专题一绝对值有关的题型解析（核心知识回顾+十大题型+方法总结）2025-2026学年人教版七年级上册数学大单元教学分层优化练

该初中数学单元学案以“绝对值”为核心主题，围绕代数意义与几何意义双主线设计，通过十类典型题型的递进式训练，构建从概念理解到综合应用的完整学习路径。每课时任务环环相扣，由基础辨析到分类讨论，再到实际问题解决，层层深入，帮助学生建立清晰的知识结构和思维逻辑。 亮点在于“数形结合探究活动”与“零点分段法实践任务”的深度融合，体现数学抽象、逻辑推理与模型观念的核心素养。例如，在“蚂蚁在数轴上移动”情境中，学生需结合绝对值几何意义分析位置关系，提升空间观念与运算能力；在“最值问题探究”中，引导学生用符号语言表达距离变化规律，发展建模意识与理性思维。学案配套知识框架图、错题归因表和变式练习集，既助力学生系统梳理易错点，又为教师提供精准教学依据，有效支持大单元教学实施。

2025学年人教版七年级数学大单元教学分层优化练 专题一绝对值有关的题型解析（核心知识回顾+十大题型+方法总结） 初一学习绝对值概念确实是个关键点，它抽象且容易出错。让我为你梳理一下与绝对值相关的常见题型及解题策略，希望能帮你更好地掌握。 理解绝对值的几何意义和代数意义至关重要： 几何意义： 数轴上，表示数 a 的点与原点的距离，就是数 a 的绝对值，记作 ∣a∣。 代数意义： 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0 即： 非负性： 任何有理数的绝对值都是非负数，即 ∣a∣≥0 。 题型一、求一个数的绝对值 一般地，数轴上表示a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 求一个数的绝对值可以结合数轴来解决，也可以用：（1）正数的绝对值是它本身，（2）负数的绝对值是它的相反数，（3）0的绝对值是0来解决。 即：如果a>0时|a|=a;如果a<0时|a|=-a；如果a=0时|a|=0 例1．的绝对值是（　　） A．8 B． C．6 D． 【变式1-1】．的值是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】．化简： ． 【变式1-3】．化简： （1） ； （2） ；    （3） ；     （4） ． 题型二、已知一个数的绝对值，求原数 绝对值相等的两个数，本身可以相等，也可以是相反数；即|a|=|b|，则得a=b或a=-b，特别注意a=b=0的情况。也要注意反推的情况，即：a=b或a=-b可以推出|a|=|b|或|a|=|-b|。 例2．若，，且在数轴上表示a的点在表示b的点的左侧，则 ． 【变式2-1】．若，则 . 【变式2-2】．若，则 ． 【变式2-3】．绝对值是7的正数是 ． 题型三、绝对值的非负性 若|a|+|b|=0，则a=0且b=0；若|a|+b=0，则a=0且b=0；（其中a、b可以是单独的字母，也可以是表达式） 例3．若与互为相反数，则的值在数轴上对应的数应为 ． 【变式3-1】．若与互为相反数，则 ． 【变式3-2】．若，则 ， ． 【变式3-3】．（1）若，则 ， ． （2）已知，则 ． （3）已知与互为相反数，则 ． 题型四、绝对值的几何意义 绝对值表示一个数对应的点到原点的距离，由于距离总是正数或零，则有理数的绝对值不可能是负数，即a取任意有理数，都有|a|0. |a|表示一个数a在数轴上对应的点与原点之间的距离 式子|x-y|表示的几何意义：表示数轴上的数x到数y的距离 式子|x+y|表示的意义：因为|x+y|=|x-(-y)|,所以可表示数轴上的数x到数-y的距离。 例4．在数轴表示的意义是表示6的点与原点之间的距离，式子在数轴上的意义是表示6的点与表示2的点之间的距离．类似的，式子在数轴上的意义是 ． 【变式4-1】．有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，那么这三个数中绝对值最大的是 ． 【变式4-2】．在数轴上有两只蚂蚁，蚂蚁甲到原点的距离为3，蚂蚁乙到蚂蚁甲的距离为2，则蚂蚁乙在数轴上表示的数为 ． 【变式4-3】．如图，数轴的单位长度为1，数轴上有A，B，C三个点，若点A，B到原点的距离相等，则点C表示的数是 ． 题型五、利用绝对值意义解决实际问题 绝对值越小，表示数据越接近标准数据，绝对值越大表示数据越偏离标准数据 例5．质检员抽查某零件的质量，超过规定尺寸的记为正数，不足规定尺寸的记为负数，结果第一个，第二个，第三个，第四个，则抽查的这四个零件中，质量最好的零件是（   ） A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个 【变式5-1】．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】．一批零食，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D．5 【变式5-3】．生产厂家检测4个篮球的质量，结果如图所示，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．其中最接近标准质量的篮球是（   ） A． B． C． D． 题型六、利用绝对值比较有理数的大小 ①正数大于0,0大于负数，正数大于负数； ②两个负数，绝对值大的反而小 例6．比较下列各组数的大小，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】．比较，，，的大小，下列正确的是（       ） A． B． C． D． 【变式6-2】．比较大小： ．（填“”“”或“”） 【变式6-3】．比较大小∶ ， ．(在横线上填“<”“>”或“=”) 题型七、利用绝对值求最值 绝对值表示一个数对应的点到原点的距离，由于距离总是正数或零，则有理数的绝对值不可能是负数，即a取任意有理数，都有|a|0.所以|a|的最小值是0 -|a|的最大值是0 例7．根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题： (1)当_____时，有最小值，这个最小值是_____． (2)当_____时，有最大值，这个最大值是_____． 【变式7-1】．根据这一性质，解答下列问题： (1)当 时，有最小值，此时最小值为 ； (2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？ 【变式7-2】．阅读理解：目前，我们学过两类非负数，它们分别是绝对值和平方数． 小明学习后总结如下：因为，所以的最小值为m，所以的最大值为m． 迁移发现： 绝对值是否有类似的结论呢？下面是小明的探究过程，请将其补充完整． (1)对和进行讨论，发现可以求得的最______值，可以求得的最______值； (2)多选择一些特殊实例进行讨论，请你写出一般的结论：________________ (3)请用迁移发现中的结论讨论是否有最小值或最大值，最值是什么？ 【变式7-3】．解答下列问题： (1)代数式有最大值或最小值吗？有的话，是多少？ (2)当代数式取得最大值或最小值时，代数式的值是多少？ 题型八、绝对值中的新定义 按照给定的运算定义、法则运算顺序进行运算 例8．对于有理数a，b，定义一种新运算“”，规定． (1)若，计算的值； (2)当a，b在数轴上的位置如图所示时，化简； (3)已知 ，，求a的值． 【变式8-1】．定义新运算“⊙”：对于有理数a，b，都有． 例如：． (1)计算的结果是　　． (2)有理数m，n满足，求的值． 【变式8-2】．定义新运算“⊙”：对于有理数a，b，都有．例如：． (1)计算的结果是______． (2)有理数m，n满足，求的值． 【变式8-3】．定义新运算：，如． (1)求的值． (2)若，且，求的值． 题型九、绝对值与数轴综合 根据点在数轴上的位置确定数或式子的正负，利用正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，去绝对值符号，化简计算。 例9．如图，数轴上点到原点的距离是（   ） A．3 B．－2 C．2 D．1 【变式9-1】．如下图所示，在数轴上，a，b，c对应的数，且b和c到原点距离相等，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)如果a，b，c对应的数分别为、、，则数轴上表示5与a的两点之间的距离是______；表示和c两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．则a到c的距离是______ (2)确定符号： ______0， _____0，_____0，______0； (3)化简：； 【变式9-2】．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读并完成相应的任务． 绝对值研究报告 初步学习：如图，由数轴上点的位置可知， ▲ ． 教材知识：非负数的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数． 深入学习：由与0，b与与与0的大小关系及教材知识可知，，． 任务： (1)材料中“▲”处应填 （填“>”“<”或“=”），“▇”处应填 ； (2)由材料可知， ； (3)若材料中的与互为相反数，化简：． 【变式9-3】．华师版《七年级上册》教材，第16页，我们本学期学习了绝对值的概念：我们把数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作． 【定义应用】计算： ； ； ； 【学习总结】当时， ；当 时，； 【学以致用】，在数轴上的位置如图所示，化简 ．    题型十、分类讨论多绝对值问题 找零点（令每个绝对值为零的未知数的值）→ 划区间→ 分段讨论化简或求解。 熟练运用“零点分段法”：对于多个绝对值的问题，此方法尤为有效 例10．数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值，如2与3的距离可表示为，2与的距离可表示为 (1)数轴上表示3和8的两点之间的距离是 　　；数轴上表示和的两点之间的距离是 　　； (2)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 　　；如果，则x为 　　； (3)数a、b、c在数轴上对应的位置如图所示，化简． (4)当代数式取最小值时，x的值为 　　． 【变式10-1】．阅读与理解： 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题，同学们都知道，表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上x对应的点分别到1和所对应的点的距离之和． 【举一反三】 （1）可理解为________与________在数轴上所对应的两点之间的距离； 【问题解决】 （2）请你结合数轴探究：的最小值是________； （3）若，则_________； 【拓展应用】 （4）已知a，b两个数在数轴上的位置如图所示，化简：_________．    【变式10-2】．阅读下列材料并解决有关问题： 【材料一】我们知道，现在我们可以用这一个结论来化简含x有绝对值的代数式， 如化简代数式时可令和，分别求得，（称与2分别为与的零点值），在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式． 综上讨论，原式= 【材料二】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示和的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 通过以上阅读，请你解决以下问题： （1）求出和的零点值； （2）化简代数式； （3）对于任意有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【变式10-3】．学习了绝对值我们知道，，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们就称和分别为|和|的零点值在有理数范围内，零点值，可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ⑤当时，原式． 综上所述，原式，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题： (1)化简代数式； (2)的最大值是 ．（请直接写出结果） X’x  理解本质：透彻理解绝对值的代数定义和几何意义，这是万变不离其宗的根本 。  规范步骤：初学时，对于分类讨论和零点分段法，按部就班地写出过程，清晰地写出“零点”和讨论区间，避免跳步 。  数形结合：养成画数轴的习惯。数轴能非常直观地帮助理解绝对值表示的距离，尤其是最值问题和点的相对位置 。  勤加练习：绝对值问题灵活多变，​通过练习积累经验，熟悉不同题型的解法和技巧 。  整理反思：定期回顾整理易错题型和错误原因，加深对知识点的理解和掌握 绝对值十大题型解析 方法总结 绝对值的核心知识回顾 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版七年级数学大单元教学分层优化练 专题一绝对值有关的题型解析（核心知识回顾+十大题型+方法总结）（解析版） 初一学习绝对值概念确实是个关键点，它抽象且容易出错。让我为你梳理一下与绝对值相关的常见题型及解题策略，希望能帮你更好地掌握。 理解绝对值的几何意义和代数意义至关重要： 几何意义： 数轴上，表示数 a 的点与原点的距离，就是数 a 的绝对值，记作 ∣a∣。 代数意义： 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0 即： 非负性： 任何有理数的绝对值都是非负数，即 ∣a∣≥0 。 题型一、求一个数的绝对值 一般地，数轴上表示a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 求一个数的绝对值可以结合数轴来解决，也可以用：（1）正数的绝对值是它本身，（2）负数的绝对值是它的相反数，（3）0的绝对值是0来解决。 即：如果a>0时|a|=a;如果a<0时|a|=-a；如果a=0时|a|=0 例1．的绝对值是（　　） A．8 B． C．6 D． 【答案】A 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数即可得到答案． 【详解】解：的绝对值是， 故选：A． 【变式1-1】．的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案． 本题考查了绝对值．解题的关键是熟练掌握绝对值的定义和性质． 【详解】解：． 故选：． 【变式1-2】．化简： ． 【答案】6 【知识点】化简多重符号、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了绝对值，相反数的多重符号化简，熟练掌握化简是解题的关键．根据绝对值，相反数的多重符号化简解答即可． 【详解】解：， 故答案为：6． 【变式1-3】．化简： （1） ； （2） ；    （3） ；     （4） ． 【答案】 【知识点】化简多重符号、绝对值的几何意义、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了绝对值的意义，相反数的意义，根据绝对值的意义，相反数的意义逐一求解即可，掌握绝对值的性质是解题的关键 【详解】解：； ； ； ； 故答案为：；；；． 题型二、已知一个数的绝对值，求原数 绝对值相等的两个数，本身可以相等，也可以是相反数；即|a|=|b|，则得a=b或a=-b，特别注意a=b=0的情况。也要注意反推的情况，即：a=b或a=-b可以推出|a|=|b|或|a|=|-b|。 例2．若，，且在数轴上表示a的点在表示b的点的左侧，则 ． 【答案】或 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了已知绝对值求这个数，根据数轴比较大小． 先根据绝对值求出，，再根据数轴得到，，进而代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵在数轴上表示a的点在表示b的点的左侧 ∴ 即， ∴或 故答案为：或 【变式2-1】．若，则 . 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值相等的数有两个即可解． 【详解】 或 故答案为：． 【变式2-2】．若，则 ． 【答案】1 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了绝对值的基本性质，解题的关键是掌握“若一个数的绝对值为0，则这个数本身为0”这一核心结论． 根据绝对值的定义，绝对值表示一个数在数轴上所对应点到原点的距离，距离不可能为负数，当绝对值等于0时，对应的数只能是0；因此对于，可直接得出，进而求解a的值． 【详解】解：∵，根据绝对值的性质，绝对值为0的数只有0， ∴，解得． 故答案为：1． 【变式2-3】．绝对值是7的正数是 ． 【答案】7 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查正数和负数及绝对值，熟练掌握其定义是解题的关键．根据正数和负数及绝对值的定义即可求得答案． 【详解】解：绝对值是7的正数是7， 故答案为：7． 题型三、绝对值的非负性 若|a|+|b|=0，则a=0且b=0；若|a|+b=0，则a=0且b=0；（其中a、b可以是单独的字母，也可以是表达式） 例3．若与互为相反数，则的值在数轴上对应的数应为 ． 【答案】 【知识点】用数轴上的点表示有理数、相反数的定义、绝对值非负性 【分析】本题考查了互为相反数的性质，非负数的性质，数轴上的点表示数，由与互为相反数，则，得，，然后代入，再结合数轴即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，，解得，， ∴， ∴在数轴上对应的数应为， 故答案为：． 【变式3-1】．若与互为相反数，则 ． 【答案】 【知识点】相反数的定义、绝对值非负性 【分析】此题考查了相反数的定义，非负数的性质，关键是利用非负数的性质求出x与y的值． 利用非负数的性质求出x与y的值，代入所求式子计算即可求出值． 【详解】解：与互为相反数， ， 又，， ，， ，， ． 故答案为：． 【变式3-2】．若，则 ， ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据几个非负数的和为零，则每个非负数均为零，即可得出，，求解即可，熟练掌握非负数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， 故答案为：，． 【变式3-3】．（1）若，则 ， ． （2）已知，则 ． （3）已知与互为相反数，则 ． 【答案】 3 4 30 5 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查了绝对值的非负性质：几个绝对值的和为零，则它们全都为零，以及绝对值的计算. （1）根据绝对值的非负性质求a和b的值即可； （2）根据绝对值的非负性质先求出a，b，c的值再代入求解； （3）根据绝对值的非负性质得到x与y的值，代入求解. 【详解】解：（1） ； 故答案为：①3；②4； （2） 故答案为：30； （3）∵与互为相反数， ∴， ∴. 故答案为： 5． 题型四、绝对值的几何意义 绝对值表示一个数对应的点到原点的距离，由于距离总是正数或零，则有理数的绝对值不可能是负数，即a取任意有理数，都有|a|0. |a|表示一个数a在数轴上对应的点与原点之间的距离 式子|x-y|表示的几何意义：表示数轴上的数x到数y的距离 式子|x+y|表示的意义：因为|x+y|=|x-(-y)|,所以可表示数轴上的数x到数-y的距离。 例4．在数轴表示的意义是表示6的点与原点之间的距离，式子在数轴上的意义是表示6的点与表示2的点之间的距离．类似的，式子在数轴上的意义是 ． 【答案】数轴上表示数a的点与表示4的点之间的距离． 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的含义和应用．根据绝对值的概念结合题目所给的例子可以直接写出答案． 【详解】解：根据题意可得数轴上表示数a的点与表示4的点之间的距离． 故答案为：数轴上表示数a的点与表示4的点之间的距离． 【变式4-1】．有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，那么这三个数中绝对值最大的是 ． 【答案】a. 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、绝对值的几何意义 【分析】本题利用数轴比较大小，重点掌握绝对值的几何意义. 根据绝对值的几何意义：即在数轴上到原点的距离.通过比较数轴上各点到原点的距离，确定绝对值最大的数. 【详解】解：由题意可得： 有理数a在数轴上对应点的位置离原点最远，所以在这三个数中，绝对值最大的是a. 故答案为：a． 【变式4-2】．在数轴上有两只蚂蚁，蚂蚁甲到原点的距离为3，蚂蚁乙到蚂蚁甲的距离为2，则蚂蚁乙在数轴上表示的数为 ． 【答案】或 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查了点与原点的距离概念，以及两点间距离的计算，重点掌握分情况讨论思路在数轴相关问题的应用．先确定蚂蚁甲的位置，再根据甲，乙的距离求出乙的可能位置． 【详解】解：因为蚂蚁甲到原点的距离为3， 所以蚂蚁甲在数轴上表示的数是3或， 因为蚂蚁乙到蚂蚁甲的距离为2， 所以蚂蚁乙在数轴上表示的数是或， 或或， 故答案为：或． 【变式4-3】．如图，数轴的单位长度为1，数轴上有A，B，C三个点，若点A，B到原点的距离相等，则点C表示的数是 ． 【答案】 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上点的特征，能够通过题意确定数轴的原点是解本题的关键，根据题意：之间的距离为个单位长度，点、到原点的距离相等，得出点表示的数为，点表示的数为，再结合数轴，即可得出点表示的数． 【详解】解：∵之间的距离为个单位长度，点、到原点的距离相等， ∴点、表示的数的绝对值相等， ∵， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴点在原点的左侧个单位长度处， ∴点表示的数为． 故答案为：． 题型五、利用绝对值意义解决实际问题 绝对值越小，表示数据越接近标准数据，绝对值越大表示数据越偏离标准数据 例5．质检员抽查某零件的质量，超过规定尺寸的记为正数，不足规定尺寸的记为负数，结果第一个，第二个，第三个，第四个，则抽查的这四个零件中，质量最好的零件是（   ） A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个 【答案】D 【知识点】正负数的实际应用、绝对值的其他应用 【分析】本题考查了绝对值以及正数和负数的应用，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【详解】解：∵， ∴质量最好的零件是第四个． 故选：D． 【变式5-1】．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正负数的实际应用、绝对值的其他应用 【分析】本题考查了正负数和它们的绝对值．从轻重的角度看，最接近标准的是绝对值最小的数．先比较各个数的绝对值，绝对值最小的数，表示它离标准最近． 【详解】解：，，，， ∵ ∴从轻重的角度看，最接近标准的是C． 故选：C． 【变式5-2】．一批零食，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【知识点】绝对值的其他应用 【分析】本题考查了绝对值的意义，正负数的意义，直接利用正负数的意义以及绝对值的意义可得最接近标准是哪一袋． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴最接近标准质量的是． 故选：C 【变式5-3】．生产厂家检测4个篮球的质量，结果如图所示，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．其中最接近标准质量的篮球是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】绝对值的其他应用 【分析】本题考查了正数和负数，理解绝对值的意义是解题关键．根据绝对值最小的最接近标准质量可得答案． 【详解】解：∵， ∴质量为的篮球最接近标准质量， 故选：B． 题型六、利用绝对值比较有理数的大小 ①正数大于0,0大于负数，正数大于负数； ②两个负数，绝对值大的反而小 例6．比较下列各组数的大小，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】化简多重符号、求一个数的绝对值、有理数大小比较 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，根据正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小一一比较即可． 【详解】解：．，原比较错误，故该选项不符合题意； ．，，则，原比较错误，故该选项不符合题意； ．，则，原比较正确，故该选项符合题意； ．，，则，原比较错误，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式6-1】．比较，，，的大小，下列正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】化简多重符号、有理数大小比较 【分析】本题主要考查了有理数比较大小、相反数等知识点，掌握负数比较大小，绝对值大的反而小是解题的关键． 先根据相反数化简，根据正数大于负数以及负数比较大小，绝对值大的反而小求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：C． 【变式6-2】．比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查有理数比较大小，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，进行判断即可． 【详解】∵， ∴； 故答案为： 【变式6-3】．比较大小∶ ， ．(在横线上填“<”“>”或“=”) 【答案】 > > 【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较 【分析】本题主要考查绝对值及有理数的大小比较，熟练掌握绝对值的意义及有理数的大小比较是解题的关键；因此此题可根据“正数大于0和负数，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小”进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为＞，＞． 题型七、利用绝对值求最值 绝对值表示一个数对应的点到原点的距离，由于距离总是正数或零，则有理数的绝对值不可能是负数，即a取任意有理数，都有|a|0.所以|a|的最小值是0 -|a|的最大值是0 例7．根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题： (1)当_____时，有最小值，这个最小值是_____． (2)当_____时，有最大值，这个最大值是_____． 【答案】(1)，0 (2)1， 【知识点】绝对值的几何意义、绝对值非负性 【分析】（1）仅当时，有最小值； （2）,要使得有最大值，则只需满足即可. 【详解】（1）解：根据题意得：， 仅当时， 即,. 当时，有最小值，这个最小值为0. （2）解：， ， 仅当时，即， ， 当时，有最大值，这个最大值为2025. 【点睛】本题考查了绝对值的非负性质，熟练掌握绝对值的相关运算是解本题的关键. 【变式7-1】．根据这一性质，解答下列问题： (1)当 时，有最小值，此时最小值为 ； (2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？ 【答案】(1)4，0 (2)，3 (3)，4 【知识点】绝对值的几何意义、绝对值非负性 【分析】本题考查了整式的绝对值的求解能力，对绝对值的性质的理解和掌握是解题的关键． （1）根据绝对值的性质，可知0的绝对值最小，为0，则可得时，有最小值，由此即可求解； （2）要使有最小值，则要取最小，即，由此即可求解； （3）要使有最大值，则取最小值，结合即可求解． 【详解】（1）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是0． 故答案为：4，0 （2）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是3． （3）因为，所以，所以当时，有最大值，这个最大值是4． 【变式7-2】．阅读理解：目前，我们学过两类非负数，它们分别是绝对值和平方数． 小明学习后总结如下：因为，所以的最小值为m，所以的最大值为m． 迁移发现： 绝对值是否有类似的结论呢？下面是小明的探究过程，请将其补充完整． (1)对和进行讨论，发现可以求得的最______值，可以求得的最______值； (2)多选择一些特殊实例进行讨论，请你写出一般的结论：________________ (3)请用迁移发现中的结论讨论是否有最小值或最大值，最值是什么？ 【答案】(1)小，大 (2)的最小值为，的最大值为 (3)有最大值，最大值为 【知识点】绝对值非负性 【分析】（1）根据绝对值的非负性进行判断即可； （2）选择几组特殊实例，讨论后，得到一般规律即可； （3）根据（2）中结论进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即：的最小值为：；的最大值为； 故答案为：小，大； （2）∵， ∴， ∴， ∴； ∴ ∴； 故答案为：的最小值为，的最大值为； （3）由（2）可知：有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查绝对值的非负性．熟练掌握是解题的关键． 【变式7-3】．解答下列问题： (1)代数式有最大值或最小值吗？有的话，是多少？ (2)当代数式取得最大值或最小值时，代数式的值是多少？ 【答案】(1)有最小值，最小值是 (2) 【知识点】绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（1）利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可； （2）根据代数式取得最小值时，确定出x与y的值，原式化简后代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∴当，即，时， 代数式有最小值，最小值是． （2）解：当，时，代数式． 【点睛】本题考查了整式的加减的化简求值和非负数的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则． 题型八、绝对值中的新定义 按照给定的运算定义、法则运算顺序进行运算 例8．对于有理数a，b，定义一种新运算“”，规定． (1)若，计算的值； (2)当a，b在数轴上的位置如图所示时，化简； (3)已知 ，，求a的值． 【答案】(1)6 (2) (3)2 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、绝对值非负性、整式的加减运算 【分析】本题考查新定义运算，非负数的性质，化简绝对值，整式的加减运算： （1）根据平方、绝对值的非负性质求出a，b的值，再代入即可； （2）根据数轴判断出，，再化简约对值，去括号、合并同类项即可； （3）根据定义先计算，再计算，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴且， 解得，， ∴ ； （2）解：由数轴知，，且， ∴，， 则 ； （3）解：∵， ∴ ， 则 ， 由得， 解得． 【变式8-1】．定义新运算“⊙”：对于有理数a，b，都有． 例如：． (1)计算的结果是　　． (2)有理数m，n满足，求的值． 【答案】(1)9 (2) 【知识点】绝对值非负性、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了绝对值的非负性，有理数的混合运算，正确理解题目所给新定义的运算法则是解题的关键． （1）根据题目所给的新定义的运算法则进行计算即可； （2）根据平方和绝对值的非负性，得出m和n的值，再根据题目所给的新定义的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：9； （2）解：∵， ∴， 解得：， ∴ ． 【变式8-2】．定义新运算“⊙”：对于有理数a，b，都有．例如：． (1)计算的结果是______． (2)有理数m，n满足，求的值． 【答案】(1)4 (2)2 【知识点】绝对值非负性、两个有理数的乘法运算 【分析】（1）直接利用新定义进而计算得出答案； （2）直接利用非负数的性质结合新定义计算得出答案. 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：∵， ∴， 原式 . 【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键. 【变式8-3】．定义新运算：，如． (1)求的值． (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】绝对值非负性、含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）根据所给的新定义列式计算即可； （2）先根据所给的新定义结合已知条件式得到，即，进而根据非负数的性质求出，由此根据新定义代值计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，非负数的性质，正确理解所给的新定义列出对应的式子是解题的关键． 题型九、绝对值与数轴综合 根据点在数轴上的位置确定数或式子的正负，利用正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，去绝对值符号，化简计算。 例9．如图，数轴上点到原点的距离是（   ） A．3 B．－2 C．2 D．1 【答案】C 【知识点】数轴上两点之间的距离、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，绝对值的意义，由数轴可知，点表示的数是，根据绝对值的意义即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知，点表示的数是， ∴点到原点的距离为：， 故选：C． 【变式9-1】．如下图所示，在数轴上，a，b，c对应的数，且b和c到原点距离相等，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)如果a，b，c对应的数分别为、、，则数轴上表示5与a的两点之间的距离是______；表示和c两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．则a到c的距离是______ (2)确定符号： ______0， _____0，_____0，______0； (3)化简：； 【答案】(1)；； (2)，，， (3) 【知识点】数轴上两点之间的距离、带有字母的绝对值化简问题、有理数的减法运算、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离公式，绝对值的意义，理解题意，掌握数轴上两点之间的距离公式是解题关键． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可； （2）根据数轴上a，b，c取值范围进行解答即可； （3）根据绝对值的意义去绝对值符号即可． 【详解】（1）解∶ 如果a，b，c对应的数分别为、、，则数轴上表示5与a的两点之间的距离是；表示和c两点之间的距离是，一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．则a到c的距离是， 故答案为∶ ；；； （2）解∶由数轴知：， ∴， ， ； 又b和c到原点距离相等， ∴， 故答案为：，，，； （3）解：∵，， ∴ ． 【变式9-2】．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读并完成相应的任务． 绝对值研究报告 初步学习：如图，由数轴上点的位置可知， ▲ ． 教材知识：非负数的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数． 深入学习：由与0，b与与与0的大小关系及教材知识可知，，． 任务： (1)材料中“▲”处应填 （填“>”“<”或“=”），“▇”处应填 ； (2)由材料可知， ； (3)若材料中的与互为相反数，化简：． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、相反数的定义、带有字母的绝对值化简问题、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了数轴、绝对值的化简、相反数、求代数式的值，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． （1）根据数轴和绝对值即可解答； （2）根据数轴可得，再利用绝对值的定义即可解答； （3）根据相反数的定义可得，再利用绝对值的定义并整体代入即可化简式子． 【详解】（1）解：由材料可知，，， 故答案为：，； （2）解：由数轴可得， ∴， 故答案为：； （3）解：∵与互为相反数， ∴， 由材料可得，，， ∴ ． 【变式9-3】．华师版《七年级上册》教材，第16页，我们本学期学习了绝对值的概念：我们把数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作． 【定义应用】计算： ； ； ； 【学习总结】当时， ；当 时，； 【学以致用】，在数轴上的位置如图所示，化简 ．    【答案】定义应用：，0，6；学习总结：a，；学以致用：a 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、求一个数的绝对值、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值、整式的加减等知识点，掌握绝对值的意义成为解题的关键． 定义应用：根据绝对值的意义求解即可； 学习总结：根据定义应用的结论归纳总结即可解答； 学以致用：根据题意可得：，从而可得，然后利用绝对值的意义取绝对值，最后合并同类项即可． 【详解】解：定义应用：；；． 故答案为：，0，6． 学习总结： 当时，；当时，； 故答案为：a，； 学以致用： 由数轴可得：， ∴， ． 故答案为：a． 题型十、分类讨论多绝对值问题 找零点（令每个绝对值为零的未知数的值）→ 划区间→ 分段讨论化简或求解。 熟练运用“零点分段法”：对于多个绝对值的问题，此方法尤为有效 例10．数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值，如2与3的距离可表示为，2与的距离可表示为 (1)数轴上表示3和8的两点之间的距离是 　　；数轴上表示和的两点之间的距离是 　　； (2)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 　　；如果，则x为 　　； (3)数a、b、c在数轴上对应的位置如图所示，化简． (4)当代数式取最小值时，x的值为 　　． 【答案】(1)5，6 (2)，2或 (3)0 (4)2 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题、绝对值的其他应用 【分析】本题考查数轴与绝对值几何意义与应用． （1）根据题目所举例子进行计算即可； （2）仿照题干所举例子进行解答即可； （3）根据数轴可知，，，然后根据绝对值的性质进行解答即可； （4）根据绝对值的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：，． 故答案为：5，6； （2）解：数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是， ，则或， 即或． 故答案为：，2或； （3）解：由数轴可知，，，， 则| ； （4）解：代数式的几何意义是：数轴上表示数x的点到表示，2，3的三点的距离之和， 显然只有当时，距离之和才是最小， 则取最小值时，x的值为2； 故答案为：2． 【变式10-1】．阅读与理解： 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题，同学们都知道，表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上x对应的点分别到1和所对应的点的距离之和． 【举一反三】 （1）可理解为________与________在数轴上所对应的两点之间的距离； 【问题解决】 （2）请你结合数轴探究：的最小值是________； （3）若，则_________； 【拓展应用】 （4）已知a，b两个数在数轴上的位置如图所示，化简：_________．    【答案】（1）x，4；（2）6；（3）或5；（4） 【知识点】数轴上两点之间的距离、带有字母的绝对值化简问题、绝对值的其他应用 【分析】（1）依题意，可理解为x与4在数轴上所对应的两点之间的距离，即可作答； （2）对的取值范围进行分类讨论，再比较，即可作答； （3）结合（2）中的讨论过程，且，即可作答 （4）由a，b两个数在数轴上的位置得，，再结合绝对值的性质进行化简作答即可． 【详解】解：（1）依题意， ∵表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离 ∴可理解为x与4在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）当时，则， 当时，则， 当时，则， 综上，的最小值是6； （3）结合（2）中的讨论过程，且， 故当时，则，即； 当时，则，即即 所以，则或5； （4）由a，b两个数在数轴上的位置得，， 那么． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离与绝对值，涉及绝对值的性质内容，正确掌握绝对值的性质是解题的关键． 【变式10-2】．阅读下列材料并解决有关问题： 【材料一】我们知道，现在我们可以用这一个结论来化简含x有绝对值的代数式， 如化简代数式时可令和，分别求得，（称与2分别为与的零点值），在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式． 综上讨论，原式= 【材料二】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示和的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 通过以上阅读，请你解决以下问题： （1）求出和的零点值； （2）化简代数式； （3）对于任意有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】（1）与4分别为的零点值；（2）；（3）有最小值，最小值为． 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的其他应用、整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式的加减，绝对值，相反数，数轴等有关知识，正确理解题干中的方法和解题思想是解题的关键． （1）利用零点值的定义解答即可； （2）利用题干【材料一】的方法解答即可； （3）利用【材料二】中的方法和（2）的结论解答即可． 【详解】解：（1）令和， 求得，， ∴与4分别为和的零点值． （2）当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． ∴； （3）有最小值，为． 由【材料二】对于任意有理数x，表示x的点，到数轴上表示和4的两个点的距离之和，当时，有最小值为． 【变式10-3】．学习了绝对值我们知道，，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们就称和分别为|和|的零点值在有理数范围内，零点值，可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ⑤当时，原式． 综上所述，原式，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题： (1)化简代数式； (2)的最大值是 ．（请直接写出结果） 【答案】(1)原式 (2) 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、绝对值的其他应用、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（1）根据零点分段法和绝对值的性质，分，，计算即可； （2）分别求出当，时式子的最值，即可得出结果； 【详解】（1）当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 综上所述：原式； （2）当时，原式的最大值； 当时，原式的最大值； ∴的最大值为． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质，分类讨论是解题的关键． X’x  理解本质：透彻理解绝对值的代数定义和几何意义，这是万变不离其宗的根本 。  规范步骤：初学时，对于分类讨论和零点分段法，按部就班地写出过程，清晰地写出“零点”和讨论区间，避免跳步 。  数形结合：养成画数轴的习惯。数轴能非常直观地帮助理解绝对值表示的距离，尤其是最值问题和点的相对位置 。  勤加练习：绝对值问题灵活多变，​通过练习积累经验，熟悉不同题型的解法和技巧 。  整理反思：定期回顾整理易错题型和错误原因，加深对知识点的理解和掌握 方法总结 绝对值十大题型解析 绝对值的核心知识回顾 学科网（北京）股份有限公司 $