2.1平方根第1课时 教案 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

第二章 实数的初步认识

2.1平方根

第1课时

本节课《算术平方根》是苏教版八年级上册2章第第一节内容，算术平方根属于“数与代数”领域中“实数”板块的核心内容．课标强调通过实际问题引入算术平方根概念，要求学生理解算术平方根的意义，会用根号表示数的算术平方根，并能进行简单的算术平方根运算．在课程目标上，注重培养学生的符号意识、运算能力和抽象能力，通过探索算术平方根与平方运算的互逆关系，建立数感，感悟数的扩充必要性，引导学生从有理数向实数过渡，体会数学知识的连续性和逻辑性．算术平方根是学习平方根、立方根及实数概念的前提，为后续学习二次根式、一元二次方程等内容奠定运算基础．同时，其运算性质与法则的探究经验，对理解根式化简、分式运算等代数知识具有迁移作用．

1．从实际问题（如面积计算）中抽象出算术平方根概念，学生能准确阐述算术平方根的定义，正确使用符号""表示．  

2．掌握算术平方根的非负性，能运用定义和性质解决实际问题．

3．在探究活动中体验数学符号的简洁美（如""的抽象表达），激发对数学概念本质的好奇心．

重点：从实际问题（如面积计算）中抽象出算术平方根概念，学生能准确阐述算术平方根的定义，正确使用符号""表示．

难点：掌握算术平方根的非负性，能运用定义和性质解决实际问题．

         本章导入

通过引入负数，我们认识了有理数，实现了数系的第一次扩充.随着数的认识的不断深入，人们发现，有些数不能用分数的形式表示（如圆周率），这就需要引入一种新的数——无理数．

本章将引入无理数，进一步把有理数扩充到实数，学习实数的表示、运算和大小比较．

设计意图：让学生对本章知识有一个整体的感知，利于学生建立知识之间的练习，形成知识体系．

         情境导入

问题：新定义：完全平方数是指可以表示为某个整数的平方的自然数．即：若存在整数k，使得 ，则称n 是一个完全平方数． 判断49，51，121是否为完全平方数？

预设答案：根据完全平方数的定义：，即49和121都是完全平方数．

追问：谁的平方等于51？

一起来探究吧！

师生活动：学生独立思考问题，教师给出提示．

设计意图：利用学生已经熟悉的“平方”运算作为认知起点，并体会不是所有自然数都是完全平方数，判断过程为引出新概念埋下伏笔（已知面积求边长）．  

         探究新知

活动一：探究算术平方根的定义

问题：一张正方形纸片的面积为a，它的边长是多少呢？设边长为x，根据正方形的面积公式，得到．下表中列举了一些a的值，请写出边长x对应的值：

       

预设答案：当时，；当时，．

追问：当时x是多少呢？

  

预设答案：根据正方形面积公式可知：当时，2，当时，3

【概念形成】

一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫作a的算术平方根．

示例：→ 3是9的算术平方根

， → x是2的算术平方根

， → x是3的算术平方根

问题：怎么用符号来表示一个正数的算术平方根呢？

预设答案：a的算术平方根记为，读作“根号a”．

示例：→ 3是9的算术平方根；可表示为．

， → x是2的算术平方根；可表示为．

， → x是3的算术平方根；可表示为．

追问：一个正数有几个算术平方根？负数有算术平方根吗？0呢？

预设答案：一个正数只有一个算术平方根，且一定为正数；

没有一个数的平方是负的，即负数没有算术平方根．

规定：0的算术平方根是0，即．

问题：观察下列式子，现在你知道51是完全平方数吗？你还能发现什么规律？

预设答案：51不是完全平方数；

规律：平方与开方互为逆运算；0，1的算术平方根等于它本身等．

师生活动：学生独立思考问题，教师总结算术平方根定义，师生一同总结常用算术平方根的值．

设计意图：利用正方形面积这一学生熟知的、可视化的模型，使抽象的“求平方原数”运算变得具体可感，降低了理解难度．学习概念后立即应用于总结常用值，形成闭环，体现“学以致用”．

活动二：探究算术平方根的性质

问题：是什么数？被开方数a可以是任何数吗？

预设答案：

也就是说，非负数的算术平方根是非负数.负数不存在算术平方根，即当a<0时，无意义．

探究：根据算术平方根的定义，计算，分别等于多