专题05 全等三角形综合（期中真题汇编，北京专用人教版2024）八年级数学上学期

专题05 全等三角形综合 4大高频考点概览 考点01 全等三角形综合SSS、SAS 考点02 全等三角形综合ASA、AAS 考点03 全等三角形综合HL 考点04 角平分线的性质与判定 地 城 考点01 全等三角形综合SSS、SAS 一、单选题 1．(24-25八上·北京西城区德胜中学·期中)如图，在中，，．下列四个结论：①；②是的平分线；③；④若，存在某一个的值使得．其中正确的是（） A．①③ B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，延长到点，使，连接，作于点，由得，由，得，再证明，则，所以，则，即可证明，可判断①错误；再证明，得，可判断②正确；由，，得，可判断③正确；假设存在某一个的值使得，则，所以，与已知条件相矛盾，可判断④错误，于是得到问题的答案，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长到点，使，连接，作于点，则，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点于直线的距离为，则 故①不符合题意； 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴是的平分线，故②符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴，故③符合题意； 假设存在某一个的值使得，则， 在和中， ， ， ，即， 与已知条件相矛盾， ∴不存在某一个的值使得，故④不符合题意， 故选：B． 2．(24-25八上·北京朝阳区将府实验学校·期中)如图，在等边中，，点在AB上，且，点是边上一动点，，且．有下面三个结论：①为等边三角形；②点到直线的距离不变；③当时，最小．所有正确结论的序号为（   ） A．③ B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】由旋转的性质得出，由等边三角形的判定可得出结论；在上取点，使，连接，，证明是等边三角形，由全等三角形的性质得出，，证明，得出，证出点在过点且平行于直线的直线上，过点作于点，因为为定点，当点与点重合时，最小，由②得是等边三角形，，此时与M重合，，故③是错误的．本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解： 将线段绕点逆时针旋转得到线段，且． ， 又， 是等边三角形， 故①是正确的； 在上取点，使，连接，， 是等边三角形， ，， ， ， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点在过点且平行于直线的直线上， 即根据平行线之间距离相等，点到直线的距离不变； 故②是正确的； 过点作于点， 为定点， 当点与点重合时，最小， 由②得是等边三角形， 此时与M重合， ， 故③是错误的； 故选：B． 3．(23-24八上·北京海淀区北京理工大学附属中学·期中)如图，在中，是的平分线，，则的长为（    ）    A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】在上截取，证明，得到，，推出，得到，再利用，求解即可． 【详解】解：在上截取，    ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形和特殊三角形． 二、填空题 4．(23-24八上·北京三帆中学·期中)如图，把放到平面直角坐标系中，使得，．点在轴上且．那么下列结论正确的是 （填写序号）． ①；②；③；④；⑤． 【答案】①②④ 【分析】由勾股定理求，，进而可判断①的正误；由三，可求，进而可判断②的正误；如图，在的延长线上截取，使，连接，则，则当时，，进而可判断③的正误；如图，作于，则，，，根据，可判断④的正误；如图，作于，则，由，可判断⑤的正误． 【详解】解：由题意知，，， ∴， ①正确，故符合要求； ∵，， ∴，②正确，故符合要求； 如图，在的延长线上截取，使，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴当时，，③错误，故不符合要求； 如图，作于，则，，， ∴，④正确，故符合要求； 如图，作于， ∵， ∴， ∴，⑤错误，故不符合要求； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了勾股定理求两点之间的距离，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识．熟练掌握勾股定理求两点之间的距离，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 5．(23-24八上·北京海淀区师达中学·期中)如图，在一直线上，和是等边三角形，若，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，证明，得到，利用求出的长即可． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在一直线上， ∴； 故答案为：9． 三、解答题 6．(23-24八上·北京海淀区师达中学·期中)已知：如图中，． 求作：点P，使得点P在上，且点P到的距离等于． 作法：以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线、于点D、E； 分别以点D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点F； 作射线交于点P． 则点P即为所求． (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面证明． 证明：连接、 在和中 （_______________）（填推理的依据） ，点P在上 作于点Q 点P在上 （_______________）（_______________）（填推理的依据）． 【答案】(1)图见解析； (2)（或三边对应相等的两个三角形全等），，角平分线上的点到角两边的距离相等 【分析】本题考查作图-复杂作图、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本作图，灵活运用所学知识解决问题． （1）按照题目中的已知作法作图即可； （2）先根据得出，根据全等三角形的对应边相等得出，再根据角平分线的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示： （2）证明：连接、 在和中 （三边对应相等的两个三角形全等）（填推理的依据） ，点P在上 作于点Q 点P在上 （）（角平分线上的点到角两边的距离相等）（填推理的依据）． 故答案为：（或三边对应相等的两个三角形全等），，角平分线上的点到角两边的距离相等． 7．(24-25八上·北京西城区德胜中学·期中)如图，点在上，，，，相交于点．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边等知识，先证，得到，再得到，即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．(21-22八上·北京丰台区·期末)下面是小东设计的尺规作图过程． 已知：如图，在中，， 求作：点，使点在边上，且到和的距离相等． 作法： 如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点； 分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点； 画射线，交于点． 所以点即为所求． 根据小东设计的尺规作图过程： (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：过点作于点，连接，， 在与中， ∵，，， ∴(______)， ∴____________， ∵， ∴， 又∵， ∴(______)． 【答案】(1)补图见解析； (2)，，，角平分线上的点到角的两边的距离相等． 【分析】（）根据题意补全图形，即可； （）证明，可得，再根据角平分线的性质定理即可求证； 本题考查了尺规作图——作已知角的平分线，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为补全的图形； （2）证明：过点作于点，连接，， 在与中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴(角平分线上的点到角的两边的距离相等)， 故答案为：，，，角平分线上的点到角的两边的距离相等． 9．(23-24八上·北京朝阳区蒋府实验学校·期中)下面是小明设计的“已知两边及夹角作三角形”的尺规作图过程． 已知：线段a，b及． 求作：，使得，，． 作法：如图， ①以为圆心，长为半径作泒，交于点； ②以为圆心，长为半径作弧，交于点； ③作射线； ④以A为圆心，长为半径作弧，交于点； ⑤分别以A，B为圆心，，长为半径作弧，两弧交于直线上方的点； ⑥连接、． 就是所求作的三角形． 根据小明设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明： 证明：，， ① ， ② ， ．（ ③ ）（填推理的依据） ，， ，． 就是所求作的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)；；等三角形对应角相等 【分析】本题主要考查了作三角形，全等三角形的性质与判定等等， （1）根据题意作图即可； （2）利用证明得到，再由，可知所作三角形即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：，，， ， ．（全等三角形对应角相等）（填推理的依据） ，， ，． 就是所求作的三角形． 故答案为：；；全等三角形对应角相等。 10．(24-25八上·北京朝阳区日坛中学教育集团·期中)如图，在等边中，点D是边延长线上一动点（），连接，点B关于直线的对称点为E，过D作交于点F，连接，． (1)依题意补全图形； (2)若，则 ；（用含α的式子表示） (3)写出线段，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，见解析 【分析】（1）依据题意画出相应图形即可； （2）结合等边三角形的性质及轴对称的性质得出，根据等边对等角得出，再根据三角形内角和定理即可求解； （3）连接，先证，再证等边三角形，最后通过证即可得出． 【详解】（1）解：如图即为所求； （2）解：∵是等边三角形， ， ， ， ∵点关于直线的对称点为， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：，证明如下： 如图，连接， ∵点关于直线的对称点为， ， ， ， ， 由（2）知， ， ， ， ， ， ， ， 又∵， ∴为等边三角形， ， ， 在与中， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质及判定，等边三角形的性质及判定，等腰三角形的性质，以及轴对称的性质、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 11．(24-25八上·北京大兴区·期中)如图，在四边形中，，平分，，求的度数． 【答案】． 【分析】在上截取，连接，则可证明，得，，则有，进而得；由多边形内角和求得，最后得，由角平分线定义即可求得结果． 【详解】解：在上截取，连接． 平分， ． 在和中， ， ． ，， ， ， ． ． ． 在四边形中， ， ． ， ． ， ． 即． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，多边形内角和，角平分线定义等知识，构造辅助线证明三角形全等是解题的关键． 12．(24-25八上·北京海淀区清华附中上庄学校·期中)已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 【答案】(1)图见解析，，， (2)成立，证明见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：补全图形，如图： 解题思路为：先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为； 故答案为：，，； （2）解：成立，证明如下： 延长到点，使，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：在上取一点，使， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 故答案为：． 13．(24-25八上·北京八一学校·期中)等边三角形中，为直线上一动点，以为边在右侧作等边，连接， (1)如图1，在延长线上，求的度数． (2)若，则_________． 【答案】(1) (2)5或11 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）先证明，再由全等三角形的性质结合等边三角形的性质，即可得到答案； （2）分两种情况画出图形，结合（1）的结论可得答案． 【详解】（1）解：与都是等边三角形， ， ， 即． 在和中， ， ， ， ； （2）解：当在边上，如图： 为等边三角形， ， 由（1）得， ， 当在左侧时，如图： 同理可证， ， 综上所述，的长为5或11， 故答案为：5或11． 14．(24-25八上·北京海淀区中关村中学·期中)如图，点在线段上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质定理．熟练掌握全等三角形的判定定理并能结合题意灵活运用是解决本题的关键． 首先由得到，然后证明出，即可得到． 【详解】证明：∵ ∴ 又∵， ∴ ∴． 15．(24-25八上·北京西城区德胜中学·期中)已知，为射线上一点，在射线上取一点，使，为线段垂直平分线上一点（不与、两点共线），且点与点位于射线的两侧，连接，线段交于点．请在图1中依据题意补全图形，并回答下列问题． (1)补全图形； (2)在的条件下， ①直接写出的度数，______； ②的角平分线交于点，直接写出线段、、之间满足的等量关系式______． (3)若，当最长时，求的长． 【答案】(1)图见解析； (2)①，②，理由见解析； (3)． 【分析】（1）根据题意，补全图形即可； （2）①先证明是等边三角形得，，进而得，，据此可得的度数； ②在的延长线上截取，连接，先证明是等边三角形得，，再证明和全等得，由此可得线段之间满足的等量关系式； （3）过点作，使，连接，则是等腰直角三角形，，，证明和全等得，则，根据“两点之间线段最短”得，即当在同一条直线上时，为最长，长度为，过点作，然后根据等腰三角形的性质及勾股定理求出，由此可得的长． 【详解】（1）解：根据题意，补全图形如图1所示： （2）解：①∵点在线段的垂直平分线上， ， ， 是等边三角形， ∴，， 又， ， ， ， ， 故答案为：； ②线段之间满足的等量关系式是：，理由如下： 在的延长线上截取，连接，如图2所示： ∵平分， ∴， 由①知：， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：过点作，使，连接，则是等腰直角三角形，如图3所示： ∵点在线段的垂直平分线上，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， 根据“两点之间线段最短”得：， ∴当在同一条直线上时，为最长，长度为， 过点作，如图4所示： ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴设，则， 在中，由勾股定理得：，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ， ， ． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，角平分线的定义等知识，掌握相关知识是解题的关键． 16．(24-25八上·北京大兴区·期中)如图，在中，作的平分线，交于点P．在射线上，截取线段，使． (1)用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作角平分线，全等三角形的判定及性质． （1）先作的平分线，再截取线段，使即可； （2）由角平分线的性质得，再根据证即可证出结论． 【详解】（1）解：如图即为所求： （2）证明：如图， 平分， ， 在和中， ， ， ． 17．(24-25八上·北京朝阳区将府实验学校·期中)如图，在中，．    (1)如图1，点在边上，，判断线段组成的三角形的形状： 小明同学的探究思路是，利用轴对称的知识，把分散的条件进行转移，进而解决问题．他将沿直线翻折，得到，连接，利用三角形全等把线段进行转移，如图2所示，从而解决了问题．直接写出线段组成的三角形的形状； (2)如图3，点在直线上，，判断线段组成的三角形的形状，并证明． 【答案】(1)线段组成的三角形是直角三角形，证明见详解 (2)线段组成的三角形是直角三角形，证明见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． （1）通过证明，得到，即可求解； （2）将沿直线翻折，得到，将沿直线翻折，得到，根据折叠性质可得：，证出，，得出点与点F重合，在中，得出，即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形； 中，， ， 将沿折叠，得，连接，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴线段组成的三角形是直角三角形． （2）解：线段组成的三角形是直角三角形， 证明：如图， 将沿直线翻折，得到，将沿直线翻折，得到，    根据折叠性质可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故点与点F重合， 如图，则在中，， ∴线段组成的三角形是直角三角形． 18．(23-24八上·北京三帆中学·期中)如图，点、、、在一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证即可． 【详解】解：∵， ∴， 即： ∵，， ∴ ∴ 19．(23-24八上·北京海淀区北京理工大学附属中学·期中)如图，在等腰直角三角形和等腰直角三角形中，，连接．    (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由题意得，，，，即，证明，进而可证； （2）如图，延长交于，交于，由，可得，由，，可得，进而结论得证． 【详解】（1）证明：∵等腰直角三角形和等腰直角三角形，， ∴，，，即， ∵，，， ∴， ∴； （2）证明：如图，延长交于，交于，    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，对顶角相等．解题的关键在于明确全等的判定条件． 20．(23-24八上·北京陈经纶中学分校·期中)如图，中，，D点是边中点，连接，在的外部，以为边作等边三角形，连接，交于F，交于G． (1)依题意补全图形； (2)求的度数； (3)用等式表示这三条线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）依题意补全图形即可； （2）证，得，再证，然后由三角形的外角性质即可得出结论； （3）延长至点P，使，连接，由等腰三角形的性质得，再由线段垂直平分线的性质得，则，然后证，得，即可解决问题． 【详解】（1）依题意补全图形如图1， （2）如图2，连接， ∵，D是边的中点， ∴， ∴所在直线是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即的度数为； （3），证明如下： 如图3，延长至点P，使，连接， ∵，D是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）可知：， ∴， ∴， ∵，D点是边中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 21．(23-24八上·北京东城区北京二中教育集团·期中)已知等边，点D为上一点，连接． (1)若点E是上一点，，连接，与的交点为点P，在图1中根据题意补全图形，直接写出的大小； (2)在的右侧画，且使，连接交于点Q，在图2中根据题意补全图形，用等式表示线段和的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键 （1）证明，得到，根据三角形外角性质即可求出的度数； （2）结合（1）证明，于是得到结论． 【详解】（1）补全的图形如图1， 解：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ∴， ∴ ∵是的一个外角， ∴； （2）补全的图形如图2，， ∵ 由（1）知：， ∴ ∴ ∴ 由（1）知， ∴ ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴． 22．(23-24八上·北京东城区北京二中教育集团·期中)如图，在带有坐标系的网格中，的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，，，． (1)画出关于y轴的对称的（点D与点A对应，点E与点B对应），点E的坐标为__________． (2)已知直线l过点且平行于y轴，在直线l上存在点P，使点P到点D，E距离之和最小，则点P的坐标为__________； (3)用无刻度的直尺，借助网格，画出的高（保留作图痕迹）． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】此题考查轴对称作图，最短路径问题，全等三角形的判定和性质，熟练掌握轴对称的性质及全等三角形的判定是解题的关键． （1）利用轴对称的性质分别作出A，B的对应点D，E，即可求解； （2）作点E关于直线l的对称点F，连接与直线l的交点即为点P，此时点P到点D，E距离之和最小，即可得到点P的坐标； （3）先确定点H，连接，与的交点即为点F，证明，推出，由此推出即． 【详解】（1）如图，即为所求，； （2）作点E关于直线l的对称点G，连接与直线l的交点即为点P，此时点P到点D，E距离之和最小， 则点P的坐标为， 故答案为 （3）如图，即为高线 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即． 23．(23-24八上·北京海淀区北京理工大学附属中学·期中)如图，平分为射线上任意一点（不与点重合），过点作的垂线分别交于点．    (1)求证：； (2)作点关于射线的对称点，连接，在线段上取一点（不与点，点重合），作，交线段于点，连接．①依题意补全图形；②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)①补图见解析；②，证明见解析 【分析】（1）由平分，可得，由，可得，证明，进而可证； （2）①如图1，即为所求；②如图2，连接，则截取，使得，连接，由轴对称的性质可知，，，，则，证明，则，，由，可得，则，，由，可得，证明，则，根据，等量代换可得． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）①解：如图1，    ②解：，证明如下： 如图2，连接，则截取，使得，连接，    由轴对称的性质可知，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质．解题的关键在于确定全等三角形的判定条件． 地 城 考点02 全等三角形综合ASA、AAS 一、单选题 1．(24-25八上·北京大兴区·期中)在中，和的平分线交于点F，过点F作的平行线，分别交，于点D，E．给出下面四个结论： ①若，则； ②若，则； ③； ④若，，则的周长为． 上述结论中，正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和，平行线的性质，全等三角形的判定，三角形的三边关系，三角形的周长等，根据角平分线的性质和平行线的性质得到，，进一步得到，，再依次推理即可． 【详解】解：如图，若，    ∵和的平分线交于点F， ∴，， ∴， 若，则， ∴， ∴，故①不正确； ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵和的平分线交于点F， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， 故②正确； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故③不正确； 由③得， 若，，则 的周长 ， 故④正确． 综上，正确的有②④，共两个． 故选：B． 二、填空题 2．(23-24八上·北京海淀区北京理工大学附属中学·期中)如图，为等腰直角三角形，于点与交于点，若，则 ；若，则 ．    【答案】 115 5 【分析】先证明，得到，，利用三角形外角的性质，求出，利用即可得到的长． 【详解】解：∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，； 故答案为：，5． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角．解题的关键是证明． 3．(24-25八上·北京海淀区中关村中学·期中)在平面直角坐标系中，点，，若是等腰直角三角形（点在第一象限），且，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】过点C作轴于点D，首先得到，，然后证明出，得到，，进而求解即可． 此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，坐标与图形等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【详解】解：如图所示，过点C作轴于点D ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形（点在第一象限），且， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴点的坐标是． 故答案为：． 三、解答题 4．(23-24八上·北京朝阳区蒋府实验学校·期中)如图，，，与交于点，点在上，． 求证：为的中点． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”，证得即可求证． 【详解】证明：∵，，， ∴ ∴ ∴是等腰三角形， ∵， ∴为的中点． 5．(24-25八上·北京大兴区·期中)如图，是的中线，过点C作，交的延长线于点E，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，先根据是的中线得，再由得，进而可证，再由三角形全等的性质可证得结论． 【详解】证明：是的中线， ，. ， ， 在和中， ， ， ． 6．(24-25八上·北京朝阳区北京中学·期中)已知：如图，，点A为的中点，点D、A、C共线，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，要证明，只要证明即可． 【详解】证明：∵， ，， 点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 7．(23-24八上·北京海淀区北京理工大学附属中学·期中)如图，平分为射线上任意一点（不与点重合），过点作的垂线分别交于点．    (1)求证：； (2)作点关于射线的对称点，连接，在线段上取一点（不与点，点重合），作，交线段于点，连接．①依题意补全图形；②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)①补图见解析；②，证明见解析 【分析】（1）由平分，可得，由，可得，证明，进而可证； （2）①如图1，即为所求；②如图2，连接，则截取，使得，连接，由轴对称的性质可知，，，，则，证明，则，，由，可得，则，，由，可得，证明，则，根据，等量代换可得． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）①解：如图1，    ②解：，证明如下： 如图2，连接，则截取，使得，连接，    由轴对称的性质可知，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质．解题的关键在于确定全等三角形的判定条件． 8．(23-24八上·北京东城区北京二中教育集团·期中)已知等边，点D为上一点，连接． (1)若点E是上一点，，连接，与的交点为点P，在图1中根据题意补全图形，直接写出的大小； (2)在的右侧画，且使，连接交于点Q，在图2中根据题意补全图形，用等式表示线段和的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键 （1）证明，得到，根据三角形外角性质即可求出的度数； （2）结合（1）证明，于是得到结论． 【详解】（1）补全的图形如图1， 解：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ∴， ∴ ∵是的一个外角， ∴； （2）补全的图形如图2，， ∵ 由（1）知：， ∴ ∴ ∴ 由（1）知， ∴ ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴． 9．(24-25八上·北京朝阳区将府实验学校·期中)在平面直角坐标系中，已知． (1)如图1，若点，直接写出点的坐标； (2)如图2，若点，求点的坐标（用含的式子表示），并直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)，最小值为3 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，垂线段最短，图形与坐标等知识点，解题的关键是正确做出辅助线． （1）过点C作轴，交于点H，证明，得出，即可求解． （2）过点B作轴，过点A作轴，过点C作轴，可知四边形是长方形，得出，证明，得出，即可求出点坐标，再根据垂线段最短即可求出最小值． 【详解】（1）解：过点C作轴，交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，过点B作轴，过点A作轴，过点C作轴， 则， ∴四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 由垂线段最短可知，，即最小值为3． 10．(23-24八上·北京朝阳区蒋府实验学校·期中)在平面直角坐标系中，已知，，． (1)如图1，若点，，求点的坐标； (2)如图2，若点，，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图，过点B作轴于D，根据点A、点C坐标可得、的长，根据同角的余角相等可得，利用可证明，根据全等三角形的性质可得，，即可求出的长，进而可得答案． （2）过点C作平行于x轴的直线DE，过A作于D，过B作于E，由可得，则， ，进而可求B点坐标． 【详解】（1）解：如图，过点B作轴于D， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点B坐标为． （2）解：过点C作平行于x轴的直线，过A作于D，过B作于E， ∵，，，轴 ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查坐标与图形、三角形内角和定理及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 11．(24-25八上·北京大兴区·期中)如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为点，，．将向左平移两个单位长度得到，线段与线段相交于点M． (1)求证：； (2)连接，交于点N． ①求证：平分； ②直接写出的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题考查了平移的性质，直角坐标系和坐标，平行的性质，三角形的面积公式等． （1）先由平移得到，，再由坐标得到，可证明即可得出答案； （2）①由平移的性质得，，，进而得为等腰直角三角形，，进而可证得结论； ②过作于，于，根据角平分线可得，则，，进而可得答案． 【详解】（1）证明：连接， 向左平移两个单位得到， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴ ； （2）①讲明：如图，连接， ∵，将向左平移两个单位长度得到， ∴由平移的性质可得， ∴，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， 又∵， ∴， ∴平分； ②解：过作于，于， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 12．(24-25八上·北京西城区德胜中学·期中)在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上． (1)如图1，若点在轴正半轴上，，，交轴于点， ①若，则______： ②若点的坐标为，求点坐标． (2)如图2，若点在轴负半轴上，轴于点，轴于点，，交直线于点，若点，，求的长． 【答案】(1)①，②； (2)的长为． 【分析】本题考查了几何与坐标，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）①先得到是等腰直角三角形，再得出，，利用三角形外角的定义即可求解； ②作轴于点轴于点，则，证明，得到，即可求解； （2）作于点，则，先证明，得到，再证明，得到，即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：； ②如图1，作轴于点轴于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ， ， ， ∴； （2）解：如图2，作于点，则， ，，轴于点，轴于点， ∴，，，， ∴，， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ， ， ， ∴的长为． 13．(24-25八上·北京西城区德胜中学·期中)在平面直角坐标系中，对于点和线段，给出如下定义：若线段或的垂直平分线与线段恰好交于点或点，则称点为线段的对垂点． (1)已知点，， ①在点，，，中，是线段对垂点的为______； ②若点是线段的对垂点，直接写出点的纵坐标的取值范围______． (2)已知，，点是线段的对垂点，， ①当，时，直接写出点的横坐标的取值范围______； ②若为坐标轴上两个动点，的取值范围是，的取值范围是，动点的轨迹组成的图形面积为16，直接写出与的数量关系表达式______． 【答案】(1)①，；②，且，； (2)①；②． 【分析】（）①画出图形，再根据垂直对称点的定义判断目可； ②先判断是等腰三角形，分别以点和点为圆心，以为半径画圆，所得图形即点的轨迹，再根据垂直对称点的定义判断即可； （）①根据垂直对称点的定义，结合可得线段垂直平分线过点，即有，点作轴于点，证明，问题随之得解； ②当，或者时，的取值由变化至时，点的轨迹为两条线段；同理当，或者时，的取值由变化至时，点的轨迹为两条线段，即可判断出动点成的轨迹组成的图形为平行四边形，问题随之得解． 【详解】（1）解：①如图： 从图上看，点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， ∴线段的垂直对称点是，， 故答案为：，； ②∵对于点和线段，若线段或的垂直分线与线段恰好交于点或点， 或者， 是等腰三角形， 分别以点和点为圆心，以为半径画圆，如图： 当时，点位于点处， ∴根据等腰三角形的性质可得顶点在的垂直分线上， 当时，点位于点处， ∴根据等腰三角形的性质可得顶点在的垂直分线上， 当点位于点或者点时，点不是线段的垂直对称点， ∵， ， ， ∴点的纵坐标的取值范围：，且，， 故答案为：，且，； （2）解：①过点作轴于点，如图： ∵是线段的垂直对称点， ， ∴点在的垂直平分线上， ， ∴，即是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ，， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的横坐标的取值范围：， 故答案为：； ②当，或者时，的取值由变化至时，点P的轨迹为两条线段，且两条线段相等， 当，或者时，的取值由变化至时，点的轨迹为两条线段，且两条线段相等， ∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形， ∴动点形成的轨迹组成的图形为平行四边形，如图∶ ∵的取值范围是，的取值范围是， ∴点垂直移动的距离为，点水平移动距离为， ∴动点形成的轨迹组成的图形为平行四边形的底边为，高为， ∵动点形成的轨迹组成的图形面积为， ，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形，平行四边形的判定与性质，腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质等知识，正确理解线段垂对垂点的含义是解题的关键． 14．(23-24八上·北京第十四中学·期中)问题提出： (1)我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．如图1，中，，，，P为上一点，当______时，与是偏等积三角形； 问题探究： (2)如图2，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，则的长度为______； 问题解决： (3)如图3，四边形是一片绿色花园，，，．与是偏等积三角形吗？请说明理由． 问题拓展： (4)如图4，将分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形，连接，，，则图中有______组偏等积三角形． 【答案】（1）；（2）3；（3）与是偏等积三角形，理由见解析；（4）6 【分析】（1）连接，由与在、边上的高相等，可知当点P为中点时，与的面积相等，且与不全等，即可求解； （2）过C作交的延长线于E，根据与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等，则有，再证明，得，再根据三角形的三边关系可知，进而可求解； （3）先证明，再由，，说明与不全等，作于点F，交的延长线于点G，可证明得，即可证明与面积相等，即可解答； （4）过N作于P，过点C作于点Q，证明，得出，即可证明和面积相等，然后说明和不全等，即可判断和是偏等积三角形，然后同理判断和、和是偏等积三角形，进而判断出 和、和、和是偏等积三角形即可． 【详解】解：（1）如图1，连接，   与在、边上的高相等， 当时，与的面积相等， ， ， ， 与不全等， 与是偏等积三角形； 故答案为：； （2）如图2，过C作交的延长线于E，   与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， 线段的长度为正整数， ， 故答案为：3； （3）与是偏等积三角形． 理由：如图3， ， ， ， ， ， ，， 与不全等， 作于点F，交的延长线于点G，则， ， ， 在和中，， ， ， ， 与面积相等， 与是偏等积三角形； （4）如图4，过N作的延长线于P，过点C作于点Q， ．四边形、是则正方形， ，，， ， 又， ， 在和中 ， ， ， 和面积相等， ，，， 和不全等， 和是偏等积三角形， 同理：和、和是偏等积三角形， 和、和、和是偏等积三角形， 故图中共6组是偏等积三角形， 故答案为：6． 【点睛】本题是四边形的综合题，此题重点考查新定义问题的求解、三角形的三边关系、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 15．(23-24八上·北京朝阳区蒋府实验学校·期中)综合与实践 【思考尝试】 （1）数学活动课上，老师出示了一个问题：在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为_________； 【实践探究】 （2）小容受此问题启发，一般化思考并提出新的问题：如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，求点关于直线的对称点的坐标（用含，的式子表示）； 【拓展迁移】 （3）小博深入研究小睿提出的这个问题，提出新的探究点，并进行了探究：如图2，在平面直角坐标系中，点的坐标为，直接写出点关于直线的对称点的坐标（用含的式子表示）．小博经过探究得出直线上任意一点的横坐标与纵坐标的比都是，点的纵坐标为，请帮助小博完成问题． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由关于轴对称的点的特征求出对称点的坐标； （2）过点作轴，交直线于点，连接，证明，求出的长度，从而得到点的坐标； （3）过点作轴，交直线于点，证明，通过直线上任意一点的横坐标与纵坐标的比都是，求出点的坐标，进而得到点的坐标． 【详解】解：（1）由关于轴对称的点的特征可知，点关于轴的对称点的坐标为， 故答案为：； （2）过点作轴，交直线于点，连接， ∵点，点关于直线对称， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点的坐标为， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵点坐标为， ∴点， ∴， ∵，轴， ∴， ∵，， ∴点的坐标为； （3）过点作轴，交直线于点， ∴， ∵点，点关于直线对称，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵轴，点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为， ∵直线上任意一点的横坐标与纵坐标的比都是， ∴点横坐标为， ∵， ∴点横坐标为， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查关于轴对称的点的特征，平面直角坐标系中的点的坐标，全等三角形的性质与判定，平行线的性质等知识点，解题关键在于构造全等三角形，求出相应线段的长度从而得到点的坐标． 16．(24-25八上·北京海淀区教师进修学校附属实验学校·期中)（1）【问题提出】如图，在和，已知，，三点在一条直线上，，，则的长度为 ． （2）【问题提出】如图，在中，，，过点作，且，求的面积． （3）【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图所示，在河流的周边规划一个四边形巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形中，，，面积为，且的长为，则河流另一边森林公园的面积为 ． 【答案】（）；（）；（）． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． （）证明，得，，进而可以解决问题； （）过作交延长线于，证明，得，进而可以求的面积； （）过作于，过作交延长线于，根据面积为，且的长为，得，证明是等腰直角三角形，再根据，可得，，证明，可得，进而可以解决问题； 【详解】解：（）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （）如图，过作交延长线于， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （）如图，过作于，过作交延长线于， ∵面积为，且的长为， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴河流另一边森林公园的面积为， 故答案为：． 地 城 考点03 全等三角形综合HL 一、单选题 1．(24-25八上·北京八一学校·期中)已知：如图，是的角平分线，于，于，下列结论不正确的是（）    A． B． C．、互相垂直平分 D．平分 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的判定，角平分线性质的应用，能求出是解此题的关键．根据角平分线性质求出，证，推出，再逐个判断即可． 【详解】解：是的角平分线，于，于， 在和中， 平分； 故选项B，D结论正确，不符合题意， 平分， ， 垂直平分，， 故选项A结论正确，不符合题意，选项C结论错误，符合题意， 故选：C． 2．(23-24八上·北京朝阳区日坛中学·期中)如图，点为定角平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：①＋的值不变；②；③的长不变；④四边形的面积不变，其中，正确结论的是(    ) A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积；如图作于，于．只要证明，，即可一一判断． 【详解】解：如图作于，于． ， ， ， ， ， 平分，于， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ∴故①正确； ∴， ∴定值，故④正确， 设， ， ， ， ， ， ，故②正确， 在旋转过程中，是等腰三角形，因为的长度是变化的，所以的长度是变化的，故③错误， 故选：B． 3．(23-24八上·北京海淀区师达中学·期中)如图，锐角中，平分平分与相交于点，则下列结论①；②连接，则；③；④若，则．其中正确的结论是（    ） A．①② B．①③ C．①③④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、全等三角形的常见辅助线-截长补短等知识点，解题关键是正确作出辅助线，构造全等三角形．①根据即可判断；②假设，可推出得到，即可判断；③在上取一点，使得，证、即可判断；④作，证，设，根据即可判断． 【详解】解：∵ ∴ ∵平分平分 ∴ ∴，故①正确； 如图1所示： ∵平分平分 ∴ 若， 则 ∴ ∴ ∵， ∴，与题目条件不符，故②错误； 在上取一点，使得，如图1所示： ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴，故③正确； 作，如图2所示： ∵，， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 即： ∴ 设，则 ∵ ∴ ∵ ∴ 解得： ∴，故④正确； 故选：C 二、填空题 4．(24-25八上·北京朝阳区陈经纶中学分校·期中)如图，把放到平面直角坐标系中，使得，，点在轴上且，下列结论正确的是 （填写序号）． ①； ②； ③； ④； ⑤． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了勾股定理及全等三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键 过点作轴，轴，过点作，然后根据勾股定理及三角形全等判断即可． 【详解】解：过点作轴，轴， ，， ，故①正确； 在和中：．， ，故②正确； ，； ∵无法判断， ∴不能得到， 与大小关系无法判断，故③错误； 过点作， ，， ， ，， ，， ， ， ，故④正确； ， ∴当与不重合时 ，即， 当与重合时 ，即． 故答案为：①②④． 【点睛】 5．(23-24八上·北京海淀区师达中学·期中)如下图，在等腰中，平分，平分分别为射线上的动点，若，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】过点C作，交的延长线于点F，则的最小值为．延长两线交于点G，证明，，根据全等三角形的性质，得到． 【详解】过点C作，交的延长线于点F，延长两线交于点G，    ∵平分， ∴，当时，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴的最小值为5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定性质，角平分线的性质，垂线段最短原理，熟练掌握三角形全等的判定和性质，垂线段最短原理是解题的关键． 6．(23-24八上·北京第十四中学·期中)如图，等腰中，，，点D为的中点．点P在线段上以的速度由点B向点C运动，点Q在线段上以的速度由点C向点A运动，两点同时出发，如果在某一时刻与全等，那么 ． 【答案】2或3 【分析】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质，根据对应角分情况讨论是本题的难点．根据等边对等角可得，然后表示出、、、，再根据全等三角形对应边相等，分①、是对应边，②与是对应边两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵，，点D为的中点， ∴， 设点P、Q的运动时间为，则， ， ∵， ∴， 当时，， ∴， 解得：， 则， 故点Q的运动速度为：； 当时，， ∵， ∴， ∴． 故点Q的运动速度为． 即或3， 故答案为：2或3． 三、解答题 7．(24-25八上·北京朝阳区将府实验学校·期中)如图，四边形中，于点，交于点，连接平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由角平分线的性质定理可得出结论； （2）证明，由全等三角形的性质可得出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴； ， （2）解：在和中， ， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 8．(24-25八上·北京八一学校·期中)若和均为等腰三角形，且，当°即互余时，称与互为“底余等腰三角形”，的边上的高叫做的“余高”． (1)如图1，与互为“底余等腰三角形”． ①和的关系是__________；若连接，判断与是否互为“底余等腰三角形”：_________（填“是”或“否”）． ②当时，的“余高”，判断与之间的数量关系，并证明； (2)如图2，在四边形中，，，且． ①画出与，使它们互为“底余等腰三角形”；（保留作图痕迹） ②若的“余高”长为，则点到的距离为_________（用含的式子表示）． 【答案】(1)①，是；②，证明见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）①由与互为“底余等腰三角形”和三角形内角和定理得到，根据四边形内角和可得，即可得到答案； ②作于点，通过证明求解即可； （2）①作垂直平分线交于点； ②连接，延长交于点，先证明为等边三角形，然后通过含角的直角三角形的关系求解． 【详解】（1）解：①和互余， ， ， ， ， ， ， 与是“底余等腰三角形”， 故答案为：，是； ②， 作于点， ， 点为中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：①连接，作垂直平分线交于点， 连接，与即为所求； ②连接，延长交于点， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 在中，， ， ， 点到的距离为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质以及等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质以及含角的直角三角形的性质是解题的关键． 9．(24-25八上·北京海淀区中关村中学·期中)在中，，点在的内部，，． (1)如图1，延长线段的交于点，且． ①求的度数； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，直接写出结果； (2)如图2，点在线段的延长线上，连接交射线于点，若为的中点．求证：． 【答案】(1)①；②，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）①证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案； ②由全等三角形的性质得出，，则可得出结论； （2）过点作，交的延长线于点，过点作于点，过点作，交的延长线于点N，过点作于点，证明，得，证明，得，证明，得，证明，由全等三角形的性质即可得证． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； ②． 理由：∵， ∴，， ∴； （2）证明：过点作，交的延长线于点，过点作于点，过点作，交的延长线于点N，过点作于点， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，垂直的定义，中点的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 10．(24-25八上·北京海淀区中关村中学·期中)在平面直角坐标系中，点，分别在线段，上，如果存在点使得，且（点，，逆时针排列），则称点是线段的“完美点”．如图1，点是线段的“完美点”． (1)已知点，． ①在，，，中，其中是线段的“完美点”的是______； ②如图2，若点，点与点重合，则线段的“完美点”的坐标是______． (2)如图3，已知，，当点与点重合，点在线段上运动时（点不与点重合），若点是线段的“完美点”，连接．求证：． 【答案】(1)①，；② (2)证明见解析 【分析】（1）①作轴于点，作轴于点，，，可判断点；作轴于，作轴于点，作，可证得与不全等，从而，进一步得出结果； ②作轴于点，作于点，证明，得，，进一步得出结果； （2）在轴上截取，连接，证明，得，，，进而证得是等边三角形，即可得证． 【详解】（1）解：①如图1， 作轴于点，作轴于点， ∴，， ∴， ∴点是线段的“完美点”； 同理是线段的“完美点”； 作轴于，作轴于点，作，点在轴上，点在轴上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴与不全等， ∴， ∴点不是的“完美点”； 同理点不是的“完美点”； 故答案为：，； ②如图2，作轴于点，作于点， ∴， ∴， ∵点是线段的“完美点”， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）证明；如图3，在轴上截取，连接，， ∵，，点是线段的“完美点”， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查坐标与图形，线段“完美点”的定义，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是作辅助线构造全等三角形、理解线段“完美点”的定义． 11．(24-25八上·北京文汇中学·期中)已知：在平面直角坐标系中．的三个顶点的坐标分别是． (1)在坐标系中，描出； (2)在图中画出关于y轴对称的； (3)如果要使以B、C、D为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点D坐标，（点D不与点A重合） 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)点坐标或或或 【分析】（1）根据点的坐标画出图形即可； （2）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）利用全等三角形的判定作出点即可． 本题考查作图轴对称变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型． 【详解】（1）解：（1）如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，点坐标或或或． 12．(23-24八上·北京海淀区北京理工大学附属中学·期中)（1）下图三角形网格由若干个边长为1的小等边三角形组成，每个小等边三角形的顶点叫做格点．若一个三角形的三个顶点都落在格点上，则这个三角形叫做格点三角形．已知是格点三角形，线段如图1所示．在三角形网格中分别画出符合条件的三角形．        ①点在线段上，，画出； ②在第①问的基础上，格点，画出． （2）尺规作图：如图2，为等边三角形，作等边三角形，其顶点分别在等边三角形的三条边上，且不与这三边的中点重合．（请保留作图痕迹） 【答案】（1）①图见解析②图见解析（2）图见解析 【分析】（1）作以点为顶点的等边三角形的中线与的交点即为点，利用三线合一以及等边三角形的角为，即可得到是以的直角三角形； ②根据，得到点在线段上，点的下方3个单位长度的位置，再根据确定点的位置，即可； （2）分别以点为原心，以小于长度的一半为半径画弧，与三边的交点为，连接即可得到等边三角形． 【详解】解：（1）①如图所示：即为所求，    ②如图所示，即为所求； （2）如图，即为所求；    【点睛】本题考查作图—复杂作图．熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定，是解题的关键． 13．(23-24八上·北京朝阳区蒋府实验学校·期中)已知是等边三角形，，，为的中点，连接，． (1)如图1，点D在线段的延长线上， ①求证：； ②直接写出线段与之间的数量关系． (2)如图2，点D在直线外，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定， 四边形内角和定理等等，利用倍长中线构成全等三角形是解题的关键． （1）①由等边三角形的性质得到，则可得，即可证明；②如图所示，延长交延长线于G，先证明，得到，，再证明是等边三角形，得到，则； （2）如图所示，延长到G，使得，连接，则，先证明，得到，再证明，进一步证明，得到，由此证明是等边三角形，得到，即可得到． 【详解】（1）解：①∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图所示，延长交延长线于G， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图所示，延长到G，使得，连接，则， ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 地 城 考点04 角平分线的性质与判定 一、单选题 1．(24-25八上·北京朝阳区将府实验学校·期中)如图，，若，则的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】过点作，交于点，利用角平分线定理得到，根据两直线平行内错角相等得到，利用三角形外角的性质求出，再根据角所对的直角边等于斜边的一半，即可求出结果； 此题考查了含角直角三角形的性质，角平分线定理，平行线的性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 【详解】过点作，交于点 ∵， ∵， ∴ 又∵， ∴ 又为的外角， ∴ 在直角三角形中， ， ， 则 故选：A． 2．(24-25八上·北京海淀区中关村中学·期中)点在的平分线上（不与点重合），于点，是边上任意一点，连接．若，则下列关于线段的说法一定正确的是（   ） A． B． C． D．存在无数个点使得 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质，过点作于，根据角平分线的性质得到，再由垂线段最短即可得出结论．解题的关键是掌握：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【详解】解：如图，过点作于，， ∵点在的平分线上，，， ∴， ∵点是边上任意一点， ∴，即． 故选：C． 3．(24-25八上·北京大兴区·期中)如图，在中，，是的平分线，已知，，则 的面积是（   ） A． B．5 C．7 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，三角形的面积等知识点，过点D作于E，先根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解，熟记性质并作辅助线得到边上的高是解题的关键． 【详解】解：如图，过点D作于E， ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴的面积， 故选：C． 二、填空题 4．(23-24八上·北京朝阳区蒋府实验学校·期中)如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；②M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点，若，的面积为2，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图和性质定理，作可得，根据可得的面积，即可求解． 【详解】解：作，如图所示： 由题意得：平分， ∴ ∵ ∴ ∵的面积为2， ∴的面积为， ∴的面积为， 故答案为： 5．(23-24八上·北京海淀区北京理工大学附属中学·期中)如图，在中，平分于点，若，则的面积是 ． 【答案】3 【分析】过点作于点，角平分线的性质得到，再利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：过点作于点， ∵平分 ∴， ∴的面积是； 故答案为：3． 【点睛】本题考查角平分线的性质．熟练掌握到角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键． 6．(23-24八上·北京海淀区师达中学·期中)如下图，在等腰中，平分，平分分别为射线上的动点，若，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】过点C作，交的延长线于点F，则的最小值为．延长两线交于点G，证明，，根据全等三角形的性质，得到． 【详解】过点C作，交的延长线于点F，延长两线交于点G，    ∵平分， ∴，当时，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴的最小值为5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定性质，角平分线的性质，垂线段最短原理，熟练掌握三角形全等的判定和性质，垂线段最短原理是解题的关键． 7．(23-24八上·北京师范大学第二附属中学西城实验学校·期中)如图，在中，的角平分线交于点，则的面积是 ．    【答案】15 【分析】如图所示，过点D作于E，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于E，    ∵，，的角平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， 故答案为：15． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 三、解答题 8．(24-25八上·北京大兴区·期中)如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为点，，．将向左平移两个单位长度得到，线段与线段相交于点M． (1)求证：； (2)连接，交于点N． ①求证：平分； ②直接写出的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题考查了平移的性质，直角坐标系和坐标，平行的性质，三角形的面积公式等． （1）先由平移得到，，再由坐标得到，可证明即可得出答案； （2）①由平移的性质得，，，进而得为等腰直角三角形，，进而可证得结论； ②过作于，于，根据角平分线可得，则，，进而可得答案． 【详解】（1）证明：连接， 向左平移两个单位得到， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴ ； （2）①讲明：如图，连接， ∵，将向左平移两个单位长度得到， ∴由平移的性质可得， ∴，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， 又∵， ∴， ∴平分； ②解：过作于，于， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 9．(24-25八上·北京朝阳区将府实验学校·期中)如图，四边形中，于点，交于点，连接平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由角平分线的性质定理可得出结论； （2）证明，由全等三角形的性质可得出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴； ， （2）解：在和中， ， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 全等三角形综合 4大高频考点概览 考点01 全等三角形综合SSS、SAS 考点02 全等三角形综合ASA、AAS 考点03 全等三角形综合HL 考点04 角平分线的性质与判定 地 城 考点01 全等三角形综合SSS、SAS 一、单选题 1．(24-25八上·北京西城区德胜中学·期中)如图，在中，，．下列四个结论：①；②是的平分线；③；④若，存在某一个的值使得．其中正确的是（） A．①③ B．②③ C．③④ D．①④ 2．(24-25八上·北京朝阳区将府实验学校·期中)如图，在等边中，，点在AB上，且，点是边上一动点，，且．有下面三个结论：①为等边三角形；②点到直线的距离不变；③当时，最小．所有正确结论的序号为（   ） A．③ B．①② C．①③ D．①②③ 3．(23-24八上·北京海淀区北京理工大学附属中学·期中)如图，在中，是的平分线，，则的长为（    ）    A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题 4．(23-24八上·北京三帆中学·期中)如图，把放到平面直角坐标系中，使得，．点在轴上且．那么下列结论正确的是 （填写序号）． ①；②；③；④；⑤． 5．(23-24八上·北京海淀区师达中学·期中)如图，在一直线上，和是等边三角形，若，则 ． 三、解答题 6．(23-24八上·北京海淀区师达中学·期中)已知：如图中，． 求作：点P，使得点P在上，且点P到的距离等于． 作法：以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线、于点D、E； 分别以点D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点F； 作射线交于点P． 则点P即为所求． (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面证明． 证明：连接、 在和中 （_______________）（填推理的依据） ，点P在上 作于点Q 点P在上 （_______________）（_______________）（填推理的依据）． 7．(24-25八上·北京西城区德胜中学·期中)如图，点在上，，，，相交于点．求证：． 8．(24-25八上·北京丰台区·期末)下面是小东设计的尺规作图过程． 已知：如图，在中，， 求作：点，使点在边上，且到和的距离相等． 作法： 如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点； 分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点； 画射线，交于点． 所以点即为所求． 根据小东设计的尺规作图过程： (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：过点作于点，连接，， 在与中， ∵，，， ∴(______)， ∴____________， ∵， ∴， 又∵， ∴(______)． 9．(23-24八上·北京朝阳区蒋府实验学校·期中)下面是小明设计的“已知两边及夹角作三角形”的尺规作图过程． 已知：线段a，b及． 求作：，使得，，． 作法：如图， ①以为圆心，长为半径作泒，交于点； ②以为圆心，长为半径作弧，交于点； ③作射线； ④以A为圆心，长为半径作弧，交于点； ⑤分别以A，B为圆心，，长为半径作弧，两弧交于直线上方的点； ⑥连接、． 就是所求作的三角形． 根据小明设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明： 证明：，， ① ， ② ， ．（ ③ ）（填推理的依据） ，， ，． 就是所求作的三角形． 10．(24-25八上·北京朝阳区日坛中学教育集团·期中)如图，在等边中，点D是边延长线上一动点（），连接，点B关于直线的对称点为E，过D作交于点F，连接，． (1)依题意补全图形； (2)若，则 ；（用含α的式子表示） (3)写出线段，之间的数量关系并证明． 11．(24-25八上·北京大兴区·期中)如图，在四边形中，，平分，，求的度数． 12．(24-25八上·北京海淀区清华附中上庄学校·期中)已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 13．(24-25八上·北京八一学校·期中)等边三角形中，为直线上一动点，以为边在右侧作等边，连接， (1)如图1，在延长线上，求的度数． (2)若，则_________． 14．(24-25八上·北京海淀区中关村中学·期中)如图，点在线段上，，，．求证：． 15．(24-25八上·北京西城区德胜中学·期中)已知，为射线上一点，在射线上取一点，使，为线段垂直平分线上一点（不与、两点共线），且点与点位于射线的两侧，连接，线段交于点．请在图1中依据题意补全图形，并回答下列问题． (1)补全图形； (2)在的条件下， ①直接写出的度数，______； ②的角平分线交于点，直接写出线段、、之间满足的等量关系式______． (3)若，当最长时，求的长． 16．(24-25八上·北京大兴区·期中)如图，在中，作的平分线，交于点P．在射线上，截取线段，使． (1)用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，求证：． 17．(24-25八上·北京朝阳区将府实验学校·期中)如图，在中，．    (1)如图1，点在边上，，判断线段组成的三角形的形状： 小明同学的探究思路是，利用轴对称的知识，把分散的条件进行转移，进而解决问题．他将沿直线翻折，得到，连接，利用三角形全等把线段进行转移，如图2所示，从而解决了问题．直接写出线段组成的三角形的形状； (2)如图3，点在直线上，，判断线段组成的三角形的形状，并证明． 18．(23-24八上·北京三帆中学·期中)如图，点、、、在一条直线上，，，．求证：． 19．(23-24八上·北京海淀区北京理工大学附属中学·期中)如图，在等腰直角三角形和等腰直角三角形中，，连接．    (1)求证：； (2)求证：． 20．(23-24八上·北京陈经纶中学分校·期中)如图，中，，D点是边中点，连接，在的外部，以为边作等边三角形，连接，交于F，交于G． (1)依题意补全图形； (2)求的度数； (3)用等式表示这三条线段之间的数量关系，并证明． 21．(23-24八上·北京东城区北京二中教育集团·期中)已知等边，点D为上一点，连接． (1)若点E是上一点，，连接，与的交点为点P，在图1中根据题意补全图形，直接写出的大小； (2)在的右侧画，且使，连接交于点Q，在图2中根据题意补全图形，用等式表示线段和的数量关系，并证明． 22．(23-24八上·北京东城区北京二中教育集团·期中)如图，在带有坐标系的网格中，的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，，，． (1)画出关于y轴的对称的（点D与点A对应，点E与点B对应），点E的坐标为__________． (2)已知直线l过点且平行于y轴，在直线l上存在点P，使点P到点D，E距离之和最小，则点P的坐标为__________； (3)用无刻度的直尺，借助网格，画出的高（保留作图痕迹）． 23．(23-24八上·北京海淀区北京理工大学附属中学·期中)如图，平分为射线上任意一点（不与点重合），过点作的垂线分别交于点．    (1)求证：； (2)作点关于射线的对称点，连接，在线段上取一点（不与点，点重合），作，交线段于点，连接．①依题意补全图形；②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 地 城 考点02 全等三角形综合ASA、AAS 一、单选题 1．(24-25八上·北京大兴区·期中)在中，和的平分线交于点F，过点F作的平行线，分别交，于点D，E．给出下面四个结论： ①若，则； ②若，则； ③； ④若，，则的周长为． 上述结论中，正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 2．(23-24八上·北京海淀区北京理工大学附属中学·期中)如图，为等腰直角三角形，于点与交于点，若，则 ；若，则 ．    3．(24-25八上·北京海淀区中关村中学·期中)在平面直角坐标系中，点，，若是等腰直角三角形（点在第一象限），且，则点的坐标是 ． 三、解答题 4．(23-24八上·北京朝阳区蒋府实验学校·期中)如图，，，与交于点，点在上，． 求证：为的中点． 5．(24-25八上·北京大兴区·期中)如图，是的中线，过点C作，交的延长线于点E，求证：． 6．(24-25八上·北京朝阳区北京中学·期中)已知：如图，，点A为的中点，点D、A、C共线，求证：． 7．(23-24八上·北京海淀区北京理工大学附属中学·期中)如图，平分为射线上任意一点（不与点重合），过点作的垂线分别交于点．    (1)求证：； (2)作点关于射线的对称点，连接，在线段上取一点（不与点，点重合），作，交线段于点，连接．①依题意补全图形；②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 8．(23-24八上·北京东城区北京二中教育集团·期中)已知等边，点D为上一点，连接． (1)若点E是上一点，，连接，与的交点为点P，在图1中根据题意补全图形，直接写出的大小； (2)在的右侧画，且使，连接交于点Q，在图2中根据题意补全图形，用等式表示线段和的数量关系，并证明． 9．(24-25八上·北京朝阳区将府实验学校·期中)在平面直角坐标系中，已知． (1)如图1，若点，直接写出点的坐标； (2)如图2，若点，求点的坐标（用含的式子表示），并直接写出的最小值． 10．(23-24八上·北京朝阳区蒋府实验学校·期中)在平面直角坐标系中，已知，，． (1)如图1，若点，，求点的坐标； (2)如图2，若点，，求点的坐标． 11．(24-25八上·北京大兴区·期中)如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为点，，．将向左平移两个单位长度得到，线段与线段相交于点M． (1)求证：； (2)连接，交于点N． ①求证：平分； ②直接写出的面积． 12．(24-25八上·北京西城区德胜中学·期中)在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上． (1)如图1，若点在轴正半轴上，，，交轴于点， ①若，则______： ②若点的坐标为，求点坐标． (2)如图2，若点在轴负半轴上，轴于点，轴于点，，交直线于点，若点，，求的长． 13．(24-25八上·北京西城区德胜中学·期中)在平面直角坐标系中，对于点和线段，给出如下定义：若线段或的垂直平分线与线段恰好交于点或点，则称点为线段的对垂点． (1)已知点，， ①在点，，，中，是线段对垂点的为______； ②若点是线段的对垂点，直接写出点的纵坐标的取值范围______． (2)已知，，点是线段的对垂点，， ①当，时，直接写出点的横坐标的取值范围______； ②若为坐标轴上两个动点，的取值范围是，的取值范围是，动点的轨迹组成的图形面积为16，直接写出与的数量关系表达式______． 14．(23-24八上·北京第十四中学·期中)问题提出： (1)我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．如图1，中，，，，P为上一点，当______时，与是偏等积三角形； 问题探究： (2)如图2，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，则的长度为______； 问题解决： (3)如图3，四边形是一片绿色花园，，，．与是偏等积三角形吗？请说明理由． 问题拓展： (4)如图4，将分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形，连接，，，则图中有______组偏等积三角形． 15．(23-24八上·北京朝阳区蒋府实验学校·期中)综合与实践 【思考尝试】 （1）数学活动课上，老师出示了一个问题：在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为_________； 【实践探究】 （2）小容受此问题启发，一般化思考并提出新的问题：如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，求点关于直线的对称点的坐标（用含，的式子表示）； 【拓展迁移】 （3）小博深入研究小睿提出的这个问题，提出新的探究点，并进行了探究：如图2，在平面直角坐标系中，点的坐标为，直接写出点关于直线的对称点的坐标（用含的式子表示）．小博经过探究得出直线上任意一点的横坐标与纵坐标的比都是，点的纵坐标为，请帮助小博完成问题． 16．(24-25八上·北京海淀区教师进修学校附属实验学校·期中)（1）【问题提出】如图，在和，已知，，三点在一条直线上，，，则的长度为 ． （2）【问题提出】如图，在中，，，过点作，且，求的面积． （3）【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图所示，在河流的周边规划一个四边形巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形中，，，面积为，且的长为，则河流另一边森林公园的面积为 ． 地 城 考点03 全等三角形综合HL 一、单选题 1．(24-25八上·北京八一学校·期中)已知：如图，是的角平分线，于，于，下列结论不正确的是（）    A． B． C．、互相垂直平分 D．平分 2．(23-24八上·北京朝阳区日坛中学·期中)如图，点为定角平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：①＋的值不变；②；③的长不变；④四边形的面积不变，其中，正确结论的是(    ) A．4 B．3 C．2 D．1 3．(23-24八上·北京海淀区师达中学·期中)如图，锐角中，平分平分与相交于点，则下列结论①；②连接，则；③；④若，则．其中正确的结论是（    ） A．①② B．①③ C．①③④ D．③④ 二、填空题 4．(24-25八上·北京朝阳区陈经纶中学分校·期中)如图，把放到平面直角坐标系中，使得，，点在轴上且，下列结论正确的是 （填写序号）． ①； ②； ③； ④； ⑤． 5．(23-24八上·北京海淀区师达中学·期中)如下图，在等腰中，平分，平分分别为射线上的动点，若，则的最小值为 ． 6．(23-24八上·北京第十四中学·期中)如图，等腰中，，，点D为的中点．点P在线段上以的速度由点B向点C运动，点Q在线段上以的速度由点C向点A运动，两点同时出发，如果在某一时刻与全等，那么 ． 三、解答题 7．(24-25八上·北京朝阳区将府实验学校·期中)如图，四边形中，于点，交于点，连接平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 8．(24-25八上·北京八一学校·期中)若和均为等腰三角形，且，当°即互余时，称与互为“底余等腰三角形”，的边上的高叫做的“余高”． (1)如图1，与互为“底余等腰三角形”． ①和的关系是__________；若连接，判断与是否互为“底余等腰三角形”：_________（填“是”或“否”）． ②当时，的“余高”，判断与之间的数量关系，并证明； (2)如图2，在四边形中，，，且． ①画出与，使它们互为“底余等腰三角形”；（保留作图痕迹） ②若的“余高”长为，则点到的距离为_________（用含的式子表示）． 9．(24-25八上·北京海淀区中关村中学·期中)在中，，点在的内部，，． (1)如图1，延长线段的交于点，且． ①求的度数； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，直接写出结果； (2)如图2，点在线段的延长线上，连接交射线于点，若为的中点．求证：． 10．(24-25八上·北京海淀区中关村中学·期中)在平面直角坐标系中，点，分别在线段，上，如果存在点使得，且（点，，逆时针排列），则称点是线段的“完美点”．如图1，点是线段的“完美点”． (1)已知点，． ①在，，，中，其中是线段的“完美点”的是______； ②如图2，若点，点与点重合，则线段的“完美点”的坐标是______． (2)如图3，已知，，当点与点重合，点在线段上运动时（点不与点重合），若点是线段的“完美点”，连接．求证：． 11．(24-25八上·北京文汇中学·期中)已知：在平面直角坐标系中．的三个顶点的坐标分别是． (1)在坐标系中，描出； (2)在图中画出关于y轴对称的； (3)如果要使以B、C、D为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点D坐标，（点D不与点A重合） 12．(23-24八上·北京海淀区北京理工大学附属中学·期中)（1）下图三角形网格由若干个边长为1的小等边三角形组成，每个小等边三角形的顶点叫做格点．若一个三角形的三个顶点都落在格点上，则这个三角形叫做格点三角形．已知是格点三角形，线段如图1所示．在三角形网格中分别画出符合条件的三角形．        ①点在线段上，，画出； ②在第①问的基础上，格点，画出． （2）尺规作图：如图2，为等边三角形，作等边三角形，其顶点分别在等边三角形的三条边上，且不与这三边的中点重合．（请保留作图痕迹） 13．(23-24八上·北京朝阳区蒋府实验学校·期中)已知是等边三角形，，，为的中点，连接，． (1)如图1，点D在线段的延长线上， ①求证：； ②直接写出线段与之间的数量关系． (2)如图2，点D在直线外，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 地 城 考点04 角平分线的性质与判定 一、单选题 1．(24-25八上·北京朝阳区将府实验学校·期中)如图，，若，则的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．(24-25八上·北京海淀区中关村中学·期中)点在的平分线上（不与点重合），于点，是边上任意一点，连接．若，则下列关于线段的说法一定正确的是（   ） A． B． C． D．存在无数个点使得 3．(24-25八上·北京大兴区·期中)如图，在中，，是的平分线，已知，，则 的面积是（   ） A． B．5 C．7 D．14 二、填空题 4．(23-24八上·北京朝阳区蒋府实验学校·期中)如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；②M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点，若，的面积为2，则的面积为 ． 5．(23-24八上·北京海淀区北京理工大学附属中学·期中)如图，在中，平分于点，若，则的面积是 ． 6．(23-24八上·北京海淀区师达中学·期中)如下图，在等腰中，平分，平分分别为射线上的动点，若，则的最小值为 ． 7．(23-24八上·北京师范大学第二附属中学西城实验学校·期中)如图，在中，的角平分线交于点，则的面积是 ．    三、解答题 8．(24-25八上·北京大兴区·期中)如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为点，，．将向左平移两个单位长度得到，线段与线段相交于点M． (1)求证：； (2)连接，交于点N． ①求证：平分； ②直接写出的面积． 9．(24-25八上·北京朝阳区将府实验学校·期中)如图，四边形中，于点，交于点，连接平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $