州拱墅区源清中学.期中)已知圆01：x2+y2-2ay+a2-1=0与圆02：x2+y2=4 有且仅有两条公共切线，则正数a的取值范围为() A.(1,2) B.(13) C.(2,3) D.(3,+0) 3.2425高二上清江A9协作体期已知平面上两定京AB,则满足路=太（常数k>0且k≠1）的 动点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆.已知在△PAB中， |AB|=4,PA=2PB|,则△PAB面积的最大值是() A.4 B.号 c.号 D.9 4.(24-25高二上浙江杭州第二中学期中)已知实数x1X2y1Y2满足， x+y2=1,x2+y22=1xx2+yy2-0,则x+y13|+x2+y23到的最大值为() A.22 B.4 c.42 D.8 5.(24-25高二上·浙江浙江星辰联盟期中)已知圆的方程为：x2+y2-2x+4y+1=0,则圆心坐标为() A.（-2,4) B.(-1,2) C.(2,-4) D.(1,-2) 6.(24-25高二浙江台州六校联盟期中)已知圆C1:x2+(y+1)2=9与圆C2:(x+23)+(y-1)2=1的 位置关系为() 3/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.相离 B.相交 C.外切 D.内切 二、多选题 7.(24-25高二上浙江温州十校联合体·期中)已知圆C1:x2+y2-2y-8=0,圆 C2:x2-2x+y2+m2-4=0,直线：tx+y-2t-1=0,直线1与圆C1相交于A,B两点，则以下选项 正确的是() A.若m=0时，圆C1与圆C2有两条公切线 B.若m=2时，两圆公共弦所在直线的方程为2x-y-4=0 C.弦长AB|的最小值为25 D.若点P2,4),则PA+P的最大值为2W10+2 三、填空题 8.(2425高二上渐江杭州江干区杭州四中吴山校区期中)一个圆经过椭圆号+号=1的三个顶点，且圆心 在y的正半轴上，则该圆的标准方程为」 四、解答题 9.(24-25高二上浙江杭州拱墅区源清中学·期中)已知⊙C过点A(0,-6)和B(1,-5),且圆心C在直线 :x-y+1=0上. (1)求⊙C的标准方程； (2椭圆等+器=1(a>b>0)过圆心C,且与直线x+y-5=0切于点不求△TAB的面积. 10.(24-25高二上浙江杭州江干区杭州四中吴山校区·期中)已知直线x-y+2=0和圆 C:x2+y2-8x+12=0,过直线上的一点P(x0y,)作两条直线PA,PB与圆C相切于A,B两点，如 下图所示 (1)当P点坐标为(2,4)时，求以PC为直径的圆的方程，并求直线AB的方程； 4/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)直线1经过点P,与圆C交于M,N两点求PM×(|PM+|PN|)的最小值 11.(24-25高二上浙江宁波北仑中学期中已知动点M(xy)与点P(3,0)的距离是它与原点0的距离的2倍. (1)求动点M的轨迹E的方程； (2)经过原点O的两条互相垂直的直线分别与轨迹E相交于A,B两点和C,D两点，求四边形ACBD的面积S 的最大值。 12.(24-25高二上浙江温州十校联合体期中)已知圆C:x2+y2-x+2y+m=0和圆C外一点P(1,2) (1)求m的取值范围 (2)若m∈N,过点P作圆C的切线，求切线方程 13.(24-25高二上·浙江温州新力量联盟·期中)已知圆C过点M(0,-2),N(3,1),，且圆心C在直线 x+2y+1=0上 (1)求圆C的标准方程； (2)问是否存在满足以下两个条件的直线： ①斜率为1；②直线被圆C截得的弦为AB,以AB为直径的圆过原点若存在这样的直线，请求出其方程； 若不存在，请说明理由 目目 考点03 直线与圆的位置关系 一、单选题 1.(24-25高二上·浙江余姚中学期中)若圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线 1:x+by=0的距离为2√2，则直线的倾斜角的取值范围是() A.[五，毁] B.[罗，段] c.[亞，] D.[晋] 2.(2425高二上浙江浙江星辰联盟期中)直线1：mx-y-2m+1=0,与圆C:(x-2)2+(y-5)2=25相 交弦中最短的弦长为() A.5 B.6 C.8 D.10 3.(2425高二浙江台州六校联盟期中)已知点M在椭圆C:茶+名=1上运动，圆C的圆心为椭圆的右焦 点，半径r=1,过点M引直线112与圆C相切，切点分别为P,Q,则PQ的取值范围为() A.[2)B.[5,要]c.[5,2) D.[V3,4) 4.(24-25高二上浙江杭州钱塘联盟期中已知直线1：x+my-3m-1=0与l2:mx-y-3m+1=0相交 于点M,线段AB是圆C:(x+1)2+(y+1)2=4的一条动弦，且|AB|=23,则MA.M它的最小值 5/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 为() A.16+4y2 B.6-42 c.5+65 D.205-1 5.(24-25高二上·浙江宁波北仑中学期中)已知圆的方程为x2+y2-2x-4y+m=0,直线 :x+2y-4=0与圆相交于M,N两点，若0M⊥ON(0为坐标原点)，则m的值为() A.号 B.兽 c.骨 D.号 6.(24-25高二上浙江杭州（含周边）重点中学期中)已知直线！：(a+1)x+(1-a)y-2=0与动圆 C:x2+y2+2bx+4by+5b2-9=0,下列说法正确的是() A.直线1过定点(1,2) B.当a=1时，若直线1与圆C相切，则b=4 C.若直线！与圆C相交截得弦长为定值d,则d=4国 5 D.当b=0时，直线]截圆C的最短弦长为7 7.(24-25高二上浙江嘉兴八校联盟期中)经过点M(1,2)作圆x2+y2=5的切线，则切线方程为() A.2x+y-5=0B.2x-y-5=0C.x+2y-5=0D.x-2y-5=0 8.(24-25高二上浙江温州十校联合体期中)过直线y=2x-1上的点P作圆C:(x+2)2+(y-3)2=1的两 条切线l112,当直线112关于直线y=2x-1对称时，则点P的坐标为() A.(1,1 B.(后吉) c.() D.() 二、多选题 9.(24-25高二上浙江浙江星辰联盟期中)已知圆C:(x+3)子+y2=9,直线1： m+2)x+4y-2+m=0(m∈R,则() A.直线1恒过定点(-1,1 B.直线1与圆C有两个交点 C.当m=1时，圆C上恰有三个点到直线的距离等于1 D.圆C与圆x2+y2-2x+8y+8=0恰有三条公切线 三、解答题 6/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10.(2425高二上浙江温州环大罗山联显期中)已知椭圆C1:景+=1(a>b>0)的离心率为，直线 1:y=x+2V3与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切. (1)求椭圆C1的方程； (2)设椭圆C1的左焦点为F1,右焦点为F2,直线1过点F1,且垂直于椭圆的长轴，动直线2垂直于11，垂足 为点P,线段PF2的垂直平分线交2于点M,求点M的轨迹C2的方程； (3)设C2与x轴交于点Q,在曲线C2上是否存在一点S,使得以QS为直径的圆与C2有除Q、S外的公共点， 若存在求出QS的取值范围；若不存在，请说明理由 11.(24-25高二上浙江浙江星辰联盟·期中)某台风中心位于某地A处，距离台风中心A正西方向150m的 B处有一人，正以北偏东6角(6为锐角)方向骑摩托车行进，速度为50kmh,已知距离台风中心75V3km 以内会受其影响， (1)若此人刚好不被台风影响，求tan的最大值； (2)若此人骑行方向为北偏东45°，（速度保持不变）求此人受台风影响持续多少时间？ 12.(24-25高二·浙江台州六校联盟期中)在坐标平面上有两定点A(-1,0),B(2,0),动点P满足 PB=2PA (I)求动点P的轨迹方程； (2)若直线1：y=kx+1与圆交于P,Q两点，且O.O0=3,求实数k的值 13.(24-25高二上浙江丽水五校高中发展共同体·期中)已知圆C圆心在直线y=x上，且经过点(1.2)和 (2,3) (1)求圆C的标准方程； (2)自点A-3,3发出的光线m射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆C相切，求光线m所在 直线的方程 14.(24-25高二上浙江金兰教育合作组织期中)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M与两个定点 AB的距离之比为常数()>0且入≠1)，则点M的轨迹是圆.后来，人们以他的名字命名这个圆，称为阿波 罗尼斯圆，简称阿氏圆.己知A(1,1),B(2,1),圆C上的点M满足|MA=V2MB引 (1)求圆C的标准方程： (2)若直线1过原点，且直线1与圆C相切，求直线1的方程 目目 考点04 圆与圆的位置关系 一、 单选题 7/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.(2425高二上浙江绍兴会稽联盟期中圆(x-3)+y2=4和圆x2+(y-4)=9的位置关系是() A.外离 B.外切 C.内切 D.内含 2.(2425高二上浙江嘉兴八校联盟期中)已知圆01：(x-a)2+(y+1)2=4与圆02： (x+2a)2+y2=9有两条公切线，则实数a的取值范围() A.(.5,0)u(0,) B.(5,9) c.（-m25)u(25,+m) D.(0,25) 3.(24-25高二上浙江台金七校联盟期中)圆x2+y2=3与圆x2+y2-2x-2y-m=0的公共弦所在的直线 与两坐标轴所围成的三角形面积为2，则m的值为() A.-1 B.3 C.7或-1 D.-1或3 4.(24-25高二上浙江丽水五校高中发展共同体期中)圆C1:x2+y2=4与圆C2:(x+2)+(y+3)=9的 位置关系是() A.内含 B.内切 C.外离 D.相交 5.(24-25高二上浙江金兰教有合作组织期中)设圆C1:x2+y2=5和圆C2:x2+y2+3x+4y=0交于 AB两点，则弦AB的长度为() A.4 B.2V2 C.2 D.1 二、多选题 6.(24-25高二上浙江温州环大罗山联盟期中)已知圆C1:x2+y2=1和圆C2:(x-3)+y2=rr>0), 以下结论正确的是() A.若C1和C2只有一个公共点，则r=2 B.若r=1,则C1和C2关于直线x=号对称 C.若C1和C2外离，则1<r<2 D.若r>4,则C1和C2内含 7.(2425高二上·浙江温州新力量联盟期中)已知圆0：x2+y2=4和圆M:x2+y2-2x+4y+4=0相交 于A、B两点，下列说法正确的是() A.公共弦AB所在直线方程为x-2y-4=0 8/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B.圆0上有且仅有3个点到直线1：x-y+V2=0的距离都等于1 C.取圆M上点C(a,b),则2a-b的最大值为4+25 D.直线mx+y+m-1=0被圆0所截得弦长最短为22 8.(24-25高二上浙江金兰教育合作组织期中)已知圆C1:x2+y2=1,圆C2:x2+y2+2x-6y+5=0, 0为坐标原点，动点P在x轴上，动点Q(x0y。)在圆C1上，线段0Q的中点为M则下列选项正确的是() A.M的轨迹方程为x2+y2=吉 B.过点P作圆C的一条切线，则切线长最短为2 C.圆C1和圆C2有两条公切线 D.蕊的最大值为 三、解答题 9.(24-25高二上浙江91高中联盟期中)已知点M与点N关于直线：y=2x+对称，圆M: x2+(y-4)2=r2(0<r<6),圆N的半径为6-r,且圆M与圆N交于A,B两点， (1)求r的取值范围； (2)当r=3时，求△MNA的面积 10.(24-25高二上浙江绍兴会稽联盟·期中)己知圆C:x2-6x+y2-6y+3=0,直线1：x+y-2=0是圆 E与圆C的公共弦AB所在直线，且圆E的圆心在直线y=2x上 (I)求公共弦AB的长度； (2)求圆E的方程： (3)过点Q(-1,O)分别作直线MN,RS,交圆E于M,N,R,S四点，且MN1RS,试探究MN+RS是否 为定值，若为定值，请求出该定值若不为定值，请说明理由 11.(24-25高二上·浙江A9协作体·期中)在平面直角坐标系x0y中，已知圆 C:x2+y2-4x+m=0(m∈R)及点A(-1,0)和B(1,0) (1)若斜率为1的直线I过点B,且与圆C相交，截得的弦长为V2,求圆C的半径r: (2)已知点P在圆C上，且∠APB=90°，若点P存在两个位置，求实数m的取值范围 12.(24-25高二上·浙江G5联盟·期中)已知0为坐标原点，直线(m+1)x+y-m-1=0过定点A,设圆C 9/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 的半径为2，圆心在直线1：x+y-2=0上 (1)若圆心C也在直线y=2x+5上，求过点A与圆C相切的直线方程； (2)若圆C上存在点M,使得|OA=OM,求圆心C的横坐标的取值范围 目目 考点05 圆的轨迹问题 一、单选题 1.(24-25高二上浙江G5联盟期中)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点到y=的距离为1，M是 抛物线C上的动点，M到y=-专的距离与MP|之和的最小值为1，则点P的轨迹围成的面积是() A.誓-5 B.婴 c.誓+5 D.4π 2.(24-25高二上·浙江金兰教育合作组织期中)对于方程x2+ytan心=1，x∈(-罗，号)，表示的曲线C, 下列说法正确的是() A.曲线C只能表示圆、椭圆或双曲线 B.若x为负角，则曲线C为双曲线 C.若a《为正角，则曲线C为椭圆 D.若C为椭圆，则曲线C的焦点在x轴上 二、多选题 3.(2425高二上浙江丽水五校高中发展共同体期中)已知线段AB是圆C:(x-1)2+(y-3)2=4的一条动弦， AB=2V5,直线！1：mx-y+3m+1=0与直线l2:x+my+3m+1=0相交于点P,下列说法正确的 是() A.直线l1恒过定点(-3,1) B.直线l2与圆C恒相交 C.直线1,12的交点P在定圆x2+y2+4x+2y=0上 D.若G为AB中点，则PG的最小值为4-V⑤ 4.(24-25高二上浙江杭州北斗联盟·期中)过定点A的动直线！1：X+my-4m-1=0和过定点B的动直线 12:mx-y-m+3=0,P点为两直线的交点，圆C:(x-2)2+(y-4)2=4,则下列说法正确的有() A.对任意m,圆C上恒有4个点到直线！1的距离为劳 10/12