第05讲 最优化问题（知识梳理+例题讲解+考点练习）-四年级奥数培优讲义

第05讲 最优化问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解概念： 初步理解“最优化”的含义，即在解决问题时，通过合理安排和规划，达到“时间最少”、“效率最高”、“用料最省”或“费用最低”等目标。 2.分析关键： 学会分析问题中的关键因素，如哪些事情可以同时进行，如何合理分配资源（如时间、空间、人力等）。 3.掌握方法： 掌握解决常见最优化问题（如烧水、煎饼、收割、过河等）的基本思路和方法。 4.解决问题： 能够运用所学方法解决简单的实际最优化问题，培养逻辑思维能力和解决问题的能力。 知识梳理 知识点一、烧水问题 (时间优化) 1.核心思想： 在等待某项任务完成（如烧水）的同时，合理安排做其他事情，以达到节省总时间的目的。关键在于“同时进行”。 2.例题特点： 通常涉及一系列需要完成的任务，其中某项任务耗时较长，且在其进行过程中可以穿插进行其他耗时较短或不需要持续关注的任务。 3.解题关键： （1）明确各项任务的先后顺序和所需时间。 （2）找出耗时最长的“主线”任务（如烧水）。 （3）将其他可以在“主线”任务进行期间完成的任务安排在这段时间内进行。 4.解题步骤（示例）： （1）例：小明要烧水（10分钟），同时需要洗杯子（2分钟）、找茶叶（1分钟）。最快多久能喝到水？ （2）分析：烧水的10分钟内，可以同时洗杯子和找茶叶。 （3）解答：最少需要10分钟。 5.方法总结： 优先处理耗时最长的任务，并将其他可并行的任务安排在其执行期间，从而缩短总时间。 知识点二、煎饼问题 (资源利用与时间优化) 1.核心思想： 在煎饼时，充分利用锅的容量（通常是一次能放几张饼），合理安排煎饼的顺序和翻面，以达到在最短时间内煎好所有饼的目的。 2.例题特点： 已知锅每次最多能煎a张饼，煎熟一张饼需要煎两面，每面需要b分钟，问煎n张饼最少需要多少分钟？ 3.解题关键： （1）尽量让锅每次都放满饼（除非剩下的饼不足一锅）。 （2）合理安排饼的翻面和取出，避免空锅等待。 4.解题方法与公式（针对一次最多煎2张饼的情况，这是最基础也是四年级最常见的）： （1）当n = 1时： 时间 = 2b (正反面各一次)。 （2）当n ≥ 2时： ①如果每次能煎2张饼，每面时间b分钟，那么煎熟n张饼最少需要的时间 = n × b （前提是n ≥ 2，且每次锅里都有2张饼在煎）。 ②解释： 因为2张饼同时煎，每面b分钟，2张饼共需2b分钟，相当于1张饼b分钟。所以n张饼（n≥2）就是n×b分钟。 ③经典“3张饼”问题： 先煎1号饼正面和2号饼正面（b分钟），然后拿出2号饼，放入3号饼正面，同时1号饼煎反面（b分钟），此时1号饼熟。最后煎2号饼反面和3号饼反面（b分钟）。总共3b分钟，符合n×b公式（3×b）。 5.方法总结： 对于一次煎2张饼的问题，记住公式：总时间 = 饼的张数 × 每面所需时间 (n ≥ 1，当n=1时为2b，可视为特殊情况单独记忆，或理解为1×2b)。核心是保证锅的利用率最大化。 知识点三、收割问题 (多人/多机器协作效率优化) 1.核心思想： 多个劳动者（或机器）共同完成一项任务（如收割庄稼、加工零件等），如何合理分配工作，使得在最短时间内完成任务，或者在规定时间内完成最多任务。 2.例题特点： 通常会给出每人/每台机器的工作效率（如每小时收割几亩地），以及总的工作量，求最少需要多少人/机器，或求几人/机器合作需要多少时间。或者是不同效率的人/机器如何组合最优化。 3.解题关键： （1）明确工作总量、单一效率、参与人数/机器数、工作时间之间的关系。 （2）基本公式：工作总量 = 效率 × 时间 × 人数（或机器数）。 (有时效率是“每人每小时”，则公式为 工作总量 = 每人每小时效率 × 人数 × 时间) （3）当涉及到不同效率的人时，可能需要考虑让效率高的人承担更核心或更多的工作。 4.解题步骤（示例）： （1）例：一块地有12亩，1个农民1小时能收割2亩。如果要在3小时内收割完，需要几个农民？ （2）分析：1个农民3小时能收割 2 × 3 = 6亩。12亩需要 12 ÷ 6 = 2个农民。 （3）解答：需要2个农民。 5.方法总结： 灵活运用工作总量、效率、时间、人数（机器数）之间的关系。对于多人协作，通常先计算单位效率下的总工作量，再进行分配。 知识点四、过河问题 (安全与效率优化) 1.核心思想： 一群人要过河，只有一条船，船有最大载人数限制，且划船需要人（通常需要有人把船划回来）。如何安排过河顺序和划船人员，使得所有人过河的总时间最短（或次数最少）。 2.例题特点： 已知人数、船的最大载人数、每个人划船过河所需的时间（或所有人划船速度相同，只考虑次数）。 3.解题关键： （1）让划船最快的人（或其中之一）承担来回划船的任务，以节省往返时间。 （2）每次过河尽量载满（除非剩下的人数不足一船）。 （3）考虑“送船人”的安排，即谁划船回来接剩下的人。 4.解题步骤（示例，假设所有人划船速度一样，或只考虑次数）： （1）例：3个人要过河，船每次最多载2人，需要几趟才能全部过河？（一趟指一个单程） （2）分析： ①第一趟：2人过去，1人划船回来。（此时1人已过河，2人在对岸，1人划船回原岸） ②第二趟：剩下的2人一起过去。 ③总共需要 3 趟（过去、回来、过去）。 （3）更复杂情况（考虑时间）： 如A、B、C、D四人过河，船每次最多2人，A需1分钟，B需2分钟，C需5分钟，D需10分钟。 ①策略：让最快的A和B先过，A回；然后让最慢的C和D一起过，B回；最后A和B一起过。总时间：2 + 1 + 10 + 2 + 2 = 17分钟。 5.方法总结： 遵循“快者往返，慢者同船”的原则。即让划船最快的人负责接送，让两个划船最慢的人一起过河，以减少慢人单独过河的次数，从而节省总时间。 知识点五、其他最优问题 (如：购物省钱、资源分配等) 1.核心思想： 这类问题涉及的情境更广泛，核心仍是“选择最优方案”。可能包括： 2.购物省钱问题： 比较不同的促销方案（如买几送一、满减等），选择最省钱的购买方式。 3.简单资源分配问题： 将有限的资源分配给不同的对象，以达到某种目标的最大化（如利润最高、产量最大等）或最小化（如成本最低）。 4.解题关键： （1）购物省钱： 分别计算不同方案所需的费用，然后进行比较，选择费用最低的方案。注意考虑“单价”、“数量”以及“优惠条件”。 （2）资源分配（简单）： 尝试不同的分配方案，计算每种方案的结果，选择最优的那个。四年级通常不涉及复杂算法，以尝试法和比较法为主。 5.例题（购物省钱）： 某种饮料5元一瓶，买4送1。小明想买10瓶，最少花多少钱？ （1）分析：买4送1，即付4瓶的钱得5瓶。10瓶里面有2个5瓶。 （2）所以只需买 4 × 2 = 8瓶，送 2瓶，共10瓶。花费 8 × 5 = 40元。 6.方法总结： 针对不同情境，具体问题具体分析。多思考几种可能的方案，通过计算和比较，选出最佳方案。培养“多方案比较”的意识。 例题讲解 一、烧水问题 (时间优化) 【例题1】小明想喝热牛奶，他需要做以下几件事：烧开水（10分钟），洗杯子（2分钟），取牛奶（1分钟），热牛奶（5分钟，热牛奶需要在水开后进行）。小明最少需要多少分钟才能喝到热牛奶？ 【例题2】妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗水壶需要1分钟，烧开水需要15分钟，洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分钟，拿茶叶需要2分钟。为了使客人早点喝上茶，小明应该怎样合理安排？最少需要多少分钟？ 二、煎饼问题 (资源利用与时间优化) 【例题1】一个平底锅每次最多能煎2张饼，每张饼需要煎两面，每面煎2分钟。煎3张饼最少需要多少分钟？ 【例题2】妈妈用平底锅煎饺子，每次最多煎4个饺子，每个饺子要煎2分钟（每面1分钟）。煎10个饺子最少需要多少分钟？ 【例题3】一只平底锅每次最多煎2张饼，煎1张饼的1面需要3分钟（两面都要煎）。请问煎2026张饼最少需要多少分钟？ 三、收割问题 (多人/多机器协作效率优化) 【例题1】小明、小红、小李、小王四个人同时到一个农机站使用一台收割机收割庄稼。他们各自的庄稼地需要收割的时间分别是：小明5小时，小红3小时，小李2小时，小王4小时。请安排合理的收割顺序，使他们四人花在等待和收割上的总时间最少。这个最少的总时间是多少小时？ 【例题2】小明、小红、小华三人同时去医务室找李医生看病。小明打针要5分钟，小红换纱布要3分钟，小华点眼药水要1分钟。李医生如何安排治疗顺序，才能使他们三人留在医务室的总时间（治疗时间+等候时间）最少？最少总时间是多少？ 【例题3】一个维修师傅要修理5台机器，每台机器的修理时间分别是12分钟、8分钟、18分钟、6分钟、10分钟。每台机器停产一分钟都会造成一定的经济损失。为了使总的停产损失最小（即所有机器的停产时间总和最少），师傅应按怎样的顺序修理机器？最少的总停产时间是多少分钟？ 四、过河问题 (安全与效率优化) 【例题1】有4个人要过一条河，只有一条小船，船上每次只能坐2个人。已知甲划船最快，需1分钟；乙次之，需2分钟；丙需5分钟；丁需10分钟。他们最少需要多少分钟才能全部过河？（注：划船过河时间以慢者为准，且每次过河后需有人把船划回来接其他人） 【例题2】 一个农夫带着一只狼、一只羊和一筐白菜要过河。河边只有一条小船，农夫每次只能带一样东西过河。如果农夫不在，狼会吃掉羊，羊会吃掉白菜。请问：农夫最少需要几次才能将所有东西安全地带过河？（注：从河的一岸到另一岸算一次，来回算两次。） 五、其他最优问题 (如：购物省钱、资源分配等) 【例题1】学校要为四年级240名学生购买铅笔，每盒铅笔有12支，A商店售价：每盒15元；B商店售价：每盒16元，但买3盒送1盒。请问，到哪个商店购买更省钱？至少需要多少钱？ 【例题2】四年级（1）班组织去看电影，全班有45人。电影院售票方式：单人票每张30元；团体票（10人及以上）每张25元。请问怎样购票最省钱？最少需要多少钱？ 考点练习 一、烧水问题 (时间优化) 1.妈妈要做一顿饭，需要做以下事情：淘米（2分钟），用电饭锅煮饭（20分钟），洗菜（5分钟），切菜（3分钟），炒菜（10分钟）。妈妈最快多少分钟可以让全家吃上饭？ 2.小李要为客人泡茶，他需要做的事有：洗水壶（2分钟），烧开水（10分钟），洗茶壶（1分钟），洗茶杯（2分钟），拿茶叶（1分钟），泡茶（1分钟）。小李至少要多少分钟才能泡好茶？ 3.小明要完成以下家务：擦桌子（5分钟），拖地（10分钟），用洗衣机洗衣服（30分钟，包括注水、洗涤、排水），晾衣服（5分钟）。小明最少需要多少分钟才能完成所有家务？ 二、煎饼问题 (资源利用与时间优化) 1.一个电饼铛每次最多能烙2张饼，每张饼每面需要烙3分钟。烙5张饼最少需要多少分钟？ 2.一口平底锅每次能同时煎3个荷包蛋，每个荷包蛋煎熟需要2分钟（正、反面各1分钟）。妈妈要煎6个荷包蛋，最少需要多少分钟？ 3.一个烤架上最多能同时烤2块牛排，每块牛排需要烤4分钟（每面各2分钟）。现在有99块牛排，至少需要多少分钟才能全部烤好？ 三、收割问题 (多人/多机器协作效率优化) 1.甲、乙、丙三人同时到一个水龙头处接水。甲接满一桶水需要4分钟，乙接满一壶水需要1分钟，丙接满一盆水需要2分钟。要使三人等候的总时间最少，应该怎样安排接水顺序？三人最少的等候总时间是多少分钟？（只计算等候时间，不包括接水本身的时间） 2.一家理发店只有一位理发师，同时来了甲、乙、丙、丁、戊五位顾客。他们理发所需的时间分别是：甲10分钟，乙15分钟，丙5分钟，丁20分钟，戊8分钟。怎样安排他们的理发顺序，才能使这五位顾客理发和等候所用的总时间最少？最少总时间是多少分钟？ 3.某玩具厂有一个包装小组，负责包装玩具。现有四个批次的玩具需要包装，每个批次的包装时间分别是：甲批次要7分钟，乙批次要3分钟，丙批次要5分钟，丁批次要2分钟。包装机一次只能包装一个批次。请问：如何安排包装顺序，才能使这四个批次的玩具从开始包装到全部包装完成所用的总时间最短？最短需要多少分钟？（这里的“总时间”指的是从第一个批次开始包装到最后一个批次包装完成所经过的总时长） 4.在一个加油站，只有一个加油泵。有四辆汽车同时来到加油站加油，它们加油所需的时间分别是：A车3分钟，B车6分钟，C车2分钟，D车5分钟。若要使这四辆车加油和等候的总时间最少，应如何安排它们的加油顺序？最少的总等候时间是多少分钟？（注意：这里问的是“总等候时间”，不包含加油本身的时间） 5.五名学生到图书馆借阅同一本畅销图书，图书馆只有一本复本。他们阅读这本书所需的时间分别是：小明10分钟，小芳15分钟，小刚5分钟，小强20分钟，小丽12分钟。为了使五名学生等候和阅读的总时间最少，应该怎样安排他们的阅读顺序？这个最少的总时间是多少？ 6.一个快递公司的分拣中心，有一批包裹需要分拣，分拣员只有一位。这些包裹的分拣时间分别是：A包裹5分钟，B包裹3分钟，C包裹7分钟，D包裹2分钟，E包裹4分钟，F包裹6分钟。为了使所有包裹从开始分拣到全部分拣完毕的总时间（包括每个包裹的等待和分拣时间）最少，应该按照什么顺序分拣？最少需要多少分钟？ 四、过河问题 (安全与效率优化) 1.有6个小朋友要过河，河边只有一条能坐3个人的小船（无船工）。他们最少需要多少次才能全部过河？ 2.爸爸、妈妈和小明一家三口要过一条河，河边只有一条小船，船最多能载60千克的重量。爸爸重60千克，妈妈重55千克，小明重25千克。他们怎样才能安全过河？最少需要划几次船？ 3.夜晚，四个人带着一盏只能照亮17分钟的手电筒要过一座小桥。一次最多只能过两人，而且必须有手电筒才能过桥。四个人过桥的时间分别是1分钟、2分钟、5分钟和10分钟。两人一起过桥的时间以较慢的那个人为准。他们怎样安排过桥顺序，才能在17分钟内全部过桥？ 4.有3只羊和3只狼要过河，只有一条小船，船上每次最多能载2只动物。如果岸上的羊的数量少于狼的数量，羊就会被狼吃掉。如何安排才能让所有动物安全过河？最少需要渡几次？（注：每次过河后需有动物把船划回来，假设狼和羊都会划船，但为了安全，尽量让羊划船） 五、其他最优问题 (如：购物省钱、资源分配等) 1.妈妈想给小明买60本练习本。文具店有两种包装：大包装每包20本，售价15元；小包装每包10本，售价8元。请问怎样购买最省钱？最少需要多少钱？ 2.某商店举办“购物满200元立减30元”的优惠活动。小明的妈妈想买一件原价189元的上衣和一条原价108元的裤子。请问她最少需要付多少钱？ 3.用一根长30米的绳子围成一个长方形的活动区域（长和宽都是整米数），怎样围才能使活动区域的面积最大？最大面积是多少平方米？ 4.学校食堂要购买一批大米，有A、B两种型号的货车可以租用。A型货车每次能运3吨，运费200元；B型货车每次能运5吨，运费300元。现在需要运送28吨大米，怎样租车最省钱？最少需要多少运费？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 最优化问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解概念： 初步理解“最优化”的含义，即在解决问题时，通过合理安排和规划，达到“时间最少”、“效率最高”、“用料最省”或“费用最低”等目标。 2.分析关键： 学会分析问题中的关键因素，如哪些事情可以同时进行，如何合理分配资源（如时间、空间、人力等）。 3.掌握方法： 掌握解决常见最优化问题（如烧水、煎饼、收割、过河等）的基本思路和方法。 4.解决问题： 能够运用所学方法解决简单的实际最优化问题，培养逻辑思维能力和解决问题的能力。 知识梳理 知识点一、烧水问题 (时间优化) 1.核心思想： 在等待某项任务完成（如烧水）的同时，合理安排做其他事情，以达到节省总时间的目的。关键在于“同时进行”。 2.例题特点： 通常涉及一系列需要完成的任务，其中某项任务耗时较长，且在其进行过程中可以穿插进行其他耗时较短或不需要持续关注的任务。 3.解题关键： （1）明确各项任务的先后顺序和所需时间。 （2）找出耗时最长的“主线”任务（如烧水）。 （3）将其他可以在“主线”任务进行期间完成的任务安排在这段时间内进行。 4.解题步骤（示例）： （1）例：小明要烧水（10分钟），同时需要洗杯子（2分钟）、找茶叶（1分钟）。最快多久能喝到水？ （2）分析：烧水的10分钟内，可以同时洗杯子和找茶叶。 （3）解答：最少需要10分钟。 5.方法总结： 优先处理耗时最长的任务，并将其他可并行的任务安排在其执行期间，从而缩短总时间。 知识点二、煎饼问题 (资源利用与时间优化) 1.核心思想： 在煎饼时，充分利用锅的容量（通常是一次能放几张饼），合理安排煎饼的顺序和翻面，以达到在最短时间内煎好所有饼的目的。 2.例题特点： 已知锅每次最多能煎a张饼，煎熟一张饼需要煎两面，每面需要b分钟，问煎n张饼最少需要多少分钟？ 3.解题关键： （1）尽量让锅每次都放满饼（除非剩下的饼不足一锅）。 （2）合理安排饼的翻面和取出，避免空锅等待。 4.解题方法与公式（针对一次最多煎2张饼的情况，这是最基础也是四年级最常见的）： （1）当n = 1时： 时间 = 2b (正反面各一次)。 （2）当n ≥ 2时： ①如果每次能煎2张饼，每面时间b分钟，那么煎熟n张饼最少需要的时间 = n × b （前提是n ≥ 2，且每次锅里都有2张饼在煎）。 ②解释： 因为2张饼同时煎，每面b分钟，2张饼共需2b分钟，相当于1张饼b分钟。所以n张饼（n≥2）就是n×b分钟。 ③经典“3张饼”问题： 先煎1号饼正面和2号饼正面（b分钟），然后拿出2号饼，放入3号饼正面，同时1号饼煎反面（b分钟），此时1号饼熟。最后煎2号饼反面和3号饼反面（b分钟）。总共3b分钟，符合n×b公式（3×b）。 5.方法总结： 对于一次煎2张饼的问题，记住公式：总时间 = 饼的张数 × 每面所需时间 (n ≥ 1，当n=1时为2b，可视为特殊情况单独记忆，或理解为1×2b)。核心是保证锅的利用率最大化。 知识点三、收割问题 (多人/多机器协作效率优化) 1.核心思想： 多个劳动者（或机器）共同完成一项任务（如收割庄稼、加工零件等），如何合理分配工作，使得在最短时间内完成任务，或者在规定时间内完成最多任务。 2.例题特点： 通常会给出每人/每台机器的工作效率（如每小时收割几亩地），以及总的工作量，求最少需要多少人/机器，或求几人/机器合作需要多少时间。或者是不同效率的人/机器如何组合最优化。 3.解题关键： （1）明确工作总量、单一效率、参与人数/机器数、工作时间之间的关系。 （2）基本公式：工作总量 = 效率 × 时间 × 人数（或机器数）。 (有时效率是“每人每小时”，则公式为 工作总量 = 每人每小时效率 × 人数 × 时间) （3）当涉及到不同效率的人时，可能需要考虑让效率高的人承担更核心或更多的工作。 4.解题步骤（示例）： （1）例：一块地有12亩，1个农民1小时能收割2亩。如果要在3小时内收割完，需要几个农民？ （2）分析：1个农民3小时能收割 2 × 3 = 6亩。12亩需要 12 ÷ 6 = 2个农民。 （3）解答：需要2个农民。 5.方法总结： 灵活运用工作总量、效率、时间、人数（机器数）之间的关系。对于多人协作，通常先计算单位效率下的总工作量，再进行分配。 知识点四、过河问题 (安全与效率优化) 1.核心思想： 一群人要过河，只有一条船，船有最大载人数限制，且划船需要人（通常需要有人把船划回来）。如何安排过河顺序和划船人员，使得所有人过河的总时间最短（或次数最少）。 2.例题特点： 已知人数、船的最大载人数、每个人划船过河所需的时间（或所有人划船速度相同，只考虑次数）。 3.解题关键： （1）让划船最快的人（或其中之一）承担来回划船的任务，以节省往返时间。 （2）每次过河尽量载满（除非剩下的人数不足一船）。 （3）考虑“送船人”的安排，即谁划船回来接剩下的人。 4.解题步骤（示例，假设所有人划船速度一样，或只考虑次数）： （1）例：3个人要过河，船每次最多载2人，需要几趟才能全部过河？（一趟指一个单程） （2）分析： ①第一趟：2人过去，1人划船回来。（此时1人已过河，2人在对岸，1人划船回原岸） ②第二趟：剩下的2人一起过去。 ③总共需要 3 趟（过去、回来、过去）。 （3）更复杂情况（考虑时间）： 如A、B、C、D四人过河，船每次最多2人，A需1分钟，B需2分钟，C需5分钟，D需10分钟。 ①策略：让最快的A和B先过，A回；然后让最慢的C和D一起过，B回；最后A和B一起过。总时间：2 + 1 + 10 + 2 + 2 = 17分钟。 5.方法总结： 遵循“快者往返，慢者同船”的原则。即让划船最快的人负责接送，让两个划船最慢的人一起过河，以减少慢人单独过河的次数，从而节省总时间。 知识点五、其他最优问题 (如：购物省钱、资源分配等) 1.核心思想： 这类问题涉及的情境更广泛，核心仍是“选择最优方案”。可能包括： 2.购物省钱问题： 比较不同的促销方案（如买几送一、满减等），选择最省钱的购买方式。 3.简单资源分配问题： 将有限的资源分配给不同的对象，以达到某种目标的最大化（如利润最高、产量最大等）或最小化（如成本最低）。 4.解题关键： （1）购物省钱： 分别计算不同方案所需的费用，然后进行比较，选择费用最低的方案。注意考虑“单价”、“数量”以及“优惠条件”。 （2）资源分配（简单）： 尝试不同的分配方案，计算每种方案的结果，选择最优的那个。四年级通常不涉及复杂算法，以尝试法和比较法为主。 5.例题（购物省钱）： 某种饮料5元一瓶，买4送1。小明想买10瓶，最少花多少钱？ （1）分析：买4送1，即付4瓶的钱得5瓶。10瓶里面有2个5瓶。 （2）所以只需买 4 × 2 = 8瓶，送 2瓶，共10瓶。花费 8 × 5 = 40元。 6.方法总结： 针对不同情境，具体问题具体分析。多思考几种可能的方案，通过计算和比较，选出最佳方案。培养“多方案比较”的意识。 例题讲解 一、烧水问题 (时间优化) 【例题1】小明想喝热牛奶，他需要做以下几件事：烧开水（10分钟），洗杯子（2分钟），取牛奶（1分钟），热牛奶（5分钟，热牛奶需要在水开后进行）。小明最少需要多少分钟才能喝到热牛奶？ 【答案】15分钟。 【解析】首先烧开水（10分钟）。在烧水的10分钟内，小明可以同时洗杯子（2分钟）和取牛奶（1分钟），这两件事共耗时2+1=3分钟，完全可以在烧水的10分钟内完成。水开后，再热牛奶5分钟。总时间为：10 + 5 = 15分钟。 【分析】本题关键在于“烧开水”这个过程耗时最长，且在等待水开的时间里，可以合理安排洗杯子和取牛奶这两项不需要用到开水的任务。热牛奶必须在水开之后，所以只能放在最后。易错点是容易将所有时间简单相加：10+2+1+5=18分钟，而忽略了可以并行处理的部分。 【例题2】妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗水壶需要1分钟，烧开水需要15分钟，洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分钟，拿茶叶需要2分钟。为了使客人早点喝上茶，小明应该怎样合理安排？最少需要多少分钟？ 【答案】最少需要16分钟。 【解析】洗水壶（1分钟）： 这是准备工作的第一步，必须先做，没有水壶无法烧开水。 烧开水（15分钟）： 在烧开水的这15分钟内，小明可以同时做其他事情，因为烧开水不需要一直盯着。 同时进行：洗茶壶（1分钟）、洗茶杯（1分钟）、拿茶叶（2分钟）。这三件事总共需要 1+1+2 = 4分钟，完全可以在烧开水的15分钟内完成。 总时间： 洗水壶的1分钟 + 烧开水的15分钟 = 16分钟。 【分析】本题的关键在于“烧开水”是耗时最长的环节，且在烧开水的过程中，小明有空闲时间去完成其他准备工作（洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶）。这些准备工作不需要用到正在烧开水的水壶，因此可以并行处理。如果一件件单独做，总时间会是 1+15+1+1+2=20分钟，而合理安排后只需16分钟。核心是找出可以并行处理的任务。 二、煎饼问题 (资源利用与时间优化) 【例题1】一个平底锅每次最多能煎2张饼，每张饼需要煎两面，每面煎2分钟。煎3张饼最少需要多少分钟？ 【答案】6分钟。 【解析】第1-2分钟：煎饼A正面和饼B正面。 第3-4分钟：煎饼A反面和饼C正面。（饼A煎好） 第5-6分钟：煎饼B反面和饼C反面。（饼B、C煎好） 共3张饼，每面2分钟，总时间3面 × 2分钟/面 = 6分钟。 【分析】本题关键在于当饼的数量不是锅容量的整数倍时（3不是2的整数倍），如何巧妙安排，使锅在每一个单位时间内都尽可能充分利用（即每次尽量煎2面）。如果简单地两张两张煎，会需要8分钟（先煎A、B两面4分钟，再煎C两面4分钟），但通过上述“交替煎”的方法，节省了2分钟。 【例题2】妈妈用平底锅煎饺子，每次最多煎4个饺子，每个饺子要煎2分钟（每面1分钟）。煎10个饺子最少需要多少分钟？ 【答案】5分钟。 【解析】10个饺子，共20个面。每次能煎4个面。 总时间 = (20面 ÷ 4面/次) × 1分钟/面 = 5次 × 1分钟 = 5分钟。 具体安排（部分示例）： 1分钟：饺子1-4 正面 1分钟：饺子1-4 反面 → 1-4完成（2分钟） 1分钟：饺子5-8 正面 1分钟：饺子5-6 反面，饺子9-10 正面 1分钟：饺子7-8 反面，饺子9-10 反面 → 5-10完成（5分钟） 【分析】本题进一步巩固“总面数÷每次可煎面数×每面时间”的公式。10个饺子，锅容量4个，不是整数倍，但通过合理组合，依然可以达到理论上的最少时间。 【例题3】一只平底锅每次最多煎2张饼，煎1张饼的1面需要3分钟（两面都要煎）。请问煎2026张饼最少需要多少分钟？ 【答案】最少需要 6078分钟。 【解析】每张饼需煎2面，每面3分钟，故1张饼单独煎需 分钟；但2张饼同时煎，每面3分钟，两面共需 分钟。2026张饼为双数，可直接按“每次煎2张”分组，每组2张饼同时煎，总组数为 组。 每组2张饼煎制时间为6分钟（两面各3分钟），故总时间为 分钟。 【分析】双数张饼无需“交叉煎制”，因每次可煎2张（锅无空闲），直接分组煎制即可。若分开煎1张饼需6分钟，2026张单独煎需 分钟，而分组后利用锅的最大容量（每次2张），总时间减半，为6078分钟。 关键：当饼数为双数且每次最多煎2张时，总时间 =（饼数 ÷ 2）× 每面时间 × 2（两面）。 三、收割问题 (多人/多机器协作效率优化) 【例题1】小明、小红、小李、小王四个人同时到一个农机站使用一台收割机收割庄稼。他们各自的庄稼地需要收割的时间分别是：小明5小时，小红3小时，小李2小时，小王4小时。请安排合理的收割顺序，使他们四人花在等待和收割上的总时间最少。这个最少的总时间是多少小时？ 【答案】最少需要30小时。 【解析】按“用时短优先”原则，收割顺序应为：小李→小红→小王→小明。 小李：第一个收割，无需等待。总时间=自己的收割时间=2小时。 小红：需等待小李收割完（2小时），再加上自己的收割时间（3小时）。总时间=2+3=5小时。 小王：需等待小李和小红收割完（2+3=5小时），再加上自己的收割时间（4小时）。总时间=5+4=9小时。 小明：需等待小李、小红、小王收割完（2+3+4=9小时），再加上自己的收割时间（5小时）。总时间=9+5=14小时。 总时间=小李总时间+小红总时间+小王总时间+小明总时间=2+5+9+14=30小时。 【分析】四人的总时间由“每个人的等待时间+自己的收割时间”组成。等待时间=前面所有人的收割时间之和。因此，总时间可表示为： 总时间=小李时间 +（小李+小红）时间 +（小李+小红+小王）时间 +（小李+小红+小王+小明）时间 =2 + (2+3) + (2+3+4) + (2+3+4+5) =2 + 5 + 9 + 14 = 30小时。 【例题2】小明、小红、小华三人同时去医务室找李医生看病。小明打针要5分钟，小红换纱布要3分钟，小华点眼药水要1分钟。李医生如何安排治疗顺序，才能使他们三人留在医务室的总时间（治疗时间+等候时间）最少？最少总时间是多少？ 【答案】治疗顺序：小华 → 小红 → 小明；最少总时间：14分钟。 【解析】要使总停留时间最少，同样按“用时短的优先”。 顺序：小华（1分钟）→ 小红（3分钟）→ 小明（5分钟） 小华停留时间：1分钟（治疗时间，无等待） 小红停留时间：等待小华的1分钟 + 自己治疗3分钟 = 1 + 3 = 4分钟 小明停留时间：等待小华和小红的1+3=4分钟 + 自己治疗5分钟 = 4 + 5 = 9分钟 总停留时间：1 + 4 + 9 = 14分钟。 【分析】总停留时间是每个人从进入到离开的时间之和。让治疗时间短的人先治疗，可以显著减少其他人的等待时间，从而降低总停留时间。 【例题3】一个维修师傅要修理5台机器，每台机器的修理时间分别是12分钟、8分钟、18分钟、6分钟、10分钟。每台机器停产一分钟都会造成一定的经济损失。为了使总的停产损失最小（即所有机器的停产时间总和最少），师傅应按怎样的顺序修理机器？最少的总停产时间是多少分钟？ 【答案】按6分钟→8分钟→10分钟→12分钟→18分钟的顺序修理；最少总停产时间是158分钟。 【解析】要使总停产时间最少，即按修理时间从短到长的顺序修理。 最优顺序为：6分钟→8分钟→10分钟→12分钟→18分钟（假设这五台机器分别为A、B、C、D、E）。 总停产时间 = 各机器停产时间之和（每台机器的停产时间为从它出故障等待到修理完毕所用的总时间）。 第一台（6分钟）：6分钟 第二台（8分钟）：6（等待） + 8 = 14分钟 第三台（10分钟）：6 + 8（等待） + 10 = 24分钟 第四台（12分钟）：6 + 8 + 10（等待） + 12 = 36分钟 第五台（18分钟）：6 + 8 + 10 + 12（等待） + 18 = 54分钟 总停产时间 = 6 + 14 + 24 + 36 + 54 = 134分钟。 或者：总等待时间 + 总修理时间。 总修理时间 = 6+8+10+12+18=54分钟。 总等待时间 = 0 +6 +(6+8)+(6+8+10)+(6+8+10+12) = 0+6+14+24+36=80分钟。 总停产时间=80+54=134分钟。 【分析】本题将“等待时间”与“经济损失”挂钩，更具实际意义。核心思想依然是通过“最短修理时间优先”来最小化所有机器的总停产时间（等待+修理）。这与之前的题目逻辑一致，只是换了一个应用场景。 四、过河问题 (安全与效率优化) 【例题1】有4个人要过一条河，只有一条小船，船上每次只能坐2个人。已知甲划船最快，需1分钟；乙次之，需2分钟；丙需5分钟；丁需10分钟。他们最少需要多少分钟才能全部过河？（注：划船过河时间以慢者为准，且每次过河后需有人把船划回来接其他人） 【答案】17分钟。 【解析】最优步骤：甲和乙先过河（2分钟），甲划船回来（1分钟）。 （此时：甲、丙、丁在左岸；乙在右岸） 共3分钟。 丙和丁一起过河（10分钟），乙划船回来（2分钟）。 （此时：甲、乙在左岸；丙、丁在右岸） 共12分钟，累计3+12=15分钟。 甲和乙最后一起过河（2分钟）。 （所有人到右岸） 累计15+2=17分钟。 【分析】本题的关键在于让两个用时最长的人（丙和丁）一起过河，这样他们的总耗时只算一次（10分钟），而不是分开过河的5+10=15分钟。虽然乙划船回来需要2分钟，但相比甲分别送丙和丁节省了1+5-2=4分钟。 【例题2】 一个农夫带着一只狼、一只羊和一筐白菜要过河。河边只有一条小船，农夫每次只能带一样东西过河。如果农夫不在，狼会吃掉羊，羊会吃掉白菜。请问：农夫最少需要几次才能将所有东西安全地带过河？（注：从河的一岸到另一岸算一次，来回算两次。） 【答案】最少需要7次。 【解析】为了保证安全，关键在于不能让狼和羊单独在一起，也不能让羊和白菜单独在一起。我们可以按以下步骤操作： 第一次：农夫带羊过河。 (此时河对岸：羊；此岸：农夫、狼、白菜。安全) 第二次：农夫独自返回。 (此时河对岸：羊；此岸：农夫、狼、白菜。安全) 第三次：农夫带狼过河。 (河对岸：狼；此岸：农夫、羊、白菜。安全) 第四次：农夫带羊返回。 (此时河对岸：狼；此岸：农夫、羊、白菜。安全) 第五次：农夫带白菜过河。 (此时河对岸：狼、白菜；此岸：农夫、羊。安全，因为狼不吃白菜) 第六次：农夫独自返回。 (此时河对岸：狼、白菜；此岸：农夫、羊。安全) 第七次：农夫带羊过河。 (此时河对岸：狼、羊、白菜、农夫。全部安全过河) 【分析】本题的核心是“找出关键冲突物”——羊。羊既不能和狼单独在一起，也不能和白菜单独在一起。因此，羊必须是第一个被带过去，并且在运送其他物品时，需要根据情况将羊暂时带回，以避免冲突。这体现了“安全第一”的原则。如果不注意这一点，直接带狼或白菜，就会导致留在岸边的物品发生冲突。整个过程需要多次往返，看似繁琐，但每一步都是为了保证安全，并最终达到全部过河的目的。这类问题需要学生有清晰的逻辑和耐心，逐步推演。 五、其他最优问题 (如：购物省钱、资源分配等) 【例题1】学校要为四年级240名学生购买铅笔，每盒铅笔有12支，A商店售价：每盒15元；B商店售价：每盒16元，但买3盒送1盒。请问，到哪个商店购买更省钱？至少需要多少钱？ 【答案】B商店，至少需要288元。 【解析】A商店： 总需求：240支。 每盒12支，需要购买盒数：240 ÷ 12 = 20（盒）。 每盒15元，总价：20 × 15 = 300（元）。 B商店： 优惠是“买3盒送1盒”，即付3盒的钱可以得到4盒。 4盒共有铅笔：4 × 12 = 48（支）。 240支里面有几个48支：240 ÷ 48 = 5（组）。 每组需付钱购买3盒，所以共需购买：5 × 3 = 15（盒）。 每盒16元，总价：15 × 16 = 240（元）。 240元（B商店） < 300元（A商店）。 答：到B商店购买更省钱，至少需要240元。 【分析】本题属于“购物省钱”问题。关键在于理解B商店“买3送1”的含义，即花3盒的钱能得到4盒。需要先计算出240支铅笔按照B商店的优惠方式，实际需要购买多少盒，再计算总价进行比较。 【例题2】四年级（1）班组织去看电影，全班有45人。电影院售票方式：单人票每张30元；团体票（10人及以上）每张25元。请问怎样购票最省钱？最少需要多少钱？ 【答案】买4张团体票和5张单人票最省钱，最少需要1150元。 【解析】团体票单价： 25元/人（10人及以上）。 单人票单价： 30元/人。团体票更便宜。 方案一：买4张团体票（40人）和5张单人票： 总价：4×10×25 + 5×30 = 1000 + 150 = 1150（元）。 方案二：买5张团体票（50人，多买5张）： 总价：5×10×25 = 1250（元）。 1150元 < 1250元。 答：买4张团体票和5张单人票最省钱，最少需要1150元。 【分析】本题属于“购物省钱”问题。核心是比较团体票和单人票的单价，优先购买单价低的团体票。但由于总人数不是团体票人数的整数倍，需要考虑是买足额的团体票再补单人票，还是多买几张团体票凑整，哪种更划算。 考点练习 一、烧水问题 (时间优化) 1.妈妈要做一顿饭，需要做以下事情：淘米（2分钟），用电饭锅煮饭（20分钟），洗菜（5分钟），切菜（3分钟），炒菜（10分钟）。妈妈最快多少分钟可以让全家吃上饭？ 【答案】22分钟。 【解析】首先淘米（2分钟），然后开始煮饭（20分钟）。在煮饭的20分钟内，妈妈可以同时进行洗菜（5分钟）、切菜（3分钟）和炒菜（10分钟）。洗菜、切菜、炒菜总共需要5+3+10=18分钟，这18分钟可以在煮饭的20分钟内完成。所以总时间为淘米的2分钟加上煮饭的20分钟，共2+20=22分钟。 【分析】本题核心是“煮饭”这个耗时较长的过程。淘米是煮饭的前置步骤，必须先做。而洗菜、切菜、炒菜这一系列准备工作可以与煮饭同时进行，因为它们不需要用到电饭煲。关键在于判断这些准备工作的总时间（18分钟）是否小于或等于煮饭时间（20分钟），如果是，则可以完全并行，总时间就是淘米+煮饭时间。 2.小李要为客人泡茶，他需要做的事有：洗水壶（2分钟），烧开水（10分钟），洗茶壶（1分钟），洗茶杯（2分钟），拿茶叶（1分钟），泡茶（1分钟）。小李至少要多少分钟才能泡好茶？ 【答案】13分钟。 【解析】首先必须洗水壶（2分钟），因为没有洗水壶就无法烧开水。然后烧开水（10分钟）。在烧开水的10分钟内，可以同时进行洗茶壶（1分钟）、洗茶杯（2分钟）和拿茶叶（1分钟），这三件事总共需要1+2+1=4分钟，完全可以在烧水的10分钟内完成。水开后，泡茶（1分钟）。总时间：2（洗水壶）+ 10（烧开水，同时洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶）+ 1（泡茶）= 13分钟。 【分析】本题的关键是“洗水壶”是“烧开水”的前置必要步骤，必须最先完成。而烧开水过程中可以完成其他所有准备工作。这是一个典型的“工序优化”问题，识别出关键路径（洗水壶→烧开水→泡茶）是解题的核心。 3.小明要完成以下家务：擦桌子（5分钟），拖地（10分钟），用洗衣机洗衣服（30分钟，包括注水、洗涤、排水），晾衣服（5分钟）。小明最少需要多少分钟才能完成所有家务？ 【答案】35分钟。 【解析】用洗衣机洗衣服（30分钟）是耗时最长的，且在洗衣机自动工作的这30分钟内，小明可以同时进行擦桌子（5分钟）和拖地（10分钟）。这两项家务共需5+10=15分钟，可以在洗衣的30分钟内轻松完成。洗衣机洗完衣服后，还需要晾衣服（5分钟）。总时间：30（洗衣服，同时擦桌子、拖地）+ 5（晾衣服）= 35分钟。 【分析】本题的关键是“用洗衣机洗衣服”这个过程是自动化的，不需要人持续操作，因此可以利用这段时间集中处理其他耗时较短的家务。晾衣服必须在衣服洗完之后进行，所以是后续步骤。这是典型的“利用等待时间”进行优化的问题。 二、煎饼问题 (资源利用与时间优化) 1.一个电饼铛每次最多能烙2张饼，每张饼每面需要烙3分钟。烙5张饼最少需要多少分钟？ 【答案】15分钟。 【解析】5张饼共10个面。电饼铛每次能烙2个面。总面数 ÷ 每次烙面数 = 10 ÷ 2 = 5次。每次3分钟，共5 × 3 = 15分钟。具体操作： 3分钟：饼1正，饼2正 3分钟：饼1反，饼2反 → 饼1、2完成（6分钟） 3分钟：饼3正，饼4正 3分钟：饼3反，饼5正 → 饼3完成（12分钟） 3分钟：饼4反，饼5反 → 饼4、5完成（15分钟） 【分析】本题考查当饼数较多且不是锅容量整数倍时的优化。核心思想是总面数除以每次能烙的面数（锅的容量），得到所需的“批次”，再乘以每面时间。关键在于具体操作时如何组合，确保每次都烙2个面。 2.一口平底锅每次能同时煎3个荷包蛋，每个荷包蛋煎熟需要2分钟（正、反面各1分钟）。妈妈要煎6个荷包蛋，最少需要多少分钟？ 【答案】4分钟。 【解析】6个荷包蛋，每次能煎3个，刚好是锅容量的2倍 第1分钟：煎蛋1、2、3的正面。 第2分钟：煎蛋1、2、3的反面。（此时前3个蛋煎好） 第3分钟：煎蛋4、5、6的正面。 第4分钟：煎蛋4、5、6的反面。（此时后3个蛋煎好） 总时间：4分钟。 或者，更高效地思考：每个蛋2分钟，6个蛋共12个面。锅每次能煎3个面（每个荷包蛋一面），所以需要12 ÷3 = 4分钟。 【分析】当饼（蛋）的数量是锅容量的整数倍时，计算比较简单。总面数 = 饼数 × 2，每次能煎的面数 = 锅容量。总时间 = (总面数 ÷ 每次能煎的面数) × 每面时间。本题每面时间是1分钟。 3.一个烤架上最多能同时烤2块牛排，每块牛排需要烤4分钟（每面各2分钟）。现在有99块牛排，至少需要多少分钟才能全部烤好？ 【答案】至少需要198分钟。 【解析】烤架每次最多烤2块牛排，无空闲时效率最高。每块牛排需烤2面，每面2分钟，故1块牛排单独烤需 分钟；但同时烤2块牛排时，每面2分钟，两面共需 分钟（与单独烤1块时间相同，因充分利用烤架容量）。99为单数，可拆分为“双数部分（96块）+ 单数核心部分（3块）”，分别计算时间后相加。 双数块牛排可直接按“每次烤2块”分组，每组2块需4分钟（两面各2分钟）。组数： 组，总时间： 分钟。3块牛排需用“交叉烤制法”，避免烤架空闲。设3块牛排为A、B、C，每块分正反面（正1/反1，正2/反2，正3/反3）： 第1个2分钟：烤A正、B正（烤架满，2块正面）； 第2个2分钟：烤A反、C正（A翻面，B取出，放入C正面，A反熟后A完成）； 第3个2分钟：烤B反、C反（B和C剩余反面同时烤，B、C完成）。 3块牛排总时间： 分钟（共3个2分钟）。 总时间：双数部分时间 + 3块时间 = 分钟。 【分析】单数块牛排的关键是处理最后剩余的3块，通过“交叉替换”确保烤架始终无空闲（每次烤2面），避免单独烤最后1块导致时间浪费。 公式：总时间 = 总面数 ÷ 每次最多烤面数 × 每面时间。总面数 = 面，每次最多烤2面（每次烤2块，每块1面），每面2分钟，故总时间 = 分钟，与上述分步计算结果一致。 三、收割问题 (多人/多机器协作效率优化) 1.甲、乙、丙三人同时到一个水龙头处接水。甲接满一桶水需要4分钟，乙接满一壶水需要1分钟，丙接满一盆水需要2分钟。要使三人等候的总时间最少，应该怎样安排接水顺序？三人最少的等候总时间是多少分钟？（只计算等候时间，不包括接水本身的时间） 【答案】按乙→丙→甲的顺序接水；最少等候总时间是5分钟。 【解析】 最优接水顺序为：乙（1分钟）→丙（2分钟）→甲（4分钟）。 只计算等候时间： 乙：第一个接水，无需等候，等候时间0分钟。 丙：等待乙接水的1分钟，等候时间1分钟。 甲：等待乙和丙接水的1 + 2 = 3分钟，等候时间3分钟。 三人等候总时间 = 0 + 1 + 3 = 4分钟。 【分析】本题是最经典的“水龙头接水”问题，明确要求只计算等候时间。“最短时间优先”能最小化总等候时间。如果按甲→丙→乙的顺序，总等候时间将是0（甲） +4（丙等甲） +(4+2)=6（乙等甲丙） → 0+4+6=10分钟，远大于4分钟。 2.一家理发店只有一位理发师，同时来了甲、乙、丙、丁、戊五位顾客。他们理发所需的时间分别是：甲10分钟，乙15分钟，丙5分钟，丁20分钟，戊8分钟。怎样安排他们的理发顺序，才能使这五位顾客理发和等候所用的总时间最少？最少总时间是多少分钟？ 【答案】按丙→戊→甲→乙→丁的顺序；最少总时间是137分钟。 【解析】最优顺序为：丙（5分钟）→戊（8分钟）→甲（10分钟）→乙（15分钟）→丁（20分钟）。 丙：无需等待，等待时间0分钟。 戊：等待丙理发的5分钟，等待时间5分钟。 甲：等待丙和戊理发的5+8=13分钟，等待时间13分钟。 乙：等待丙、戊、甲理发的5+8+10=23分钟，等待时间23分钟。 丁：等待丙、戊、甲、乙理发的5+8+10+15=38分钟，等待时间38分钟。 总等待时间 = 0 + 5 + 13 + 23 + 38 = 79分钟。 总服务时间 = 5 + 8 + 10 + 15 + 20 = 58分钟。 总时间 = 79 + 58 = 137分钟。 【分析】本题进一步巩固“最短时间优先”原则。通过计算可以发现，总服务时间是固定不变的（所有顾客理发时间之和），因此要减少总时间，关键在于减少总等待时间。让理发时间短的顾客先理，能显著降低后面顾客的等待累积。 3.某玩具厂有一个包装小组，负责包装玩具。现有四个批次的玩具需要包装，每个批次的包装时间分别是：甲批次要7分钟，乙批次要3分钟，丙批次要5分钟，丁批次要2分钟。包装机一次只能包装一个批次。请问：如何安排包装顺序，才能使这四个批次的玩具从开始包装到全部包装完成所用的总时间最短？最短需要多少分钟？（这里的“总时间”指的是从第一个批次开始包装到最后一个批次包装完成所经过的总时长） 【答案】按丁→乙→丙→甲的顺序；最短总时长是2+3+5+7=17分钟（即最后一个批次包装完成的时间）。 【解析】如果题目问的是“从第一个批次开始包装到最后一个批次包装完成所经过的总时长”，那么这个总时长就是最后一个批次的完成时间，等于所有批次包装时间之和（因为机器一直在工作，没有停歇）。无论顺序如何，这个总时长都是固定的：2+3+5+7=17分钟。 但这样题目就失去了“最优化”的意义。所以更合理的理解是，题目想问的依然是“各批次等待和包装的总时间之和”，或者题目可能存在表述歧义。 如果按照“各批次等待和包装的总时间之和”来计算： 最优顺序为：丁（2）→乙（3）→丙（5）→甲（7）。 总时间 = 2 + (2+3) + (2+3+5) + (2+3+5+7) = 2 +5 +10 +17=34分钟。 【分析】本题的表述需要仔细辨析。如果“总时间”指的是“流程总耗时”（即从开始到全部结束的墙上时钟时间），那么由于机器不空闲，总耗时就是所有任务时间之和，与顺序无关。但如果指的是“各任务的等待时间与处理时间之和”，则顺序有关，且最优策略仍是“最短优先”。在实际应用中，我们通常优化的是后者（总等待和）或让尽可能多的任务早点完成。题目可能存在歧义，但根据“最优化问题”的考点，我们优先考虑“各批次等待和包装的总时间之和”，答案应为按丁→乙→丙→甲的顺序，总时间34分钟。 如果严格按题目字面“从第一个批次开始包装到最后一个批次包装完成所用的总时间”，则答案是17分钟，顺序不影响。这种情况下，题目可能想考察的是学生对“流程总时间”和“总等待时间”概念的理解。考虑到四年级，可能更偏向于前者，即总等待和包装时间之和34分钟。 4.在一个加油站，只有一个加油泵。有四辆汽车同时来到加油站加油，它们加油所需的时间分别是：A车3分钟，B车6分钟，C车2分钟，D车5分钟。若要使这四辆车加油和等候的总时间最少，应如何安排它们的加油顺序？最少的总等候时间是多少分钟？（注意：这里问的是“总等候时间”，不包含加油本身的时间） 【答案】按C→A→D→B的顺序；最少总等候时间是22分钟。 【解析】最优加油顺序为：C车（2分钟）→A车（3分钟）→D车（5分钟）→B车（6分钟）。 题目明确要求“总等候时间”，即只计算各车等待加油的时间之和，不包含它们自己的加油时间。 C车：第一个加油，无需等待，等候时间0分钟。 A车：等待C车加油的2分钟，等候时间2分钟。 D车：等待C车和A车加油的2 + 3 = 5分钟，等候时间5分钟。 B车：等待C车、A车和D车加油的2 + 3 + 5 = 10分钟，等候时间10分钟。 总等候时间 = 0 + 2 + 5 + 10 = 17分钟。 【分析】本题特别强调了“总等候时间”，需要学生仔细审题，区分“总等候时间”和“总时间（等候+加油）”。即使只计算等候时间，最优策略依然是“最短时间优先”，因为这样能使后续车辆的等待累积最小。如果按B→D→A→C的顺序，总等候时间将是0 + 6 + (6+5) + (6+5+3) = 0+6+11+14=31分钟，远大于17分钟。 5.五名学生到图书馆借阅同一本畅销图书，图书馆只有一本复本。他们阅读这本书所需的时间分别是：小明10分钟，小芳15分钟，小刚5分钟，小强20分钟，小丽12分钟。为了使五名学生等候和阅读的总时间最少，应该怎样安排他们的阅读顺序？这个最少的总时间是多少？ 【答案】按小刚→小明→小丽→小芳→小强的顺序；最少总时间是170分钟。 【解析】最优阅读顺序为：小刚（5分钟）→小明（10分钟）→小丽（12分钟）→小芳（15分钟）→小强（20分钟）。 总时间 = 各学生等待和阅读时间之和。 小刚：5分钟 小明：5（等待） + 10 = 15分钟 小丽：5 + 10（等待） + 12 = 27分钟 小芳：5 + 10 + 12（等待） + 15 = 42分钟 小强：5 + 10 + 12 + 15（等待） + 20 = 62分钟 总时间 = 5 + 15 + 27 + 42 + 62 = 151分钟。 或者用总等待时间 + 总阅读时间： 总阅读时间 = 5+10+12+15+20=62分钟。 总等待时间 = 0 (小刚) +5 (小明) +(5+10)=15 (小丽) +(5+10+12)=27 (小芳) +(5+10+12+15)=42 (小强) → 0+5+15+27+42=89分钟。 总时间=89+62=151分钟。 【分析】本题再次验证了“最短时间优先”策略的有效性。通过合理排序，总时间从最长顺序（小强→小芳→小丽→小明→小刚）的 20 + (20+15) + (20+15+12) + (20+15+12+10) + (20+15+12+10+5) = 20+35+47+57+62=221分钟，减少到151分钟，效果显著。 6.一个快递公司的分拣中心，有一批包裹需要分拣，分拣员只有一位。这些包裹的分拣时间分别是：A包裹5分钟，B包裹3分钟，C包裹7分钟，D包裹2分钟，E包裹4分钟，F包裹6分钟。为了使所有包裹从开始分拣到全部分拣完毕的总时间（包括每个包裹的等待和分拣时间）最少，应该按照什么顺序分拣？最少需要多少分钟？ 【答案】按D→B→E→A→F→C的顺序分拣；最少总时间是80分钟。 【解析】最优分拣顺序为：D（2分钟）→B（3分钟）→E（4分钟）→A（5分钟）→F（6分钟）→C（7分钟）。 计算总时间（各包裹等待和分拣时间之和）： D：2分钟 B：2（等待） + 3 = 5分钟 E：2 + 3（等待） + 4 = 9分钟 A：2 + 3 + 4（等待） + 5 = 14分钟 F：2 + 3 + 4 + 5（等待） + 6 = 20分钟 C：2 + 3 + 4 + 5 + 6（等待） + 7 = 27分钟 总时间 = 2 + 5 + 9 + 14 + 20 + 27 = 77分钟。 或者：总等待时间 + 总分拣时间。 总分拣时间 = 2+3+4+5+6+7=27分钟。 总等待时间 = 0 (D) +2 (B) +(2+3)=5 (E) +(2+3+4)=9 (A) +(2+3+4+5)=14 (F) +(2+3+4+5+6)=20 (C) → 0+2+5+9+14+20=50分钟。 总时间=50+27=77分钟。 【分析】本题有六个包裹，数量稍多，但原理不变。依然是“最短时间优先”。通过排序，我们可以计算出总时间。这个过程需要学生耐心地将每个包裹的等待和处理时间相加，或者分开计算总等待和总处理时间再相加。这道题能很好地检验学生对该知识点的掌握程度和细心程度。 四、过河问题 (安全与效率优化) 1.有6个小朋友要过河，河边只有一条能坐3个人的小船（无船工）。他们最少需要多少次才能全部过河？ 【答案】5次 (3次去，2次回) 【解析】虽然船能坐3人，但每次过河后需要至少1人把船划回来。3个小朋友过河（去程1次），1个小朋友划船回来（回程1次）。 (共2次，3人左，2人右)剩下的3个小朋友过河（去程2次）。 (此时所有人都已过河，无需再回) 总次数：第一次去3人，回1人，左岸还有6-3+1=4人。第二次去3人，回1人，左岸4-3+1=2人。第三次去2人。总去程3次，回程2次，共5次单程。 【分析】本题关键在于理解“划船次数指单程次数”。每次满载3人过去，但必须留1人回来，所以除了最后一次可以运3人，前面每次实际只能净运2人（3去1回）。6人：最后一次3人，之前需运3人，需要2次（3去1回，3去1回，净运2+2=4人，超过3人）。所以总去程3次，回程2次，共5次。 2.爸爸、妈妈和小明一家三口要过一条河，河边只有一条小船，船最多能载60千克的重量。爸爸重60千克，妈妈重55千克，小明重25千克。他们怎样才能安全过河？最少需要划几次船？ 【答案】安全过河方案见解析；最少需要5次划船（3次去，2次回）。 【解析】爸爸体重刚好等于船的最大载重量，所以爸爸只能单独过河，且过河后必须有人（妈妈或小明）把船划回来。方案： 妈妈和小明一起过河（去程，1次）。 妈妈划船回来（回程，1次，共2次）。 爸爸单独过河（去程，2次，共3次）。 小明划船回来（回程，2次，共4次）。 妈妈和小明一起过河（去程，3次，共5次）。 这样所有人都安全过河，总共划了5次船（3次去，2次回）。 【分析】本题的限制条件是“重量”。爸爸不能和任何人一起过河。因此，必须先让妈妈和小明过河，再让其中一人回来，爸爸单独过，然后另一人回来接剩下的人。关键是设计往返顺序。 3.夜晚，四个人带着一盏只能照亮17分钟的手电筒要过一座小桥。一次最多只能过两人，而且必须有手电筒才能过桥。四个人过桥的时间分别是1分钟、2分钟、5分钟和10分钟。两人一起过桥的时间以较慢的那个人为准。他们怎样安排过桥顺序，才能在17分钟内全部过桥？ 【答案】过桥顺序如下（用时17分钟）： 1分钟和2分钟的人先过桥，用时2分钟。 1分钟的人把手电筒送回来，用时1分钟。（此时累计3分钟，对岸有2分钟的人，这边有1,5,10分钟的人及手电筒。） 5分钟和10分钟的人一起过桥，用时10分钟。（累计3+10=13分钟，对岸有2,5,10分钟的人，这边有1分钟的人及手电筒。） 2分钟的人把手电筒送回来，用时2分钟。（累计13+2=15分钟，对岸有5,10分钟的人，这边有1,2分钟的人及手电筒。） 1分钟和2分钟的人最后一起过桥，用时2分钟。（累计15+2=17分钟。） 【解析】关键是让用时短的人来回送手电筒，并且让用时最长的两个人一起过桥，以节省时间。 步骤如上，总时间2+1+10+2+2=17分钟。 【分析】这是经典的“过桥问题”。核心策略是：1. 让最快的两个人先过，快的回来。2. 让最慢的两个人一起过，对岸第二快的回来。3. 最后让最快的两个人一起过。这样能最大限度减少总时间。 4.有3只羊和3只狼要过河，只有一条小船，船上每次最多能载2只动物。如果岸上的羊的数量少于狼的数量，羊就会被狼吃掉。如何安排才能让所有动物安全过河？最少需要渡几次？（注：每次过河后需有动物把船划回来，假设狼和羊都会划船，但为了安全，尽量让羊划船） 【答案】安全过河方案见解析；最少需要11次渡（单程）。 【解析】这是经典的“狼羊过河”问题，核心是任何时候（两岸和船上）羊的数量不能少于狼的数量（除非羊的数量为0）。 2只狼过河（左3羊1狼，右0羊2狼），1只狼划船回来（左3羊2狼，右0羊1狼）。 (2次) 2只狼过河（左3羊0狼，右0羊3狼），1只狼划船回来（左3羊1狼，右0羊2狼）。 (2次，累计4次) → 此步可能导致左岸狼多，但羊是3只，狼1只，羊多，安全。 2只羊过河（左1羊1狼，右2羊2狼），1只羊和1只狼划船回来（左2羊2狼，右1羊1狼）。 (2次，累计6次) 2只羊过河（左0羊2狼，右3羊1狼），1只狼划船回来（左0羊3狼，右3羊0狼）。 (2次，累计8次) 2只狼过河（左0羊1狼，右3羊2狼），1只狼划船回来（左0羊2狼，右3羊1狼）。 (2次，累计10次) 2只狼过河（左0羊0狼，右3羊3狼）。 (1次，累计11次) 【分析】这道题非常考验逻辑推理能力。每一步都要确保两岸的羊的数量（如果有羊）不小于狼的数量。通常需要先运狼，再运羊，并且需要羊和狼搭配划船回来以维持平衡。 五、其他最优问题 (如：购物省钱、资源分配等) 1.妈妈想给小明买60本练习本。文具店有两种包装：大包装每包20本，售价15元；小包装每包10本，售价8元。请问怎样购买最省钱？最少需要多少钱？ 【答案】买3包大包装，最少需要45元。 【解析】我们需要找出所有可能的购买组合，并计算总价： 全买大包装： 60 ÷ 20 = 3（包）。总价：3 × 15 = 45（元）。 2包大包装 + 2包小包装： 2×20 + 2×10 = 60（本）。总价：2×15 + 2×8 = 30 + 16 = 46（元）。 1包大包装 + 4包小包装： 1×20 + 4×10 = 60（本）。总价：1×15 + 4×8 = 15 + 32 = 47（元）。 全买小包装： 60 ÷ 10 = 6（包）。总价：6 × 8 = 48（元）。 45元 < 46元 < 47元 < 48元。 答：全买大包装最省钱，最少需要45元。 【分析】本题属于“购物省钱”问题。需要考虑不同包装的组合方式，计算每种组合的总价后进行比较，选择总价最低的方案。通常，大包装单本（或单个单位）的价格会更便宜，但也要考虑是否能正好买够所需数量，避免浪费。 2.某商店举办“购物满200元立减30元”的优惠活动。小明的妈妈想买一件原价189元的上衣和一条原价108元的裤子。请问她最少需要付多少钱？ 【答案】最少需要付267元。 【解析】首先计算商品的总价：189元 + 108元 = 297元。 商店活动是“满200元立减30元”。297元 > 200元，所以可以享受立减30元的优惠。 实际支付金额： 297元 - 30元 = 267元。 分开买总价：189 + 108 = 297元，比合并购买更贵。 答：合并购买享受满减优惠最省钱，最少需要付267元。 【分析】本题属于“购物省钱”问题，涉及“满减”优惠。需要计算是否满足优惠条件，以及合并购买或分开购买哪种方式更划算。通常，合并购买更容易达到满减门槛，从而享受优惠。 3.用一根长30米的绳子围成一个长方形的活动区域（长和宽都是整米数），怎样围才能使活动区域的面积最大？最大面积是多少平方米？ 【答案】围成一个长8米、宽7米的长方形（接近正方形），最大面积是56平方米。 【解析】长方形的周长 = （长 + 宽）× 2 = 30米 → 长 + 宽 = 15米。 我们需要找到两个整数相加等于15，并且它们的乘积（面积）最大。 列举所有可能的长和宽： 长14米，宽1米 → 面积：14×1=14平方米。 长13米，宽2米 → 面积：13×2=26平方米。 长12米，宽3米 → 面积：12×3=36平方米。 长11米，宽4米 → 面积：11×4=44平方米。 长10米，宽5米 → 面积：10×5=50平方米。 长9米，宽6米 → 面积：9×6=54平方米。 长8米，宽7米 → 面积：8×7=56平方米。 长7米，宽8米 → 与上一种相同。 56平方米最大。 答：当长和宽分别为8米和7米时（长和宽最接近时），面积最大，为56平方米。 【分析】本题属于“图形优化”问题。在周长一定的情况下，长方形的长和宽越接近，其面积就越大。当长和宽相等时（即正方形），面积达到最大。这是一个重要的数学结论。 4.学校食堂要购买一批大米，有A、B两种型号的货车可以租用。A型货车每次能运3吨，运费200元；B型货车每次能运5吨，运费300元。现在需要运送28吨大米，怎样租车最省钱？最少需要多少运费？ 【答案】租5辆B型货车和1辆A型货车（5×5 + 1×3 = 28吨），或租1辆A型货车和5辆B型货车，最少运费5×300 + 1×200 = 1700元。 【解析】比较哪种车型更划算： A型货车：每吨运费 200 ÷ 3 ≈ 66.67元/吨。 B型货车：每吨运费 300 ÷ 5 = 60元/吨。 B型货车更划算，应优先租用B型货车。 28吨 ÷ 5吨/辆 = 5辆B型货车，还剩 28 - 5×5 = 3吨。 剩下的3吨，正好租用1辆A型货车。 方案：5辆B型 + 1辆A型。 总运费：5×300 + 1×200 = 1500 + 200 = 1700（元）。 答：租5辆B型货车和1辆A型货车最省钱，最少运费1700元。 【分析】本题属于“资源分配/租车优化”问题。首先比较单位运力的成本，优先选择单位成本低的车型。然后根据总需求量，尽可能多用该车型，剩余部分再用其他车型补充，并比较不同组合方案的总成本。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $