第05讲 工程问题（知识梳理+例题讲解+考点练习）-六年级奥数培优讲义

第05讲 工程问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解概念： 深刻理解工程问题中的核心概念，如工作总量、工作效率、工作时间，并掌握它们之间的基本关系。 2.掌握方法： 学会运用“单位1”的思想解决工程问题，并能熟练运用工作总量、工作效率、工作时间三者之间的数量关系解决基本题型。 3.灵活应用： 能够解决工程问题中常见的变式题型，如合作问题、分工问题、周期问题、效率变化问题等，并能运用假设、转化、代数等方法辅助解题。 4.提升能力： 培养分析问题、解决问题的能力，以及逻辑思维和数学建模能力，能够将复杂问题分解为简单问题进行处理。 知识梳理 知识点一、基本概念与核心公式 1.基本概念 （1）工作总量：一项工程的全部工作量（如“修一条路”“加工一批零件”等，奥数中常将其抽象为“单位1”，方便计算）。 （2）工作效率：单位时间内完成的工作量（如“每天修的路”，即效率为，单位：）。 （3）工作时间：完成全部或部分工作量所需的时间（如“3天完成”“5小时完成”等）。 2.核心公式 （1）工作总量 = 工作效率 × 工作时间 （2）工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间 （3）工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率 知识点二、基本题型与解题方法 1. 单人工程问题（基础型） （1）特点：仅涉及一个人（或一个主体）完成工作，已知其中两个量（总量、效率、时间），求第三个量。 （2）解题关键：若已知工作时间，可直接设工作总量为1，则工作效率 = 。 2. 多人合作问题（核心型） （1）特点：两人或多人共同完成工作，需计算合作时间或各自工作量。 （2）解题关键： ①合作效率 = 各主体效率之和（如甲效率为 ，乙效率为 ，则合作效率为 ）； ②合作时间 = 工作总量 ÷ 合作效率； ③若“部分合作”（如先合作再单独做），需分段计算工作量：合作部分工作量 + 单独部分工作量 = 总工作量。 3. 含休息/变速的工程问题（提高型） （1）特点：工作过程中存在休息（效率为0）或效率变化（如前半段效率高、后半段效率低）。 （2）解题关键： ①休息问题：明确实际工作时间（总时间 - 休息时间），或按“周期”计算（如“工作3天休息1天”，一个周期4天，实际工作3天）； ②变速问题：分段计算工作量，区分不同阶段的效率（如前5天效率为 ，后5天效率提高到 ，则总工作量 = 前5天工作量 + 后5天工作量）。 4. 周期工程问题（拓展型） （1）特点：主体交替工作（如甲先做1天、乙再做1天，交替进行），需计算完成工作的总时间。 （2）解题关键： ①确定一个周期的工作量（如甲乙各做1天为一个周期，周期工作量 = 甲效率 + 乙效率）； ②计算“完整周期数”：总工作量 ÷ 周期工作量，取整数部分； ③计算剩余工作量：总工作量 - 完整周期工作量 × 周期数； ④按交替顺序分配剩余工作量，计算剩余时间，注意最后剩余部分的“收尾”主体（谁先开始谁先收尾）。 例题讲解 一、单人工程问题（基础型） 【例题1】一项工程，甲单独做需要12天完成。 请问： (1) 甲每天完成这项工程的几分之几？ (2) 甲工作3天可以完成这项工程的几分之几？ (3) 甲工作多少天可以完成这项工程的 ？ 【例题2】一项工程，甲单独做需要24天完成。他工作了8天后，剩下的工程要在12天内完成，那么甲的工作效率需要提高几分之几？ 二、多人合作问题（核心型） 【例题1】一项工程，甲单独做需要 天时间，甲、乙合作需要 天时间，如果乙单独做需要多少时间？ 【例题2】一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成。如果甲、乙两人合作，多少天可以完成这项工程？ 【例题3】一项工程，甲独做 天完成，甲 天的工作量，乙要 天完成．两队合做 天后由乙队独做，还要几天才能完成？ 【例题4】甲、乙两队合修一条公路，甲队每天修全长的 ，乙队每天修全长的 。两队合修，多少天能修完这条公路的 ？ 【例题5】一项工作，甲、乙两人合做8天完成，乙、丙两人合做9天完成，丙、甲两人合做18天完成．那么丙一个人来做，完成这项工作需要多少天? 三、含休息/变速的工程问题（提高型） 【例题1】一项工作由师傅单独做12小时完成，由徒弟单独做15小时完成，由师傅先做4小时后，剩下的由徒弟完成，还需要多少小时？ 【例题2】一项工程，甲单独做 天完成，乙单独做 天完成。甲、乙合作了几天后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了 天。乙请假多少天？ 【例题3】一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？ 【例题4】打印一份书稿，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成。如果甲、乙合做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成。甲、乙两人合做需要几天完成？ 【例题5】几个同学去割两块草地的草，甲地面积是乙地面积的4倍，开始他们一起在甲地割了半天，后来留下12人割甲地的草，其余人去割乙地的草，这样又割了半天，甲、乙两地的草同时割完了，问：共有多少名学生？ 【例题6】搬运一个仓库的货物，甲需 小时，乙需 小时，丙需 小时．有同样的仓库 和 ，甲在 仓库，乙在 仓库同时开始搬运货物，丙开始帮甲搬运，中途又转向帮乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物．丙帮助甲、乙各搬运了几小时？ 四、周期工程问题（拓展型） 【例题1】一项工程，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要18天完成。如果甲、乙两人轮流工作，甲先做1天，乙接着做1天，然后甲再做1天，乙再做1天……如此交替下去，问完成这项工程共需要多少天？ 考点练习 一、单人工程问题（基础型） 1.一批零件，王师傅单独加工需要20天完成。他已经加工了5天，还剩下这批零件的几分之几没有加工？如果剩下的零件要在10天内完成，那么王师傅每天需要比原来多加工这批零件的几分之几？ 2．小明站着不动乘电动扶梯上楼需30秒，如果在乘电动扶梯的同时小明继续向上走需12秒，那么电动扶梯不动时，小明徒步沿扶梯上楼需多少秒？ 3.一个打字员打一份稿件，第一天打了这份稿件的 ，第二天打了余下稿件的 ，第二天比第一天多打了20页。这份稿件共有多少页？ 二、多人合作问题（核心型） 1．一项工程，甲单独做20天完成工程的，乙的工作效率是甲的。甲、乙合作，多少天可以完成全部工程？ 2．自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼，已知男孩每分走20级，女孩每分走15级，结果男孩用了5分到达楼上，女孩用了6分到达楼上。问该扶梯露在外面的部分共有多少级？ 3．一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天。问这项工程由甲独做需要多少天？ 4．一批零件平均分给甲、乙两人同时加工，两人工作 小时，共完成这批零件的 。已知甲与乙的工作效率之比是 ，那么乙还要几小时才能完成分配的任务？ 5．一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可以完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8天可以完成．如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？ 6．抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的 ．如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天才能完成？ 7．甲、乙两队合作挖一条水渠要 天完成，若甲队先挖 天后，再由乙队单独挖 天，共挖了这条水渠的 ．如果这条水渠由甲、乙两队单独挖，各需要多少天？ 8．游泳是一项有氧运动，如果人们长期坚持，对身体非常有好处。它主要有健身、减 肥、治疗和预防慢性疾病、增加肺活量的好处。杭州亚运会也有游泳这个比赛项目， 泳池装有甲、乙、丙 三根水管，单开甲管 6 小时可将泳池注满，单开乙管 8 小时可将 泳池注满，单开丙管 12 小时可将满池水放完。如果甲、乙、丙三管同时打开，多少小 时可注满半池水？ 9．一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天．如果两人合做，甲的工作效率就要降低，只能完成原来的 ，乙只能完成原来的 ．现在要8天完成这项工程，两人合做天数尽可能少，那么两人要合做多少天? 10．甲、乙合作一件工程，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高 ，乙的工作效率比单独做时提高 ．甲、乙两人合作 小时，完成全部工作的 ，第二天乙又单独做了 小时，还留下这件工作的 尚未完成，如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？ 11．一项工程，如果由甲、乙、丙共同工作， 天可以完成，需付工程款 元；如果由甲、乙、丁共同工作， 天可以完成，需付工程款 元；如果由乙、丙、丁共同工作， 天可以完成，需付工程款 元；如果由甲、丙、丁共同工作， 天可以完成，需付工程款 元．现决定将工程承包给某一工程队，确保工程要在 天以内完成，且支付的工程款尽量的少，那么应该将工程交给哪一个工程队，支付的工程款是多少元？ 三、含休息/变速的工程问题（提高型） 1．一项工程，甲单独做40天完成，乙单独做60天完成．现在两人合作，中间甲因病休息了若干天，所以经过了27天才完成．问甲休息了几天？ 2．希望小学新修建了一个图书馆，需要对书籍重新进行整理。李老师单独整理要用15天，张老师单独整理要用20天。两位老师一起整理了5天后，李老师因有其他事情被调走，剩下的由张老师单独整理完。张老师一共整理了多少天？ 3．一份文件，如果甲抄10小时，乙抄10小时可以抄完；如果甲抄8小时，乙抄13小时也可以抄完．现在甲先抄2小时，剩下的甲、乙合作，还需要几小时才能完成？ 4．有一条公路，甲队独修需10天，乙队独修需12天，丙队独修需15天．现在让3个队合修，但中途甲队撤出去到另外工地，结果用了6天才把这条公路修完．当甲队撤出后，乙、丙两队又共同合修了多少天才完成? 5．工厂加工一批零件，李师傅单独做要12天完成，王师傅单独做要8天完成，两人合作3天后，李师傅有事请假离开，剩下的由王师傅单独完成，王师傅还要几天完成？ 6．一项挖土方工程，如果甲队单独做，16天可以完成，乙队单独做要20天能完成．现在两队同时施工，工作效率提高20％．当工程完成 时，突然遇到了地下水，影响了施工进度，使得每天少挖了47.25方土，结果共用了10天完成工程．问整工程要挖多少方土? 7．甲、乙两人合作清理400米环形跑道上的积雪，两人同时从同一地点背向而行各自进行工作，最初，甲清理的速度比乙快 ，中途乙曾用10分钟去换工具，而后工作效率比原来提高了一倍，结果从开始算起，经过1小时，就完成了清理积雪的工作，并且两人清理的跑道一样长，问乙换了工具后又工作了多少分钟？ 8．甲、乙、丙三人同时分别在3个条件和工作量相同的仓库工作，搬完货物甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时．第二天三人又到两个大仓库工作，这两个仓库的工作量相同．甲在 仓库，乙在 仓库，丙先帮甲后帮乙，用了16个小时将两个仓库同时搬完．丙在 仓库搬了多长时间？ 9．一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？ 10．甲、乙两人共同加工一批零件，8小时可以完成任务．如果甲单独加工，便需要12小时完成．现在甲、乙两人共同生产了 小时后，甲被调出做其他工作，由乙继续生产了420个零件才完成任务．问乙一共加工零件多少个? 11.一个水池有甲、乙两个进水管。单开甲管，12小时可注满空池；单开乙管，18小时可注满空池。如果甲、乙两管同时打开，但甲管在中途因故关闭了一段时间，结果从开始到注满水池共用了9小时。问甲管关闭了多少小时？ 12．甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们工资共1800元，三人完成这项工程的具体情况是：甲、乙两人合作6天完成了工程的 ，因为甲有事，由乙、丙合作2天完成余下工程的 ，以后三人合作5天完成了这项工程，按完成量的多少来付劳动报酬，甲、乙、丙各得多少元？ 四、周期工程问题（拓展型） 1．一件工程甲单独做 小时完成，乙单独做 小时完成．现在甲先做 小时，然后乙做 小时，再由甲做 小时，接着乙做 小时……两人如此交替工作，完成任务共需多少小时？ 2．一项工程，甲、乙合作 小时可以完成，若第 小时甲做，第 小时乙做，这样交替轮流做，恰好整数小时做完；若第 小时乙做，第 小时甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多 小时，那么这项工作由甲单独做，要用多少小时才能完成？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 工程问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解概念： 深刻理解工程问题中的核心概念，如工作总量、工作效率、工作时间，并掌握它们之间的基本关系。 2.掌握方法： 学会运用“单位1”的思想解决工程问题，并能熟练运用工作总量、工作效率、工作时间三者之间的数量关系解决基本题型。 3.灵活应用： 能够解决工程问题中常见的变式题型，如合作问题、分工问题、周期问题、效率变化问题等，并能运用假设、转化、代数等方法辅助解题。 4.提升能力： 培养分析问题、解决问题的能力，以及逻辑思维和数学建模能力，能够将复杂问题分解为简单问题进行处理。 知识梳理 知识点一、基本概念与核心公式 1.基本概念 （1）工作总量：一项工程的全部工作量（如“修一条路”“加工一批零件”等，奥数中常将其抽象为“单位1”，方便计算）。 （2）工作效率：单位时间内完成的工作量（如“每天修的路”，即效率为，单位：）。 （3）工作时间：完成全部或部分工作量所需的时间（如“3天完成”“5小时完成”等）。 2.核心公式 （1）工作总量 = 工作效率 × 工作时间 （2）工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间 （3）工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率 知识点二、基本题型与解题方法 1. 单人工程问题（基础型） （1）特点：仅涉及一个人（或一个主体）完成工作，已知其中两个量（总量、效率、时间），求第三个量。 （2）解题关键：若已知工作时间，可直接设工作总量为1，则工作效率 = 。 2. 多人合作问题（核心型） （1）特点：两人或多人共同完成工作，需计算合作时间或各自工作量。 （2）解题关键： ①合作效率 = 各主体效率之和（如甲效率为 ，乙效率为 ，则合作效率为 ）； ②合作时间 = 工作总量 ÷ 合作效率； ③若“部分合作”（如先合作再单独做），需分段计算工作量：合作部分工作量 + 单独部分工作量 = 总工作量。 3. 含休息/变速的工程问题（提高型） （1）特点：工作过程中存在休息（效率为0）或效率变化（如前半段效率高、后半段效率低）。 （2）解题关键： ①休息问题：明确实际工作时间（总时间 - 休息时间），或按“周期”计算（如“工作3天休息1天”，一个周期4天，实际工作3天）； ②变速问题：分段计算工作量，区分不同阶段的效率（如前5天效率为 ，后5天效率提高到 ，则总工作量 = 前5天工作量 + 后5天工作量）。 4. 周期工程问题（拓展型） （1）特点：主体交替工作（如甲先做1天、乙再做1天，交替进行），需计算完成工作的总时间。 （2）解题关键： ①确定一个周期的工作量（如甲乙各做1天为一个周期，周期工作量 = 甲效率 + 乙效率）； ②计算“完整周期数”：总工作量 ÷ 周期工作量，取整数部分； ③计算剩余工作量：总工作量 - 完整周期工作量 × 周期数； ④按交替顺序分配剩余工作量，计算剩余时间，注意最后剩余部分的“收尾”主体（谁先开始谁先收尾）。 例题讲解 一、单人工程问题（基础型） 【例题1】一项工程，甲单独做需要12天完成。 请问： (1) 甲每天完成这项工程的几分之几？ (2) 甲工作3天可以完成这项工程的几分之几？ (3) 甲工作多少天可以完成这项工程的 ？ 【答案】(1) 将这项工程的工作总量看作单位“1”。甲单独做12天完成，所以甲的工作效率为 。 (2) 甲每天完成 ，工作3天完成的工作量为 。 (3) 要完成这项工程的 ，所需时间为 （天）。 【解析】本题考查单人工程问题中工作总量、工作效率和工作时间三者之间的基本关系。关键在于理解将工作总量设为单位“1”，并能熟练运用公式：工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间，工作量 = 工作效率 × 工作时间，工作时间 = 工作量 ÷ 工作效率。 【例题2】一项工程，甲单独做需要24天完成。他工作了8天后，剩下的工程要在12天内完成，那么甲的工作效率需要提高几分之几？ 【答案】将工程总量看作单位“1”。 原工作效率：。 已工作8天，完成工作量：。 剩余工作量：。 要在12天内完成剩余工作量，所需的新工作效率为：。 效率提高量：。 提高的比例（相对于原效率）：。 【解析】本题考查了工作量、效率、时间的关系，以及“提高几分之几”的计算。关键在于先求出剩余工作量和所需的新效率，然后计算效率的提高量，最后用提高量除以原来的效率得到提高的比例。 二、多人合作问题（核心型） 【例题1】一项工程，甲单独做需要 天时间，甲、乙合作需要 天时间，如果乙单独做需要多少时间？ 【答案】解： = =28（天） 答：如果乙单独做需要28天。 【解析】将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的 ，甲、乙合作每天完成总量的 。用合作每天完成的工作量减去甲每天完成的工作量即可求出乙每天完成的工作量，用1除以乙每天完成的工作量即可求出乙单独做需要的时间。 【例题2】一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成。如果甲、乙两人合作，多少天可以完成这项工程？ 【答案】解：将这项工程总量看作单位“1”。 甲的工作效率：。 乙的工作效率：。 甲乙合作的工作效率和：。 合作完成所需时间：（天）。 【解析】本题是最基本的两人合作问题。核心是求出合作的效率和，即各自效率相加，然后用工作总量“1”除以效率和得到合作时间。体现了“合作效率 = 各效率之和”的基本思想。 【例题3】一项工程，甲独做 天完成，甲 天的工作量，乙要 天完成．两队合做 天后由乙队独做，还要几天才能完成？ 【答案】解：乙的工作效率：， = =（天） 答：还要天才能完成。 【解析】用甲的工作效率乘3再除以4即可求出乙的工作效率，用总工作量减去两队合作2天的工作量即可求出还剩的工作量，还剩的工作量由乙来做，用剩下的工作量除以乙的工作效率即可求出还需要的时间。 【例题4】甲、乙两队合修一条公路，甲队每天修全长的 ，乙队每天修全长的 。两队合修，多少天能修完这条公路的 ？ 【答案】甲队效率：，乙队效率：。 两队合作效率和：。 修完 所需时间：（天）。 【解析】本题直接给出了两队的工作效率（每天修全长的几分之几），求合作完成部分工作量的时间。是合作问题的基本应用，计算时注意分数除法的运算法则（除以一个分数等于乘以它的倒数）。 【例题5】一项工作，甲、乙两人合做8天完成，乙、丙两人合做9天完成，丙、甲两人合做18天完成．那么丙一个人来做，完成这项工作需要多少天? 【答案】解：三人的工作效率和： =÷2 = 丙一人做：（天） 答：丙一个人来做，完成这项工程需要48天。 【解析】根据条件可知，2（甲，乙，丙）=（甲+乙）+（乙、丙）+（甲、丙），这样用三个工作效率的和除以2即可求出三人的工作效率和。用三人的工作效率和减去甲、乙的工作效率和即可求出丙的工作效率，用1除以丙的工作效率即可求出丙独做完成需要的时间。 三、含休息/变速的工程问题（提高型） 【例题1】一项工作由师傅单独做12小时完成，由徒弟单独做15小时完成，由师傅先做4小时后，剩下的由徒弟完成，还需要多少小时？ 【答案】解：（1-）÷ ＝10（小时） 答：还需要10小时。 【解析】完成还需要的时间=（1-师傅的工作效率×师傅工作的时间）÷徒弟的工作效率。 【例题2】一项工程，甲单独做 天完成，乙单独做 天完成。甲、乙合作了几天后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了 天。乙请假多少天？ 【答案】解： = =6（天） 16-6=10（天） 答：乙请假10天。 【解析】乙请假了，甲没有请假，所以甲一共工作了16天，用甲的工作效率乘16求出甲的工作量，用1减去甲的工作量即可求出乙的工作量。用乙的工作量除以乙的工作效率求出乙工作的时间，用16减去乙的工作时间即可求出乙请假的天数。 【例题3】一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？ 【答案】解：乙的工作效率： = = 乙：1÷=50（天） 甲：=75（天） 答：这件工作由甲单独完成需要75天，由乙单独完成需要50天。 【解析】用1减去两人和做6天完成的工作量，求出甲离开后的工作量，用这个工作量除以乙的工作时间即可求出乙的工作效率。用1除以乙的工作效率即可求出乙单独完成需要的工作时间。用工作效率和减去乙的工作效率即可求出甲的工作效率，进而求出甲的工作时间。 【例题4】打印一份书稿，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成。如果甲、乙合做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成。甲、乙两人合做需要几天完成？ 【答案】解：乙独做需要的天数：（天），甲独做需要：15-5=10（天）， 合做需要：（天）。 答：甲、乙两人合做需要6天完成。 【解析】 根据“甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成．如果甲、乙合做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成”，可知甲做2天的工作量等于乙做3天的工作量，所以完成这项工作甲、乙所用的时间比是 ．另外，由于甲、乙单独做，乙用的时间比甲多 天，这样就可以先求出乙独做需要的天数，进而求出甲独做需要的天数。用总工作量除以工作效率和即可求出合做完成的时间。 【例题5】几个同学去割两块草地的草，甲地面积是乙地面积的4倍，开始他们一起在甲地割了半天，后来留下12人割甲地的草，其余人去割乙地的草，这样又割了半天，甲、乙两地的草同时割完了，问：共有多少名学生？ 【答案】解：每人每天割草：， （名）。 答：共有20名学生。 【解析】 有12人全天都在甲地割草，设有人上午在甲地，下午在乙地割草．由于这人在下午能割完乙地的草（甲地草的），所以这些人在上午也能割甲地的草，所以12人一天割了甲地的草，这样就可以求出每人每天割草量，用全部草量除以每人每天的割草量即可求出学生总数。 【例题6】搬运一个仓库的货物，甲需 小时，乙需 小时，丙需 小时．有同样的仓库 和 ，甲在 仓库，乙在 仓库同时开始搬运货物，丙开始帮甲搬运，中途又转向帮乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物．丙帮助甲、乙各搬运了几小时？ 【答案】解：甲、乙、丙搬完两个仓库共用了： （小时）， 丙帮助甲搬运了： （小时）， 丙帮助乙搬运了：（小时）。 答：丙帮助甲搬运了3小时，帮助乙搬运了5小时。 【解析】整个搬运的过程，就是甲、乙、丙三人同时开始同时结束，共搬运了两个仓库的货物，用工作量2除以三人的工作效率和求出共同完成工作量需要的时间。在这段时间内，甲、乙各自在某一个仓库内搬运，丙则在两个仓库都搬运过。用甲的工作效率乘共同完成的时间即可求出甲完成的工作量，用1减去甲完成的工作量即可求出丙帮甲完成的工作量，用这个工作量除以丙的工作效率即可求出丙帮甲的时间，进而求出丙帮乙的时间即可。 四、周期工程问题（拓展型） 【例题1】一项工程，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要18天完成。如果甲、乙两人轮流工作，甲先做1天，乙接着做1天，然后甲再做1天，乙再做1天……如此交替下去，问完成这项工程共需要多少天？ 【答案】计算工作效率：设工作总量为1。 甲的工作效率：（每天） 乙的工作效率：（每天） 计算一个周期的工作量：甲、乙各做1天为一个周期，周期长度为2天。 一个周期完成的工作量：。 通分计算：。 估算周期数：完成整个工程需要的周期数约为：个周期。 计算7个完整周期的工作量：7个周期（14天）完成的工作量：。 计算剩余工作量及所需时间： 剩余工作量：。 此时轮到甲工作，甲的效率为。 甲完成剩余工作量所需时间：天。 总时间：7个周期（14天）+天 = 天。 【解析】本题是典型的“轮流工作”问题，核心在于将交替工作过程转化为“周期工作”。关键步骤是： 1.确定一个工作周期的长度和周期内完成的工作量。 2.估算完成工作所需的完整周期数，并计算剩余工作量。 3.剩余工作量由下一个工作的人完成，计算其所需时间，注意此时无需再算一个完整周期。 考点练习 一、单人工程问题（基础型） 1.一批零件，王师傅单独加工需要20天完成。他已经加工了5天，还剩下这批零件的几分之几没有加工？如果剩下的零件要在10天内完成，那么王师傅每天需要比原来多加工这批零件的几分之几？ 【答案】解：将这批零件总量看作单位“1”。 王师傅的工作效率为 。 已加工5天，完成的工作量为 。 剩下未加工的工作量为 。 剩下 的工作量要在10天内完成，每天需要完成的工作量为 。 原来每天加工 。 每天需要多加工 。 【解析】本题第一问考查“工作量 = 效率 × 时间”及“剩余工作量 = 总工作量 - 已完成工作量”。第二问则是在剩余工作量和剩余时间已知的情况下，先求出新的工作效率，再与原效率比较，求出效率差。体现了工程问题中对“效率”变化的考察。 2．小明站着不动乘电动扶梯上楼需30秒，如果在乘电动扶梯的同时小明继续向上走需12秒，那么电动扶梯不动时，小明徒步沿扶梯上楼需多少秒？ 【答案】解：电梯每秒完成 ，电梯加小明徒步上楼每秒完成，小明徒步上楼每秒完成 ，所以小明徒步上楼需 （秒）。 答：小明徒步沿扶梯上楼需20秒。 【解析】此题很类似于”工程问题“，设总的为单位1，速度就=1÷时间，再利用速度和一个速度=另一个速度，最后利用时间=路程÷速度，由此得解。 3.一个打字员打一份稿件，第一天打了这份稿件的 ，第二天打了余下稿件的 ，第二天比第一天多打了20页。这份稿件共有多少页？ 【答案】设这份稿件共有 页。 第一天打了 页，剩余 页。 第二天打了余下的 ，即 页。 根据“第二天比第一天多打了20页”列方程：。 解得 。 【解析】本题虽然以“打字”为背景，但本质上是一个关于工作量（页数）的分数应用题，也可看作单人完成不同阶段工作的问题。关键在于找准第二天所打页数占总页数的几分之几，然后根据数量差（20页）对应的分率差来求出单位“1”（总页数）。也可通过设未知数，列方程求解。 二、多人合作问题（核心型） 1．一项工程，甲单独做20天完成工程的，乙的工作效率是甲的。甲、乙合作，多少天可以完成全部工程？ 【答案】解：甲的工作效率： 乙的工作效率： 1÷() =1÷ =(天) 【解析】甲、乙合作完成全部工程需要的时间=工作总量÷工作效率的和；其中，甲的工作效率=甲完成的工作量÷工作时间；乙的工作效率=甲的工作效率×。 2．自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼，已知男孩每分走20级，女孩每分走15级，结果男孩用了5分到达楼上，女孩用了6分到达楼上。问该扶梯露在外面的部分共有多少级？ 【答案】解：男孩每分钟比女孩每分钟多行扶梯级数的 -= ，每分钟相差20-15=5（级）， 因此自动扶梯露在外面的部分共有 5÷=150（级）。 答：该扶梯露在外面的部分共有150级. 【解析】设总量为1，男孩速度：1÷5=，女孩速度：1÷6=，再用每分钟相差的级数÷男孩每分钟比女孩多行的扶梯级数所占的分数。 3．一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天。问这项工程由甲独做需要多少天？ 【答案】解：丙的工作效率是乙的：4÷2=2， （天） 答：这项工程由甲单独做需要26天。 【解析】 丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，与乙做4天一样.也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.乙做13天，甲只要天，丙做13天，乙要26天，而甲只要天他们共同做13天的工作量。这样就可以把乙和丙工作13天的工作量都归结为甲工作的时间，然后求出甲单独完成需要的时间即可。 4．一批零件平均分给甲、乙两人同时加工，两人工作 小时，共完成这批零件的 。已知甲与乙的工作效率之比是 ，那么乙还要几小时才能完成分配的任务？ 【答案】解：乙 小时完成总工作量的 ；乙每小时完成总工作量的 ；乙需要完成的总工作量为 ；乙要完成这个任务还需要的时间： （小时） 【解析】【解答】解：×= ÷5= ÷-5=5（小时） 把这批零件平均分给甲、乙两人同时加工，那么乙需要完成的总工作量为，乙5小时完成总工作量的几分之几=两人工作5小时共完成这批零件的几分之几×，那么乙每小时完成总工作量的几分之几=乙5小时完成总工作量的几分之几÷5，所以乙要完成这个任务还需要的时间=乙需要完成的总工作量÷乙每小时完成总工作量的几分之几-已经工作的5小时。 5．一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可以完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8天可以完成．如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？ 【答案】解：甲做5天的工作量乙需要4天，乙独做需要：20+4=24（天）， 甲的工作效率：， 合做：（天）。 答：如果甲、乙合作，天可以完成。 【解析】 如图： 从图中可以直观地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量。于是可用“乙工作4天”等量替换题中“甲工作5天”这一条件。这样这项工程就相当于乙独做需要（20+4）天。用乙的工作效率乘4再除以5即可求出甲的工作效率，用总工作量除以工作效率和即可求出合作完成的天数。 6．抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的 ．如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天才能完成？ 【答案】解：甲的工作效率：， 丙的工作效率：， 乙的工作效率：， 乙独做的时间：1÷=24（天）。 答：乙一人单独抄需要24天才能完成。 【解析】 已知甲、乙、丙合抄一天完成书稿的 ，又已知甲每天抄写量等于乙、丙两人每天抄写量之和，因此甲两天抄写书稿的 ，即甲每天抄写书稿的 ；由于丙抄写5天相当于甲乙合抄一天，从而丙6天抄写书稿的 ，即丙每天抄写书稿的 ，这样用三人的工作效率和减去甲、丙的工作效率即可求出乙的工作效率，进而求出乙单独完成需要的时间。 7．甲、乙两队合作挖一条水渠要 天完成，若甲队先挖 天后，再由乙队单独挖 天，共挖了这条水渠的 ．如果这条水渠由甲、乙两队单独挖，各需要多少天？ 【答案】解：合作4天完成的工作量，， 乙的工作效率：， 乙独做：1÷=45（天）， 甲独做：（天）。 答：甲单独挖需要90天，乙单独挖需要45天。 【解析】 甲乙合作，每天可以完成工程的 ，而题目中给定的“甲队先挖4天，再由乙队单独挖16天”，相当于甲乙两队先合作4天，然后再由乙队单独挖12天。用工作效率和乘4求出合作4天完成的工作量，用减去两队合作4天完成的工作量即可求出乙队12天完成的工作量，用这个工作量除以12即可求出乙队的工作效率，进而求出乙队单独做需要的时间。用两队的工作效率和减去乙队的工作效率求出甲队的工作效率，进而求出甲队单独完成的时间。 8．游泳是一项有氧运动，如果人们长期坚持，对身体非常有好处。它主要有健身、减 肥、治疗和预防慢性疾病、增加肺活量的好处。杭州亚运会也有游泳这个比赛项目， 泳池装有甲、乙、丙 三根水管，单开甲管 6 小时可将泳池注满，单开乙管 8 小时可将 泳池注满，单开丙管 12 小时可将满池水放完。如果甲、乙、丙三管同时打开，多少小 时可注满半池水？ 【答案】解：÷（＋＋） =÷ =（小时） 答：小时可注满半池水。 【解析】注满半池水需要的时间=÷（甲管的工作效率＋乙管的工作效率＋丙管的工作效率）。 9．一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天．如果两人合做，甲的工作效率就要降低，只能完成原来的 ，乙只能完成原来的 ．现在要8天完成这项工程，两人合做天数尽可能少，那么两人要合做多少天? 【答案】解：设两人合做x天，则甲单独做（8-x）天， x=5 答：两人要合做5天。 【解析】 因为甲比乙的工作效率高，又要求合做的天数尽可能的少，所以除了两人合做之外，其余工程应由甲单独完。设两人合做x天，则甲单独做（8-x）天，等量关系：合做完成的工作量+甲单独完成的工作量=1，根据等量关系列出方程，解方程求出合做的时间即可。 10．甲、乙合作一件工程，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高 ，乙的工作效率比单独做时提高 ．甲、乙两人合作 小时，完成全部工作的 ，第二天乙又单独做了 小时，还留下这件工作的 尚未完成，如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？ 【答案】解：乙的工作效率：； 甲的工作效率：， 甲单独做：1÷=33（小时） 答：甲一人单独做需要33小时。 【解析】总工作量为1，用1减去甲、乙合作完成的工作量，再减去还留下的工作量即可求出乙单独做6天完成的工作量，用乙6天的工作量除以6即可求出乙的工作效率。用合作6小时完成的工作量除以6求出两人合作的工作效率和，用这个工作效率和减去乙提高后的工作效率即可求出甲合作时的工作效率。根据分数除法的意义，用甲合作时的工作效率除以（1+）即可求出甲单独做的工作效率，这样用1除以甲单独做的工作效率即可求出甲单独完成需要的时间。 11．一项工程，如果由甲、乙、丙共同工作， 天可以完成，需付工程款 元；如果由甲、乙、丁共同工作， 天可以完成，需付工程款 元；如果由乙、丙、丁共同工作， 天可以完成，需付工程款 元；如果由甲、丙、丁共同工作， 天可以完成，需付工程款 元．现决定将工程承包给某一工程队，确保工程要在 天以内完成，且支付的工程款尽量的少，那么应该将工程交给哪一个工程队，支付的工程款是多少元？ 【答案】解：⑴甲、乙、丙、丁的工效和是： ； 甲的工效是： ；乙的工效是： ； 丙的工效是： ；丁的工效是： ． 可见甲、乙、丙、丁完成工程需要的时间分别为120天、360天、90天和72天．要确保工程在100天以内完成，只能选择丙队或丁队．然后比较选择丙队或丁队应支付的工程款． ⑵甲、乙、丙每天需要的工程款 元； 甲、乙、丁每天需要的工程款 元； 乙、丙、丁每天需要的工程款 元； 甲、丙、丁每天需要的工程款 元． 甲、乙、丙、丁每天需要的工程款的总和为 元． 甲、乙、丙、丁每天需要的工程款分别是 元， 元， 元， 元．如果由丙队独自完成整项工程，那么需要支付 元；如果由丁队来完成，需要支付 元．将两者进行比较，丙队的总工程款更少，所以工程应该交给丙。 【解析】根据甲、乙、丙、丁的工效和可以分别求出甲、乙、丙、丁的工效和完成需要的时间，然后选出在100天内可以完成的工程队，经过计算选择丙队或丁队应支付的工程款； 计算这四种情况每天需要的工程款，每个工程队都被算了3次，所以甲、乙、丙、丁每天需要的工程款的总和=这四种情况每天需要的工程款之和÷3，然后分别根据它们时间的关系求出丙、丁每天需要的工程款，那么这两个队独自完成整项工程分别需要支付的钱数=这两个队每天需要的工程款÷每个工程队的工作效率，然后找出工程款最少的即可。 三、含休息/变速的工程问题（提高型） 1．一项工程，甲单独做40天完成，乙单独做60天完成．现在两人合作，中间甲因病休息了若干天，所以经过了27天才完成．问甲休息了几天？ 【答案】解： = =22（天） 27-22=5（天） 答：甲休息了5天。 【解析】在整个工作过程中，乙没有休息，所以乙工作了60天，用乙的工作效率乘60求出乙的工作量，用1减去乙的工作量即可求出甲完成的工作量，用甲完成的工作量除以甲的工作效率即可求出甲的工作时间，用总时间减去甲的工作时间即可求出甲休息的天数。 2．希望小学新修建了一个图书馆，需要对书籍重新进行整理。李老师单独整理要用15天，张老师单独整理要用20天。两位老师一起整理了5天后，李老师因有其他事情被调走，剩下的由张老师单独整理完。张老师一共整理了多少天？ 【答案】解：5＋ =5＋[1-]÷ =5＋÷ =5＋ ＝(天) 答：张老师一共整理了天。 【解析】张老师一共整理的天数=两位老师一起整理的天数＋（1-两位老师工作效率的和×共整理的天数） ÷张老师的工作效率。 3．一份文件，如果甲抄10小时，乙抄10小时可以抄完；如果甲抄8小时，乙抄13小时也可以抄完．现在甲先抄2小时，剩下的甲、乙合作，还需要几小时才能完成？ 【答案】解：乙的工作效率：==， 甲的工作效率：， 还需要的时间：（小时）。 答：还需要小时才能完成。 【解析】 甲、乙合作的效率为 ；将甲抄8小时，乙抄13小时，转化为甲乙和抄8小时，乙单独抄5小时。用工作效率和乘8求出8小时完成的工作量，用1减去8小时完成的工作量即可求出乙5小时的工作量，用这个工作量除以5即可求出乙的工作效率，进而求出甲的工作效率。用1减去甲2小时的工作量求出剩下的工作量，用剩下的工作量除以两人的工作效率和即可求出还需要的时间。 4．有一条公路，甲队独修需10天，乙队独修需12天，丙队独修需15天．现在让3个队合修，但中途甲队撤出去到另外工地，结果用了6天才把这条公路修完．当甲队撤出后，乙、丙两队又共同合修了多少天才完成? 【答案】解： = = =1（天） 6-1=5（天） 答：当甲队撤出后，乙、丙两队又共同合修了5天。 【解析】甲队撤出，乙和丙一直修了6天，用两队的工作效率乘6求出乙、丙合修的工作量，用1减去乙、丙合修的工作量求出甲完成的工作量，用甲完成的工作量除以甲的工作效率即可求出甲的工作时间，用6减去甲的工作时间即可求出甲撤出后乙丙合修的时间。 5．工厂加工一批零件，李师傅单独做要12天完成，王师傅单独做要8天完成，两人合作3天后，李师傅有事请假离开，剩下的由王师傅单独完成，王师傅还要几天完成？ 【答案】解：1-（＋）×3 =1-×3 =1- = ÷=3（天） 答：王师傅还要3天完成。 【解析】王师傅完成任务还要的天数=剩下的工作量÷王师傅的工作效率；其中，剩下的工作量=单位“1”-（李师傅的工作效率＋王师傅的工作效率）×两人合作的时间。 6．一项挖土方工程，如果甲队单独做，16天可以完成，乙队单独做要20天能完成．现在两队同时施工，工作效率提高20％．当工程完成 时，突然遇到了地下水，影响了施工进度，使得每天少挖了47.25方土，结果共用了10天完成工程．问整工程要挖多少方土? 【答案】解：工作效率和：， 遇到地下水前的天数：（天）， 遇到地下水后工作的天数：10-（天）， 遇到地下水后的工作效率：， 47.25÷（）=1100（方） 答：整工程要挖1100方土。 【解析】用原来的工作效率和乘（1+20%）求出提高后的工作效率和，用原来完成的工作量除以工作效率和求出遇到地下水前挖的时间，进而求出遇到地下水后挖的时间。用遇到地下水后的工作量除以工作时间求出后来的工作效率。根据分数除法的意义，用每天少挖的土方数除以前后合做的工作效率的差即可求出整工程挖的土方数。 7．甲、乙两人合作清理400米环形跑道上的积雪，两人同时从同一地点背向而行各自进行工作，最初，甲清理的速度比乙快 ，中途乙曾用10分钟去换工具，而后工作效率比原来提高了一倍，结果从开始算起，经过1小时，就完成了清理积雪的工作，并且两人清理的跑道一样长，问乙换了工具后又工作了多少分钟？ 【答案】解：1小时=60分钟， 甲每分钟完成：400÷2÷60=（米）， 乙开始每分钟完成：2.5（米）， 提高后乙每分钟完成：2.5×2=5（米）， 假设乙一直都是每分钟扫2.5米， （200-2.5×50）÷（5-2.5） =75÷2.5 =30（分钟） 答：乙换工具后又工作了30分钟。 【解析】两人清理的跑道一样长，说明两人都是清理了200米。这样用200除以60即可求出甲的工作效率，根据分数除法的意义，用甲的工作效率除以（1+）即可求出乙原来的工作效率，再乘2即可求出乙提高后的工作效率。此时问题变成了乙50分钟扫完了200米的雪，根据鸡兔同笼问题的解答方法求出换工具后的工作时间即可。 8．甲、乙、丙三人同时分别在3个条件和工作量相同的仓库工作，搬完货物甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时．第二天三人又到两个大仓库工作，这两个仓库的工作量相同．甲在 仓库，乙在 仓库，丙先帮甲后帮乙，用了16个小时将两个仓库同时搬完．丙在 仓库搬了多长时间？ 【答案】解：三人工作效率的比：； 搬完一个大仓库需要的时间：16÷2=8（小时）， 搬大仓库甲的工作效率：，丙的工作效率：， 甲16小时完成的工作量：， 丙在A仓库搬的时间：（小时）。 答：丙在A仓库搬了6小时。 【解析】原来三人的工作效率不能用在搬两个大仓库中，所以根据原来三人的工作效率求出三人的工作效率的比。然后把现在三人的工作效率和按照6：5：4的比分配后就可以求出搬大仓库时甲的工作效率和丙的工作效率。用甲此时的工作效率乘16求出甲完成A仓库的工作量，进而求出丙完成A仓库的工作量，用这个工作量除以丙的工作效率即可求出丙在A仓库搬的时间。 9．一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？ 【答案】解：假设甲做了1天，乙就做了3天，丙就做了3×2=6天，完成的工作量： = = 1÷=2 甲：1×2=2（天），乙：3×2=6（天），丙：6×2=12（天） 2+6+12=20（天） 答：总共用了20天。 【解析】可以采用假设法，假设甲做了1天，乙就做了3天，丙就做了3×2=6天，然后把三人完成的工作量相加求出完成的工作总量是，这样就能确定甲、乙、丙实际完成的天数，把三人实际工作的天数相加就向总共用的天数。 10．甲、乙两人共同加工一批零件，8小时可以完成任务．如果甲单独加工，便需要12小时完成．现在甲、乙两人共同生产了 小时后，甲被调出做其他工作，由乙继续生产了420个零件才完成任务．问乙一共加工零件多少个? 【答案】解： = =（小时） （个） 25×+420 =60+420 =480（个） 答：乙一共加工零件480个。 【解析】用两人的工作效率和减去甲的工作效率即可求出乙的工作效率。用1减去两人小时完成的工作量即可求出剩下的工作量。用剩下的工作量除以乙的工作效率即可求出剩下的乙做的时间。用剩下的零件数除以剩下的由乙工作的时间即可求出乙每小时加工零件的个数。用乙每小时加工零件的个数乘，再加上420即可求出乙一共加工零件的个数。 11.一个水池有甲、乙两个进水管。单开甲管，12小时可注满空池；单开乙管，18小时可注满空池。如果甲、乙两管同时打开，但甲管在中途因故关闭了一段时间，结果从开始到注满水池共用了9小时。问甲管关闭了多少小时？ 【答案】计算工作效率（进水效率）：设水池总量为1（单位“1”）。 甲管效率： (每小时)。 乙管效率： (每小时)。 分析工作情况：乙管没有关闭，从开始到注满一直开了9小时。甲管中途关闭，设甲管关闭了小时，则甲管实际进水时间为小时。 根据总注水量列方程：甲管注水量 + 乙管注水量 = 水池总量1。 解方程： 化简： 两边同乘12： 解得：小时。 【解析】本题是工程问题在“水池注水”场景下的应用，本质与“题目2”类似，是“合作中一方中途停止（休息）”的问题。关键在于： 1.确定哪个水管（或人）一直在工作，其工作时间是已知的（或等于总时间）。 2.另一个水管（或人）的工作时间是总时间减去其“关闭”（休息）的时间。 3.利用“各部分工作量之和等于总工作量”的等量关系列方程求解最为直接。也可以先求出一直工作的水管的工作量，再求出另一个水管需要完成的工作量，进而求出其工作时间和关闭时间。 12．甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们工资共1800元，三人完成这项工程的具体情况是：甲、乙两人合作6天完成了工程的 ，因为甲有事，由乙、丙合作2天完成余下工程的 ，以后三人合作5天完成了这项工程，按完成量的多少来付劳动报酬，甲、乙、丙各得多少元？ 【答案】解：根据题意可知，甲、乙两人的工作效率之和为 ； 乙、丙两人的工作效率之和为 ； 甲、乙、丙三人的工作效率之和为 ． 分别可求得甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ，丙的工作效率为 ，则甲完成的工程量为： ，乙完成的工程量为： ，丙完成的工程量为： ，三人所完成的工作量之比为 ． 所以，甲应得 元，乙应得 元，丙应得 元． 【解析】先计算出甲、乙两人的工作效率之和，乙、丙两人的工作效率之和，甲、乙、丙三人的工作效率之和，然后根据他们之间的关系分别求出甲、乙、丙的工作效率，由此可以得出甲、乙、丙完成的工程量乙完成的工程量，据此可以得出三人所完成的工作量之比，所以甲应得的钱数=发的总工资×，乙应得的钱数=甲应得的钱数×，丙应得的钱数=甲应得的钱数×。 四、周期工程问题（拓展型） 1．一件工程甲单独做 小时完成，乙单独做 小时完成．现在甲先做 小时，然后乙做 小时，再由甲做 小时，接着乙做 小时……两人如此交替工作，完成任务共需多少小时？ 【答案】解：假设两队交替做4次，甲的工作量：， 乙的工作量：， 还剩下的工作量：， 甲还要做：（小时）， 总时间：（1+3+5+7）+（2+4+6+8）+=（小时）。 答：完成任务共要小时。 【解析】交替4次，甲工作的时间是1、3、5、7小时，乙工作的时间是2、4、6、8小时。用每队的工作效率乘各自的工作时间求出各自完成的工作量，用1减去两队分别完成的工作量即可求出剩下的工作量。剩下的工作量该甲做了，因此用剩下的工作量除以甲的工作效率就是甲还需要做的时间。然后把两队工作的总时间相加即可求出共需要的时间。 2．一项工程，甲、乙合作 小时可以完成，若第 小时甲做，第 小时乙做，这样交替轮流做，恰好整数小时做完；若第 小时乙做，第 小时甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多 小时，那么这项工作由甲单独做，要用多少小时才能完成？ 【答案】解：乙的工作效率是甲的：， 工作效率和：， 甲的工作效率：， 甲独做的时间：1÷=21（小时）。 答：这项工作由甲单独做，要用21小时才能完成。 【解析】若第一种做法的最后一小时是乙做的，那么甲、乙共做了偶数个小时，那么第二种做法中甲、乙用的时间应与第一种做法相同，不会多 小时，与题意不符．所以第一种做法的最后一小时是甲做的，第二种做法中最后 小时是甲做的，而这 小时之前的一小时是乙做的，这样就能求出乙的工作效率是甲的。用1除以合做的时间即可求出工作效率和，然后根据分数除法的意义，用工作效率和除以（1+）即可求出甲的工作效率，进而求出甲独做完成需要的时间。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $