专题05 二次根式（期中真题汇编，北京专用北京版2024）八年级数学上学期

专题05 二次根式 2大高频考点概览 考点01 二次根式定义及性质 考点02 二次根式的运算 地 城 考点01 二次根式定义及性质 一、单选题 1．(24-25八上·北京顺义区第五中学·期中)化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·北京延庆区·期中)下列各式中，化简正确的是（   ） A． B． C． D． 3．(23-24八上·北京昌平区融合学区（第一组）·期中)若式子有意义，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4．(23-24八上·北京延庆区·期中)下列二次根式中与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．(24-25八上·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·期中)要使有意义，则的取值范围是 ． 6．(24-25八上·北京顺义区第五中学·期中)如果，那么x的取值范围 ． 7．(23-24八上·北京昌平区融合学区（第一组）·期中)利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进行如下操作：当时，移项得，两边平方得，所以，即得到整系数方程：． 仿照上述操作方法，完成下面的问题：当时， ①得到的整系数方程为 ； ②计算 ． 三、解答题 8．(24-25八上·北京延庆区·期中)阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，这样就可以将进行化简， 即：． 善于思考的小明进行了以下探索： 对于，若能找到两个数和，使且，则可变形为，即，从而使得．（其中均为正数） 例如：∵， ． 请你参考小明的方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，其中，都是整数，直接写出的值． 9．(24-25八上·北京房山区·期中)（1）如图1，把两个边长都为1的正方形，通过剪切，拼接得到了一个面积为2的正方形，则正方形的边长为 （2）类比以上探究思路，解决如下问题： 如图2，正方形的对角线EG长为3，通过画图写出正方形的边长．    10．(23-24八上·北京延庆区·期中)阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．这样就可以将进行化简， 即：． 善于思考的小明进行了以下探索： 对于，若能找到两个数m和n，使且，则 可 变为，即变成，从而使得． （其中a，b，m，n均为正整数） 例如：∵， ∴ ． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)化简； (2)化简； (3)若，求a的值． 11．(23-24八上·北京昌平区融合学区（第一组）·期中)已知数在数轴上的位置如图所示：化简：    地 城 考点02 二次根式的运算 一、单选题 1．(24-25八上·北京昌平一中集团·期中)下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·北京房山区·期中)下列各式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25八上·北京延庆区·期中)下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25八上·北京延庆区·期中)下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．(23-24八上·北京延庆区·期中)下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 6．(23-24八上·北京房山区·期中)下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．(23-24八上·北京房山区·期中)若与是同类二次根式，则a可能是 （写出一个即可）． 8．(23-24八上·北京延庆区·期中)计算： = ． 三、解答题 9．(24-25八上·北京延庆区·期中)计算： (1)； (2)． 10．(24-25八上·北京房山区·期中)计算：． 11．(24-25八上·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·期中)计算： 12．(23-24八上·北京延庆区·期中)计算： (1)； (2)． 13．(23-24八上·北京房山区·期中)计算： (1) (2) 14．(24-25八上·北京昌平一中集团·期中)计算：． 15．(24-25八上·北京昌平一中集团·期中)计算：． 16．(24-25八上·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·期中)阅读：古希腊的几何家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了一个公式，如果一个三角形的三边长分别为，记，则三角形的面积，此公式称为“海伦公式”． 思考运用，已知李大爷有一块三角形的菜地，如图，测得，你能求出李大爷这块菜地的面积吗？试试看． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二次根式 2大高频考点概览 考点01 二次根式定义及性质 考点02 二次根式的运算 地 城 考点01 二次根式定义及性质 一、单选题 1．(24-25八上·北京顺义区第五中学·期中)化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质计算即可得解，熟练掌握二次根式的性质是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 2．(24-25八上·北京延庆区·期中)下列各式中，化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，根据二次根式的性质对各选项进行判断即可，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：、，原选项化简正确，符合题意； 、，原选项化简错误，不符合题意； 、，原选项化简错误，不符合题意； 、，原选项化简错误，不符合题意； 故选：． 3．(23-24八上·北京昌平区融合学区（第一组）·期中)若式子有意义，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列式计算即可． 【详解】解：由题意，得：，解得：； 故选D． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式的被开方数为非负数，是解题的关键． 4．(23-24八上·北京延庆区·期中)下列二次根式中与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质和同类项的定义判断求解即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不符合题意； C、是同类二次根式，符合题意； D、不是同类二次根式，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的性质、同类项的定义，解答的关键是熟知同类项的定义：字母相同，并且相同字母的指数也相同的两个单项式叫同类项． 二、填空题 5．(24-25八上·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·期中)要使有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可得，解不等式即可得出答案． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 6．(24-25八上·北京顺义区第五中学·期中)如果，那么x的取值范围 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式有意义的条件， 根据二次根式的被开方数是非负数求解即可． 【详解】∵ ∴， ∴． 故答案为：． 7．(23-24八上·北京昌平区融合学区（第一组）·期中)利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进行如下操作：当时，移项得，两边平方得，所以，即得到整系数方程：． 仿照上述操作方法，完成下面的问题：当时， ①得到的整系数方程为 ； ②计算 ． 【答案】 2014 【分析】①根据题干中给定的方法，转化为整系数方程即可；②根据①中得到的结论，将代数式进行转化后，即可得出结果． 【详解】解：①， ∴， ∴， ∴， 整理得：，即：； 故答案为：； ②∵， ∴， ∴ ； 故答案为：2014． 【点睛】本题考查无理数的转化．理解并掌握题目中给出的解题方法，是解题的关键． 三、解答题 8．(24-25八上·北京延庆区·期中)阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，这样就可以将进行化简， 即：． 善于思考的小明进行了以下探索： 对于，若能找到两个数和，使且，则可变形为，即，从而使得．（其中均为正数） 例如：∵， ． 请你参考小明的方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，其中，都是整数，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的化简、完全平方公式，理解题中计算方法，利用类比思想求解是解答的关键． （1）根据，，利用完全平方公式即可得答案； （2）根据，，利用完全平方公式即可得答案； （3）由得出，根据，都是整数可得，即可求出值，代入求出值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： = ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，都是整数， ∴， 解得：， ∴， 解得：． 9．(24-25八上·北京房山区·期中)（1）如图1，把两个边长都为1的正方形，通过剪切，拼接得到了一个面积为2的正方形，则正方形的边长为 （2）类比以上探究思路，解决如下问题： 如图2，正方形的对角线EG长为3，通过画图写出正方形的边长．    【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了化简二次根式： （1）根据正方形是由四个腰长为1的等腰直角三角形拼接而成的求出正方形的面积，进而根据正方形面积计算公式可求出正方形的边长； （2）仿照（1）可得正方形是 由四个腰长为的等腰直角三角形拼接而成的，则可求出正方形的面积，进而求出其边长即可． 【详解】解：（1）∵正方形是由四个腰长为1的等腰直角三角形拼接而成的， ∴正方形的面积为， ∴正方形的边长为， 故答案为：； （2）解：如图所示，正方形是 由四个腰长为的等腰直角三角形拼接而成的， ∴正方形的面积为， ∴正方形的边长为， 故答案为：； 10．(23-24八上·北京延庆区·期中)阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．这样就可以将进行化简， 即：． 善于思考的小明进行了以下探索： 对于，若能找到两个数m和n，使且，则 可 变为，即变成，从而使得． （其中a，b，m，n均为正整数） 例如：∵， ∴ ． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)化简； (2)化简； (3)若，求a的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照题中的计算方法以及完全平方公式求解即可； （2）仿照题中的计算方法以及完全平方公式求解即可； （3）仿照题中的计算方法以及完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴，则． 【点睛】本题考查二次根式的化简、完全平方公式，理解题中计算方法，利用类比思想求解是解答的关键． 11．(23-24八上·北京昌平区融合学区（第一组）·期中)已知数在数轴上的位置如图所示：化简：    【答案】 【分析】根据点在数轴上的位置，判断数的符号，式子的符号，再进行化简即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴原式． 【点睛】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，解题的关键是根据点在数轴上的位置，判断出数的符号，式子的符号． 地 城 考点02 二次根式的运算 一、单选题 1．(24-25八上·北京昌平一中集团·期中)下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查开立方，二次根式的加法，乘法，除法运算，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则．根据相关运算法则逐项计算并判断，即可解题． 【详解】解：A、，计算正确，不符合题意； B、，计算正确，不符合题意； C、与不是同类二次根式，不能进行计算，故计算错误，符合题意； D、，计算正确，不符合题意； 故选：C． 2．(24-25八上·北京房山区·期中)下列各式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的概率，掌握最简二次根式的概念是解题的关键：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式． 【详解】解：A、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、被开方数含有分母，，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 3．(24-25八上·北京延庆区·期中)下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式，被开方数不含有分母，被开方数不含有开得尽方的因数或因式，这样的二次根式是最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．根据最简二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．中被开方数被开方数中不含能开得尽方的因数，是最简二次根式，符合题意， B．中被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意， C．，被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意， D．，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意， 故选：A． 4．(24-25八上·北京延庆区·期中)下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的加、减、乘、除运算法则逐项排除即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、与不可以合并，原选项不符合题意； 、与不可以合并，原选项不符合题意； 、，原选项符合题意； 、，原选项不符合题意； 故选：． 5．(23-24八上·北京延庆区·期中)下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可求解． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、的被开方数中含有开的尽的因数，故不是最简二次根式，不符合题意； C、的被开方数中含有分母，故不是最简二次根式，不符合题意； D、的被开方数含有开的尽的因数，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解答的关键是熟知最简二次根式应满足下列两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 6．(23-24八上·北京房山区·期中)下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的运算．根据二次根式的加减乘除运算可进行求解． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能计算，故不符合题意； B、，原计算正确，故符合题意； C、，原计算错误，故不符合题意； D、，原计算错误，故不符合题意； 故选：B． 二、填空题 7．(23-24八上·北京房山区·期中)若与是同类二次根式，则a可能是 （写出一个即可）． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查的是同类二次根式的概念．根据同类二次根式的概念列式计算即可． 【详解】解：∵二次根式与是同类二次根式， ∴， 故答案为：3（答案不唯一）． 8．(23-24八上·北京延庆区·期中)计算： = ． 【答案】 【分析】根据积的乘方进行计算即可． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的乘法，解题的关键是熟练掌握积的乘方运算及其应用． 三、解答题 9．(24-25八上·北京延庆区·期中)计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式乘法及二次根式的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据二次根式乘法法则计算即可得答案； （2）先化简各二次根式，再根据二次根式加减法混合运算法则计算即可得答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 10．(24-25八上·北京房山区·期中)计算：． 【答案】 【分析】根据平方差公式和完全平方公式解答即可． 本题考查了平方差公式，完全平方公式，熟练掌握公式的应用是解题的关键． 【详解】解： ． 11．(24-25八上·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·期中)计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先根据完全平方公式计算乘方，再根据平方差公式计算乘法，最后算加减即可． 【详解】解： ． 12．(23-24八上·北京延庆区·期中)计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式求解即可； （）根据二次根式的混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ． 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则． 13．(23-24八上·北京房山区·期中)计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先化简绝对值、立方根以及化简二次根式，然后进行加减运算即可； （2）首先根据完全平方公式和平方差公式进行运算，然后相加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查化简绝对值、立方根、平方差公式、完全平方式以及二次根式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 14．(24-25八上·北京昌平一中集团·期中)计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减．解题的关键在于把各根式化成最简根式．把二次根式、立方根分别化简再合并同类根式即可． 【详解】解： 15．(24-25八上·北京昌平一中集团·期中)计算：． 【答案】 【分析】本题涉及二次根式的运算，包括二次根式的乘方、乘法以及化简，正确计算是解题关键． 利用运算法则先分别计算各项，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 16．(24-25八上·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·期中)阅读：古希腊的几何家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了一个公式，如果一个三角形的三边长分别为，记，则三角形的面积，此公式称为“海伦公式”． 思考运用，已知李大爷有一块三角形的菜地，如图，测得，你能求出李大爷这块菜地的面积吗？试试看． 【答案】李大爷这块菜地的面积为 【分析】本题考查了二次根式的应用，将题目中的已知量代入到海伦公式里面进行计算即可．解题的关键是正确的代入公式并进行计算． 【详解】解：， ． ． 李大爷这块菜地的面积为 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $