第05讲 算式之谜（知识梳理+例题讲解+考点练习）-三年级奥数培优讲义

第05讲 算式之谜 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.初步理解算式谜的含义，知道算式中不同的图形、字母或汉字可能代表不同的数字。 2.掌握解算式谜的基本方法：观察、分析、推理、尝试和验证。 3.能够运用加减法和乘除法的运算规则，解决简单的算式谜问题。 4.培养逻辑思维能力、数字敏感度和解决问题的耐心与信心。 5.激发学习数学的兴趣，体验探究数学奥秘的乐趣。 知识梳理 知识点一、加减法算式谜 1.基本概念： 在加减法算式中，用□、△、○、☆或汉字、字母等符号代替数字，要求根据算式中给定的运算关系和数字，推算出这些符号所代表的数字，使算式成立。 2.核心方法： （1）观察法： 从算式中数字最多、最容易确定的地方入手，例如个位、最高位等。 （2）分析法： 根据加减法的运算规则（特别是进位和退位）进行分析。 ①加法： 相同数位对齐，从个位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。 a：突破口：个位数字的和（可能涉及进位），最高位数字的和（可能涉及进位）。 b：常用结论：越加越小必有进位。 ②减法： 相同数位对齐，从个位减起，哪一位上的数不够减，就从前一位退一当十，和本位上的数合并后再减。 a：突破口：个位数字的差（可能涉及退位），最高位数字的差（可能涉及退位）。 b：常用结论：越减越大必有退位。 （3）推理法： 结合已知数字和运算规则，推断出未知符号可能代表的数字范围。 （4）尝试法（排除法）： 在可能的数字范围内进行尝试，并验证是否符合算式要求，排除错误答案。 3.注意事项： （1）相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字（特殊说明除外）。 （2）算式谜的答案通常是唯一的。 （3）不要忽略进位和退位的情况，这往往是解题的关键。 4.解题步骤（参考）： （1）审题： 仔细观察算式，明确是加法还是减法，有哪些已知数字，哪些是未知符号。 （2）寻找突破口： 通常从个位或最高位，或者已知数字较多的数位入手。 （3）逐步推理与尝试： 根据运算规则和已知条件，确定某个符号代表的数字，然后代入算式，再逐步推断其他符号。 （4）验证： 得出结果后，将数字代入原算式进行验算，确保算式成立。 知识点二、乘除法算式谜 1.基本概念： 在乘除法算式中，用□、△、○、☆或汉字、字母等符号代替数字，要求根据算式中给定的运算关系和数字，推算出这些符号所代表的数字，使算式成立。 2.核心方法（乘法）： （1）观察法： 从个位、最高位或已知数字较多的部分入手。 （2）利用乘法口诀： 这是解决乘法算式谜的重要工具，特别是一位数乘法或两位数乘一位数。 （3）分析进位： 注意乘法中各数位相乘后的进位情况，进位数字可能是1-9（取决于乘数和被乘数的大小）。 （4）首位估算： 根据乘积的位数和最高位数字，估算乘数或被乘数的最高位数字。 （5）尝试与验证： 结合乘法口诀和进位进行尝试，并验证结果。 3.核心方法（除法）： （1）理解除法竖式结构： 明确被除数、除数、商、余数、积（除数与商某位数字的乘积）之间的关系。 （2）从商的最高位入手： 通常商的最高位数字与除数的乘积是已知的或容易推断的。 利用乘法口诀试商： 除数是几，就想几的乘法口诀。 （3）关注余数： 余数必须比除数小。 （4）倒推法： 根据除法各部分之间的关系（被除数 = 除数 × 商 + 余数）进行倒推。 4.注意事项： （1）相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字（特殊说明除外）。 （2）乘法中，0乘以任何数都得0，1乘以任何数都得原数，这些特性有时可作为突破口。 （3）除法中，商的某一位如果是0，那么这一位上的乘积就是0（或不够除用0占位）。 （4）不要忽略每一步的进位（乘法）和退位（除法，主要指试商时）。 5.解题步骤（参考）： （1）审题： 明确是乘法还是除法，观察算式结构，找出已知数字和未知符号。 （2）寻找突破口： ①乘法： 个位（利用乘法口诀）、最高位（估算范围）。 ②除法： 除数与商的最高位的乘积、商的某位数字与除数的乘积、余数。 （3）逐步推理与尝试： 运用乘法口诀、估算、分析进位/退位，尝试确定符号代表的数字，并代入验证。 （4）全面验证： 将所有数字代入原乘除法算式（尤其是除法的竖式），检查每一步运算是否正确。 例题讲解 一、加减法算式谜 【例题1】从1~9中选择合适的数字填入下面的中，每个算式中的数字不能重复。 【例题2】在里填上合适的数字。 【例题3】在下式的每个空格里填入一个数字，使竖式成立。 【例题4】在下边的算式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，根据这个算式，可以推算出：　 　. 二、乘除法算式谜 【例题1】在□里填上合适的数。 【例题2】在方框里填上合适的数字。 【例题3】在□里填上合适的数。 考点练习 一、加减法算式谜 1．从1~9中选合适的数字填入下面的中。(每个算式中的数字不能重复) 2．每个竖式中的和各代表1个数字，它们分别是几？ 3．在里填上合适的数字。 4．在下面算式的方框内，各填入一个合适的数字，使算式成立。 5．填一填。 6．在□里填合适的数字。 （1） （2） 7．在 里填上合适的数字。 8．在里填上合适的数。 9．在里填上合适的数字。 10．在□里填入合适的数字，使竖式成立。 （1） （2） 11．如图所示的算式中，相同的汉字表示相同的一位数字，不同的汉字表示不同的一位数字，则数+学+竞+赛=　 　 或　 　。 12．把0~9中的数填到下图的方格中，每个数只能用一次，其中5已经填好，位于上方的格子中所填数总大于它正下方的格子中所填数。 二、乘除法算式谜 1．在里填上合适的数字。 2． 在□里填上合适的数，使竖式成立。 3．在□里填上合适的数，使竖式成立。 4．在方框里填上合适的数。 5．在里填上合适的数字，使竖式成立。 （1） （2） （3） （4） 6．在□里填上合适的数。 7．在□里填上适当的数字，使竖式成立。 8．在□里填上适当的数字，使竖式成立。 9．在□里填上合适的数。 10．在方格里填上合适的数，使等式成立。 11．在□里填上合适的数。 12．把下面的竖式补充完整。 13．在下面竖式的方框里填上合适的数。 （1） （2） （3） （4） 14．在下面竖式的方框里填上正确的数。 （1） （2） （3） （4） 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 算式之谜 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.初步理解算式谜的含义，知道算式中不同的图形、字母或汉字可能代表不同的数字。 2.掌握解算式谜的基本方法：观察、分析、推理、尝试和验证。 3.能够运用加减法和乘除法的运算规则，解决简单的算式谜问题。 4.培养逻辑思维能力、数字敏感度和解决问题的耐心与信心。 5.激发学习数学的兴趣，体验探究数学奥秘的乐趣。 知识梳理 知识点一、加减法算式谜 1.基本概念： 在加减法算式中，用□、△、○、☆或汉字、字母等符号代替数字，要求根据算式中给定的运算关系和数字，推算出这些符号所代表的数字，使算式成立。 2.核心方法： （1）观察法： 从算式中数字最多、最容易确定的地方入手，例如个位、最高位等。 （2）分析法： 根据加减法的运算规则（特别是进位和退位）进行分析。 ①加法： 相同数位对齐，从个位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。 a：突破口：个位数字的和（可能涉及进位），最高位数字的和（可能涉及进位）。 b：常用结论：越加越小必有进位。 ②减法： 相同数位对齐，从个位减起，哪一位上的数不够减，就从前一位退一当十，和本位上的数合并后再减。 a：突破口：个位数字的差（可能涉及退位），最高位数字的差（可能涉及退位）。 b：常用结论：越减越大必有退位。 （3）推理法： 结合已知数字和运算规则，推断出未知符号可能代表的数字范围。 （4）尝试法（排除法）： 在可能的数字范围内进行尝试，并验证是否符合算式要求，排除错误答案。 3.注意事项： （1）相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字（特殊说明除外）。 （2）算式谜的答案通常是唯一的。 （3）不要忽略进位和退位的情况，这往往是解题的关键。 4.解题步骤（参考）： （1）审题： 仔细观察算式，明确是加法还是减法，有哪些已知数字，哪些是未知符号。 （2）寻找突破口： 通常从个位或最高位，或者已知数字较多的数位入手。 （3）逐步推理与尝试： 根据运算规则和已知条件，确定某个符号代表的数字，然后代入算式，再逐步推断其他符号。 （4）验证： 得出结果后，将数字代入原算式进行验算，确保算式成立。 知识点二、乘除法算式谜 1.基本概念： 在乘除法算式中，用□、△、○、☆或汉字、字母等符号代替数字，要求根据算式中给定的运算关系和数字，推算出这些符号所代表的数字，使算式成立。 2.核心方法（乘法）： （1）观察法： 从个位、最高位或已知数字较多的部分入手。 （2）利用乘法口诀： 这是解决乘法算式谜的重要工具，特别是一位数乘法或两位数乘一位数。 （3）分析进位： 注意乘法中各数位相乘后的进位情况，进位数字可能是1-9（取决于乘数和被乘数的大小）。 （4）首位估算： 根据乘积的位数和最高位数字，估算乘数或被乘数的最高位数字。 （5）尝试与验证： 结合乘法口诀和进位进行尝试，并验证结果。 3.核心方法（除法）： （1）理解除法竖式结构： 明确被除数、除数、商、余数、积（除数与商某位数字的乘积）之间的关系。 （2）从商的最高位入手： 通常商的最高位数字与除数的乘积是已知的或容易推断的。 利用乘法口诀试商： 除数是几，就想几的乘法口诀。 （3）关注余数： 余数必须比除数小。 （4）倒推法： 根据除法各部分之间的关系（被除数 = 除数 × 商 + 余数）进行倒推。 4.注意事项： （1）相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字（特殊说明除外）。 （2）乘法中，0乘以任何数都得0，1乘以任何数都得原数，这些特性有时可作为突破口。 （3）除法中，商的某一位如果是0，那么这一位上的乘积就是0（或不够除用0占位）。 （4）不要忽略每一步的进位（乘法）和退位（除法，主要指试商时）。 5.解题步骤（参考）： （1）审题： 明确是乘法还是除法，观察算式结构，找出已知数字和未知符号。 （2）寻找突破口： ①乘法： 个位（利用乘法口诀）、最高位（估算范围）。 ②除法： 除数与商的最高位的乘积、商的某位数字与除数的乘积、余数。 （3）逐步推理与尝试： 运用乘法口诀、估算、分析进位/退位，尝试确定符号代表的数字，并代入验证。 （4）全面验证： 将所有数字代入原乘除法算式（尤其是除法的竖式），检查每一步运算是否正确。 例题讲解 一、加减法算式谜 【例题1】从1~9中选择合适的数字填入下面的中，每个算式中的数字不能重复。 【答案】 【解析】【分析】 100以内的加法，相同数位对齐，从个位加起，哪一位上相加满十向前一位进一；100以内的减法，相同数位对齐，从个位减起，哪一位上不够减，就从前一位借一当十继续减。计算加法时，要考虑个位相加满十向十位进1的情况；计算减法时，要考虑个位上不够减，要从十位退1，在个位上加10再减的情况。同时还要注意每个算式中的数字不能重复。 【例题2】在里填上合适的数字。 【答案】解： 【解析】【分析】万以内的加法，相同数位对齐，从个位加起，哪一位上相加满十向前一位进一；万以内的减法，相同数位对齐，从个位减起，哪一位上不够减，就从前一位借一当十继续减。 【例题3】在下式的每个空格里填入一个数字，使竖式成立。 【答案】解： 【解析】【分析】 个位： 9+6=15，向十位进1.十位： 9+0+进位1=10，向百位进1.百位：9+0+进位1=10， 向千位进1.千位： 2+进位1=3. 再改为减法算式即可. 【例题4】在下边的算式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，根据这个算式，可以推算出：　 　. 【答案】25 【解析】【解答】解：比较竖式中百位与十位的加法，如果十位上没有进位，那么百位上两个“□”相加等于一个“□”，得到“□”，这与“□”在首位不能为0矛盾，所以十位上的“□□”肯定进位，那么百位上有“□□□”，从而“□”，“☆”。再由个位的加法，推知“○△”．从而“”． 故答案为：25 【分析】观察算式，如果十位上没有进位，那么百位上两个“”相加等于一个“”，得到“”=0，这与“”在首位不能为0矛盾，所以十位上的“+”肯定进位，那么百位上有“++1=10+”，从而“”=9，“☆”=8；再由个位的加法，推知“+=8”，“+++☆”=9+8+8=25。 二、乘除法算式谜 【例题1】在□里填上合适的数。 【答案】解： 【解析】【分析】依据9以内的乘法口诀分别计算，在有余数的除法中，余数要比除数小。（最后一题答案不唯一）。 【例题2】在方框里填上合适的数字。 【答案】解： 【解析】【分析】算式一，观察积是四位数，最高位是2，9×3=27，则一位数是3，个位2×3=6，十位的积是5，15÷3=5，则第一个因数是十位是5，这个算式是952×3=2856； 算式二，观察积是四位数，前两位是29，一个因数是9，则另一个因数的百位是3，个位7×9=63，向十位进6，百位9×3=27，十位进2后，才能变成29，9×2=18，18+6=24，则算式为：327×9=2943。 【例题3】在□里填上合适的数。 【答案】解： 【解析】【分析】三位数除以一位数，先用被除数最高位上的数去除，如果它比除数小，就用前两位上的数去除，用哪一位上的数去除，商就和那一位对齐，每次除后余下的数必须比除数小。据此计算。 考点练习 一、加减法算式谜 1．从1~9中选合适的数字填入下面的中。(每个算式中的数字不能重复) 【答案】解： 【解析】【分析】100以内的加法，相同数位对齐，从个位加起，哪一位上相加满十向前一位进一；100以内的减法，相同数位对齐，从个位减起，哪一位上不够减，就从前一位借一当十继续减。 计算加法时，要考虑个位相加满十向前一位进1的情况；计算减法时，要考虑个位上不够减，要从前一位退1，在本位上加10再减的情况。同时还要注意算式中的数字不能重复，本题答案不唯一。 2．每个竖式中的和各代表1个数字，它们分别是几？ 【答案】解： 【解析】【分析】100以内的加法，相同数位对齐，从个位加起，哪一位上相加满十向前一位进一；100以内的减法，相同数位对齐，从个位减起，哪一位上不够减，就从前一位借一当十继续减。 3．在里填上合适的数字。 【答案】​​​​​​​ 【解析】【分析】第一题：个位数字相加是0，所以第二个加数的个位数字是0；十位数字相加和是3，说明十位数字相加满十，8+5=13，向十位进1，然后确定百位数字； 第二题：十位数字12-4=8，向百位退1，然后根据差的百位数字确定被减数的百位数字即可。 4．在下面算式的方框内，各填入一个合适的数字，使算式成立。 【答案】解： 【解析】【分析】万以内的加法，相同数位对齐，从个位加起，哪一位上相加满十向前一位进一；万以内的减法，相同数位对齐，从个位减起，哪一位上不够减，就从前一位借一当十继续减。 5．填一填。 【答案】 【解析】【分析】万以内的加法，相同数位对齐，从个位加起，哪一位上相加满十向前一位进一；万以内的减法，相同数位对齐，从个位减起，哪一位上不够减，就从前一位借一当十继续减。 5＋3＝8，因此第二排的个位上应填上3，7＋3＝10，因此第一排的十位应填上3，并向前一位进一，7＋1＋2＝8＋2＝10，因此第二排的百位应填上2。 第一排的个位上为0，要计算减法，需向前一位借一，因此10－4＝6，因此第二排的个位上应填上6，6＋2＋1＝8＋1＝9，因此第一排的十位应填上9，8－0＝8，因此第二排的百位应填上8。 5＋6＝11，因此第一排的个位上应填上1，而在进行减法计算时需要向前一位借一，6－4＝2，但实际填的是1，因此第一排的十位应填上减2应该不够减，需向前一位借一，才能使百位上的结果为1，因此第一排的十位应填上小于或等于的数2，可以填的数有0、1、2。当填入数字0时，算式为601－425＝176；当填入数字1时，算式为611－425＝186；当填入数字2时，算式为621－425＝196。 6．在□里填合适的数字。 （1） （2） 【答案】（1）解： （2）解： 【解析】【分析】万以内的加法，相同数位对齐，从个位加起，哪一位上相加满十向前一位进一；万以内的减法，相同数位对齐，从个位减起，哪一位上不够减，就从前一位借一当十继续减。 7．在 里填上合适的数字。 【答案】解： 【解析】【分析】（1）观察个位可知，6与一个数的和是13，则第一个加数的个位是13-6=7，第一个加数的十位与第二个加数的十位相加，再加上进位的1等于10，则第二个加数的十位数字是10-6-1=3，和的百位上是2+3+1=6； （2）观察个位可知，被减数的个位是7，差的个位是9，则减数的个位是17-9=8，被减数的十位上退去1个后减去2等于8，则被减数的十位上是2+8+1=11，向百位进1，十位上是1，据此解答。 8．在里填上合适的数。 【答案】解： 【解析】【分析】万以内的加法，相同数位对齐，从个位加起，哪一位上相加满十向前一位进一；万以内的减法，相同数位对齐，从个位减起，哪一位上不够减，就从前一位借一当十继续减。 9．在里填上合适的数字。 【答案】解： 【解析】【分析】在计算加法竖式时，哪一位上相加满10要向前一位进1，计算前一位时要记得加上1。 10．在□里填入合适的数字，使竖式成立。 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】【分析】（1）连续退位，个位上10-5=5，十位上11-5=6，被减数百位上9-9=0，被减数千位数字是1； （2）个位上7-3=4；十位不够减向百位退1，13-5=8；由此确定其它数字即可。 11．如图所示的算式中，相同的汉字表示相同的一位数字，不同的汉字表示不同的一位数字，则数+学+竞+赛=　 　 或　 　。 【答案】24；28 【解析】【解答】解：从个位上看起，个位上的“赛”只能是5，则由竞竞，知“竞”只能取6，又由学学，则知学可取4或9，当取4时，数等于9；当取9时，数等于8.所以数+学+竞+赛=5+6+4+9=24或5+6+8+9=28。 故答案为：24；28。 【分析】通过分析末位数的特性来确定一些数字的可能值，然后逐步向前推导，利用加法和乘法的性质来确定其他数字的值。最后将所有确定的数字加起来，得到最终的答案。 12．把0~9中的数填到下图的方格中，每个数只能用一次，其中5已经填好，位于上方的格子中所填数总大于它正下方的格子中所填数。 【答案】解： 【解析】【分析】首先需要确定个位数的填法，因为个位数的填法会直接影响到十位、百位和千位的填法。然后根据个位数的填法，确定十位、百位和千位的填法。最后将所有可能的填法组合起来，得到所有可能的解。 二、乘除法算式谜 1．在里填上合适的数字。 【答案】解： (答案不唯一) 【解析】【分析】依据9以内的乘法口诀分别计算，在有余数的除法中，余数要比除数小。 2． 在□里填上合适的数，使竖式成立。 【答案】 【解析】【分析】第一个竖式中，3×3=9，所以一位数是3，3×7=21，所以积的十位是1，积的百位是8，2×3+2=8，所以三位数的首位是2，综上，这个算式是：273×3=819； 第二个竖式中，想3×4=12，8×4=32，三位数的首位3乘一位数4是12，观察积没有进位，所以2×4加上个位进上的数不能大于9，所以三位数的个位是3，故这个算式是：323×4=1292。 3．在□里填上合适的数，使竖式成立。 【答案】解： 【解析】【分析】两位数除以一位数，先用十位上的数去除，商的最高位要和十位对齐，然后再用个位上的数去除，每次除后余下的数必须比除数小。 4．在方框里填上合适的数。 【答案】解：180×9=1620，704×5=3520 【解析】【分析】三位数乘一位数，相同数位对齐，从个位起，用一位数分别去乘三位数每一位上的数。第一个竖式中，由已知乘数为9和结果是一千六百多可知，三位数的百位上的数字只能填1，三位数的个位上的数字填除9 以外的其余数字即可； 第二个竖式中，由于三位数的十位上的数字为0，积的十位上的数字为2，因此三位数的个数上的数字只能填4或5。 5．在里填上合适的数字，使竖式成立。 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）解：(答案不唯一) （2）解： （3）解： ​​ （4）解： 【解析】【分析】依据9以内的乘法口诀分别计算，在有余数的除法中，余数要比除数小。 6．在□里填上合适的数。 【答案】解： 【解析】【分析】三位数乘一位数，相同数位对齐，从个位起，用一位数分别去乘三位数每一位上的数。 第一个竖式中，积的个位数字为3，以此为突破口，因为7×9=63，所以确定一位数乘数为9；结合积的千位和百位数字可知，三位数乘数的百位数字只能是3；最后推出三位数乘数的十位数字为2。第二个竖式中，由积的最高位数字是2，首先考虑一位数乘数为7、8或9，然后逐步尝试三位数乘数的十位数字，直到找到符合要求的数字，这两个算式分别是327×9=2943、357×7=2499。 7．在□里填上适当的数字，使竖式成立。 【答案】解： 【解析】【分析】三位数除以一位数，先用被除数最高位上的数去除，如果它比除数小，就用前两位上的数去除，用哪一位上的数去除，商就和那一位对齐，每次除后余下的数必须比除数小。 商的十位上是6，除数是3。被除数的前两位减6和3的积，差是0。被除数的前两位是18。商的个位上的数字与3的积为3。→商的个位上的数字为1。被除数个位上的数字减3，差为2。被除数个位上的数字是5。 8．在□里填上适当的数字，使竖式成立。 【答案】解：或者 【解析】【分析】（1）乘积的个位数字为8，那么第二个因数是4，考虑第一个因数的百位数字乘4再加上某个数字等于15，那么第一个因数的十位数字是7，百位数字是3。 （2）从第一个因数的最高位入手，第一个因数的最高位是3，乘积的最高位是2，可以确定第二个因数的大致范围，只可能是6、7、8、9，然后逐一进行试算。 9．在□里填上合适的数。 【答案】解：。 【解析】【分析】第一个竖式中，商的个位是3，3×5=15，所以除数是5；5×3=15，所以商的十位是3，商完3后余数是1，所以被除数的前两位是15+1=16。故这个算式是：165÷5=33； 第二个竖式中，十位商6，得到的结果是四十多，所以除数可能是7，也可能是8，当除数是7时，7×6=42，被除数的十位是0，那么被除数的前两位是50，50-42=8，8>6，所以除数填7不合适；那么除数只能是8，6×8=48，50-48=2，所以商的个位是24÷8=3。故这个算式是：504÷8=63。 10．在方格里填上合适的数，使等式成立。 【答案】解： ​​ 【解析】【分析】两位数乘两位数的笔算乘法，相同数位对齐，先用第二个因数个位上的数去乘第一个因数，再用十位上去乘第一个因数，最后把两次乘得的积相加； 三位数除以一位数，先用被除数最高位上的数去除，如果它比除数小，就用前两位上的数去除，用哪一位上的数去除，商就和那一位对齐，每次除后余下的数必须比除数小。 11．在□里填上合适的数。 【答案】解： 【解析】【分析】三位数除以一位数，先用被除数最高位上的数去除，如果它比除数小，就用前两位上的数去除，用哪一位上的数去除，商就和那一位对齐，每次除后余下的数必须比除数小。 从18入手，8+1=9，所以7□8中，□=9，计算798÷6即可； 采用逆推法。因为余数是2，所以被除数个位上的数字是2；由算式可知，4×6=24，24+2=26，所以被除数是262，计算262÷4即可。 12．把下面的竖式补充完整。 【答案】解： ​​​​​​​ 【解析】【分析】第一个竖式根据最后一步的差是0，说明9乘一个数的个位上的数字是5，因为只有5×9=45个位上才有5，所以商的个位上是5，因此商是85，被除数=商×除数=85×9=765，所以，算式是765÷9，据此计算即可； 第二个竖式：因为商是两位数，所以除数>3，可能是4，5，6，7，8，9，通过尝试只有当除数是9时，商3才合适，因此除数是9；通过最后一步的积是□3，而9的乘法中只有7×9=63个位上有3，所以商的个位是7，即商是37，除数是9，因此，被除数=商×除数+余数=37×9+8=333+8=341，即，算式是341÷9，据此计算即可。 13．在下面竖式的方框里填上合适的数。 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）解： （2）解： ​​ （3）解： （4）解： ​​ 【解析】【分析】先观察数字的特点和计算法则：（1）从右向左分析：因为和的末位是1，所以个位上的□里应该填7，4+7=11，向十位进1；因为和的十位是4，一个加数十位上的数字为5，所以另一个加数十位上的数字+5+1=14，可推出另一个加数十位上的数字为14-1-5=8，向百位进1；因为和的百位上是0，一个加数百位．上是3，所以另一个加数百位上的数字+3+1=10，百位上的□里应该填10-1-3=6，剩下的千位上只能是1。 （2）从右向左分析：因为个位上是7-6=1，所以差的个位上是1；因为被减数十位上是3，差是8，所以被减数十位上不够减，需从百位上借1，13-5=8，所以减数十位上是5；因为被减数百位上是2，减数是6，被减数百位上也不够减，需从千位上借1，12-1-6=5，所以差的百位上是5；因为差的千位已经为0，在被减数的万位和千位上，被减数□□-1-□=0，只能是10-1-9=0，所以被减数万位和千位上只能分别是1和0，减数千位上只能是9。 （3）从右向左分析：因为积的末位是5，所以乘数个位上的□里只能填5，5×7=35，向十位进3；十位上6×7+3=45，所以积的十位上的□里应填5，向百位进4；因为积的百位上是0，所以□×7+4=□0，所以乘数百位上的□里只能填8，8×7+4=60，向千位进6；因为千位上□×7+6=5□，乘数的千位上的□里只能填7，所以7×7+6=55。 （4）通过观察我们发现商个位上的8与除数的乘积是48，由此可求出除数为6；再根据商的千位与6的乘积是二十几，可求出商的千位是4，因而被除数的万位是2，千位是4，进而可求出商的百位是0，十位是2， 被除数的百位是1，十位是6，个位是8。 14．在下面竖式的方框里填上正确的数。 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）解：​​​​​​​ （2）解：或或​​​​​​​ （3）解：​​​​​​​ （4）解：​​​​​​​ 【解析】【分析】（1）根据题意可知，积的个位定6，因为7×8=56，可得乘数为8，向十位进·5，9-5=4，即×8的末位数是4，所以第一个乘数十位里可以填3或8，分别代入竖式，3能使竖式成立，8不能使竖式成立。 (2)由积的末位数是4 可知，能便之底立的月2×2=4，1×4=4，2×7=14，3×8=24，4×6=24，8×8=64，6×9=，54。因为积的最高两位是26，所以2×2=4，1×4=4不用考虑，将其他代入检验，可使竖式成立的有： （3）由于积的个位数是5，得出两个界数的以推出：另一个是奇数。依据乘积的千位是7，百位是0，可以推出：①第一个乘数的百位是7，第二个乘数是9；②第一个乘数的百位是9，第二个乘数是7。经代入计算可得，第一个乘数的百位数字只能是7。因此求出第一个乘数是785，第二个乘整是9。 （4）由8×6=48可知，48÷8=6，商的百位填6，且被除数的千位、百位分别填4，8。由竖式中“1”得出，被除数的十位填1。由1=商的个位×8可知，两位数1能被8整除，只有16÷8=2，所以被除数的个位填6，商的个位填2。 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $