第05讲 长方形、正方形的面积（知识梳理+例题讲解+考点练习）-五年级奥数培优讲义

第05讲 长方形、正方形的面积 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.掌握长方形和正方形的面积计算公式并能直接应用。 2.运用分解、平移、合并等技巧，将复杂图形转化为基本图形（长方形、正方形）求解面积。 3.提高几何图形观察能力和思维转换能力。 知识梳理 知识点一、基本公式 1.长方形面积：长×宽（公式：，其中为长，为宽）。 2.正方形面积：边长×边长（公式：，其中为边长）。 知识点二、方法技巧（转化思想：将复杂图形转化为基本图形） 1.分解法 （1）方法解读：分解法（又称“分割法”）是将一个不规则图形分割成若干个基本的长方形或正方形，分别计算每个基本图形的面积后，将结果相加得到原图形的总面积。 （2）适用情况 ①图形由多个规则图形（长方形、正方形）拼接而成，且有明显的“拼接线”； ②图形整体不规则，但可通过直线分割成几个完整的长方形或正方形。 （3）解题步骤 ①观察图形：确定分割线，将不规则图形分割成2个或多个长方形/正方形（分割时尽量使每个基本图形的边长已知或易求）； ②分别计算：根据“长方形面积=长×宽”“正方形面积=边长×边长”，求出每个基本图形的面积； ③求和得结果：将所有基本图形的面积相加，得到原图形的总面积。 2.平移法 （1）方法解读：:平移法是通过平移图形中的部分线段或小图形，将不规则图形转化为规则的长方形或正方形，再利用面积公式计算。核心是“化曲为直”“补凸为平”，使图形的长和宽变得清晰可求。 （2）适用情况 ①图形有“阶梯状”“凹凸状”或“分散的小线段”，平移后可组合成规则图形； ②图形中部分线段或小图形的位置不影响整体面积，平移后能形成完整的长和宽。 （3）解题步骤 ①观察凹凸部分：找出图形中需要平移的线段或小图形（如阶梯的横边、竖边，或凸出/凹进的小长方形）； ②确定平移方向：将横向线段向左右平移，纵向线段向上下平移，使图形边缘“对齐”； ③计算规则图形面积：平移后得到长方形或正方形，根据新的长和宽计算面积。 3.合并法 （1）方法解读：合并法（又称“补形法”或“整体法”）是将分散的小图形合并成一个大的规则图形，或通过“整体面积减去空白面积”求目标图形面积。核心是“化分散为集中”，利用整体与部分的关系简化计算。 （2）适用情况 ①多个小长方形/正方形分散排列，可拼接成一个大的规则图形； ②图形中有“空白区域”，直接计算目标面积困难，需先求整体面积和空白面积，再用“整体-空白”得结果。 （3）解题步骤 ①确定合并目标：判断是否能将小图形合并为长方形/正方形，或确定“整体图形”和“空白图形”； ②计算整体面积：根据合并后的大图形边长，计算总面积； ③调整重叠或空白：若有重叠部分，需减去重叠面积；若用“整体-空白”，则目标面积=整体面积-空白面积。 例题讲解 一、分解法 【例题1】计算下面图形的面积。 【例题2】求下面图形的面积。 二、平移法 【例题1】计算下面图形的面积。(单位：厘米) 【例题2】求如图阴影部分的面积。 【例题3】阳光小区有一块长30米、宽20米的长方形草坪，在草坪中间开出4条宽2米的健身跑道，其余都是草地。现在草坪的面积是多少平方米？ 三、合并法 【例题1】求下面图形的面积。(单位：厘米) 【例题2】边长是8米的正方形水池，在它的四周铺一条宽1米的小路，小路的面积是多少？ 【例题3】如图，一个长方形和一个正方形部分重叠，两块没有重叠的涂色部分的面积相差多少平方厘米？ 考点练习 一、分解法 1．求下面图形的面积。(单位：厘米) 2．下图是张叔叔的养鸡场。一边靠墙，另外三边用木栏围，木栏一共长60米。现在张叔叔想扩建这个养鸡场，如果长、宽各增加10米，面积会增加多少平方米？ 3．如图长方形被分成两部分，已知阴影面积比空白部分面积大平方厘米，求阴影部分的面积． 4．如图是一个正方形花坛（空白部分），在花坛周围铺2米宽的草坪，草坪的面积是40平方米。草坪和花坛共占地多少平方米？ 5．从一块正方形的玻璃板上锯下宽为米的一个长方形玻璃条后，剩下的长方形的面积为平方米，请问锯下的长方形玻璃条的面积等于多少？ 二、平移法 1．求出涂色部分图形的面积。(单位：cm) 2．求下图阴影部分的面积。 3．如图是一块长方形草地，长为16m，宽为10m，其中有一条宽2m的曲折小路，有草的面积是多大？ 4．求涂色部分的面积。(单位：厘米) 5．公园里有一片绿地，两条小路穿过了绿地．绿地的面积是多少？ 6．如图，李奶奶家有一个长方形花坛，空白部分用于种花，种草部分分别是一大一小的两个正方形，李奶奶家种花的面积是多少平方米？ 7．红，黄，绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方体盒内，它们之间相互重叠，已知露在外面的部分中，红色部分面积是20，黄色部分面积是14，绿色部分面积是10，那么正方体的底面积是多少? 三、合并法 1．计算下面图形的面积。 （1） （2） 2．计算面积。 3．计算下图阴影部分的面积。 （1） （2） 4．求下图中阴影部分的面积。 5．为了美化环境，温馨小区新建了三块正方形的草坪，并在草坪重叠处修建了两个正方形的花坛。草坪的边长是 20 米，花坛的边长是8 米。涂色部分的面积是多少平方米？ 6．施工队要在一块正方形空地内挖一个长方形的鱼塘(示意图如下)。已知正方形空地的边长是36米，长方形鱼塘的四个角的顶点恰好把正方形的每一条边都分成2段，其中长的一段的长度是短的一段的2倍。挖完鱼塘后，这块空地还剩多少平方米? 7．长方形ABCD的周长是16米，在它的每条边上画一个以该边为边长的正方形。已知这4个正方形的面积和是68平方米，求长方形ABCD的面积是多少？ 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 长方形、正方形的面积 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.掌握长方形和正方形的面积计算公式并能直接应用。 2.运用分解、平移、合并等技巧，将复杂图形转化为基本图形（长方形、正方形）求解面积。 3.提高几何图形观察能力和思维转换能力。 知识梳理 知识点一、基本公式 1.长方形面积：长×宽（公式：，其中为长，为宽）。 2.正方形面积：边长×边长（公式：，其中为边长）。 知识点二、方法技巧（转化思想：将复杂图形转化为基本图形） 1.分解法 （1）方法解读：分解法（又称“分割法”）是将一个不规则图形分割成若干个基本的长方形或正方形，分别计算每个基本图形的面积后，将结果相加得到原图形的总面积。 （2）适用情况 ①图形由多个规则图形（长方形、正方形）拼接而成，且有明显的“拼接线”； ②图形整体不规则，但可通过直线分割成几个完整的长方形或正方形。 （3）解题步骤 ①观察图形：确定分割线，将不规则图形分割成2个或多个长方形/正方形（分割时尽量使每个基本图形的边长已知或易求）； ②分别计算：根据“长方形面积=长×宽”“正方形面积=边长×边长”，求出每个基本图形的面积； ③求和得结果：将所有基本图形的面积相加，得到原图形的总面积。 2.平移法 （1）方法解读：:平移法是通过平移图形中的部分线段或小图形，将不规则图形转化为规则的长方形或正方形，再利用面积公式计算。核心是“化曲为直”“补凸为平”，使图形的长和宽变得清晰可求。 （2）适用情况 ①图形有“阶梯状”“凹凸状”或“分散的小线段”，平移后可组合成规则图形； ②图形中部分线段或小图形的位置不影响整体面积，平移后能形成完整的长和宽。 （3）解题步骤 ①观察凹凸部分：找出图形中需要平移的线段或小图形（如阶梯的横边、竖边，或凸出/凹进的小长方形）； ②确定平移方向：将横向线段向左右平移，纵向线段向上下平移，使图形边缘“对齐”； ③计算规则图形面积：平移后得到长方形或正方形，根据新的长和宽计算面积。 3.合并法 （1）方法解读：合并法（又称“补形法”或“整体法”）是将分散的小图形合并成一个大的规则图形，或通过“整体面积减去空白面积”求目标图形面积。核心是“化分散为集中”，利用整体与部分的关系简化计算。 （2）适用情况 ①多个小长方形/正方形分散排列，可拼接成一个大的规则图形； ②图形中有“空白区域”，直接计算目标面积困难，需先求整体面积和空白面积，再用“整体-空白”得结果。 （3）解题步骤 ①确定合并目标：判断是否能将小图形合并为长方形/正方形，或确定“整体图形”和“空白图形”； ②计算整体面积：根据合并后的大图形边长，计算总面积； ③调整重叠或空白：若有重叠部分，需减去重叠面积；若用“整体-空白”，则目标面积=整体面积-空白面积。 例题讲解 一、分解法 【例题1】计算下面图形的面积。 【答案】解：6×(5-2)+2×2 =18＋4 =22(m2) 【解析】这个图形的面积=左边长方形的长×宽＋右边正方形的边长×边长。 【例题2】求下面图形的面积。 【答案】解：（3＋4＋2）×2＋（3＋4）×2＋4×3 ＝9×2＋7×2＋4×3 ＝18＋14＋12 ＝44（m2） 答：周长是34m；面积是44m2。 【解析】将图形进行以下切割，变成三个长方形，面积为三个小长方形的面积之和。 二、平移法 【例题1】计算下面图形的面积。(单位：厘米) 【答案】解：3×4=12(平方厘米) 【解析】所求图形的面积通过平移正好是一个长4厘米、宽3厘米的长方形的面积，即用长×宽。 【例题2】求如图阴影部分的面积。 【答案】解：4×（4÷2） ＝4×2 ＝8（平方厘米） 答：阴影部分的面积是8平方厘米。 【解析】阴影部分的面积拼在一起，刚好是一个长方形，长方形的长是4厘米，长方形的宽是2厘米，长方形的面积=长方形的长×长方形的宽。 【例题3】阳光小区有一块长30米、宽20米的长方形草坪，在草坪中间开出4条宽2米的健身跑道，其余都是草地。现在草坪的面积是多少平方米？ 【答案】解：草坪的长：30－2×2 ＝30－4 ＝26（米） 草坪的宽：20－2×2 ＝20－4 ＝16（米） 草坪的面积：26×16＝416（平方米） 答：草坪面积还剩416平方米。 【解析】运用平移来理解，把小路都平移到草坪的一边，平移后的草坪长是26米，宽是16米，他们的积就是现在草坪的面积。 三、合并法 【例题1】求下面图形的面积。(单位：厘米) 【答案】解：27 × 20= 540(平方厘米) 11×11= 121(平方厘米) 540- 121=419(平方厘米) 【解析】下面图形的面积=整个长方形的长×宽-中间空白正方形的边长×边长。 【例题2】边长是8米的正方形水池，在它的四周铺一条宽1米的小路，小路的面积是多少？ 【答案】解：8＋1＋1＝10(米)，10×10＝100(平方米) 8×8＝64(平方米)，100－64＝36(平方米) 答：小路的面积是36平方米。 【解析】铺上小路后边长是（8+1+1）米，用铺上小路后正方形的面积减去原来水池的面积即可求出小路的面积。 【例题3】如图，一个长方形和一个正方形部分重叠，两块没有重叠的涂色部分的面积相差多少平方厘米？ 【答案】解：12×7=84(平方厘米) 5×5=25(平方厘米) 84-25=59(平方厘米) 答：两块没有重叠的涂色部分的面积相差59平方厘米。 【解析】依据题意：长方形中没有重叠的涂色部分的面积=长方形的面积-重叠部分的面积，正方形中没有重叠的涂色部分的面积=正方形的面积-重叠部分的面积。因为重叠部分的面积相等，所以两块没有重叠的涂色部分的面积差=长方形的面积-重叠部分的面积-(正方形的面积-重叠部分的面积)=长方形的面积-正方形的面积。 考点练习 一、分解法 1．求下面图形的面积。(单位：厘米) 【答案】（1）解： 10×5 +2×2 =50＋4 =54 (平方厘米) 【解析】面积=大长方形的长×宽＋小正方形的边长×边长。 2．下图是张叔叔的养鸡场。一边靠墙，另外三边用木栏围，木栏一共长60米。现在张叔叔想扩建这个养鸡场，如果长、宽各增加10米，面积会增加多少平方米？ 【答案】解：(60-30)÷2 =30÷2 =15(米) (15+10)×10 =25×10 =250(平方米) 30×10=300(平方米) 250+300=550(平方米) 答：面积会增加550平方米。 【解析】原来养鸡场的宽=（木栏的长-原来养鸡场的长）÷2；增加的面积=扩建部分左边长方形的长×宽＋右边长方形的长×宽。 3．如图长方形被分成两部分，已知阴影面积比空白部分面积大平方厘米，求阴影部分的面积． 【答案】解：根据图形所示，可得 长方形的面积：18×10=180（平方厘米） 阴影部分面积+空白部分面积=180（平方厘米） 阴影部分面积-空白部分面积=34（平方厘米） 所以，阴影部分面积为： （180+34）÷2 =214÷2 =107（平方厘米） 答：阴影部分的面积是107平方厘米。 【解析】根据条件可求得长方形面积为：18×10=180平方厘米，观察图形可知：长方形的面积阴影部分面积+空白部分面积=180平方厘米；根据条件可知：阴影部分的面积-空白部分面积=34平方厘米，据此即可求出阴影部分的面积为：（180+34）÷2 4．如图是一个正方形花坛（空白部分），在花坛周围铺2米宽的草坪，草坪的面积是40平方米。草坪和花坛共占地多少平方米？ 【答案】解： 2×2×4=16（平方米） 40-16= 24（平方米） 24÷4=6（平方米） 6÷2=3（米） 3×3=9（平方米） 9+40=49（平方米） 答：草坪和花坛共占地49平方米。 【解析】2×2×4表示4个顶点处4个小正方形的面积， 草坪的面积-4个顶点处4个小正方形的面积=上下左右4个长方形的面积， 上下左右4个长方形的面积÷4=1个长方形的面积， 1个长方形的面积÷2=正方形花坛边长， 正方形花坛边长×正方形花坛边长=正方形花坛面积， 正方形花坛面积+草坪的面积=草坪和花坛共占地面积。 5．从一块正方形的玻璃板上锯下宽为米的一个长方形玻璃条后，剩下的长方形的面积为平方米，请问锯下的长方形玻璃条的面积等于多少？ 【答案】解：如图，可得 中间的小正方形的面积为：0.5×0.5=0.25（平方米） 大正方形的面积为：5×4+0.25=20.25（平方米）=4.5×4.5 所以，大正方形的边长为：4.5（米） 剩下的长方形的长为：（4.5+0.5）÷2=2.5（米） 所以，剩下的长方形面积为：2.5×0.5=1.25（平方米） 答：锯下的长方形玻璃条的面积等于1.25平方米。 【解析】先按题目中的条件画出示意图(如图a)，先看图中剩下的长方形，已知它的面积为5平方米，它的长和宽相差0.5米，可以将这样形状的四个长方形拼成一个弦图(如图b)． 图b是一个大正方形，它的边长等于长方形的长和宽之和，中间的那个小正方形的边长，等于长方形的长和宽之差，即0.5米．所以中间的小正方形的面积为平方米，那么大正方形的面积为平方米． 因为，所以大正方形的边长等于4.5米．所以原题中剩下的长方形的长与宽的和为4.5米，而长与宽的差为0.5米，所以剩下的长方形的长为： 米，即原正方形的边长为2.5米．又知锯下的长方形玻璃条的宽为0.5米，于是可得锯下的长方形玻璃条的面积为平方米． 二、平移法 1．求出涂色部分图形的面积。(单位：cm) 【答案】解：如图： 10× 10=100(cm2) 4×( 1+2+1) ÷2=8( cm2 ) 【解析】第一个图：通过平移可知，涂色部分是边长是10厘米的正方形； 第二个图：通过平移可知，涂色部分是边长是4厘米的正方形的一半。 2．求下图阴影部分的面积。 【答案】解：10×10÷2 =100÷2 =50(cm2) 【解析】平移后，阴影部分是一个长方形，面积是正方形面积的一半。 3．如图是一块长方形草地，长为16m，宽为10m，其中有一条宽2m的曲折小路，有草的面积是多大？ 【答案】解：如图：把小路向上、向右平移后，如图所示： (16-2)×(10-2) =14×8 =112(m2) 答：有草的面积是112平方米。 【解析】16-2是草地的长，10-2是草地的宽，草地的长×草地的宽=草地的面积。 4．求涂色部分的面积。(单位：厘米) 【答案】解：(30-4×2)×20 =22×20 =440(平方厘米) 【解析】涂色部分的面积通过平移正好是长22厘米、宽20厘米的长方形的面积，即用长×宽。 5．公园里有一片绿地，两条小路穿过了绿地．绿地的面积是多少？ 【答案】解：（28-2）×（10-2） ＝26×8 ＝208（平方米） 答：绿地的面积是208平方米。 【解析】绿地的面积=（绿地的长-小路的宽） ×（绿地的宽-小路的宽）。 6．如图，李奶奶家有一个长方形花坛，空白部分用于种花，种草部分分别是一大一小的两个正方形，李奶奶家种花的面积是多少平方米？ 【答案】解： 64＝8×8，则大正方形的边长是8米； 9＝3×3，则小正方形的边长是3米； （8－3）×3 ＝5×3 ＝15（平方米） 答：李奶奶家种花的面积是15平方米。 【解析】正方形的面积＝边长×边长，依据大小正方形的面积，可以得出大、小正方形的边长分别是8米和3米，利用平移，把小正方形平移到上面，则种花的两部分合并成一个长方形，李奶奶家种花的面积=（大正方形的边长-小正方形的边长）×小正方形的边长。 7．红，黄，绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方体盒内，它们之间相互重叠，已知露在外面的部分中，红色部分面积是20，黄色部分面积是14，绿色部分面积是10，那么正方体的底面积是多少? 【答案】解：； 。 答：正方体盒子的底面积是51.2。 【解析】把绿色部分进行平移，构成一个由两个相同的长方形和两个大小不同的正方形组成的图形。 两个长方形的面积都是12，可算出小正方形的面积是7.2，所以正方体盒子的底面积是51.2。 三、合并法 1．计算下面图形的面积。 （1） （2） 【答案】（1）解：10×8-7×5 =80-35 =45(平方厘米) （2）解：12×8-4×3 =96-12 =84(平方分米) 【解析】（1）观察图可知，这个图形的面积=大长方形的面积-小长方形的面积； （2）观察图可知，这个图形的面积=大长方形的面积-小长方形的面积，据此列式解答。 2．计算面积。 【答案】解：1+2+2+2+1=8（米） 8×（2+3）=40（平方米） 40-2×3×2 =40-12 =28（平方米） 【解析】用大长方形的面积减去缺少部分两个小长方形的面积即可求出整个图形的面积。长方形面积=长×宽。 3．计算下图阴影部分的面积。 （1） （2） 【答案】（1）解：8-4=4 8×8-4×4 =64-16 =48 48×2=96 （2）解：12-1-1=10 6-1-1=4 12×6-10×4 =72-40 =32 【解析】（1）观察图可知，两块阴影部分的面积是相等的，先求出其中的一块阴影部分的面积，一块阴影部分的面积=大正方形的面积-空白小正方形的面积，然后乘2，即可求出整个阴影部分的面积，据此列式计算； （2）观察图可知，阴影部分的面积=大长方形的面积-空白长方形的面积，据此列式解答。 4．求下图中阴影部分的面积。 【答案】解：9×4×2-4×4×2 =72-32 =40(平方厘米) 【解析】图中阴影部分的面积=长9厘米、宽4厘米的长方形面积-边长4厘米正方形的面积×2；其中，长方形的面积=长×宽，正方形的面积=边长×边长。 5．为了美化环境，温馨小区新建了三块正方形的草坪，并在草坪重叠处修建了两个正方形的花坛。草坪的边长是 20 米，花坛的边长是8 米。涂色部分的面积是多少平方米？ 【答案】解：20×20×3-8×8×4 =1200-256 =944(平方米) 答：涂色部分的面积是944平方米。 【解析】涂色部分的面积等于3个边长是20 米的正方形面积的和减去4个边长是8米的正方形面积的和，据此作答即可。 6．施工队要在一块正方形空地内挖一个长方形的鱼塘(示意图如下)。已知正方形空地的边长是36米，长方形鱼塘的四个角的顶点恰好把正方形的每一条边都分成2段，其中长的一段的长度是短的一段的2倍。挖完鱼塘后，这块空地还剩多少平方米? 【答案】解：36÷（1+2） =36÷3 =12（米） 12×2=24（米） 12×12=144（平方米） 24×24=576（平方米） 144+576=720（平方米） 答：这块空地还剩720平方米。 【解析】 根据题意，正方形边长被分成两段，长的一段是短的一段的2倍，把短的一段看作1份，长的一段看作2份，则总的边长就是3份；分别求出长的一段的长度和短的一段的长度，然后运用平移的方法，将两个大的等腰直角三角形合并成一个边长为24米的正方形，将两个小的等腰直角三角形合并成一个边长为12米的正方形，再将面积相加，即可得到这块空地还剩的面积，据此列式解答。 7．长方形ABCD的周长是16米，在它的每条边上画一个以该边为边长的正方形。已知这4个正方形的面积和是68平方米，求长方形ABCD的面积是多少？ 【答案】解：16÷2=8（米） 68÷2=34（平方米） （8×8-34）÷2=15（平方米） 答：长方形ABCD的面积是15平方米。 【解析】根据长方形ABCD的周长是16米，可得长方形的长和宽的和为：16÷2=8（米），也就是正方形BHPT的边长为8米；因为4个正方形的面积和是68平方米，所以正方形DCNT和AHMD的面积为：68÷2=34（平方米），那么长方形ABCD的面积为：（8×8-34）÷2=15（平方米）。 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $