精品解析：浙江省宁波市宋诏桥初级中学2022-2023学年八年级下学期数学学科竞赛测试卷

八年级下期末学科竞赛 数学 一、填空题（每空4分，共40分） 1. 计算：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法运算，分母有理化，正确分母有理化是解题的关键． 先对代数式的每一项分母有理化，再加减抵消即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 2. 已知，则的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查求分式的值，其解题的关键是合理的变形及整体代入；由变形得，再对所求代数式进行变形，并整体代入求值即可； 【详解】解：， ， ． 故答案为：3. 3. 一组数据的平均数为5，方差为16，n是正整数，则另一组数据的标准差是__________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了求平均数、标准差、方差的方法，理解并掌握平均数、标准差和方差的定义是解题关键．方差和标准差的关系．标准差是方差的平方根． 分别列出二组数据的平均数和方差的数学式子，进行对比容易得出方差，即可求出结果． 【详解】解：根据题意，数据的平均数为5，方差为16， 即， ， 则的平均数 ， 另一组数据的方差 ， ∴标准差． 故答案为：12． 4. 如图，在中，，，、分别在、上，，，的中点分别是，，直线分别交，于，，若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】如图，记的中点为，连接，，则是的中位线，是的中位线，，，，，由平行线 的性质以及题意可得，，，则，，，设，则，，由，可得，计算求解即可． 【详解】解：如图，记的中点为，连接，， ∵，的中点分别是，，的中点为， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：2． 【点睛】本题考查中位线的应用，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 5. 如图，反比例函数的图象经过点，过点A作轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点，经过点P作直线的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点在此反比例函数的图象上，则t的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质和轴对称的性质；会用求根公式法解一元二次方程．根据反比例函数图象上点的坐标特征由点坐标为得到，即反比例函数解析式为，且，则可判断为直角三角形，所以，再利用可得到，然后轴对称的性质得，所以，于是得到轴，则点的坐标可表示为，于是利用得，然后解方程可得到满足条件的的值． 【详解】解：如图， ∵点坐标为， ， ∴反比例函数解析式为， ， ∴为等腰直角三角形， ， ， ， ∵点和点关于直线对称， ， ， ∴轴， ∴点的坐标为， ， ， 整理得， 解得（不符合题意，舍去）， ∴的值为． 故答案为：． 6. 四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形．已知为较长直角边，，则正方形的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，理解全等三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解决问题的关键． 设，由勾股定理得，则正方形的面积为，先证明，再由得，进而得，由此得，则正方形的面积，根据得，则，由此得，据此可得正方形的面积． 【详解】解：如图所示： 设， 在 中，由勾股定理得：， ∴正方形的面积为：， 由全等三角形性质得：， ∵点分别是的中点， ， ， ， ， 同理， ， ， ， ， ∴正方形的面积， 又 ∵， ∴， ， ， ∴正方形的面积为． 故答案为：． 7. 当时，二次函数有最大值4，则实数m的值为______． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．求出二次函数对称轴为直线，再分三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，离对称轴越近函数值越大， 二次函数对称轴为直线， ①时，取得最大值，， 解得，不合题意，舍去； ②时，取得最大值，， 解得， ∵不满足的范围， ∴； ③时，取得最大值，， 解得． 综上所述，或时，二次函数有最大值4． 故答案为：2或． 8. 如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为点E，F，延长BD至G，使得DG=BD，连结EG，FG，若AE=DE，则=____． 【答案】## 【解析】 【详解】如图，连接AC、EF，在菱形ABCD中，AC⊥BD， ∵BE⊥AD，AE=DE， ∴AB=BD， 又∵菱形的边AB=AD， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ADB=60°， 设EF与BD相交于点H，AB=4x， ∵AE=DE， ∴由菱形的对称性，CF=DF， ∴EF是△ACD的中位线， ∴DH=DO=BD=x， 在Rt△EDH中，EH=DH=x， ∵DG=BD， ∴GH=BD+DH=4x+x=5x， 在Rt△EGH中，由勾股定理得，EG===， 所以，==， 故答案为． ． 9. 对于二次函数，有下列结论：①其图象与x轴一定相交；②若，函数在时，y随x的增大而减小；③无论a取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上；④无论a取何值，函数图象都经过同一个点.其中所有正确的结论是___.（填写正确结论的序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】令y=0，解方程求出抛物线与x轴的两个交点坐标，从而判断出①④正确，利用抛物线的顶点坐标列式整理，再根据二次函数的增减性判断出②错误；消掉a即可得到顶点所在的直线，判断出③正确 【详解】解：令y=0，则ax2-（2a-1）x+a-1=0，即（x-1）[ax-（a-1）]=0， 解得x1=1，x2=， 所以，函数图象与x轴的交点为（1，0），（，0），故①④正确； 当a＜0时，＞1， 所以，函数在x＞1时，y先随x的增大而增大，然后再减小，故②错误； ∵x===1-, y===-, ∴y=x-, 即无论a取何值，抛物线的顶点始终在直线y=x-上，故③正确； 综上所述，正确的结论是①③④． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的与x轴的交点，二次函数的增减性，顶点坐标，难点在于利用a表示出顶点的横坐标与纵坐标，然后消掉a得到顶点所在的直线． 10. 如图，点，点，…点在函数的图象上，，，…都是等边三角形，边、、…都在轴上（是大于或等于2的正整数），点的坐标是_________（用含的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征及点的坐标变化规律，根据题意，依次求出点的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：过点作x轴的垂线，垂足为M， 令， 因为是等边三角形，且， 所以， 所以， 则点的坐标可表示为． 将点坐标代入得， ， 解得（舍负）， 所以点的坐标为； 同理可得，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，…， 所以点的坐标可表示为． 故答案为：． 二、解答题（每题10分，共60分） 11. （1）已知a、b是方程的两个根，求的值； （2）已知a、b、c均为实数，且，，求实数c的最大值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟记根与系数的关系为，是解题的关键． （1）将进行整理得到，再根据根与系数的关系，得到的值，然后利用完全平方公式，即可解答； （2）进行变形可得，，逆用根与系数的关系，可得是的两个解，再利用根的判别式即可解答； 【详解】（1）解： 由a、b是方程的两个根， 可得，， ； （2）解：∵，， ∴，， 是的解， 根据根的判别式可得， 整理得, 解得， 正数的最大值为． 12. 如图，在矩形中，，，对角线相交于点P，过点P可以很容易把矩形的面积分成相等的四部分．请聪明的你想一想，你能画出过点P的三条线段把矩形的面积分成面积相等的三部分吗？请在下图中表示出来，具体的位置请把长度标在图上（请画出两种不同的分法）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，矩形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据矩形面积和梯形面积即可画出图形． 【详解】解：如图，取，的中点，即为所求作的图形． 矩形面积的三分之一为， 的中点，， ， ，， 梯形和梯形的面积为， 五边形的面积为； 如图，取，的中点，即为所求作的图形． 的中点，， ， ，， 梯形和梯形的面积为， 五边形的面积为； 13. 如图，在正方形中，，E，F分别是边，上的点，满足，，分别与对角线交于点M，N． （1）求证： ①； ②； （2）求的最小值． 【答案】（1） 证明：①延长至点，使，连接， 如图， ∵四边形为正方形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ． ②把绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，连接， 如图， ∵四边形为正方形， ， ， 由旋转的性质可得：， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）①延长至点，使，连接，利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质得到，再利用全等三角形的判定与性质得到，则结论得证； ②把绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，连接，由旋转的性质可得：，则，利用全等三角形的判定与性质得到，再利用勾股定理解答即可得出结论； （2）以为斜边，作等腰直角三角形，连接，过点作于，利用等腰直角三角形的性质得到，利用两点之间线段最短的性质得到，利用不等式的性质解答即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知：， 以为斜边，作等腰直角三角形，连接，过点作于， 如图， ∵是等腰直角三角形，， ， ，， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， ， ， ， ， ∴的最小值． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 14. 如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣3，O），C（，O）． （1）求⊙M的半径； （2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH． （3）在（2）的条件下求AF的长． 【答案】（1）4； （2）证明：如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC， ∵CE⊥AB， ∴∠HBC+∠BCH=90° 在△COF中， ∵∠OFC+∠OCF=90°， ∴∠HBC=∠OFC=∠AFH， 在△AEH和△AFH中， ∵， ∴△AEH≌△AFH（AAS）， ∴EH=FH； （3）4． 【解析】 【分析】（1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长； （2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论； （3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案． 【详解】（1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM， ∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径， ∴BT=TC=BC=2， ∴BM==4； （2）略 （3）由（1）易知，∠BMT=∠BAC=60°， 作直径BG，连CG，则∠BGC=∠BAC=60°， ∵⊙O的半径为4， ∴CG=4， 连AG， ∵∠BCG=90°， ∴CG⊥x轴， ∴CG∥AF， ∵∠BAG=90°， ∴AG⊥AB， ∵CE⊥AB， ∴AG∥CE， ∴四边形AFCG为平行四边形， ∴AF=CG=4． 【点睛】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 15. 我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形． （1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称； （2）如图，在中，点分别在上，设相交于点，若，．请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形； （3）在中，如果是不等于的锐角，点分别在上，且．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论． 【答案】（1）平行四边形，等腰梯形，矩形等； （2）与相等的角是∠DOB（或∠EOC）；猜想四边形BDEC是等对边四边形； （3）存在等对边四边形，是四边形BDEC， 证明：如图作CG⊥BE于G，BF⊥CD交CD的延长线于F， 在△BCF和△CBG中， ∴△BCF≌△CBG（AAS）， ∴BF＝CG， ∵，， ∴， 在△BDF和△CEG中， ∴△BDF≌△CEG（AAS）， ∴BD＝CE ∴四边形BDEC是等对边四边形． 【解析】 【分析】（1）本题理解等对边四边形的图形的定义，平行四边形，等腰梯形，矩形就是； （2）与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE），四边形DBCE是等对边四边形； （3）作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点，易证△BCF≌△CBG，进而证明△BDF≌△CEG，所以BD＝CE，所以四边形DBCE是等对边四边形． 【详解】解：（1）如：平行四边形，等腰梯形，矩形等． （2）与相等的角是∠BOD（或∠COE）， ∵∠A＝60°，， ∴∠OBC＝∠OCB＝30°， ∴∠BOD＝∠EOC＝∠OBC＋∠OCB＝60°， ∴与∠A相等的角是∠BOD（或∠EOC）， 猜想：四边形BDEC是等对边四边形， （3）略 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解决本题的关键是理解等对边四边形的定义，把证明BD＝CE的问题转化为证明三角形全等的问题． 16. 对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1． （1）分别判断函数和是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值； （2）若函数的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求的取值范围； （3）将函数的图象向下平移个单位，得到的函数的边界值是，当在什么范围时，满足？ 【答案】（1）不是有界函数，是有界函数，边界值是3；（2）；（3）或． 【解析】 【分析】（1）分析题意，结合已知中有界函数的定义可进行判断； （2）根据一次函数的性质可得的增加性，再结合自变量的取值范围和题意可得，解此不等式组可得的取值范围； （3）要分情况讨论，易判断不符合题意，故；结合已知函数解析式可得函数过点和，以此求得其平移后的点坐标，进而可得或，由此即可求得的取值范围． 【详解】解：（1）结合已知根据有界函数的定义可知不是有界函数，是有界函数，边界值是3； （2）中，随的增大而减小， 当时，，故． 当时，， 根据题意可得：， ； （3）若，函数向下平移个单位后，时，函数值小于，此时函数的边界值大于1，与题意不符，故． 当时，，即过， 当时，，即过， 将，都向下平移个单位，得到，， 根据题意可得：或， 或， 或． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，解题的关键是结合新定义，弄清函数边界值的定义，同时要熟悉平移变换的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下期末学科竞赛 数学 一、填空题（每空4分，共40分） 1. 计算：_________． 2. 已知，则的值为________． 3. 一组数据的平均数为5，方差为16，n是正整数，则另一组数据的标准差是__________． 4. 如图，在中，，，、分别在、上，，，的中点分别是，，直线分别交，于，，若，则______． 5. 如图，反比例函数的图象经过点，过点A作轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点，经过点P作直线的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点在此反比例函数的图象上，则t的值是_________． 6. 四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形．已知为较长直角边，，则正方形的面积为_________． 7. 当时，二次函数有最大值4，则实数m的值为______． 8. 如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为点E，F，延长BD至G，使得DG=BD，连结EG，FG，若AE=DE，则=____． 9. 对于二次函数，有下列结论：①其图象与x轴一定相交；②若，函数在时，y随x的增大而减小；③无论a取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上；④无论a取何值，函数图象都经过同一个点.其中所有正确的结论是___.（填写正确结论的序号） 10. 如图，点，点，…点在函数的图象上，，，…都是等边三角形，边、、…都在轴上（是大于或等于2的正整数），点的坐标是_________（用含的式子表示）． 二、解答题（每题10分，共60分） 11. （1）已知a、b是方程的两个根，求的值； （2）已知a、b、c均为实数，且，，求实数c的最大值． 12. 如图，在矩形中，，，对角线相交于点P，过点P可以很容易把矩形的面积分成相等的四部分．请聪明的你想一想，你能画出过点P的三条线段把矩形的面积分成面积相等的三部分吗？请在下图中表示出来，具体的位置请把长度标在图上（请画出两种不同的分法）． 13. 如图，在正方形中，，E，F分别是边，上的点，满足，，分别与对角线交于点M，N． （1）求证： ①； ②； （2）求的最小值． 14. 如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣3，O），C（，O）． （1）求⊙M的半径； （2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH． （3）在（2）的条件下求AF的长． 15. 我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形． （1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称； （2）如图，在中，点分别在上，设相交于点，若，．请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形； （3）在中，如果是不等于的锐角，点分别在上，且．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论． 16. 对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1． （1）分别判断函数和是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值； （2）若函数的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求的取值范围； （3）将函数的图象向下平移个单位，得到的函数的边界值是，当在什么范围时，满足？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $