精品解析：北京市师达中学2025～2026学年九年级上学期开学考数学试卷

初三数学练习 2025.09 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 以下各题选项中，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，配方正确的是（） A. B. C. D. 4. 某排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：180，184，188，190，192，196．现用一名身高为的队员换下场上身高为的队员，与换人前相比，场上队员的身高（　　） A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数变小，方差变大 C. 平均数变大，方差变小 D. 平均数变大，方差变大 5. 已知点(-5,y1),(3,y2)都在直线y=-8x+7上,则y1,y2的大小关系是 (　　) A. y1>y2 B. y1=y2 C. y1<y2 D. 无法比较 6. 将抛物线向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 以下四种情景分别描述了两个变量之间的关系： ①将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量与放水时间的关系． ②在受力范围内，弹簧的长度与弹簧受到的拉力的关系． ③汽车以某一固定的速度匀速行驶，行驶的路程与时间的关系． ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系． 下面四个图象分别刻画了以上变量之间的关系，图象对应的情景的正确排序是(　　) A. ①②③④ B. ①④③② C. ①②④③ D. ②④③① 8. 图1是有一个内角为的平行四边形透明纸片，它的邻边的长分别为．沿对边中点所连的虚线将其剪成四个四边形，按图2的方式叠放在同一平面内．给出下面四个结论： ①是等边三角形； ②四边形为菱形； ③六边形是轴对称图形，不是中心对称图形； ④存在，使四边形的面积与的面积之比为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②④ C. ①③ D. ①②④ 二、选择题（本题共16分，每小题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 10. 点关于原点的对称点的坐标为______． 11. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为__________． 12. 如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于、两点，则的长为__________． 13. 如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为______． 14. 点，都在二次函数的图象上．若，则的取值范围为__________． 15. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，．若点B，C，D恰好在同一条直线上，则__________． 16. 联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。 若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为____________min； 若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按___________的先后顺序彩排 三、解答题（共68分，第17、19、21、28题，每题6分，第22－26题，每题5分，第18题8分，第20题4分，第27题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根是正数，求的取值范围． 20. 已知二次函数 （1）求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）当时，的取值范围是________． 21. 如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若且，已知，求的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，将绕点逆时针方向旋转得到，点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为． （1）点的坐标是______； （2）画出旋转后的，并写出的坐标是______； （3）线段的延长线与线段交于点，直接写出的度数． 23. 列方程解应用题：如图，利用长20米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，总共用去篱笆36米，为了使这个长方形的的面积为96平方米，求、边各为多少米？ 24. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求k，b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． 25. 2025年2月，北京市教育委员会发布《关于进一步加强新时代中小学体育工作的若干措施》，明确要求中小学每天综合体育活动时间不低于2小时．某校从初二年级随机抽取20名学生，记录这20名学生某日校外体育活动时长（单位：分钟）．研究小组对数据进行整理分析，得到如下信息： a．20名学生校外体育活动时长的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）： b．20名学生校外体育活动时长在这一组的是： 55 56 56 56 56 56 58 59 c．20名学生校外体育活动时长的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 56.2 m n （1）根据以上信息，回答下列问题： ①补全频数分布直方图； ②m的值为________，n的值为________． （2）甲、乙、丙三名学生参加为期5天的专项训练，每日活动时长记录如下（单位：分钟）： 学生 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 甲 64 58 60 60 59 乙 60 63 60 60 57 丙 62 60 58 59 p 对每一名学生计算5天活动时长的平均数和方差．规定平均数较大的学生排序靠前；若平均数相同，则方差较小的学生排序靠前．若丙在甲、乙、丙三名学生中的排序居中，则这三名学生中排序最靠前的是________，表中p（p为整数）的值为________． 26. 小明妈妈早晨骑电动车将小明送到幼儿园后再去单位上班．已知小明家到幼儿园的路程为，幼儿园到小明妈妈单位的路程为，小明妈妈骑电动车带小明行驶是载重行驶，下表记录了电池中剩余电量占电池容量的百分比（简称剩余电量占比）与小明妈妈独自行驶和载重行驶状态下可行驶的路程（单位：）和（单位：）的部分数据： 0 3 7 15 23 31 39 0 2 4 9 15 22 30 （1）通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，补全这两个函数的图象； （2）根据上述数据和函数图象，解决下列问题： ①当该电动车剩余电量占比为时，小明妈妈独自行驶比载重行驶多行驶____km（结果精确到0.1）； ②假设一天早晨该电动车剩余电量占比为，在电量耗尽前，判断小明妈妈骑电动车____（填“能”“不能”）将小明送到幼儿园； ③若在电量耗尽前小明妈妈能到达单位，则当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为____（精确到）． 27. 在中，∠，，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，． （1）依据题意，补全图形； （2）求的度数； （3）作于点E，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，已知点不与原点重合．对于点给出如下定义：点关于点的对称点为，点关于直线的对称点为，称点是点关于点的“转称点”． （1）如图，已知点，点Q是点P关于点M的“转称点”， ①当时，在图中画出点Q的位置，并直接写出Q的坐标； ②的长度是否与t有关？若无关，求的长；若有关，说明理由； （2）已知点是边长为2的等边三角形（点A，B，C按逆时针方向排列），点N是点B关于点C的“转称点”，在△ABC绕点A旋转的过程中，当最大时，直接写出此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学练习 2025.09 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 以下各题选项中，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形及中心对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A不符合； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B不符合； C、不是轴对称图形，它是中心对称图形，故C不符合； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故D符合， 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．分别对每个选项进行二次根式的运算，判断其正确性． 【详解】解：，故A项错误． ，故B项正确． ，故C项错误． 与不是同类二次根式，不能合并，结果不是，故D项错误． 故选：B． 3. 用配方法解方程，配方正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把常数项-4移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-2的一半的平方． 【详解】解：把方程x2-2x-4=0的常数项移到等号的右边，得到x2-2x=4， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2-2x+1=4+1， 配方得（x-1）2=5． 故选C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程--配方法．配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 4. 某排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：180，184，188，190，192，196．现用一名身高为的队员换下场上身高为的队员，与换人前相比，场上队员的身高（　　） A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数变小，方差变大 C. 平均数变大，方差变小 D. 平均数变大，方差变大 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平均数与方差的意义，根据平均数和方差的意义即可得出答案． 比较换人前后的平均数和方差变化，需分别计算两者的数值。 【详解】解：∵换上的队员身高小于下场队员的身高， ∴平均数变小； ∵数据变的更集中， ∴方差变小； 故选：A． 5. 已知点(-5,y1),(3,y2)都在直线y=-8x+7上,则y1,y2的大小关系是 (　　) A. y1>y2 B. y1=y2 C. y1<y2 D. 无法比较 【答案】A 【解析】 【分析】由一次函数的一次项系数为-8，小于0，由此得出该函数在其定义域内为减函数，再根据两点横坐标的关系即可得出结论. 【详解】∵一次函数y=-8x+7中k=-8＜0， ∴此一次函数y随x的增大而减少． ∵-5＜-3， ∴y1＞y2． 故选：A 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的单调性，解题的关键是找出该函数为减函数．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次项系数的符号得出该函数的单调性是解题的关键． 6. 将抛物线向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 此题主要考查了二次函数图像与几何变换，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为， 故选：B． 7. 以下四种情景分别描述了两个变量之间的关系： ①将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量与放水时间的关系． ②在受力范围内，弹簧的长度与弹簧受到的拉力的关系． ③汽车以某一固定的速度匀速行驶，行驶的路程与时间的关系． ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系． 下面四个图象分别刻画了以上变量之间的关系，图象对应的情景的正确排序是(　　) A. ①②③④ B. ①④③② C. ①②④③ D. ②④③① 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用图象表示变量之间的关系，充分理解两个量之间的关系是解题关键 先理解图象的横纵坐标表示的量，再根据实际情况来判断函数图象 【详解】解：根据题意可得，与图象的顺序相对应的情景分别是： 第一幅图：因变量随着自变量的增大而减小，直至为零，符合①将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量与放水时间的关系； 第二幅图：因变量随着自变量的增大而增大，且起始值大于零，符合②在受力范围内，弹簧的长度与弹簧受到的拉力的关系； 第三幅图：因变量随着自变量的增大，先由0开始增大，再保持不变，最后减小到0，且起始值大于零，符合④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系； 第四幅图：因变量随着自变量的增大而增大，且起始值为零，符合③汽车以某一固定的速度匀速行驶，行驶的路程与时间的关系； 正确的排序是：①②④③ 故选：C． 8. 图1是有一个内角为的平行四边形透明纸片，它的邻边的长分别为．沿对边中点所连的虚线将其剪成四个四边形，按图2的方式叠放在同一平面内．给出下面四个结论： ①是等边三角形； ②四边形为菱形； ③六边形是轴对称图形，不是中心对称图形； ④存在，使四边形的面积与的面积之比为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②④ C. ①③ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，解直角三角形，平行四边形的性质，菱形的性质与判定，轴对称和中心对称图形的识别，由题意得，，据此可判断①；根据，可得，同理可得，据此可判断②；根据轴对称和中心对称图形的定义可判断③；分别过点A和点T作的垂线，垂足分别为P、Q，解直角三角形得到，由四边形的面积与的面积之比为，得到，则可推出，据此可判断④． 【详解】解：由题意得，， ∴是等边三角形，故①正确； ∴， 由平行四边形的性质可得， ∴，即， 同理可证明， ∴四边形为菱形，故②正确； 六边形是轴对称图形，也是中心对称图形，故③错误； 由题意得，， 如图所示，分别过点A和点T作的垂线，垂足分别为P、Q， ∴， ∵四边形的面积与的面积之比为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，满足四边形的面积与的面积之比为，故④正确； 故选：D． 二、选择题（本题共16分，每小题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件以及解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数”得到不等式求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 10. 点关于原点的对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查关于原点对称的点的坐标特点，根据“关于原点对称时，横纵坐标都为相反数”求解即可． 【详解】解：关于原点的对称点的坐标为． 故答案为：． 11. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的表达式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．先将代入中，求出k的值，即可求出函数的表达式，再将代入函数表达式中，即可求出m的值． 【详解】解：将代入中，得 ， 解得， ∴函数的表达式为． 把代入中，得 ， 解得． 故答案为：． 12. 如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于、两点，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理，数形结合、列出方程是解题的关键； 先根据勾股定理求出，再根据线段垂直平分线的性质得到，设，然后在直角三角形中，根据勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵垂直平分， ∴， 设，则, 则在直角三角形中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：，即； 故答案为：． 13. 如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为______． 【答案】1.5 【解析】 【详解】解：∵∠AFB=90°，D为AB的中点， ∴DF=AB=2.5． ∵DE为△ABC的中位线， ∴DE=BC=4． ∴EF=DE-DF=1.5． 故答案为1.5． 【点睛】直角三角形斜边上的中线性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，和三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 14. 点，都在二次函数的图象上．若，则的取值范围为__________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．先求出点关于对称轴的对称点为，再根据二次函数的性质，结合求出的取值范围． 【详解】解：因为二次函数的图象开口向上，对称轴为直线． 所以点关于对称轴的对称点为． 因为，所以或． 故答案为：或． 15. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，．若点B，C，D恰好在同一条直线上，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，先根据旋转性质得到，，，再利用三角形的内角和定理，结合等边对等角求得即可． 【详解】解：由旋转性质得，，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。 若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为____________min； 若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按___________的先后顺序彩排 【答案】 ①. 60 ②. 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意，熟练计算是解题的关键． ①节目D的演员的候场时间为；②先确定C在A的前面，B在D前面，然后分类讨论计算出每一种情况下，所有演员候场时间，比较即可． 【详解】解：①节目D的演员的候场时间为， 故答案为：60； ②由题意得节目A和C演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，那么C在A的前面，B和D彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么B在D前面， ∴①按照顺序，则候场时间为：分钟； ②按照顺序，则候场时间为：分钟； ③按照顺序，则候场时间为：分钟； ④按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑤按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑥按照顺序，则候场时间为：分钟． ∴按照顺序彩排，候场时间之和最小， 故答案为：． 三、解答题（共68分，第17、19、21、28题，每题6分，第22－26题，每题5分，第18题8分，第20题4分，第27题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键； 先化简二次根式，计算平方差和完全平方，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据配方法计算即可； （2）根据因式分解法计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， 解得：，． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根是正数，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：由题意得：， ∴方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）利用根的判别式进行求解即可； （2）利用因式分解法解方程得到或，再根据方程的一个根为正数进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得或， ∵该方程有一个根是正数， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的知识是解题的关键． 20. 已知二次函数 （1）求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）当时，的取值范围是________． 【答案】（1）对称轴是直线：，顶点坐标是； （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）根据二次函数的性质解答即可； （2）当时，y取得最小值3，且当时，，根据二次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：二次函数的对称轴是直线：，顶点坐标是； 【小问2详解】 解：∵，抛物线的对称轴是直线， ∴抛物线的开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∴当时，y取得最小值3，且当时，， ∴当时，的取值范围是； 故答案为：． 21. 如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若且，已知，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ， ， ， 即， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）先证四边形是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论； （2）由等腰直角三角形的性质求出的长，由勾股定理可求的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ， ， ， ， ． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，将绕点逆时针方向旋转得到，点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为． （1）点的坐标是______； （2）画出旋转后的，并写出的坐标是______； （3）线段的延长线与线段交于点，直接写出的度数． 【答案】（1） （2）图形见解析，； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了作图旋转变换，熟记旋转变换的性质是解题的关键． （1）分别作线段与线段的垂直平分线相交于点，则点即为旋转点，从而得出正确结论； （2）根据旋转的性质作图即可，再写出点的坐标； （3）由作图可知，是由绕点逆时针旋转得到的，从而得出结果． 【小问1详解】 解：如图所示，点， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求，， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由作图可知，是由绕点逆时针旋转得到的， ， ． 23. 列方程解应用题：如图，利用长20米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，总共用去篱笆36米，为了使这个长方形的的面积为96平方米，求、边各为多少米？ 【答案】、边分别为8米、12米 【解析】 【分析】设米，则米，根据面积为96平方米列一元二次方程，再对求出的解根据实际情况进行取舍． 【详解】解：设米，则米， 由题意得， 解得，， 当时，（不合题意，舍去）， 当时，， 综上可知，、边分别为8米、12米． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意列出一元二次方程． 24. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求k，b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为，当时，则，当时，则，根据当时，两个不等式都成立可得；当，时，和恒成立；当时，则且，再分当时，则，当时，则，两种情况分别解不等式即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为， 当时，则， 当时，则， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值， ∴，且， ∴， 当，时，和恒成立，故符合题意； 当时，则且， 当时，则， 解不等式得，解不等式， ∴； 当时，则， 解不等式得，解不等式得，此时不符合题意； 综上所述，． 25. 2025年2月，北京市教育委员会发布《关于进一步加强新时代中小学体育工作的若干措施》，明确要求中小学每天综合体育活动时间不低于2小时．某校从初二年级随机抽取20名学生，记录这20名学生某日校外体育活动时长（单位：分钟）．研究小组对数据进行整理分析，得到如下信息： a．20名学生校外体育活动时长的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）： b．20名学生校外体育活动时长在这一组的是： 55 56 56 56 56 56 58 59 c．20名学生校外体育活动时长的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 56.2 m n （1）根据以上信息，回答下列问题： ①补全频数分布直方图； ②m的值为________，n的值为________． （2）甲、乙、丙三名学生参加为期5天的专项训练，每日活动时长记录如下（单位：分钟）： 学生 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 甲 64 58 60 60 59 乙 60 63 60 60 57 丙 62 60 58 59 p 对每一名学生计算5天活动时长的平均数和方差．规定平均数较大的学生排序靠前；若平均数相同，则方差较小的学生排序靠前．若丙在甲、乙、丙三名学生中的排序居中，则这三名学生中排序最靠前的是________，表中p（p为整数）的值为________． 【答案】（1）①补全频数分布直方图如下： ② （2）甲， 【解析】 【分析】此题考查了频数分布直方图、众数和中位数、平均数和方差等知识，熟练掌握求解方法是关键． （1）①求出的频数，补全频数分布直方图即可；②根据定义进行求解即可； （2）求出方差和平均数，再根据排序方式分类求解即可． 【小问1详解】 解：①由题意可得，的频数为， 补全频数分布直方图略 ②由题意可知，中位数是活动时长从小到大排列后处在第10和第11个数据的平均数，即为活动时长在这一组从小到大排列后的第3个和第4个数据的平均数，即 ， 在这组数据中56出现的次数最多，共出现5次，故n的值为56， 故答案为： 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ∵丙在甲、乙、丙三名学生中的排序居中， 若按平均数大小排序，即， 则，解得，， ∵p为整数， ∴不符合题意； 若按方差大小排序， 当时，， 则，解得：， 此时，不符合题意； 当，， 则，解得：, 此时，符合题意； ∴这三名学生中排序最靠前的是甲，表中p（p为整数）的值为， 故答案为：甲， 26. 小明妈妈早晨骑电动车将小明送到幼儿园后再去单位上班．已知小明家到幼儿园的路程为，幼儿园到小明妈妈单位的路程为，小明妈妈骑电动车带小明行驶是载重行驶，下表记录了电池中剩余电量占电池容量的百分比（简称剩余电量占比）与小明妈妈独自行驶和载重行驶状态下可行驶的路程（单位：）和（单位：）的部分数据： 0 3 7 15 23 31 39 0 2 4 9 15 22 30 （1）通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，补全这两个函数的图象； （2）根据上述数据和函数图象，解决下列问题： ①当该电动车剩余电量占比为时，小明妈妈独自行驶比载重行驶多行驶____km（结果精确到0.1）； ②假设一天早晨该电动车剩余电量占比为，在电量耗尽前，判断小明妈妈骑电动车____（填“能”“不能”）将小明送到幼儿园； ③若在电量耗尽前小明妈妈能到达单位，则当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为____（精确到）． 【答案】（1） 如图： （2）①7.1（答案不唯一）；②不能；③ 【解析】 【分析】本题主要考查函数图象的绘制、函数值的读取与计算以及利用函数模型解决实际问题．解题关键在于准确分析表格数据，合理绘制函数图象，通过函数关系解决路程与电量相关的实际问题． （1）根据给定的表格数据，在平面直角坐标系中，分别找出与、与对应的坐标点，然后用平滑曲线连接这些点，即可补全函数图象．例如对于与，有， 等点；对于与，有，等点． （2）①先根据函数图象或数据找到时，和的值，然后计算两者差值． ②找到时的值，与小明家到幼儿园的路程比较大小． ③小明家到幼儿园路程为，幼儿园到单位路程为，分别估算对应的值，相加即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①从表格数据或图象估算，当时，，， ∴． ②从表格数据或图象估算，当时，的值约为， ∵， ∴不能将小明送到幼儿园． ③观察的数据，当时，， 观察的数据，当时， ∴当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为． 27. 在中，∠，，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，． （1）依据题意，补全图形； （2）求的度数； （3）作于点E，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 解：补全图形如下， （2）． （3） 解：，证明如下： 如图，作，交于点， ， ， ∵， ∴， ∴， 又，， ， ，， ， 由（1）可知，，， ， ∵，， ， ，， ∵， ∴， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据题意，将线段绕点逆时针旋转得到，然后连接、补全图形． （2）利用旋转性质得到，结合已知，得出，再根据等腰三角形性质和三角形内角和、外角性质求． （3）作，交于点，证明，得到，，利用勾股定理和等腰直角三角形，求得，，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：线段绕点逆时针旋转得到， ，， ． 又， ， ， ， ． ． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查几何变换的综合应用，主要考查旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等，利用辅助线构造全等三角形是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，已知点不与原点重合．对于点给出如下定义：点关于点的对称点为，点关于直线的对称点为，称点是点关于点的“转称点”． （1）如图，已知点，点Q是点P关于点M的“转称点”， ①当时，在图中画出点Q的位置，并直接写出Q的坐标； ②的长度是否与t有关？若无关，求的长；若有关，说明理由； （2）已知点是边长为2的等边三角形（点A，B，C按逆时针方向排列），点N是点B关于点C的“转称点”，在△ABC绕点A旋转的过程中，当最大时，直接写出此时的长． 【答案】（1）①如图所示；； ②的长度与无关，， （2），或 【解析】 【分析】（1）①根据“转称点”定义得到，点、关于点对称，点、关于直线对称，根据点，得到点，；②的长度与t值无关，根据，，得到； （2）连接，过点A作于点D，设点B关于点C对称点为，根据等边三角形定义得到，，根据三线合一得到，，根据含30°的直角三角形性质得到，根据“转称点”定义得到，垂直平分，推出，得到当点N与点重合时，长最大，此时，、、三线重合，根据，得到，根据勾股定理得到， 推出，或． 【小问1详解】 解：①∵点是点关于点的“转称点”， ∴点、关于点对称，点、关于直线对称， ∵点，， ∴点， ∴，在平面直角坐标系中描出和Q； ②的长度与无关，理由： 由①知，，， ∴轴，， ∴的长与t的值无关； 【小问2详解】 解：连接，过点A作于点D，设点B关于点C对称点为，连接， ∵是边长为2的等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵点是点关于点的“转称点”， ∴，点、N关于直线对称， ∴垂直平分， ∴， 当点N与点重合时，长最大， 此时，、、三线重合， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，或． 【点睛】本题主要考查了定义新概念，等边三角形，含的直角三角形，勾股定理．解决问题的关键是熟练掌握关于成中心对称的两点及关于坐标轴对称的两点的坐标特征，轴对称性质，等边三角形性质，含的直角三角形性质，勾股定理解直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $