2.1 有理数的加法与减法【八大考点+八大题型】-2025-2026学年人教版七年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破

2.1 有理数的加法与减法 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一：有理数的加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； ⑶互为相反数的两数相加，和为零； ⑷一个数与零相加，仍得这个数。 知识点二：.有理数加法的运算律 ⑴加法交换律：a+b=b+a ⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律： ①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； ②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”； ③分母相同的数先相加——“同分母结合法”； ④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”； ⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。 知识点三.加法性质 一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0后的和等于原数。即： （1）当b>0时，a+b>a ⑵当b<0时，a+b<a ⑶当b=0时，a+b=a 知识点四：有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。 知识点五：有理数加减法统一成加法的意义 在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。 在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5. 和式的读法：①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和” ②按运算意义读作“负8减7减6加5” 知识点六：有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧： Ⅰ.把符号相同的加数相结合（同号结合法） Ⅱ.把和为整数的加数相结合 （凑整法） Ⅲ.把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法） Ⅳ.既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合） Ⅴ.把带分数拆分后再结合（先拆分后结合） Ⅵ.分组结合 Ⅶ.先拆项后结合 【题型归纳】 题型一：有理数加法运算 【例1】．（24-25七年级上·全国）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3)0 (4) (5)0.7 (6) 【分析】（1）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. （2）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. （3）互为相反数两个数之和为0. （4）一个数同0相加仍得这个数. （5）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. （6）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 【点睛】本题考查了有理数的加法法则，解决本题的关键是熟练掌握有理数加法法则. 【跟踪训练1】．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)___________； (2)___________； (3)___________； (4)___________． 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【分析】（1）异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值； （2）同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加； （3）任何数与0相加都等于该数本身； （4）互为相反数的两数和为0． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：故答案为：； （3）解： 故答案为：； （4）解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法计算，熟知有理数的加法计算法则是解题的关键． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·新疆和田）计算：（写出必要的计算过程） (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的加法运算，正确运用有理数加法运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据有理数加法运算法则进行计算即可； （2）原式根据有理数加法运算法则进行计算即可； （3）原式根据有理数加法运算法则进行计算即可； （4）原式根据有理数加法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型二：有理数的加法中的符号问题 【例2】（22-23七年级上·河南周口·阶段练习）下列各式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据把有理数加法写成省略括号和加号的代数和，逐项计算并判定即可． 【详解】解：A、，正确，故此选项不符合题意； B、，正确，故此选项不符合题意； C、，正确，故此选项不符合题意； D、，原式错误，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查有理数加法，熟练掌握把有理数加法写成省略括号和加号的代数和的形式是解题的关键． 【跟踪训练1】．．（24-25七年级上·天津·期中）把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． 将每个减法转化为加法，并改变减数的符号即可． 【详解】解：第一个减号： 转化为 ； 第二个减号： 转化为 ； 因此，原式转化为： 故选 B． 【跟踪训练2】．．（23-24七年级上·全国·课后作业）的符号取 号，的符号取 号，的符号取 号． 【答案】 负/- 正/+ 负/- 【分析】根据加法法则判断和的符号即可． 【详解】解：的符号取负号，的符号取正号，的符号取负号， 故答案为：负，正，负 【点睛】此题考查了加法法则判断和的符号，熟练掌握加法法则是解题的关键． 题型三：有理数加法运算律 【例3】．．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各式运用加法结合律变形错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法结合律，解决本题的关键在于运用加法结合律时，要对符号进行正确处理. 根据加法的结合律，逐一判断选项的正误. 【详解】解：A、，选项说法正确，不符合题意； B、原式，选项说法正确，不符合题意； C、原式，选项说法错误，符合题意； D、原式，选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 【跟踪训练1】．．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列交换加数的位置的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数加法交换律，注意在交换加数的位置时，一定要连同前面的符号一起移动．根据有理数加法交换律逐项判断即可． 【详解】解：A、，原变形错误，不符合题意； B、，原变形错误，不符合题意； C、 ，原变形错误，不符合题意； D、 ，原变形正确，符合题意； 故选：D ． 【跟踪训练2】．．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列计算的过程中最简便的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数加法运算中的简便运算，熟练掌握有理数加法的交换律和结合律，是解题的关键．根据加法的交换律和结合律，进行求解即可． 【详解】解：计算的过程中最简便的是， 故选：D． 题型四：有理数的减法运算 【例4】．．（25-26七年级上·新疆和田·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数加减法运算，能准确理解并运用有理数加减法运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据减法法则变形后，再进行加减运算即可； （2）原式根据减法法则进行计算即可； （3）原式根据减法法则进行计算即可； （4）原式根据减法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： （4）解：． 【跟踪训练1】．．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)． 【答案】(1) (2)0 (3)16 (4)0 (5) (6)6 (7) (8) (9) 【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握有理数的减法法则是解题关键． （1）先去括号，再计算有理数的减法即可得； （2）先去括号，再计算有理数的加法即可得； （3）先去括号，再计算有理数的加法即可得； （4）根据有理数的减法法则计算即可得； （5）根据有理数的减法法则计算即可得； （6）先去括号，再计算有理数的加法即可得； （7）根据有理数的减法法则计算即可得； （8）先去括号，再计算有理数的减法即可得； （9）先去括号，再计算有理数的加法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式． （5）解：原式． （6）解：原式 ． （7）解：原式 ． （8）解：原式 ． （9）解：原式 ． 【跟踪训练2】．．（25-26七年级上·全国）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）按有理数的减法法则计算即可； （2）先计算括号里面的，并且根据绝对值的概念去掉绝对值符号，再根据有理数减法法则计算即可； （3）根据有理数减法法则计算，将拆成，对后面几个数逆用运用乘法分配律，可以大大简化计算； （4）将括号去掉，观察发现从第三项开始，前后两个数之差为零可以抵消，找到规律计算即可； 本题考查有理数的加减法运算，熟练掌握运算法则、并注意观察数字的特征和规律以简化计算是解题的关键． 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式 ； （4）原式 ． 题型五：有理数加减法的实际应用 【例5】．．（25-26七年级上·山西朔州·阶段练习）下表记录了某市连续五天的日最高气温与日最低气温，根据表中信息，下列说法正确的是（   ） 日期 2月2日 2月3日 2月4日 2月5日 2月6日 日最高气温/ 8 11 9 6 12 日最低气温/ 0 A．2月6日的日温差最大 B．2月4日的日最低气温最高 C．2月3日的日温差与2月4日的日温差一样 D．2月6日的日温差是2月2日的日温差的2倍 【答案】C 【分析】本题考查了有理数减法的应用，根据表格求出温差即可求解． 【详解】解：2月2日的温差为（）， 2月3日的温差为（）， 2月4日的温差为（）， 2月5日的温差为（）， 2月6日的温差为（）， A. 2月4日的日温差最大，原说法错误，故此项不符合题意； B. 2月6日的日最低气温最高，原说法错误，故此项不符合题意； C. 2月3日的日温差与2月4日的日温差都是，原说法正确，故此项符合题意； D.，原说法错误，故此项不符合题意； 故选：C． 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·河南安阳·开学考试）期末考试以班级平均分为基准来评估每位同学的成绩．具体规则：如果高于班级平均分记为正数；如果低于平均分记为负数．根据这个规则，这次全班的平均分为80分，甲同学的成绩为86分，记为分，乙同学的成绩为77分，则记为（    ）分． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查正负数的意义，有理数减法的应用，正确理解各分数与平均数的差值即为所记分数，求出乙同学与平均成绩的差值即可得到答案． 【详解】解：平均分为80分，甲同学的成绩为86分，记为分， 则乙同学的成绩为77分与平均分的差值为， 所以乙同学的成绩为77分，则记为分， 故选：D． 【跟踪训练2】．．（25-26七年级上·全国·课后作业）河里的水位第一天上升了，第二天下降了，第三天又下降了，第四天上升了．第四天的水位比刚开始时（    ） A．上升了 B．下降了 C．上升了 D．下降了 【答案】A 【分析】本题考查了正负数的概念及其应用，以及简单的代数加减运算，解题的关键在于正确理解正负数表示的物理意义，即水位上升为正、下降为负，并通过逐步计算四天的水位变化总和，最终确定第四天水位相对于初始水位的变化情况． 将水位变化量用正负数表示，依次相加计算总变化量即可。 【详解】解：记水位上升为“+”，下降为“−”，根据题意， 四天的水位变化依次为：， 总变化量为：， 第四天水位比初始水位上升了， 故选：A  ． 题型六：省略加号和括号的形式 【例6】．．（25-26七年级上·山东聊城·阶段练习）计算时，可以利用减法法则将加减混合运算统一为加法运算，为书写简单，可以省略算式中的括号和加号，把它写为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键．根据有理数加减混合运算去括号法则：“括号前面是号，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同，括号前面是号，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反”即可求解， 【详解】解：计算时，可以利用减法法则将加减混合运算统一为加法运算，为书写简单，可以省略算式中的括号和加号，把它写为， 故答案为： 【跟踪训练1】．．（20-21七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）省略算式中的括号和加号，把写为 ，读作： ． 【答案】 ，，，的和 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．根据省略括号和加法的方法解答即可． 【详解】解：可以写作：，读作：，，，的和， 故答案为：；，，，的和． 【跟踪训练2】．．（25-26七年级上·甘肃平凉·阶段练习）算式可以省略算式中的括号和加号，把它写为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据加减运算法则省略算式中的括号和加号是解题的关键． 根据加减运算中的符号法则，进行化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 题型七：有理数的加减法混合计算与简便运算 【例7】．．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)8 (2)0 (3) (4) 【分析】（1）根据有理数的加减法可以解决本题； （2）根据有理数的加法结合律可以解决本题； （3）根据有理数的加减法可以解决本题； （4）根据有理数的加减法运算规律和有理数的加法结合律可以解决本题． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 【跟踪训练1】．．（25-26七年级上·云南昆明·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数加减混合运算，加法运算律；掌握有理数加减混合运算的步骤及加法运算律是解题的关键． （1）先用加法交换律和加法结合律进行运算，再进行加减运算，即可求解； （2）先用加法结合律进行运算，再进行加减运算，即可求解； （3）先用加法交换律和加法结合律进行运算，再进行加减运算，即可求解； （4）先用去括号，再进行加减运算，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【跟踪训练2】．．（25-26七年级上·甘肃平凉·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，有理数加法运算律，熟练掌握有理数的加减混合运算顺序， 灵活运用有理数加法运算律简化运算是解题的关键； （1）先将小数化为分数，再利用有理数加法运算律简化运算，再计算即可； （2）先利用有理数加法运算律简化运算，再计算即可； （3）先将减法转化为加法，再利用有理数加法运算律简化运算，再计算即可； （4）先将减法转化为加法，再利用有理数加法运算律简化运算，再计算即可； 【详解】（1） ． （2），． （3）． （4）． 题型八：有理数加减法混合计算的应用 【例8】．．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛）五一期间，王明与同学相约去公园游玩，妈妈通过微信红包给了她200元零花钱，如图是她微信钱包零钱明细的截图，请你解决如下问题（假设她初始余额为10元）： (1)截图中哪一笔支出金额最大，最大金额为多少？ (2)王明回家后想起来，他删了一条蛋糕店的交易记录，微信零钱最终显示余额为23.5元，请帮他计算出在蛋糕店的支出金额． 【答案】(1)截图中给超市的这笔支出金额最大，最大金额为89元 (2)王明在蛋糕店的支出金额为50元 【分析】本题考查了有理数的混合运算及正负数的应用，解题的关键是根据正数和负数表示的意义来解答． （1）根据负数为支出，对负数的绝对值进行比较，绝对值大的支出费用就大； （2）先把微信截图的钱数相加减，再减去余额，加上初始余额为10元，即得到答案． 【详解】（1）∵， ∴截图中给超市的这笔支出金额最大，最大金额为89元； （2） ＝63.5（元），         （元）．         答：王明在蛋糕店的支出金额为50元． 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）一位病人发高烧进医院治疗，医生给他开了药、挂了水，同时护士每隔1小时为病人测体温，及时了解病人的好转情况．下表记载的是护士对病人测体温的变化数据:（单位:） 时间 体温（与前一次比较） 升 降 降 降 降 升 降 降 降 0 注:病人早晨进院时医生测得病人体温是． (1)把上升的体温记为正数，下降的体温记为负数，请填写上表； (2)病人什么时候体温达到最高，最高体温是多少？ (3)病人中午12点时体温多高？ (4)病人几点后体温稳定正常（正常体温是）． 【答案】(1)见解析 (2)早上时体温最高为℃ (3)摄氏度 (4)14点后体温稳定正常 【分析】本题考查了正数和负数的意义，有理数的加减混合运算. （1）利用正负数的意义填表即可； （2）观察表格得出答案即可； （3）用原来体温加上前面的体温变化数据算出答案即可； （4）利用（3）的数据，结合后面的体温变化得出答案即可． 【详解】（1）解：如图表所示： 时间 体温 升 降 降 降 降 升 降 降 降 （与前—次比较） 0 （2）每个时刻温度为： 时，℃， 时，℃， 时，℃， 时，℃， 时，℃， 时，℃， 时，℃， 时，℃， 时，℃， 则早上时体温最高为℃． （3）由（2）得病人中午12点时体温为℃． （4）由（2）可知14点后体温稳定正常． 【跟踪训练2】．．（25-26七年级上·浙江温州·阶段练习）一辆公共汽车从起点站开出后，途中经过个停靠站，最后到达终点站．下表记录了这辆公共汽车全程载客的变化情况，其中正数表示上车人数，负数表示下车人数，0表示无人上车或下车． 停靠站 起点站 中间第站 中间第站 中间第站 中间第站 中间第站 中间第站 终点站 上、下车人数 ； ； ； ； ； ； (1)中间第站上车的人数是 人，下车的人数是 人； (2)途中的个站中，第 站没有人上车，第 站没有人下车； (3)公共汽车离开中间第站时车上的人数为 人，离开中间第站时车上的人数为 人； 【答案】(1)1；7 (2)6；3 (3)24；22 【分析】本题主要考查正负数的意义，有理数加减法，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负． （1）根据表格提供的数据解答即可； （2）0表示既没有人上车，也没有人下车，看出中间第6站上车0人，中间第3站下车0人；因此得解； （3）运用有理数加减法求解即可． 【详解】（1）解：中间第站上车的人数是1人，下车的人数是7人； 故答案为：1；7； （2）解：途中的个站中，第6站没有人上车，第3站没有人下车； 故答案为：6；3； （3）解：公共汽车离开中间第站时车上的人数为（人） 离开中间第站时车上的人数为（人） 故答案为：24；22． 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26七年级上·四川绵阳·阶段练习）若，则括号内的数是（　　）． A． B． C．1 D．5 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加减运算，熟悉运算法则是解题的关键． 【详解】设括号内的数为， ，即，解得． 故选：C． 2．（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）在古代数学名著《九章算术》里，就记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图（1）表示的是计算的过程．按照这种方法，图（2）表示的过程应是在计算．（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加法，由图（1）可以看出白色表示正数，黑色表示负数，再观察图（2）即可列式． 【详解】解：由题意得，由图（1）可以看出白色表示正数，黑色表示负数， 则图（2）表示的是在计算． 故选：C． 3．（25-26七年级上·河南信阳·阶段练习）下列各数化简结果为2的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数运算，熟记有理数运算法则及符号变化规律是解决问题的关键． 根据有理数运算法则及符号变化规律逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、，化简结果不是2，不符合题意； B、，化简结果不是2，不符合题意； C、，化简结果是2，符合题意； D、，化简结果不是2，不符合题意； 故选：C． 4．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）如图所示，将分别填入图中的圆圈内，使图中横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则图中的值为（    ） A．或 B．或1 C．或 D．1或 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加法．解决本题的关键是内、外两圈上的4个数字的和是2，横、竖的4个数字的和也是2． 设内圈上的数为c，外圈上的数为d， 由于八个数的和是4，可得内、外两圈上的4个数字的和是2，横、竖的4个数字的和也是2，列等式可得结论． 【详解】解：如图，设内圈上的数为c，外圈上的数为d， ∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，， ∴内、外两圈上的4个数字的和是2，横、竖的4个数字的和也是2， ∴，，， ∴， 当时， ，符合题意，此时； 当时， ，符合题意，此时； 综上所述，图中的值为或． 故选：A． 5．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）把写成省略括号的和的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练减法法则是解题关键．根据减法法则即可得． 【详解】解：， 故选：B． 6．（24-25七年级上·北京海淀·开学考试）有若干条长短、粗细相同的绳子，如果从一端点火，每根绳子都正好8分钟燃尽．现在用这些绳子计量时间，比如：在一根绳子的两端同时点火，绳子4分钟燃尽；在一根绳子的一端点火，燃尽的同时点第二根绳子的一端，两根绳子燃尽可计时16分钟． 规定：（1）计量一个时间最多只能使用3根绳子；（2）只能在绳子的端部点火；（3）可以同时在几个端部点火；（4）点着的火中途不灭；（5）不许剪断绳子或将绳子折起．根据上面的 5 条规则，下面时间可以计量的有（   ） ①6分钟②7 分钟③9分钟④10分钟⑤11分钟⑥12分钟 A．①②③④⑤ B．①②③④⑥ C．①②④⑤⑥ D．②③④⑤⑥ 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数加法运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式．求出可以计量的时间，然后进行判断即可． 【详解】解：①6分钟：两根绳子1、2，先把1两端点燃，同时点燃2的一端，4分钟后1绳子燃完，2绳子剩一半，这时把2的另一端点燃，用2分钟燃完，共用时（分钟）； ②7分钟：3根绳子1、2、3，先首两端点燃1，同时一端点燃2和3，1 烧完后把2的另一端点燃，2烧完后把3的另一端点燃，共用了：（分钟）； ③9分钟：点燃2根，第1根点两端，第2根点一端，第一根燃完用时4分钟，同时再点燃第3根一端和第二根另一端，第二根燃完剩下部分用时2分钟，再点燃第三根另一端，第三根燃完剩下部分用时3 分钟，共用时：（分钟）； ④10分钟：在6分钟的基础上，将第3根从两端同时点燃，则共用时：（分钟）； ⑤11分钟：无法得出； ⑥12分钟：先把第1根两端点燃用时4分钟，再把第2根一端点燃，所以共用时（分钟）． 综上分析可知：可以计量的有①②③④⑥． 故选：B． 7．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）算筹（小木棍）是我国古代的一种计数工具，将算筹正放表示正数，斜放表示负数．如图，图①可列式计算为，由此可推算图②可列算式为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算，解题的关键是根据示例列出算式． 根据示例列出算式求解即可． 【详解】解：根据图①示例得， 图②可列算式为：， 故选：C． 8．（25-26七年级上·河北秦皇岛·阶段练习）某河流6月份一周的水位监测数据相对于警戒水位的变化如下（单位：米，＋表示高于警戒水位，－表示低于警戒水位）：，这一周内水位高于警戒水位最多的那天与低于警戒水位最多的那天，水位相差（    ） A．0.8米 B．1.2米 C．1.3米 D．1.4米 【答案】B 【分析】本题考查正负数的意义，解题的关键在于找出水位高于警戒水位最多的值和低于警戒水位最多的值，然后计算它们的差值． 【详解】解：在中， 高于警戒水位最多的是，低于警戒水位最多的是， 所以水位相差（米）． 故选：B． 9．（25-26七年级上·陕西安康·阶段练习）数轴上一点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C，若点C表示的数为1，则点A表示的数为（   ） A． B．3 C．7 D．2 【答案】A 【分析】本题考查数轴上点的平移规律，有理数的加减运算，解题的关键是熟练掌握数轴上点的平移规律． 根据点在数轴上的平移规律，逆推进行计算即可． 【详解】解：根据题意得，点A表示的数为， 故选：A． 10．（2025七年级上·全国·专题练习）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加法法则， 根据有理数的加法法则逐项计算判断即可. 【详解】解：因为，所以A选项不符合题意； 因为，所以B选项不符合题意； 因为，所以C选项符合题意； 因为，所以D选项不符合题意； 故选：C. 11．（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）有理数在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（   ） ①；②；③；④；⑤． A．①②③ B．①③ C．①③⑤ D．①④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查了数轴、绝对值、有理数的加法，根据数轴正确判断式子的符号是解题的关键． 由数轴可得，，，可判断①②③；则有，，可判断⑤；由题意无法判断的正负，可判断④，即可得出结论． 【详解】解：由数轴可得，，，故①③正确，②错误； ∴，， ∴，故⑤正确； 由题意无法判断的正负，故④错误； ∴综上所述，正确的是①③⑤． 故选：C． 二、填空题 12．（25-26七年级上·辽宁铁岭·阶段练习）一只蜗牛从深度为10米的井底向上爬3米，然后向下爬1米，接着又向上爬3米，然后又向下爬1米，则此时蜗牛离井口的距离为 米． 【答案】6 【分析】本题考查有理数的加减运算．计算有理数的加减时，先把减法转化为加法，可以运用加法的交换律和结合律． 先定义向上爬为正，向下爬为负，用井深减去各个数就得到此时蜗牛离井口的距离． 【详解】解：向上爬记作“+”，往下爬记作“﹣”， （米）， 即蜗牛从井底向上净爬了4米， 因为井深为10米，所以此时蜗牛离井口的距离为：（米）． 故答案为：6 13．（12-13七年级上·四川遂宁·期中）写成省略加号的和的形式 ； 【答案】 【分析】本题考查化简多重符号．根据相反数的意义，，，，再将原式写成省略加号的和的形式． 【详解】解：， 故答案为：． 14．（24-25七年级上·吉林·期中）已知表示不超过x的最大整数．例如：，．现定义：，例如：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，有理数的加减运算等知识，读懂题意，理解题目中的定义是解题关键．根据题目中的定义，将式子转化为有理数的运算，再进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 15．（25-26七年级上·河北秦皇岛·阶段练习）2025年6月，某科研团队进行材料耐温测试，材料A在（液氮温度）至环境下表现稳定．这个稳定温度范围跨越了 ℃． 【答案】1046 【分析】本题主要考查有理数的减法在实际问题中的应用，理解稳定范围是最高温度与最低温度的差值是解题的关键． 根据液氮稳定温度的范围，用最高温度减最低温度即可求解． 【详解】在－196℃（液氮温度）至＋850℃环境下表现稳定， 所以稳定温度范围跨越了． 故答案为：1046． 16．（25-26七年级上·河南郑州·开学考试）已知2025个实数…，满足，则这个数中正数有 个． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，正数和负数的识别，正确理解互相抵消的正数和负数的个数是解题的关键． 用减去求出互相抵消的正数和负数的个数，然后求出负数的个数，再列式计算求出正数的个数即可． 【详解】解：∵， ∴负数的个数为， 正数的个数为． 故答案为：． 三、解答题 17．（25-26七年级上·天津·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的运算，化简绝对值，加法运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据有理数加法运算法则即可求解； （）根据有理数减法运算法则即可求解； （）根据有理数加减法运算法则和运算律进行简便运算即可； （）先进行化简绝对值，有理数减法运算，然后进行加减运算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．（25-26七年级上·四川内江·阶段练习）中考体育新政策坚持“健康第一”，旨在发挥考试的导向作用，引导学生积极参加课外体育锻炼，掌握运动技能在体育课上，体育老师增加了足球训练，为了增强同学们在足球比赛中快速转身的能力，张老师设计了折返跑训练，张老师在东西方向的足球场上画了一条直线，并插上不同的折返旗帜，如果约定西为正，向东为负，练习一组折返跑的移动记录如下（单位：米）： (1)学生最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ (2)学生在一组练习过程中，跑了多少米？ (3)学生训练过程中，最远处离出发点多远？ 【答案】(1)学生最后到达的地方在出发点的正西方向，距出发点45米 (2)学生在一组练习过程中，跑了215米 (3)最远处离出发点60米 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算以及绝对值的性质，关键是熟练地利用加法的运算法则进行运算． （1）根据有理数的加减运算即可； （2）根据题意取绝对值求和即可； （3）根据有理数的加减运算即可． 【详解】（1）（米） 学生最后到达的地方在出发点的正西方向，距出发点45米； （2）∵ 答：学生在一组练习过程中，跑了215米． （3）第一段：40（米）； 第二段：（米）； 第三段：（米）； 第四段：（米）； 第五段：（米）； 第六段：（米）； 第七段：（米）； ∵ ∴最远处离出发点60米． 19．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）如图，数轴上有一点，它表示的数为，只交换数字2和3的位置，符号不变，得到一个新数，用表示． (1)判断点在点的左侧还是右侧（说明理由），并计算两点间的距离． (2)将点向右平移得到点，使，求点向右移动的距离． 【答案】(1)点在点的左侧，理由见解析，9 (2)20或44 【分析】本题考查有理数和数轴，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据数轴上的数左边的比右边的小，进行判断，再根据两点间的距离公式进行求解即可； （2）根据点在点的左侧和右侧两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：点在点的左侧； 理由如下：由题意，点表示的数为， ∵， ∴， ∵数轴上的数左边的比右边的小， ∴点在点的左侧； ∴两点间的距离为； （2）∵， ∴点表示的数为或12， ∴点向右移动的距离为或． 20．（25-26七年级上·湖北襄阳·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先去括号，再计算加减即可； （2）先将分数转化为小数，再去括号，最后计算加减即可； （3）先去括号，再计算加减即可； （4）先去括号，并计算绝对值，再通分，最后计算加减即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 21．（25-26七年级上·河北秦皇岛·阶段练习）小丽和小高玩一个数字游戏．规则是：每人从标有数字的卡片中各抽取四张，计算所抽四个数字的和．的绝对值大者获胜；若的绝对值相等，则两人平局． (1)小丽抽到：-．计算她抽到的数字之和为，小高抽到：-5，-1，0，+4．计算他抽到的数字之和为，根据规则判断谁获胜，并说明理由； (2)若小丽抽到：-3，-1，+2，+4．那么小高抽到哪四个数，两人平局．（至少写出两组） 【答案】(1)小丽获胜 (2)或 【分析】本题考查有理数的加法运算以及绝对值的计算． （1）先分别计算出小丽和小高所抽数字的和、，再求出它们的绝对值，比较绝对值大小来判断谁获胜； （2）先计算出小丽所抽数字的和，再根据平局条件(S的绝对值相等)找出小高可能抽到的数字组合． 【详解】（1）， ， ， 所以根据规则，小丽获胜． （2）小丽所抽到数字之和为： ， 又两人平局， 所以小高可能抽到或． 22．（25-26七年级上·四川成都·阶段练习）2025年中秋、国庆两大节日喜相逢，某著名海滨度假区预计在9月日的客人数为万人，接下来的八天中，预计每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数），若当天游客量超过最大承载量，则度假区会采取限流措施． 日期 月1日 月2日 月3日 月4日 月5日 月6日 月7日 月8日 人数变化（万） (1)月2日的人数为多少万人？ (2)若不考虑限流，这八天假期里，游客最多的一天比游客最少的一天多多少万人？ (3)若度假区收取每位游客元门票费用，游客人数太多超过最大承载量时（度假区的最大承载游客量为每天8万人）超过的游客不能再进入景区，则这八天度假区门票总收入是多少万元 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的混合运算的应用，弄清题意是解题的关键． （1）根据题意列出算式，计算即可得到结果； （2）根据表格找出旅客人数最多的与最少的，相减计算即可得到结果； （3）根据表格得出1日到8日每天的人数，因为每天超过8万人的游客不能再进入景区，所以多于8万人时按8万计算，相加后再乘以即可得到结果． 【详解】（1）解：万人， 答：月2日的人数为万人； （2）解：根据表格得：1日：（万人）， 2日：（万人）， 3日：（万人）， 4日：（万人）， 5日：（万人）， 6日：（万人）， 7日：（万人）， 8日：（万人）， 则8天中旅客最多的是4日为万人，最少的是8日为万人， 则八天中旅客人数最多的一天比最少的一天多：（万人）； 答：游客最多的一天比游客最少的一天多万人； （3）解：（万元）， 答：这八天度假区门票总收入是万元． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 有理数的加法与减法 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一：有理数的加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； ⑶互为相反数的两数相加，和为零； ⑷一个数与零相加，仍得这个数。 知识点二：.有理数加法的运算律 ⑴加法交换律：a+b=b+a ⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律： ①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； ②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”； ③分母相同的数先相加——“同分母结合法”； ④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”； ⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。 知识点三.加法性质 一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0后的和等于原数。即： （1）当b>0时，a+b>a ⑵当b<0时，a+b<a ⑶当b=0时，a+b=a 知识点四：有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。 知识点五：有理数加减法统一成加法的意义 在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。 在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5. 和式的读法：①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和” ②按运算意义读作“负8减7减6加5” 知识点六：有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧： Ⅰ.把符号相同的加数相结合（同号结合法） Ⅱ.把和为整数的加数相结合 （凑整法） Ⅲ.把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法） Ⅳ.既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合） Ⅴ.把带分数拆分后再结合（先拆分后结合） Ⅵ.分组结合 Ⅶ.先拆项后结合 【题型归纳】 题型一：有理数加法运算 【例1】．（24-25七年级上·全国）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【跟踪训练1】．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)___________； (2)___________； (3)___________； (4)___________． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·新疆和田）计算：（写出必要的计算过程） (1) (2) (3) (4) 题型二：有理数的加法中的符号问题 【例2】（22-23七年级上·河南周口·阶段练习）下列各式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．．（24-25七年级上·天津·期中）把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．．（23-24七年级上·全国·课后作业）的符号取 号，的符号取 号，的符号取 号． 题型三：有理数加法运算律 【例3】．．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各式运用加法结合律变形错误的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列交换加数的位置的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列计算的过程中最简便的是（   ） A． B． C． D． 题型四：有理数的减法运算 【例4】．．（25-26七年级上·新疆和田·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【跟踪训练1】．．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)；(4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)． 【跟踪训练2】．．（25-26七年级上·全国）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型五：有理数加减法的实际应用 【例5】．．（25-26七年级上·山西朔州·阶段练习）下表记录了某市连续五天的日最高气温与日最低气温，根据表中信息，下列说法正确的是（   ） 日期 2月2日 2月3日 2月4日 2月5日 2月6日 日最高气温/ 8 11 9 6 12 日最低气温/ 0 A．2月6日的日温差最大 B．2月4日的日最低气温最高 C．2月3日的日温差与2月4日的日温差一样 D．2月6日的日温差是2月2日的日温差的2倍 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·河南安阳·开学考试）期末考试以班级平均分为基准来评估每位同学的成绩．具体规则：如果高于班级平均分记为正数；如果低于平均分记为负数．根据这个规则，这次全班的平均分为80分，甲同学的成绩为86分，记为分，乙同学的成绩为77分，则记为（    ）分． A． B． C． D． 【跟踪训练2】．．（25-26七年级上·全国·课后作业）河里的水位第一天上升了，第二天下降了，第三天又下降了，第四天上升了．第四天的水位比刚开始时（    ） A．上升了 B．下降了 C．上升了 D．下降了 题型六：省略加号和括号的形式 【例6】．．（25-26七年级上·山东聊城·阶段练习）计算时，可以利用减法法则将加减混合运算统一为加法运算，为书写简单，可以省略算式中的括号和加号，把它写为 ． 【跟踪训练1】．．（20-21七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）省略算式中的括号和加号，把写为 ，读作： ． 【跟踪训练2】．．（25-26七年级上·甘肃平凉·阶段练习）算式可以省略算式中的括号和加号，把它写为 ． 题型七：有理数的加减法混合计算与简便运算 【例7】．．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【跟踪训练1】．．（25-26七年级上·云南昆明·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【跟踪训练2】．．（25-26七年级上·甘肃平凉·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型八：有理数加减法混合计算的应用 【例8】．．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛）五一期间，王明与同学相约去公园游玩，妈妈通过微信红包给了她200元零花钱，如图是她微信钱包零钱明细的截图，请你解决如下问题（假设她初始余额为10元）： (1)截图中哪一笔支出金额最大，最大金额为多少？ (2)王明回家后想起来，他删了一条蛋糕店的交易记录，微信零钱最终显示余额为23.5元，请帮他计算出在蛋糕店的支出金额． 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）一位病人发高烧进医院治疗，医生给他开了药、挂了水，同时护士每隔1小时为病人测体温，及时了解病人的好转情况．下表记载的是护士对病人测体温的变化数据:（单位:） 时间 体温（与前一次比较） 升 降 降 降 降 升 降 降 降 0 注:病人早晨进院时医生测得病人体温是． (1)把上升的体温记为正数，下降的体温记为负数，请填写上表； (2)病人什么时候体温达到最高，最高体温是多少？ (3)病人中午12点时体温多高？ (4)病人几点后体温稳定正常（正常体温是）． 【跟踪训练2】．．（25-26七年级上·浙江温州·阶段练习）一辆公共汽车从起点站开出后，途中经过个停靠站，最后到达终点站．下表记录了这辆公共汽车全程载客的变化情况，其中正数表示上车人数，负数表示下车人数，0表示无人上车或下车． 停靠站 起点站 中间第站 中间第站 中间第站 中间第站 中间第站 中间第站 终点站 上、下车人数 ； ； ； ； ； ； (1)中间第站上车的人数是 人，下车的人数是 人； (2)途中的个站中，第 站没有人上车，第 站没有人下车； (3)公共汽车离开中间第站时车上的人数为 人，离开中间第站时车上的人数为 人； 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26七年级上·四川绵阳·阶段练习）若，则括号内的数是（　　）． A． B． C．1 D．5 2．（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）在古代数学名著《九章算术》里，就记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图（1）表示的是计算的过程．按照这种方法，图（2）表示的过程应是在计算．（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·河南信阳·阶段练习）下列各数化简结果为2的是（   ）． A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）如图所示，将分别填入图中的圆圈内，使图中横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则图中的值为（    ） A．或 B．或1 C．或 D．1或 5．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）把写成省略括号的和的形式是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·北京海淀·开学考试）有若干条长短、粗细相同的绳子，如果从一端点火，每根绳子都正好8分钟燃尽．现在用这些绳子计量时间，比如：在一根绳子的两端同时点火，绳子4分钟燃尽；在一根绳子的一端点火，燃尽的同时点第二根绳子的一端，两根绳子燃尽可计时16分钟． 规定：（1）计量一个时间最多只能使用3根绳子；（2）只能在绳子的端部点火；（3）可以同时在几个端部点火；（4）点着的火中途不灭；（5）不许剪断绳子或将绳子折起．根据上面的 5 条规则，下面时间可以计量的有（   ） ①6分钟②7 分钟③9分钟④10分钟⑤11分钟⑥12分钟 A．①②③④⑤ B．①②③④⑥ C．①②④⑤⑥ D．②③④⑤⑥ 7．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）算筹（小木棍）是我国古代的一种计数工具，将算筹正放表示正数，斜放表示负数．如图，图①可列式计算为，由此可推算图②可列算式为（  ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·河北秦皇岛·阶段练习）某河流6月份一周的水位监测数据相对于警戒水位的变化如下（单位：米，＋表示高于警戒水位，－表示低于警戒水位）：，这一周内水位高于警戒水位最多的那天与低于警戒水位最多的那天，水位相差（    ） A．0.8米 B．1.2米 C．1.3米 D．1.4米 9．（25-26七年级上·陕西安康·阶段练习）数轴上一点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C，若点C表示的数为1，则点A表示的数为（   ） A． B．3 C．7 D．2 10．（2025七年级上·全国·专题练习）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 11．（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）有理数在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（   ） ①；②；③；④；⑤． A．①②③ B．①③ C．①③⑤ D．①④⑤ 二、填空题 12．（25-26七年级上·辽宁铁岭·阶段练习）一只蜗牛从深度为10米的井底向上爬3米，然后向下爬1米，接着又向上爬3米，然后又向下爬1米，则此时蜗牛离井口的距离为 米． 13．（12-13七年级上·四川遂宁·期中）写成省略加号的和的形式 ； 14．（24-25七年级上·吉林·期中）已知表示不超过x的最大整数．例如：，．现定义：，例如：，则 ． 15．（25-26七年级上·河北秦皇岛·阶段练习）2025年6月，某科研团队进行材料耐温测试，材料A在（液氮温度）至环境下表现稳定．这个稳定温度范围跨越了 ℃． 16．（25-26七年级上·河南郑州·开学考试）已知2025个实数…，满足，则这个数中正数有 个． 三、解答题 17．（25-26七年级上·天津·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（25-26七年级上·四川内江·阶段练习）中考体育新政策坚持“健康第一”，旨在发挥考试的导向作用，引导学生积极参加课外体育锻炼，掌握运动技能在体育课上，体育老师增加了足球训练，为了增强同学们在足球比赛中快速转身的能力，张老师设计了折返跑训练，张老师在东西方向的足球场上画了一条直线，并插上不同的折返旗帜，如果约定西为正，向东为负，练习一组折返跑的移动记录如下（单位：米）： (1)学生最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ (2)学生在一组练习过程中，跑了多少米？ (3)学生训练过程中，最远处离出发点多远？ 19．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）如图，数轴上有一点，它表示的数为，只交换数字2和3的位置，符号不变，得到一个新数，用表示． (1)判断点在点的左侧还是右侧（说明理由），并计算两点间的距离． (2)将点向右平移得到点，使，求点向右移动的距离． 20．（25-26七年级上·湖北襄阳·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 21．（25-26七年级上·河北秦皇岛·阶段练习）小丽和小高玩一个数字游戏．规则是：每人从标有数字的卡片中各抽取四张，计算所抽四个数字的和．的绝对值大者获胜；若的绝对值相等，则两人平局． (1)小丽抽到：-．计算她抽到的数字之和为，小高抽到：-5，-1，0，+4．计算他抽到的数字之和为，根据规则判断谁获胜，并说明理由； (2)若小丽抽到：-3，-1，+2，+4．那么小高抽到哪四个数，两人平局．（至少写出两组） 22．（25-26七年级上·四川成都·阶段练习）2025年中秋、国庆两大节日喜相逢，某著名海滨度假区预计在9月日的客人数为万人，接下来的八天中，预计每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数），若当天游客量超过最大承载量，则度假区会采取限流措施． 日期 月1日 月2日 月3日 月4日 月5日 月6日 月7日 月8日 人数变化（万） (1)月2日的人数为多少万人？ (2)若不考虑限流，这八天假期里，游客最多的一天比游客最少的一天多多少万人？ (3)若度假区收取每位游客元门票费用，游客人数太多超过最大承载量时（度假区的最大承载游客量为每天8万人）超过的游客不能再进入景区，则这八天度假区门票总收入是多少万元 2 学科网（北京）股份有限公司 $