精品解析：河南省2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题，则：（ ） A. B. C. D. 2. 样本数据的第60百分位数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 3. 设复数，其中，若在复平面内对应的点位于第四象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 若双曲线E：的右焦点为，则E的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知第二象限角满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 在矩形中，已知，点为线段的中点，且，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 7. 不透明袋子里装有大小､材质完全相同的3个白球､8个黑球，现从中每次随机不放回地抽取1个小球，直到选中第1个黑球为止，则选取次数的数学期望（ ） A. B. C. D. 8. 微扰级数是物理学中用于处理非线性系统的重要方法，对于小扰动参数，可得系统的能量，若为常数，则（ ） A. 当取最小值时， B. 当取最大值时， C. 无最小值 D. E无最大值 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若正数满足成等差数列，成等比数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若均为整数，则一定为整数 D. 若均为整数，则一定为整数 10. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. C. 当时，单调递增 D. 轴是曲线的一条切线 11. 已知函数，且在区间上单调递增.记的最大值为，设，且在中，，其内切圆的半径为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的外接圆的面积为 C. 的最大值为 D. 若平面内一动点满足，则当取得最大值时，的取值范围为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某圆柱的高为，且上､下底面均在以为球心的球面上，若该圆柱的底面半径为1，则球的体积为__________. 13. 已知抛物线，直线与分别交于不同的两点，直线与分别交于不同的两点，且，，则__________. 14. 已知函数有且仅有2个零点，则实数的取值范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知某物理实验参数误差（单位：cm）服从正态分布，且. （1）求的值； （2）求的值. 16. 如图，在三棱锥中，，且. （1）若，证明：平面平面； （2）若与平面所成的角为，求二面角的正弦值. 17. 记首项为1的数列的前项的积为，且是以2为首项，2为公差的等差数列. （1）求的通项公式； （2）求的通项公式； （3）求中的最大项. 18. 已知椭圆的焦距为2，短轴长为为在第一象限上的一点，过点且与相切的直线分别交轴､轴于两点，为坐标原点. （1）求的标准方程； （2）设点，求的最小值； （3）证明：的面积不小于. 19. 已知函数. （1）证明：曲线关于点中心对称； （2）当时，，求的取值范围； （3）证明：对于任意的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题，则：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定定义求解即可. 【详解】由命题，故：. 故选：A 2. 样本数据的第60百分位数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的计算公式进行求解即可. 【详解】样本数据按照从小到大排列为3，4，5，6，8，11共6个数据，. 所以百分位数取第4位数字6， 故选：C. 3. 设复数，其中，若在复平面内对应的点位于第四象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先表示复数，再根据其对应的点位于第四象限，列不等式组可求的取值范围. 【详解】由题意. 因为在复平面内对应的点位于第四象限， 所以. 故选：D 4. 若双曲线E：的右焦点为，则E的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据焦点坐标即可求解，进而求得渐近线方程. 【详解】由于为双曲线的右焦点， 故， 则，所以， 故双曲线的渐近线方程为， 故选：B 5. 已知第二象限角满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式可得，由平方关系可求，由商数关系可得：，利用正切的二倍角公式求解即可. 【详解】由题可得：，则， 因为在第二象限，所以， 则， 所以. 故选：D 6. 在矩形中，已知，点为线段的中点，且，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】以为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，设，得到相关点的坐标和相关向量的坐标表示，利用求解，最后结合平面向量数量积的坐标表示求解即可. 【详解】如图所示，以为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系， 设，则，，，，，， 依题意，因为，即， 所以， 结合，解得， 则，，，， 因此，. 故选：C. 7. 不透明袋子里装有大小､材质完全相同的3个白球､8个黑球，现从中每次随机不放回地抽取1个小球，直到选中第1个黑球为止，则选取次数的数学期望（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的所有可能取值后，计算其对应概率，结合期望公式计算即可. 【详解】选取次数的所有可能取值为1，2，3，4， 则，，，， 故选取次数的数学期望. 故选：B. 8. 微扰级数是物理学中用于处理非线性系统的重要方法，对于小扰动参数，可得系统的能量，若为常数，则（ ） A. 当取最小值时， B. 当取最大值时， C. 无最小值 D. E无最大值 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得，然后利用导数，研究，单调性，可判断选项正误. 【详解】. 令，， 则. 令，， 则， 则在上单调递减，又注意到，则， 从而，则在上单调递增. 则，则E无最大值，有最小值，取最小值时. 故ABC错，D正确. 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若正数满足成等差数列，成等比数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若均为整数，则一定为整数 D. 若均为整数，则一定为整数 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用等差中项和等比中项的性质逐项计算并判断即可. 【详解】对于A，由题意，正数成等比数列，则有，即，故A正确； 对于B，由题意，正数成等差数列，所以，若，则， 又，即，故B正确； 对于C，由，可得，若均为整数，则也一定是整数，即一定为整数，故C正确； 对于D，由上可知，， 若均为整数，则一定是整数，但不一定是整数，所以不一定为整数，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. C. 当时，单调递增 D. 轴是曲线的一条切线 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可求得时的解析式，判断A；结合奇偶性求值可判断B；利用导数判断函数单调性判断C；数形结合判断D. 【详解】由题意知函数是定义域为的奇函数，当时，， 故当时，，则，A正确； 由于函数是定义域为的奇函数，故； 而，故，B错误； 当时，，则， 令，则， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故， 故当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增，C错误； 由C的分析可知，在时取得极小值， 结合函数为奇函数可知在时取得极大值， 作出图象如图， 由此可知轴是曲线的一条切线，D正确， 故选：AD 11. 已知函数，且在区间上单调递增.记的最大值为，设，且在中，，其内切圆的半径为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的外接圆的面积为 C. 的最大值为 D. 若平面内一动点满足，则当取得最大值时，的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】由求得，再根据正切函数的单调性求得的范围得解可判断A；由正弦定理求出外接圆半径得出面积可判断B；由余弦定理可得与的关系，利用等面积法可得，结合基本不等式求得的最大值判断C；由题可知点在以为直径的圆上，根据三点共线求最值判断D. 【详解】，由可知，故， 由，则， 由在区间上单调递增可知，得到， 代入可知题设条件成立，故，于是，故A正确； 因为，由可得，由正弦定理得外接圆直径 ，所以的外接圆面积为，故B错误； 不妨记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由余弦定理可得，即，故， 由等面积法可得，于是， 而，故， 于是，故， 故， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为，故C错误； 当取得最大值时，，记的中点为，如图， 由，可知点在以为直径的圆上（除去B、C），则，由等腰三角形性质可知，故且， 当且仅当A，P，O三点共线时等号成立，故的取值范围是，故D正确. 故选：AD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某圆柱的高为，且上､下底面均在以为球心的球面上，若该圆柱的底面半径为1，则球的体积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】作圆柱的轴截面，求出球的半径，根据球的体积公式求球的体积. 【详解】作圆柱的轴截面，如图： 由题意可知：，， 则球的半径，且， 所以. 所以球的体积为：. 故答案为： 13. 已知抛物线，直线与分别交于不同的两点，直线与分别交于不同的两点，且，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】分别求得和，由可求得结果. 【详解】当时，，则； 当时，，则； ，，. 故答案为：. 14. 已知函数有且仅有2个零点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求得函数的定义域为，再分类讨论，，时，根据的取值范围，去掉绝对值，得到分段函数的解析式，依次讨论其零点的个数，最后综合符合题意的实数的取值范围即可. 【详解】由题意，函数的定义域为， 当时，， 时，，无零点；时，，有无数个零点，均不满足题意. 当时，当即或时，， 令，可得或， 其中，所以肯定是函数的零点， 当即时，是函数的零点；当即时，不是函数的零点. 当即时，，令，， 当时，，方程有一个实数根，此时函数有2个零点和，符合题意； 当时，，方程有两个不相等的实数根， 其中，此时函数有2个零点和，符合题意； 当时，，方程无实数根，此时函数有2个零点和，符合题意； 所以，时，函数有2个零点，符合题意. 当时，当即时，， 令，可得或， 其中，所以肯定不是函数的零点， 当即时，是函数的零点； 当即时，不是函数的零点. 当即或时，， 令，， 当时，，方程有一个实数根，此时函数仅有1个零点，不符合题意； 当时，，方程有两个不相等的实数根， 其中，此时函数有2个零点和，符合题意； 当时，，方程无实数根，此时函数无零点，不符合题意. 所以，时，函数有2个零点，符合题意. 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知某物理实验参数误差（单位：cm）服从正态分布，且. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）0.1 （2）0.8 【解析】 【分析】（1）根据正态分布的对称性及概率和为1，即可得答案. （2）根据条件概率公式，结合（1）中结论，计算即可得答案. 【小问1详解】 因为服从正态分布，所以正态曲线关于对称， 由正态分布的对称性，可得， 所以. 【小问2详解】 设事件，事件， 由（1）得，， 所以. 16. 如图，在三棱锥中，，且. （1）若，证明：平面平面； （2）若与平面所成的角为，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明：取的中点为，连接， 由于，且， 故，所以为平面与平面的夹角或其补角， 又，故，则， 所以. 结合，故，则， 即，故平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，根据二面角的定义得为所求角，利用三角形的边角关系即可求解； （2）根据（1）易知平面，从而可得平面平面，于是得到与平面所成的角为，解得，根据，均为等腰三角形，取中点，可得为二面角的平面角，利用余弦定理即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：，平面， 所以平面，而平面，则平面平面， 于是是在平面上的射影，即， 由，得是正三角形，则. 由于，均为等腰三角形，取中点，连接， 则，故为二面角的平面角， 由于， 故， 故，故二面角的正弦值为. 【点睛】 17. 记首项为1的数列的前项的积为，且是以2为首项，2为公差的等差数列. （1）求的通项公式； （2）求的通项公式； （3）求中的最大项. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式可得，利用累加法可求得答案； （2）利用时，可求得的表达式，验证首项，即可得答案； （3）构造函数，利用导数判断函数单调性，判断数列的增减性，即可求得答案. 【小问1详解】 由于是以2为首项，2为公差的等差数列， 故，结合题意知， 故当时， ，也适合， 故； 【小问2详解】 由题意知， 则时，， 也适合该式，故； 【小问3详解】 由（2）知， 令，则， 当时，；当时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 由此可得，即得中的最大项为. 18. 已知椭圆的焦距为2，短轴长为为在第一象限上的一点，过点且与相切的直线分别交轴､轴于两点，为坐标原点. （1）求的标准方程； （2）设点，求的最小值； （3）证明：的面积不小于. 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题可得，，据此可得，可得椭圆方程； （2）设，，由两点间距离公式可得，据此可得答案； （3）设，由导数知识可得切线方程为：，由此可得B，C坐标，然后由（2）中分析可得，据此可完成证明. 【小问1详解】 由题可得，， 则，从而椭圆方程为：； 【小问2详解】 由（1）设，，又， 则 ，当且仅当，即时取等号. 【小问3详解】 在第一象限，由椭圆方程可得，. 设，则在A处的切线斜率为：，又， 则，又，所以. 则切线方程为：. 令，得，, 令，得，. 又由（2），设，，则，. 则，因，则， 从而，则，即的面积不小于. 19. 已知函数. （1）证明：曲线关于点中心对称； （2）当时，，求的取值范围； （3）证明：对于任意的. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出定义域后证明即可得； （2）令，则，构造函数，求导后分及讨论其单调性即可得； （3）令，借助（2）中所得，证明及当时，即可得证. 【小问1详解】 由题意可得，解得或， 即的定义域为， ， 即，故曲线关于点中心对称； 【小问2详解】 由，则，令，则， 则， 令，， 则， 若，由，则， 故 则在上单调递增，又，故恒成立，符合要求； 若，有， 则存在，使得时，， 即在上单调递减，又， 则当时，，故不符； 综上所述，； 【小问3详解】 由（2）可得，对任意恒成立， 则对任意恒成立， 故当时，有，即， 令，， 则， 即当时，， 当时， ， 由对任意恒成立，则， 故， 即，又，则对任意，有， 即对于任意的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $