上海市某校2025-2026学年高三上学期9月模拟考试数学试题

2025-2026学年度第一学期

高三数学摸底考试卷

（说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟.本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据.标*的是校本原题.）

一､填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确的位置一律得零分）

1. 已知集合A表示直线上的点的集合，且，则a的值为______．

2. 已知复数（为虚数单位），则满足的复数的虚部为__________.

3. 小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：min），连续记录了7天的数据并绘制成如图所示的茎叶图，则这组数据的第60百分位数是____________．

4. 5人参加百米赛跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有______种情况.

5. 在的展开式中，的系数是__________.

6. 已知双曲线的一条渐近线经过点，则双曲线的离心率为__________.

7. 已知，若不等式对恒成立，则的最小正值为__________.

8. 已知是定义在上的函数，若，且，则实数的取值范围为________．

9. 已知锐角满足，则的最小值为__________.

10. 如图，在中，，点在以为直径的半圆（外）内及边界上运动，若，记的最大值与最小值分别为，则__________.

11. 已知对于，过点可作曲线的3条不同的切线，则实数的取值范围为__________.

12. 对于一个有穷正整数数列，设其各项为，，...，，各项和为，集合中元素的个数为，对所有满足的数列，则的最大值为_________.

二､选择题（本大题满分18分，前2题每题4分，后2题每题5分，每题有且仅有一个正确选项）

13. 已知函数，则“，”是“在上的最小值为2”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

14. 若，则下列不等式正确的是（     ）

A.  B.  C.  D.

15. 已知等差数列的公差，等比数列的公比，且，.设为的前项和（），则下列结论中正确的是（    ）

A. 存在唯一的公比，使得

B. 存在，使得恒成立

C. 若，当时，恒成立

D. 当时，恒成立

16. 如图，有一正三棱锥，已知它的底面边长为2，高为（点到平面的距离），保持在平面上，且三棱锥绕转动.若存在某个时刻，三棱锥在平面上的射影是等腰直角三角形，则的取值范围是（    ）

 

A.  B.  C.  D.

三､解答题（本大题满分78分，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤）

17. 如图，四棱锥的底面是正方形，垂直于底面,为的中点.

（1）求证：平面；

（2）若，求直线与平面所成的角.

18. 自《健康中国2030"规划纲要》颁布实施以来，越来越多的市民加入绿色运动行列.某公司为了了解员工一周的运动情况，调查了名员工一周的运动时长（单位：小时），作出如图所示的频率分布直方图．已知运动时长在小时的员工有48人．

（1）求；

（2）根据频率分布直方图，估计该公司员工一周运动时长的平均数；（结果保留2位小数）

（3）公司计划选择1人向大家分享运动心得，则在选中的员工一周运动时长不少于4小时的前提下，求此人一周运动时长在区间内的概率．

19. 2023年杭州亚运会首次启用机器狗搬运赛场上的运动装备.如图所示，在某项运动赛事扇形场地