第06讲 变化规律（知识梳理+例题讲解+考点练习）-四年级奥数培优讲义

第06讲 变化规律 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解并掌握加法、减法、乘法、除法中“和、差、积、商”的基本变化规律。 2.能够运用这些变化规律快速解决简单的数学问题，提高计算速度和准确性。 3.能运用所学的变化规律解决一些与“看错数字”相关的实际问题，培养分析问题和逆向思维的能力。 4.激发学习数学的兴趣，培养观察、比较、归纳和推理的能力。 知识梳理 知识点一、和的变化规律 在加法运算中，一个加数不变，另一个加数发生变化，和也会随之发生相应的变化。 规律1： 当一个加数不变，另一个加数增加（或减少）一个数时，和也会相应地增加（或减少）同一个数。 （1）如果 ，那么： ① （一个加数增加 ，和也增加 ） ② （一个加数减少 ，和也减少 ） （2）举例： ①若第一个加数不变，第二个加数增加 2： ②若第一个加数减少 1，第二个加数不变： 知识点二、差的变化规律 在减法运算中，被减数或减数发生变化，差也会随之发生相应的变化。 规律1（减数不变）： 当减数不变，被减数增加（或减少）一个数时，差也会相应地增加（或减少）同一个数。 （1）如果 ，那么： ① （被减数增加 ，差也增加 ） ② （被减数减少 ，差也减少 ） （2）举例： ①被减数增加 3，减数不变： ②被减数减少 2，减数不变： 规律2（被减数不变）： 当被减数不变，减数增加（或减少）一个数时，差会相应地减少（或增加）同一个数。 （1）如果 ，那么： ① （减数增加 ，差减少 ） ② （减数减少 ，差增加 ） （2）举例： ①被减数不变，减数增加 2： ②被减数不变，减数减少 1： 知识点三、积的变化规律 在乘法运算中，一个因数不变，另一个因数发生变化，积也会随之发生相应的变化。 规律1： 当一个因数不变，另一个因数乘（或除以）一个不为0的数时，积也会相应地乘（或除以）同一个数。 （1）如果 ，那么： ① （一个因数乘 (d≠0)，积也乘 ） ② （一个因数除以 (d≠0)，积也除以 ） （2）举例： ①第一个因数不变，第二个因数乘 2： ②第一个因数除以 2，第二个因数不变： 知识点四、商的变化规律 在除法运算中（除数不为0），被除数或除数发生变化，商会随之发生相应的变化。 规律1（除数不变）： 当除数不变，被除数乘（或除以）一个不为0的数时，商也会相应地乘（或除以）同一个数。 （1）如果 (b≠0)，那么： ① （被除数乘 (d≠0)，商也乘 ） ② （被除数除以 (d≠0)，商也除以 ） （2）举例： ①除数不变，被除数乘 2： ②除数不变，被除数除以 3： (此处举例可用整除的数，如24÷2=12，12÷6=2=4÷2) 规律2（被除数不变）： 当被除数不变，除数乘（或除以）一个不为0的数时，商反而会相应地除以（或乘）同一个数。 （1）如果 (b≠0)，那么： ① （除数乘 (d≠0)，商除以 ） ② （除数除以 (d≠0)，商乘 ） （2）举例： ①被除数不变，除数乘 2： ②被除数不变，除数除以 3： 规律3（商不变性质）： 当被除数和除数同时乘（或除以）同一个不为0的数时，商不变。 （1）如果 (b≠0)，那么： ① (d≠0) ② (d≠0) （2）举例： ①被除数和除数同时乘 2： ②被除数和除数同时除以 3： 知识点五、综合应用题（看错数字问题） 这类问题通常是指在计算时，由于看错了数字（如把某个数字看大了或看小了），导致计算结果出错，要求我们根据错误的结果和看错的数字，运用前面学习的“变化规律”来推算出正确的结果。 1.解题关键： （1）认真分析是哪个数字看错了（加数、被减数、减数、因数、被除数、除数）。 （2）确定看错的数字使结果发生了怎样的变化（根据和、差、积、商的变化规律）。 （3）根据错误结果和这个变化量，倒推出正确的结果。 2.常见类型及思路： （1）加法看错数字： ①若把一个加数看大了 ，则和也会变大 ，正确的和 = 错误的和 - 。 ②若把一个加数看小了 ，则和也会变小 ，正确的和 = 错误的和 + 。 ③举例： 小明在做加法时，把一个加数十位上的 3 看成了 5，结果和是 86，正确的和是多少？ 分析：十位上的 3 看成 5，即这个加数增加了 ，和也增加了 20。 正确的和 = 86 - 20 = 66。 （2）减法看错数字： ①看错被减数： 被减数看大 ，差变大 ；被减数看小 ，差变小 。 ②看错减数： 减数看大 ，差变小 ；减数看小 ，差变大 。 ③举例： 小红做减法时，把被减数十位上的 7 看成了 1，结果差是 23，正确的差是多少？ 分析：被减数十位 7 看成 1，被减数减少了 ，差也减少了 60。 正确的差 = 23 + 60 = 83。 ④举例： 小刚做减法时，把减数十位上的 3 看成了 5，结果差是 47，正确的差是多少？ 分析：减数十位 3 看成 5，减数增加了 ，差就减少了 20。 正确的差 = 47 + 20 = 67。 （3）乘法看错数字： ①若把一个因数看大了 倍（或增加了 ），积会相应变化，根据“积的变化规律”调整。 ②举例： 小李做乘法时，把一个因数个位上的 6 看成了 9，结果积比原来多了 30，另一个因数是多少？（假设另一个因数为 ） 分析：个位 6 看成 9，这个因数增加了 ，积增加了 。 所以另一个因数 。 （4）除法看错数字： ①看错被除数或除数，根据“商的变化规律”分析商的变化，进而求出正确结果。 ②举例： 小芳做除法时，把被除数末尾的一个 0 漏写了，结果商是 5，正确的商是多少？ 分析：被除数漏写一个 0，相当于被除数除以 10，除数不变，商也除以 10。 正确的商 = 5 × 10 = 50。 例题讲解 一、和的变化规律 【例题1】两个数相加，一个加数增加15，另一个加数不变，和会 。 【答案】增加15 【解析】 一个加数不变，另一个加数增加15，和就增加15。 【例题2】两个数相加，一个加数减少9，另一个加数也减少9，和会 。 【答案】减少18 【解析】 两个加数都减少9，和减少的数量是9+9=18。 二、差的变化规律 【例题1】两个数相减，被减数增加20，减数不变，差会 。 【答案】增加20 【解析】 被减数增加20，减数不变，差就增加20。 【例题2】已知X - Y = 36。如果X增加8，Y减少7，那么新的差是 。 【答案】51 【解析】 原来的差是36。X增加8，差增加8；Y减少7，差会增加7（因为减数变小，差变大）。所以新的差是36 + 8 + 7 = 51。 【例题3】一个四位数减去一个三位数，差是2023。如果被减数的百位数字增加5，个位数字减少2，减数的十位数字增加3，那么新的差是多少？ 【答案】新的差是2491。 【解析】1.分析被减数的变化及其对差的影响： 设原被减数为四位数 （A,B,C,D为数字，A≠0），其值 = 。 （1）百位数字增加5： 百位上的数字B变为B+5，因此被减数增加了 。根据差的变化规律，这会使差增加500。 （2）个位数字减少2： 个位上的数字D变为D-2，因此被减数减少了 。根据差的变化规律，这会使差减少2。 （3）被减数总的变化量对差的净影响： （即差增加498）。 2.分析减数的变化及其对差的影响： 设原减数为三位数 （E,F,G为数字，E≠0），其值 = 。 （1）十位数字增加3： 十位上的数字F变为F+3，因此减数增加了 。根据差的变化规律，这会使差减少30。 （2）减数总的变化量对差的净影响： （即差减少30）。 3.计算新的差： 原差 = 2023。 新差 = 原差 + 被减数变化对差的净影响 + 减数变化对差的净影响 （这里“减数变化对差的净影响”已经是考虑了反向关系后的，即减数增加30，差就减少30，所以是 -30） 因此：新差 = 三、积的变化规律 【例题1】两个数相乘，一个因数扩大到原来的5倍，另一个因数不变，积会 。 【答案】扩大到原来的5倍 【解析】 一个因数扩大5倍，另一个因数不变，积就扩大5倍。 【例题2】已知A × B = 180。如果A扩大到原来的2倍，B扩大到原来的5倍，那么新的积是 。 【答案】1800 【解析】 A扩大2倍，积扩大2倍；B扩大5倍，积再扩大5倍。所以新的积是180 × 2 × 5 = 180 × 10 = 1800。 四、商的变化规律 【例题1】两个数相除，被除数扩大到原来的8倍，除数不变，商就 。 【答案】扩大到原来的8倍 【解析】被除数扩大8倍，除数不变，商扩大8倍。 【例题2】已知M ÷ N = 36。如果M缩小到原来的，N扩大到原来的3倍，那么新的商是 。 【答案】3 【解析】M缩小到，商缩小到；N扩大3倍，商缩小到。所以新的商是36 ÷ 4 ÷ 3 = 9 ÷ 3 = 3。（或36 × ×= 36 × = 3） 五、综合应用题（看错数字问题） 【例题1】小明在做一道加法题时，把一个加数百位上的8错写成了6，把另一个加数十位上的1错写成了7，得到的和是325。正确的和应该是多少？ 【答案】465 【解析】把一个加数百位上的8错写成6，这个加数就减少了：800 - 600 = 200，和也会减少200。 把另一个加数十位上的1错写成7，这个加数就增加了：70 - 10 = 60，和也会增加60。 所以错误的和比正确的和一共减少了：200 - 60 = 140。 正确的和是：325 + 140 = 465。 【例题2】小刚在做一道乘法题时，把一个因数个位上的3错写成了8，结果得到的积是270，而正确的积应该是180。这两个因数分别是多少？ 【答案】和 【解析】错误的积是270，正确的积是180，因此积增加了 。 积的增加量（90）是由“不变的因数”乘以5（因数个位从3到8的增量）导致的。设不变的因数为 ，则 ，解得 。 已知正确的积是180，不变的因数是18，因此另一个因数为 。 考点练习 一、和的变化规律 1.两个数相加，和是100。如果一个加数增加20，另一个加数减少20，现在的和是 。 【答案】100 【解析】 一个加数增加20，另一个加数减少20，增加和减少的数量相同，所以和不变，还是100。 2.已知A + B = 85。如果A增加10，B增加5，那么新的和是 。 【答案】100 【解析】 原来的和是85。A增加10，和增加10；B增加5，和再增加5。所以新的和是85 + 10 + 5 = 100。 3.两个数相加，一个加数增加12，另一个加数减少8，和会 。 【答案】增加4 【解析】 一个加数增加12会使和增加12，另一个加数减少8会使和减少8。最终和的变化是12 - 8 = 4，即增加4。 4.两数之和为150，若一个加数减少18，要使和变为155，另一个加数应 。 【答案】增加23 【解析】 一个加数减少18，会使和减少18，此时和变为150 - 18 = 132。要使和从132变为155，需要增加155 - 132 = 23。所以另一个加数应增加23。 5.已知：□ + △ = 50，□ + (△ + ☆) = 75。那么☆ = 。 【答案】25 【解析】 第二个式子比第一个式子多了一个☆，和也从50变成了75。根据规律1，△增加了☆（即另一个加数增加了☆），和就增加了☆。所以☆ = 75 - 50 = 25。 二、差的变化规律 1.两个数相减，被减数不变，减数增加15，差会 。 【答案】减少15 【解析】减数增加15，被减数不变，差就减少15。 2.两个数相减，被减数减少10，减数也减少10，差会 。 【答案】不变 【解析】 被减数和减数同时减少相同的数（10），差不变。 3.已知A - B = 45。如果A减少12，B增加13，那么新的差是 。 【答案】20 【解析】 A减少12，差会减少12；B增加13，差会减少13。所以新的差是45 - 12 - 13 = 20。 4.两数相减的差是60，若被减数不变，要使差变为45，减数应 。 【答案】增加15 【解析】 差从60变为45，减少了60 - 45 = 15。因为被减数不变，根据规律2，差减少多少，减数就应增加多少。所以减数应增加15。 5.已知：(○ - □) = 25，(○ + ☆) - □ = 42。那么☆ = 。 【答案】17 【解析】 第二个式子可以看作是被减数○增加了☆，减数□不变。根据规律1，被减数增加☆，差就增加☆。所以☆ = 42 - 25 = 17。 6.在一个减法算式里，被减数、减数与差的和是240，减数比差多12。如果被减数不变，减数减少20，差变为多少？ 【答案】76 【解析】求被减数：根据减法算式关系“被减数=减数+差”，三者之和=被减数+减数+差=2×被减数。已知三者之和为240，故被减数=240÷2=120。 求原来的减数和差：已知“减数比差多12”（即减数-差=12），且减数+差=被减数=120（和差问题）。 利用和差公式：大数（减数）=(和+差)÷2=(120+12)÷2=66； 小数（差）=(和-差)÷2=(120-12)÷2=54。 求变化后的差：被减数不变（120），减数减少20，新减数=66-20=46，新差=被减数-新减数=120-46=76。 三、积的变化规律 1.两个数相乘，一个因数扩大到原来的4倍，另一个因数也扩大到原来的3倍，积会 。 【答案】扩大到原来的12倍 【解析】一个因数扩大4倍，另一个扩大3倍，积扩大4×3=12倍。 2.两个数相乘的积是240，如果一个因数缩小到原来的，另一个因数扩大到原来的3倍，现在的积是 。 【答案】240 【解析】 一个因数缩小3倍，另一个因数扩大3倍，积不变，所以还是240。 3.已知M × N = 360。如果M缩小到原来的，N缩小到原来的，那么新的积是 。 【答案】30 【解析】 M缩小到，积缩小到；N缩小到，积再缩小到。所以新的积是360 ÷ 4 ÷ 3 = 90 ÷ 3 = 30。（或360 ÷ (4×3) = 360 ÷ 12 = 30） 4.一个因数扩大到原来的10倍，另一个因数扩大到原来的100倍，积就扩大到原来的 倍。 【答案】1000 【解析】10 × 100 = 1000，所以积扩大到原来的1000倍。 5.两数相乘，积是150，如果一个因数扩大到原来的3倍，另一个因数缩小到原来的，那么现在的积是 。 【答案】75 【解析】 一个因数扩大3倍，积扩大3倍；另一个因数缩小到，积缩小到。整体变化是3 × = 。所以现在的积是150 × = 75。（或150 × 3 ÷ 6 = 450 ÷ 6 = 75） 6.一个长方形的面积是24平方厘米，若将它的长扩大到原来的3倍，宽扩大到原来的2倍，那么扩大后长方形的面积是 平方厘米。 【答案】144 【解析】 长方形面积 = 长 × 宽。长扩大3倍，宽扩大2倍，面积就扩大3×2=6倍。所以扩大后的面积是24 × 6 = 144平方厘米。 四、商的变化规律 1.两个数相除，被除数不变，除数扩大到原来的倍，商就 。 【答案】缩小到原来的 【解析】除数扩大5倍，被除数不变，商就缩小5倍，即缩小到原来的。 2.两个数相除的商是12，如果被除数和除数同时扩大到原来的6倍，现在的商是 。 【答案】12 【解析】被除数和除数同时扩大相同的倍数（6倍），商不变，所以还是12。 3.已知A ÷ B = 20。如果A扩大到原来的3倍，B缩小到原来的，那么新的商是 。 【答案】120 【解析】A扩大3倍，商扩大3倍；B缩小到（即缩小2倍），商反而扩大2倍。所以新的商是20 × 3 × 2 = 120。 4.两数相除商是15，若被除数不变，要使商变为5，除数应 。 【答案】扩大到原来的3倍 【解析】商从15变为5，缩小到了原来的。因为被除数不变，根据规律2，商缩小多少倍，除数就要扩大多少倍。所以除数应扩大到原来的3倍。 5.小马虎在计算除法时，把除数末尾的一个0漏写了，结果得到的商是300。正确的商应该是 。 【答案】30 【解析】除数末尾漏写一个0，说明除数缩小到了原来的。根据规律2，除数缩小10倍，被除数不变，商就扩大10倍。所以错误的商（300）是正确商的10倍，正确的商是300 ÷ 10 = 30。 6.一辆汽车3小时行驶了180千米，照这样的速度，6小时可以行驶多少千米？（用商的变化规律思考） 【答案】360千米 【解析】速度 = 路程 ÷ 时间。时间从3小时变为6小时，扩大到原来的2倍。速度不变（照这样的速度），即商（速度）不变。根据规律3，要使商不变，被除数（路程）也要扩大到原来的2倍。所以路程是180 × 2 = 360千米。 五、综合应用题（看错数字问题） 1.小红在做一道减法题时，把被减数个位上的5错写成了8，把减数十位上的2错写成了0，得到的差是129。正确的差应该是多少？ 【答案】106 【解析】被减数个位上的5错写成8，被减数增加了：8 - 5 = 3，差会增加3。 减数十位上的2错写成0，减数减少了：20 - 0 = 20，差会增加20。 所以错误的差比正确的差一共增加了：3 + 20 = 23。 正确的差是：129 - 23 = 106。 2.小勇在计算一道除法题时，把除数25错写成了52，结果得到的商是15，余数是10。正确的商应该是多少？ 【答案】31 【解析】除法中，被除数 = 除数 × 商 + 余数。小勇把除数错写成52，得到商15、余数10，因此被除数为：=。所以，被除数是 790。 正确的除数是25，用被除数790除以25：=31......15 3.一个学生在做两位数乘两位数的乘法时，把一个乘数个位上的6错写成了9，结果得到的积是432，而正确的积是360。这两个两位数分别是多少？ 【答案】24和15 【解析】错误的积是432，正确的积是360，因此积增加了。 积的增加量（72）是由“不变的乘数”乘以3（因个位6→9增加的量）导致的。设不变的乘数为，则，解得。 已知正确的积是360，不变的乘数是24，因此另一个乘数为。 4.一个三位数乘以一个两位数，小马虎在计算时，把两位数的十位数字“2”错看成了“5”，结果得到的积比正确的积多了3240。已知这个两位数的个位数字是正确的，且正确的乘积是2484。请问：原来的三位数是多少？正确的两位数是多少？ 【答案】原来的三位数是 108。正确的两位数是 23。 【解析】设原来的三位数为 ，正确的两位数为 （其中 是个位数字，）。 小马虎看错后的两位数为 。 根据题意，错误的积 - 正确的积 = 3240，即： 已知正确的乘积是 2484，即 。 所以 。 则 。 因此，正确的两位数是 23，其中个位数字 。 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 变化规律 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解并掌握加法、减法、乘法、除法中“和、差、积、商”的基本变化规律。 2.能够运用这些变化规律快速解决简单的数学问题，提高计算速度和准确性。 3.能运用所学的变化规律解决一些与“看错数字”相关的实际问题，培养分析问题和逆向思维的能力。 4.激发学习数学的兴趣，培养观察、比较、归纳和推理的能力。 知识梳理 知识点一、和的变化规律 在加法运算中，一个加数不变，另一个加数发生变化，和也会随之发生相应的变化。 规律1： 当一个加数不变，另一个加数增加（或减少）一个数时，和也会相应地增加（或减少）同一个数。 （1）如果 ，那么： ① （一个加数增加 ，和也增加 ） ② （一个加数减少 ，和也减少 ） （2）举例： ①若第一个加数不变，第二个加数增加 2： ②若第一个加数减少 1，第二个加数不变： 知识点二、差的变化规律 在减法运算中，被减数或减数发生变化，差也会随之发生相应的变化。 规律1（减数不变）： 当减数不变，被减数增加（或减少）一个数时，差也会相应地增加（或减少）同一个数。 （1）如果 ，那么： ① （被减数增加 ，差也增加 ） ② （被减数减少 ，差也减少 ） （2）举例： ①被减数增加 3，减数不变： ②被减数减少 2，减数不变： 规律2（被减数不变）： 当被减数不变，减数增加（或减少）一个数时，差会相应地减少（或增加）同一个数。 （1）如果 ，那么： ① （减数增加 ，差减少 ） ② （减数减少 ，差增加 ） （2）举例： ①被减数不变，减数增加 2： ②被减数不变，减数减少 1： 知识点三、积的变化规律 在乘法运算中，一个因数不变，另一个因数发生变化，积也会随之发生相应的变化。 规律1： 当一个因数不变，另一个因数乘（或除以）一个不为0的数时，积也会相应地乘（或除以）同一个数。 （1）如果 ，那么： ① （一个因数乘 (d≠0)，积也乘 ） ② （一个因数除以 (d≠0)，积也除以 ） （2）举例： ①第一个因数不变，第二个因数乘 2： ②第一个因数除以 2，第二个因数不变： 知识点四、商的变化规律 在除法运算中（除数不为0），被除数或除数发生变化，商会随之发生相应的变化。 规律1（除数不变）： 当除数不变，被除数乘（或除以）一个不为0的数时，商也会相应地乘（或除以）同一个数。 （1）如果 (b≠0)，那么： ① （被除数乘 (d≠0)，商也乘 ） ② （被除数除以 (d≠0)，商也除以 ） （2）举例： ①除数不变，被除数乘 2： ②除数不变，被除数除以 3： (此处举例可用整除的数，如24÷2=12，12÷6=2=4÷2) 规律2（被除数不变）： 当被除数不变，除数乘（或除以）一个不为0的数时，商反而会相应地除以（或乘）同一个数。 （1）如果 (b≠0)，那么： ① （除数乘 (d≠0)，商除以 ） ② （除数除以 (d≠0)，商乘 ） （2）举例： ①被除数不变，除数乘 2： ②被除数不变，除数除以 3： 规律3（商不变性质）： 当被除数和除数同时乘（或除以）同一个不为0的数时，商不变。 （1）如果 (b≠0)，那么： ① (d≠0) ② (d≠0) （2）举例： ①被除数和除数同时乘 2： ②被除数和除数同时除以 3： 知识点五、综合应用题（看错数字问题） 这类问题通常是指在计算时，由于看错了数字（如把某个数字看大了或看小了），导致计算结果出错，要求我们根据错误的结果和看错的数字，运用前面学习的“变化规律”来推算出正确的结果。 1.解题关键： （1）认真分析是哪个数字看错了（加数、被减数、减数、因数、被除数、除数）。 （2）确定看错的数字使结果发生了怎样的变化（根据和、差、积、商的变化规律）。 （3）根据错误结果和这个变化量，倒推出正确的结果。 2.常见类型及思路： （1）加法看错数字： ①若把一个加数看大了 ，则和也会变大 ，正确的和 = 错误的和 - 。 ②若把一个加数看小了 ，则和也会变小 ，正确的和 = 错误的和 + 。 ③举例： 小明在做加法时，把一个加数十位上的 3 看成了 5，结果和是 86，正确的和是多少？ 分析：十位上的 3 看成 5，即这个加数增加了 ，和也增加了 20。 正确的和 = 86 - 20 = 66。 （2）减法看错数字： ①看错被减数： 被减数看大 ，差变大 ；被减数看小 ，差变小 。 ②看错减数： 减数看大 ，差变小 ；减数看小 ，差变大 。 ③举例： 小红做减法时，把被减数十位上的 7 看成了 1，结果差是 23，正确的差是多少？ 分析：被减数十位 7 看成 1，被减数减少了 ，差也减少了 60。 正确的差 = 23 + 60 = 83。 ④举例： 小刚做减法时，把减数十位上的 3 看成了 5，结果差是 47，正确的差是多少？ 分析：减数十位 3 看成 5，减数增加了 ，差就减少了 20。 正确的差 = 47 + 20 = 67。 （3）乘法看错数字： ①若把一个因数看大了 倍（或增加了 ），积会相应变化，根据“积的变化规律”调整。 ②举例： 小李做乘法时，把一个因数个位上的 6 看成了 9，结果积比原来多了 30，另一个因数是多少？（假设另一个因数为 ） 分析：个位 6 看成 9，这个因数增加了 ，积增加了 。 所以另一个因数 。 （4）除法看错数字： ①看错被除数或除数，根据“商的变化规律”分析商的变化，进而求出正确结果。 ②举例： 小芳做除法时，把被除数末尾的一个 0 漏写了，结果商是 5，正确的商是多少？ 分析：被除数漏写一个 0，相当于被除数除以 10，除数不变，商也除以 10。 正确的商 = 5 × 10 = 50。 例题讲解 一、和的变化规律 【例题1】两个数相加，一个加数增加15，另一个加数不变，和会 。 【例题2】两个数相加，一个加数减少9，另一个加数也减少9，和会 。 二、差的变化规律 【例题1】两个数相减，被减数增加20，减数不变，差会 。 【例题2】已知X - Y = 36。如果X增加8，Y减少7，那么新的差是 。 【例题3】一个四位数减去一个三位数，差是2023。如果被减数的百位数字增加5，个位数字减少2，减数的十位数字增加3，那么新的差是多少？ 三、积的变化规律 【例题1】两个数相乘，一个因数扩大到原来的5倍，另一个因数不变，积会 。 【例题2】已知A × B = 180。如果A扩大到原来的2倍，B扩大到原来的5倍，那么新的积是 。 四、商的变化规律 【例题1】两个数相除，被除数扩大到原来的8倍，除数不变，商就 。 【例题2】已知M ÷ N = 36。如果M缩小到原来的，N扩大到原来的3倍，那么新的商是 。 五、综合应用题（看错数字问题） 【例题1】小明在做一道加法题时，把一个加数百位上的8错写成了6，把另一个加数十位上的1错写成了7，得到的和是325。正确的和应该是多少？ 【例题2】小刚在做一道乘法题时，把一个因数个位上的3错写成了8，结果得到的积是270，而正确的积应该是180。这两个因数分别是多少？ 考点练习 一、和的变化规律 1.两个数相加，和是100。如果一个加数增加20，另一个加数减少20，现在的和是 。 2.已知A + B = 85。如果A增加10，B增加5，那么新的和是 。 3.两个数相加，一个加数增加12，另一个加数减少8，和会 。 4.两数之和为150，若一个加数减少18，要使和变为155，另一个加数应 。 5.已知：□ + △ = 50，□ + (△ + ☆) = 75。那么☆ = 。 二、差的变化规律 1.两个数相减，被减数不变，减数增加15，差会 。 2.两个数相减，被减数减少10，减数也减少10，差会 。 3.已知A - B = 45。如果A减少12，B增加13，那么新的差是 。 4.两数相减的差是60，若被减数不变，要使差变为45，减数应 。 5.已知：(○ - □) = 25，(○ + ☆) - □ = 42。那么☆ = 。 6.在一个减法算式里，被减数、减数与差的和是240，减数比差多12。如果被减数不变，减数减少20，差变为多少？ 三、积的变化规律 1.两个数相乘，一个因数扩大到原来的4倍，另一个因数也扩大到原来的3倍，积会 。 2.两个数相乘的积是240，如果一个因数缩小到原来的，另一个因数扩大到原来的3倍，现在的积是 。 3.已知M × N = 360。如果M缩小到原来的，N缩小到原来的，那么新的积是 。 4.一个因数扩大到原来的10倍，另一个因数扩大到原来的100倍，积就扩大到原来的 倍。 5.两数相乘，积是150，如果一个因数扩大到原来的3倍，另一个因数缩小到原来的，那么现在的积是 。 6.一个长方形的面积是24平方厘米，若将它的长扩大到原来的3倍，宽扩大到原来的2倍，那么扩大后长方形的面积是 平方厘米。 四、商的变化规律 1.两个数相除，被除数不变，除数扩大到原来的倍，商就 。 2.两个数相除的商是12，如果被除数和除数同时扩大到原来的6倍，现在的商是 。 3.已知A ÷ B = 20。如果A扩大到原来的3倍，B缩小到原来的，那么新的商是 。 4.两数相除商是15，若被除数不变，要使商变为5，除数应 。 5.小马虎在计算除法时，把除数末尾的一个0漏写了，结果得到的商是300。正确的商应该是 。 6.一辆汽车3小时行驶了180千米，照这样的速度，6小时可以行驶多少千米？（用商的变化规律思考） 五、综合应用题（看错数字问题） 1.小红在做一道减法题时，把被减数个位上的5错写成了8，把减数十位上的2错写成了0，得到的差是129。正确的差应该是多少？ 2.小勇在计算一道除法题时，把除数25错写成了52，结果得到的商是15，余数是10。正确的商应该是多少？ 3.一个学生在做两位数乘两位数的乘法时，把一个乘数个位上的6错写成了9，结果得到的积是432，而正确的积是360。这两个两位数分别是多少？ 4.一个三位数乘以一个两位数，小马虎在计算时，把两位数的十位数字“2”错看成了“5”，结果得到的积比正确的积多了3240。已知这个两位数的个位数字是正确的，且正确的乘积是2484。请问：原来的三位数是多少？正确的两位数是多少？ 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $