精品解析：北京市丰台区2026-2027学年高三上学期期中考试数学试卷

2026~2027学年度第一学期期中练习 高三数学 第一部分 （选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意，又 所以. 2. 已知复数，则（ ） A. 7 B. 25 C. -7 D. -25 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以 3. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 已知，，可得： ， 代入数据得： . 4. 已知，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项判断作答. 【详解】由，得，，则，A正确； 由，得，则，即，B错误； 由，，可得，则C错误； 由，得，D错误. 5. 下列函数中，是奇函数且在其定义域上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义及函数的单调性即可判断四个选项. 【详解】对于A，定义域为，则， 所以函数为奇函数； 易知在和上均单调递增，但在定义域上不单调递增，不合题意； 对于B和C，定义域均为，则，， 两个函数均为偶函数，不合题意； 对于D，定义域为，则，所以函数为奇函数； 由指数函数在上单调递增，又在上单调递减，则在上单调递增， 所以在上单调递增，符合题意. 6. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先用正弦定理对转化结合，求出角，再利用正弦定理结合，求出，进而得到角． 【详解】由，得， 又，所以， 即，所以 因为，所以， 由且，得， 因为，所以． 7. 已知函数与的图象关于轴对称，则的一个取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出函数的图象关于轴对称的图象的函数解析式，由条件结合正弦函数性质列方程求即可. 【详解】函数的图象关于轴对称的图象的函数解析式为， 由已知， 所以或，， 由化简可得，该式无法对任意恒成立，舍去； 由化简可得，即， 当时，，选项符合要求. 8. 近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物释放对大气臭氧层的破坏作用．科学研究表明，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，为常数．经过测算，如果从现在算起，不对氟化物的使用和释放进行控制，经过266年将有一半的臭氧消失．按照这样的变化规律，若经过年，臭氧含量只剩下初始含量的，约为（参考数据：，）（ ） A. 392 B. 448 C. 618 D. 698 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，，即，得， 得 9. 已知平面上不共线的三点，，，，则“，，三点共线”是“，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量三点共线的充要条件得到满足的方程，求解后分别判断两个条件的推出关系即可. 【详解】因，，三点共线，则存在实数使得，则 ， 即， 又因且、不共线， 则得 ，整理得 ， 可得 或 （），解得 或 （）. 因为当（）时，代入得，可推出，，三点共线，故必要性成立； 若，，三点共线，由上分析知，当 （）时，无法推出，故充分性不成立. 因此“，，三点共线”是“，”的必要不充分条件. 10. 设数列满足，给出下列四个结论： ①若，则为常数列； ②若，则； ③若，则为递减数列； ④若，存在常数，使得恒成立． 其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先确定函数的定义域为，求导分析其单调性和最值，明确不动点.对于①，将代入递推式，因为，所以计算即可判断数列是否为常数列；对于②，当时，结合在时的取值范围，判断的范围；对于③，当时，计算的符号，判断数列的单调性；对于④，当时，由上述分析可知趋近于1，找到即可进行判断. 【详解】对于①，若，则，故，即为常数列，故①正确. 对于②，取，则，易知在上单调递增，在上单调递减，且，，若，则，同理，可知，依次可得，故②正确. 对于③，若，则，由②中分析可知，又，即，所以此时不是递减数列. 对于④，若，则，，因为，，所以，，所以，故此时不存在常数，使得恒成立，故④错误. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域为_________． 【答案】 【解析】 【详解】要使函数有意义， 需使，解得， 所以函数的定义域为． 12. 已知是等比数列，若，，则_________． 【答案】 【解析】 【详解】设数列的公比为， 由已知，， 所以，所以. 13. 已知平面向量，满足，，则_________，的最大值为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据平面向量模长公式直接求解即可求出第一空；利用向量三角不等式即可求出第二空. 【详解】由，则； 因为，则由向量三角不等式可得， 当且仅当共线反向时等号成立，所以的最大值为. 14. 已知函数，若，则______；关于的方程有两个不同的解，，当变化时，的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先由绝对值为0的性质求解对应的；再根据对数方程的解得到，关于的表达式，代入，化简后结合的取值范围求值域. 【详解】由，可得，所以，解得； 函数，定义域为，值域为， 方程有两个不同的解，，故， 由，得，即，， ， ，令，，易知在上单调递增， 当时，，故； 当时，，故； 因此的取值范围为. 15. 已知函数，给出下列四个结论： ①存在实数，使的图象关于直线对称； ②对任意实数，存在最小值； ③若在上单调递增，则； ④若有且仅有一个零点，则的取值集合中恰有两个元素． 其中正确结论的序号是_________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①，利用函数关于对称的充要条件对任意成立，代入表达式推导需满足的条件，判断是否存在这样的；②③，将写成分段函数的形式，利用导数分别研究两段函数的单调性，进而判断函数整体是否存在最小值，并求得在上单调递增时，的取值范围；④，将零点问题转化为方程的解的问题，结合上述分析，零点唯一时即取最小值时，分类讨论的取值个数. 【详解】对于①，取，有，整理得， 则当时，对于任意，均有，即的图象关于直线对称，故①正确. 对于②，，则， 又的图象是连续的，作函数，图象如图所示， 可知当时，取， 则当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 故当时，取得最小值； 当时，取， 同理可得在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值； 当时，易知在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值； 综上可知，对任意实数，存在最小值，故②正确. 对于③，由②中分析可知，若在上单调递增，则，故③错误. 对于④，结合②中分析，若有且仅有一个零点，则，或， 当且时，有， 整理得，取（）， 则，易知在上单调递增，在上单调递减， 又，，且时，故存在唯一的（），使得， 因为，所以与一一对应，所以当时，存在唯一的使得有且仅有一个零点； 当且时，有，故此时无解； 当且时，有， 整理得，取（）， 则，则在上单调递减， 又，且时，故存在唯一的（），使得， 因为，所以与一一对应，所以当时，存在唯一的使得有且仅有一个零点； 综上可知，当有且仅有一个零点时，的取值集合中恰有两个元素，故④正确. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 设等差数列的前项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用等差数列项与前项的和的基本量运算计算即得； （2）利用分组求和法与等比数列，等差数列求和公式计算即可. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为， 则，解得，， 则； 【小问2详解】 由（1）得，则， 于是数列的前项和为： . 17. 设函数，，． （1）若，求的值； （2）已知在上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数唯一确定，求，的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）, 【解析】 【分析】（1）先由得到关于的三角方程,用辅助角公式把它化为一个正弦值,再由确定的唯一取值. （2）先用辅助角公式把化为正弦型函数,由它在上单调递增得到的范围. 再分别讨论条件①②、②③、①③三种组合:由条件列出关于与的方程,结合它们的范围求解并检验,其中①②、②③都能唯一确定,,而①③不能唯一确定函数. 【小问1详解】 由得,即. 所以. 由得,故只能,即. 【小问2详解】 ,记,则,其中. 由在上单调递增知,该区间长度不超过半个周期,所以,即. 选择条件②与①,先看条件②:由得,和差化积得. 由知,于是. 又,其中只有是的整数倍,故,即. 再看条件①:由得. 而,故,解得. 于是,所以. 若选条件②与③:由在上单调递减,该区间长度为,得,即. 此时当时,,它应含于某个单调递减区间内. 由知,故只能有,即,同样得,. 若只选①③:由①可得,此时对任意条件③均成立,函数不能唯一确定,故①③不合要求. 检验:当,时,. 当时,,此时单调递增,且,符合题意. 所以,. 18. 设函数． （1）当是偶函数时，求的值域； （2）若，，求的最小值． 【答案】（1）当时,的值域为;当时,的值域为. （2）的最小值为. 【解析】 【小问1详解】 令,则. 因为是偶函数,所以对任意恒成立,即. 整理得,该式对任意成立,故,解得或. 当时,,此时,值域为. 当时,,此时,值域为. 【小问2详解】 令,则,且,. 当时,,于是. 而,故,且,均能取到,即在上的最大值为. 由题意,且. 由得,即或. 由得. 因为,所以,即,故两式同时成立时. 即,从而,当时取等号,所以的最小值为. 19. 为打造城郊休闲农场，现将三角形地块划分成三个功能区（如图），从左到右依次为果蔬采摘园、景观池塘、露营草坪．已知，，． （1）若，求的长； （2）若的面积是的面积的倍，求的大小； （3）为推介农场，计划在路段张贴宣传广告，假设路段，，的广告费用按每米分别为1元，2元，1元计价．当路段的广告费用最少时，直接写出的大小． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求解即可； （2）利用正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式以及正弦的二倍角公式求解即可； （3）利用正弦定理，两角和与差的正弦公式，函数导数与单调性，函数导数与最值分析求解即可. 【小问1详解】 在中，由，， 则， 由，，所以 在中，由， 由余弦定理得：， 所以. 【小问2详解】 设，则，， 在中，由正弦定理得：， 由， 在中，， 由正弦定理得：，① 所以， 因为的面积是的面积的倍， 所以，② 将①代入②式得，化简得：， 即，又，所以，所以， 所以. 【小问3详解】 由题意知，路段的广告总费用为， 所以问题转化为求的最小值， 又， 所以要求的最小值，即求的最大值， 在中，由正弦定理得：， 在中，， 由正弦定理得：， 所以 令由，则， 则， 令 要使最大，则只需要在上有最大值， 由， 令，① 由，则，即，② 结合②解出①得：， 令，③ 结合②解出③得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取到最大值， 即， 由，则单调递增，所以具有唯一性， 因为 所以，即时，最大，最小，也即路段的广告费用最少. 20. 已知函数的导函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）当时，求证：； （3）记（其中常数），求函数在区间上极值点的个数． （参考数据：，） 【答案】（1） （2）证明：设， 则，令，解得：， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以， 所以，所以， 因为，所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以，当时，，即，也即. （3）1. 【解析】 【分析】（1）利用函数导数的几何意义，对函数求导，求出切点和对应的斜率，然后利用点斜式求解即可； （2）设，利用函数的导数与单调性和函数最值，结合函数的基本性质以及基本不等式分析证明即可； （3）利用函数导数与函数单调性，函数的奇偶性，函数导数与函数极值点的定义分析即可. 【小问1详解】 当时，，所以切点为， 又，所以切线的斜率为：， 所以曲线在处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 由，函数， 因为， 所以是上的奇函数， 又由（2）的结论可知，当时，， 函数在上单调递减，无极值点， 当时，， 当时，，函数在上单调递增，无极值点， 综上所述，当时，函数取得极大值， 所以函数在区间上仅有一个极大值点，无极小值点， 所以函数在区间上的极值点的个数为1. 21. 设是一个行列（，）的数阵，且数阵中的每一项．若将数阵的第行（或第列）的每一项均乘以，其余项不变，得到一个新的数阵，称为一次变换．若可经过若干次变换后得到数阵的每一项都等于1，则称数阵为“可完美数阵”． （1）判断下列数阵是否是“可完美数阵”：（只需写出结论） ①② （2）数阵满足：若对任意，，，，都有，则称数阵具有性质． （ⅰ）已知数阵是“可完美数阵”，证明：数阵具有性质； （ⅱ）数阵具有性质，证明：数阵可至多经过次变换后得到数阵的每一项都等于1． 【答案】（1）①是“可完美数阵”；②不是“可完美数阵”. （2）（ⅰ）假设数阵具有性质不成立，即数阵不具有性质，于是存在 ，其中，使得． 又因为，所以，即恰有3项为1（或3项为）， 每次变换四项中恰有两项变换为原来的相反数，则 （1）变换的两项都为1（或为）时，变换后四项积的值为， 则不变； （2）变换的两项分别为-1，1时，变换后四项积的值不变， 则不变； 变换后与是“可完美数阵”，则矛盾， 所以假设不成立，所以数阵具有性质． （ⅱ）由数阵具有性质，可证数阵具有如下性质： 引理1 若其中，则，其中． 证明：若存在使得不成立，即． 所以四项中恰有3项相同，即． 数阵具有性质，与矛盾． 所以假设不成立，得． 引理2 若，其中，则，其中． 同引理1的证法可证． 引理3 对数阵进行1次变换后得到数阵仍具有性质．（由（2）（i）的结论可得） 下面证明原问题． 若中恰有个，个1，中恰有个，个1． 当时，将中个的项对应的列进行变换得到新数阵， 由引理1-3得此时的新数阵每行都相同，且行中恰有行，每行中的项都是，其余的项都是1； 对每项都是的行进行变换再得新数阵，得到数阵中的每一项都等于1，此时共进行了次变换． 当时，不妨． 将中个1的项对应的列进行变换，由引理1-3得此时每列都相同，且行中恰有行． 每行中的项都是，其余项都是1；对每项都是的行进行变换，得到数阵中的每一项都等于1， 此时进行了次变换． 综上，数阵具有性质，数阵可至多经过次变换后得到数阵的每一项都等于1． 【解析】 【分析】（1）通过尝试行、列符号翻转操作验证；本质是判断行与行、列与列的符号是否成比例，能否统一翻转为全1； （2）（i）采用反证法，将 “任意两行两列交叉的四个元素的乘积” 作为变换下的不变量，通过假设存在四元乘积为，与 “可完美数阵能经变换得到全 1 数阵（四元乘积必为 1）” 产生矛盾，从而证得数阵一定具有性质； （ⅱ）由性质 推导出 “行与行的符号关系由首列完全决定、列与列的符号关系由首行完全决定” 的联动规律，通过对含的行或列做整体变号，分两种情形控制总变换次数不超过，最终得到全1数阵. 【小问1详解】 ①是“可完美数阵”；②不是“可完美数阵”. 【小问2详解】 （ⅰ）略； （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度第一学期期中练习 高三数学 第一部分 （选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. 7 B. 25 C. -7 D. -25 3. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，是奇函数且在其定义域上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数与的图象关于轴对称，则的一个取值为（ ） A. B. C. D. 8. 近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物释放对大气臭氧层的破坏作用．科学研究表明，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，为常数．经过测算，如果从现在算起，不对氟化物的使用和释放进行控制，经过266年将有一半的臭氧消失．按照这样的变化规律，若经过年，臭氧含量只剩下初始含量的，约为（参考数据：，）（ ） A. 392 B. 448 C. 618 D. 698 9. 已知平面上不共线的三点，，，，则“，，三点共线”是“，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 设数列满足，给出下列四个结论： ①若，则为常数列； ②若，则； ③若，则为递减数列； ④若，存在常数，使得恒成立． 其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域为_________． 12. 已知是等比数列，若，，则_________． 13. 已知平面向量，满足，，则_________，的最大值为_________． 14. 已知函数，若，则______；关于的方程有两个不同的解，，当变化时，的取值范围是______． 15. 已知函数，给出下列四个结论： ①存在实数，使的图象关于直线对称； ②对任意实数，存在最小值； ③若在上单调递增，则； ④若有且仅有一个零点，则的取值集合中恰有两个元素． 其中正确结论的序号是_________． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 设等差数列的前项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 设函数，，． （1）若，求的值； （2）已知在上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数唯一确定，求，的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 设函数． （1）当是偶函数时，求的值域； （2）若，，求的最小值． 19. 为打造城郊休闲农场，现将三角形地块划分成三个功能区（如图），从左到右依次为果蔬采摘园、景观池塘、露营草坪．已知，，． （1）若，求的长； （2）若的面积是的面积的倍，求的大小； （3）为推介农场，计划在路段张贴宣传广告，假设路段，，的广告费用按每米分别为1元，2元，1元计价．当路段的广告费用最少时，直接写出的大小． 20. 已知函数的导函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）当时，求证：； （3）记（其中常数），求函数在区间上极值点的个数． （参考数据：，） 21. 设是一个行列（，）的数阵，且数阵中的每一项．若将数阵的第行（或第列）的每一项均乘以，其余项不变，得到一个新的数阵，称为一次变换．若可经过若干次变换后得到数阵的每一项都等于1，则称数阵为“可完美数阵”． （1）判断下列数阵是否是“可完美数阵”：（只需写出结论） ①② （2）数阵满足：若对任意，，，，都有，则称数阵具有性质． （ⅰ）已知数阵是“可完美数阵”，证明：数阵具有性质； （ⅱ）数阵具有性质，证明：数阵可至多经过次变换后得到数阵的每一项都等于1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $