专题2.1 不等式性质综合与基本不等式常考题型讲义【12类题型】- 2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题2-1 不等式性质综合与基本不等式常考题型梳理 总览 题型解读 【题型1】利用不等式性质求代数式取值范围（待定系数法） 【题型2】糖水不等式的证明及应用 【题型3】不等式的证明及不等式判断综合 【题型4】直接使用基本不等式和常用不等式 【题型5】 凑配法求最值 【题型6】分离常数法求最值 【题型7】“1”的妙用：乘“1”法 【题型8】“1”的妙用（2）：“1”的代换 【题型9】二次比一次型换元法求最值 【题型10】分母换元法（1）：单换元 【题型11】分母换元法（2）：双换元+配凑 【题型12】 和，积，平方和之间的转化 【课后训练】 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】利用不等式性质求代数式取值范围（待定系数法） 基础知识 例题：已知，且，求和的取值范围. 第一步：令，并化简该式 第二步：列方程组，求出m，n的值． 第三步：分别求出的取值范围． 第四步：合并第三步的结果，即得的取值范围 第五步：将和平方作差即可得出的取值范围 解析：（1）设，则解得 由已知得，则， 即. （2）因为，所以，即， 所以，则，所以. 【例题1】（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）已知实数，满足，，则的取值范围是 ，的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用不等式的性质可求的范围，利用待定系数法可求的范围. 【详解】因为，，故即， 设， 故，所以，故， 又，， 所以，故答案为：. 【例题2】（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由题意得，进而求得即可求解. 【详解】因为，所以，即， 所以，则， 所以. 【巩固练习1】已知，，则下列代数式的范围错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，则，则有，A正确； 对于B，，则，则有，B正确； 对于C，，，则有，C错误； 对于D，，，则有，D正确； 【巩固练习2】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】把看成一个整体变量来表示，再利用同向不等式的可加性求解. 【详解】假设，则，解得， 因为，所以； 又因为，所以； 由上两同向不等式相加得：， 整理得： 【巩固练习3】已知，，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】用表示，利用不等式的性质求的范围. 【详解】由不等式的性质得，，， ∴，∴， ∵，∴，∴， 当且仅当即时，取到最大值. 【题型2】糖水不等式的证明及应用 基础知识 糖水不等式是一个基于生活常识的数学不等式，常用于分式放缩。 其核心表述为：若（代表原有糖水浓度，且)（代表加入的糖量），则必有： 含义解释： （1）左边不等号：在糖水（溶质a，溶液b）中加入纯糖（m）后，新糖水的浓度一定比原来的浓度更甜（更大）. （2）右边不等号：加入糖后，浓度依然小于1（即仍是糖水，不可能变成纯糖）. 关键点： 前提：原分数是真分数（），且加入的量m是正数. 结论：分子分母加上同一个正数后，分数值变大（更接近1），但仍小于1. 应用：该不等式简洁有力，在证明涉及分式的不等式、比较大小或进行放缩时非常有用，体现了“加糖变甜”的直观思想在数学中的精确表达。 【例题1】（高一上·浙江嘉兴·阶段练习）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？ (1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了； (2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡. 【答案】(1)(其中a，b，m为正实数，且)（答案形式不唯一） (2) (其中)（答案形式不唯一） 【分析】将问题转化为证明不等式成立，然后利用差比较法证得不等式成立. 【详解】（1）设糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克糖， 即证明不等式 (其中a，b，m为正实数，且b＞a)成立． 不妨用作差比较法，证明如下： ＝. ∵a，b，m为正实数，且，， ∴，即. （2）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为；另一份糖水d克，含糖c克， 糖水浓度为，且，求证： (其中). 证明：，且，， ，即， ， 即， ， 即. 【例题2】（24-25高一上·黑龙江黑河·阶段练习）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了． (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，得到不等式，结合作差比较法，即可得证； （2）根据题意，化简，利用上述结论，即可求解； （3）由（1）中的结论，得到，证得，再由，进而证得，即可得证. 【详解】（1）由题意，可得不等式. 证明：由， 因为，可得， 所以，即. （2）由， 由（1）中的结论，可得，即. （3）证明：因为， 由（1）中的结论，可得， 所以①， 又由，同理可得， 则， 由上述结论，可得，所以②， 综合①②，得. 【巩固练习1】（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式的性质判断得解. 【详解】若，，则，则， 反之，若，则， 又，所以，即，此时不一定成立， 比如，此时，所以“”是“”的必要不充分条件. 【巩固练习2】（24-25高一上·四川成都·阶段练习）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明糖水不等式； (2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由作差法证明； （2）由糖水不等式变形证明． 【详解】（1）， 因为，所以， 所以，即． （2）因为是三角形的三边，所以， 由（1）知， 同理， 所以， 又， 所以 所以原不等式成立． 【巩固练习3】下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？写出式子并证明. (1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了； (2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡； (3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）首先根据浓度关系，建立不等式，再作差比较大小； （2）首先由浓糖水喝淡糖水表示不等关系，再证明混合后的糖水的浓度关系，即可证明； （3）根据条件建立不等式，再作差证明. 【详解】（1）设糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克糖， 求证：不等式 (其中a，b，m为正实数，且)成立． 不妨用作差比较法，证明如下： ＝. ∵a，b，m为正实数，且，， ∴，即. （2）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为；另一份糖水d克，含糖c克，糖水浓度为，且， 求证： (其中). 证明：，且， ，即， ， 即， ， 即 （3）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克水， 求证： (其中，). 证明：， 【题型3】不等式的证明及不等式判断综合 基础知识 常用不等式的证明方法 1、作差法：任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小． 2、作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． 3、中间量法：若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量． 4、平方法：对两式先平方，再比较大小． 5、利用平方公式的非负性 【例题1】（23-24高一上·河北保定·月考）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）证明:∵， ∴. a，b，c不同时为，则，∴； （2）. ∵，取等号的条件为， 而，∴等号无法取得，即， 又，∴，∴. 【例题2】今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为元斤、元斤，王大妈每周购买元的白菜，李阿姨每周购买斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【解析】由题意可得，，，， ，， ，．故选：C． 【例题3】（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知正实数满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分和两种情况讨论，当时，，当时，；由此可以直接判断AB选项，取特殊值排除C选项，对D选项，由得，再分和两种情况证明. 【详解】A选项，当时，，此时即， 当时，，此时即，所以A错误； B选项，当时，，成立， 当时，，，所以B错误； C选项，当时，取，此时，不满足， 当时，取，此时，不满足，故C错误； D选项，等价于， 当时，，，此时， 当时，，，此时，D正确 【巩固练习1】证明：已知，且，求证：. 【解析】因为，且，则， 则，则，则， 则， 则，又 则. 命题得证. 【巩固练习2】（24-25高一上·山西·期末）(多选)已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】举反例可说明选项A、C错误；不等式等价变形，利用不等式的性质可得选项B正确；利用作差法可得选项D正确. 【详解】对于A，当时满足，但不成立，故A不正确； 对于B，等价于， ∵，∴，故，故B正确； 对于C，当时满足，但，故C不正确； 对于D， ，故D正确. 故选：BD. 【巩固练习3】两次购买同一种物品可以有两种不同的策略，设两次购物时价格分别为，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则 种购物策略比较经济．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【分析】由题意依次将两种策略两次购买物品的平均价格表示出来，用作差法比较大小即可. 【详解】设甲策略每次买件物品，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数为元， 则甲策略两次购买物品的平均价格为，乙策略两次购买物品的平均价格为， 所以，即， 所以乙种购物策略比较经济. 【巩固练习4】（24-25高一上·浙江杭州·期中）(多选)已知实数a，b，c满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】应用作差法判断A、B、D，根据不等式的性质判断C. 【详解】A：，又， 所以，则，即，对； B：，且，而符号不定， 所以符号不定，错； C：由题设，若，则，错； D：，则，对. 【巩固练习5】（1）已知，证明：； （2）若a，b，c为三角形的三边长，则． 【解析】（1）， 由，得，而，，， 则，所以． （2）为的三边长，则有，，， 由（1）知：，，， 将以上不等式左右两边分别相加得：， 所以． 【巩固练习6】（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）（1）已知，，求，及的取值范围． （2）设、均为正实数，试比较和的大小． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【分析】（1）结合不等式的基本性质即可求解. （2）利用作差法进行比较，先对代数式作差得出；再分类讨论即可得出结果. 【详解】（1）因为， 所以， 又，两个不等式相加可得，即． 因为，所以， 又，两个不等式相加可得，即． 因为，所以， 当时，两个不等式相加乘可得：，即； 当时，两个不等式相加乘可得：，即， 所以． 的取值范围为； 的取值范围为； 的取值范围为. （2）． 因为，均为正实数，所以． 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，，此时．     综上可得：当时，； 当时，；当时，． 【题型4】直接使用基本不等式和常用不等式 基础知识 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式：若，则（或），当且仅当时取等号 常用不等式：若，则，当且仅当时取等号； 方法技巧总结：和与积的最值问题，直接使用基本不等式即可；和与平方和的问题需要用常用不等式来求最值 【例题1】已知，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】，由不等式可知， 当且仅当时等号成立，即的最大值为. 【例题2】若，，则的最小值为______． 【答案】 【简析】，当且仅当，即，等号成立. 【例题3】已知正数，满足，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 当且仅当时，等号成立．故的最大值为4． 【巩固练习1】（24-25高一上·江苏连云港·期末）若，，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式，可得答案. 【详解】由，则，当且仅当，即，等号成立. 所以的最小值为. 【巩固练习2】若，，且，则的最小值是________ 【答案】 【详解】，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以有最小值 【巩固练习3】若, 则的最小值是 ; 此时的值为 . 【答案】 4; 1 【解析】因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 故的最小值是4，此时的值为1. 【巩固练习4】已知，，且，则的最小值是________ 【答案】 【详解】由于，所以，当且仅当时等号成立 【题型2】 凑配法求最值 基础知识 配凑法：加上一个数或减去一个数使和(积)为定值，然后利用基本不等式求解． 1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2、注意验证取得条件． 常见的配凑法求最值模型 (1)模型一：，当且仅当时等号成立； (2)模型二：，当且仅当时等号成立 【例题1】若，则的最小值为 . 【答案】0 【解析】由，得， 所以， 当且仅当即时等号成立. 【例题2】已知，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】利用基本不等式性质求解即可. 【详解】因为，所以 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为. 【例题3】（24-25高一上·湖南湘潭·期末）已知，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】运用基本不等式计算即可. 【详解】由题意得，则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为3． 【巩固练习1】（24-25高一上·广东茂名·期末）当取得最小值时，（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】先对式子进行变形转化，再利用完全平方的非负性，结合基本不等式等知识来找到取得最小值时的情况. 【详解】将变形为. 设（），那么式子就变为. 根据均值不等式则，当且仅当时等号成立. 由（），即，解得（舍去，因为）. 当时，也就是，那么，所以. 当取得最小值时，. 【巩固练习2】已知实数x＞3，则的最小值是（ ） A．24 B．12 C．6 D．3 【分析】4（x﹣3）12，利用基本不等式的性质，即可求得最小值． 【详解】解：∵x＞3，∴x﹣3＞0， 4（x﹣3）12≥12+224， 当且仅当4x﹣12时，取得最小值24． 【巩固练习3】（）的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立 【题型5】 凑配法求最值 基础知识 配凑法：加上一个数或减去一个数使和(积)为定值，然后利用基本不等式求解． 1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2、注意验证取得条件． 常见的配凑法求最值模型 (1)模型一：，当且仅当时等号成立； (2)模型二：，当且仅当时等号成立 【例题1】若，则的最小值为 . 【答案】0 【解析】由，得， 所以， 当且仅当即时等号成立. 【例题2】已知，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】利用基本不等式性质求解即可. 【详解】因为，所以 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为. 【例题3】（24-25高一上·湖南湘潭·期末）已知，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】运用基本不等式计算即可. 【详解】由题意得，则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为3． 【巩固练习1】（24-25高一上·广东茂名·期末）当取得最小值时，（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】先对式子进行变形转化，再利用完全平方的非负性，结合基本不等式等知识来找到取得最小值时的情况. 【详解】将变形为. 设（），那么式子就变为. 根据均值不等式则，当且仅当时等号成立. 由（），即，解得（舍去，因为）. 当时，也就是，那么，所以. 当取得最小值时，. 【巩固练习2】已知实数x＞3，则的最小值是（ ） A．24 B．12 C．6 D．3 【分析】4（x﹣3）12，利用基本不等式的性质，即可求得最小值． 【详解】解：∵x＞3，∴x﹣3＞0， 4（x﹣3）12≥12+224， 当且仅当4x﹣12时，取得最小值24． 【巩固练习3】（）的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 【题型6】分离常数法求最值 解题技巧 方法总结：对于分子分母中含有相同单一字母时，可以考虑分离常数 例1：（x>0） 例2： 【例题1】若，则函数的最小值为（ ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的最小值为；故选：C 【例题2】的最小值是______. 【答案】 【详解】，当且仅当时，即时取等号 【巩固练习1】已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】将已知条件等式化为，整体代入结合基本不等式即可得解． 【详解】因为，，，所以，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为6，故选：B． 【巩固练习2】已知，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 【巩固练习3】已知，则的最小值是______，此时a=______． 【答案】 2； 0 【分析】化简，根据基本不等式求解即可. 【详解】显然，， 则，， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，的最小值是2，此时. 【题型7】“1”的妙用：乘“1”法 解题技巧 方法总结：乘“1”法就是指凑出1，利用乘“1”后值不变这个性质，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值． 主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值 注意：验证取得条件． 【例题1】（广东广雅中学校考）若正实数a，b满足，则的最小值是________ 【答案】9 【详解】，当且仅当时等号成立 【例题2】已知且，则的最小值是 ． 【答案】8 【分析】运用“1”的代换及基本不等式即可求得结果． 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当，即时取等号．所以的最小值为8 【例题3】（24-25广东东莞·阶段练习）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据基本不等式中“1”的应用计算可得当时，的最小值为8. 【详解】由可得： ； 当且仅当，即当时，等号成立. 即的最小值为8. 【例题4】已知，，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为且，，所以， 则， 当且仅当时，即当，时，等号成立. 因此，的最小值是.故选：C. 【巩固练习1】已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】16 【解析】 当且仅当时等号成立.即当时，取得最小值为16. 【巩固练习2】（24-25高一下·湖南娄底·期中）已知，且，则的最小值是 . 【答案】 【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，且，所以 ， 当且仅当，即，时取等号. 【巩固练习3】（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知正数x，y满足，则的最小值为（   ） A．36 B．24 C．18 D．12 【答案】B 【分析】利用“1”的代换，根据基本不等式求解即得. 【详解】因，， 则， 当且仅当，即，时，等号成立． 【巩固练习4】（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，且，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由，可得，利用的代换结合基本不等式求出最小值． 【详解】，， 当且仅当，即时取等号. 【巩固练习5】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知，，且，则的最小值是 . 【答案】12 【分析】利用基本不等式中“1”的应用计算即可求得结果. 【详解】根据题意可知： ； 当且仅当，即时，等号成立； 因此的最小值是12. 【题型8】“1”的妙用（2）：“1”的代换 解题技巧 方法总结：通过常数“1”的代换，把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子，达到解题的目的． 【例题1】已知，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式求得的最小值． 【详解】依题意． 当且仅当时等号成立． 【例题2】已知实数x，满足，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D．8 【答案】C 【分析】根据“1”的变形技巧化简，再运用均值不等式求解即可． 【详解】由条件可得 ． 当且仅当，即时等号成立 【巩固练习1】若，，且，则有最小是________ 【答案】5 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立， 所以有最小值5 【巩固练习2】正实数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】中的“1”用“”代替，分离常数后利用基本不等式即可求解． 【详解】因为正实数，满足， 所以， 当且仅当，即时等号成立．故的最小值是． 【巩固练习3】（2024·安徽·三模）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】由，可得，再利用基本不等式计算即可得. 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立. 【题型9】二次比一次型换元法求最值 解题技巧 基本模型：，当且仅当时等号成立 【例题1】已知，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C． D．或3 【分析】由已知可得，利用基本不等式计算可得结果. 【详解】由，得， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为3． 【例题2】已知，则的最小值为 . 【答案】 【解析】令，则， 所以，当且仅当，即时取等号，所以的在最小值为. 【巩固练习1】当时，函数的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，则，则，当且仅当时，等号成立， 所以，当时，函数的最小值为. 故答案为：. 【巩固练习2】若，则函数的最小值为 . 【答案】3 【解析】由题意，， 因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 所以函数的最小值为3. 【题型10】分母换元法（1）：单换元 解题技巧 对于两个分式的最值问题可以考虑整体法或换元法配凑 整体配凑法原理是把目标当作一个整体，然后利用基本不等式求最值. 单分母换元：把其中一个分母进行换元 【例题1】已知，则的最小值是________ A．6 B．8 C．4 D．9 【分析】可以设，则有，求的最小值，用乘“1”法即可 【答案】9 【详解】解：设，则有， 当且仅当，即a时取等号，所以的最小值是9． 【例题2】（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，，将所求式子变形，利用基本不等式求解. 【详解】由， 令，， ， 当且仅当即时等号成立. 【例题3】已知，其中，，，则的最小值为 ． 【答案】16 【解析】因为，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为16 【巩固练习1】若，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】因为，所以． 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 则．故答案为： 【巩固练习2】若，，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】令 ，则，由此可将变形为，结合基本不等式，即可求得答案。 【详解】由题意，，，，得：， 设 ，则 ， 故 ， 当且仅当 ，即 时取得等号， 故的最小值为 【巩固练习3】已知，则的最小值是______. 【答案】 【简析】记，则，则有 【巩固练习4】（24-25高一下·河北保定·期中）已知x，y都是正数．若，且，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，得，而， 则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为2. 【巩固练习5】（24-25高一下·浙江衢州·期末）已知实数，则的最小值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】将原式变形为，利用基本不等式求解. 【详解】，，则， ， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 【题型11】分母换元法（2）：双换元+配凑，乘1 解题技巧 双分母换元：可以把2个分母都换元 【例题1】（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）已知，，且，则的最小值为（    ） A．9 B． C．13 D．14 【答案】C 【分析】利用换元法，结合基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】因为，，所以，， 又，令， 则，，， 所以 ， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以的最小值为. 【例题2】（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）设正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，则，，代入所求式子，利用基本不等式中1的妙用求最小值． 【详解】∵正数满足， ∴，且，则，， 设，，则，，，， ∴ ， 当且仅当，即时，等号成立，则的最小值为． 【巩固练习1】已知且，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 【巩固练习2】若正实数满足，则最小值为________ 【答案】 【详解】由 ，当且仅当时，等号成立，所以有最小值 【巩固练习3】已知实数，且，则的最小值是 ． 【答案】24 【解析】因为，且， 所以， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立 【巩固练习4】设x，y是正实数，且，则的最大值是 . 【答案】 【解析】令，则， 可得，即， 且， ∵， 当且仅当，即时，等号成立， 可得， ∴， 即的最大值是. 【巩固练习5】（24-25·江苏南京·阶段练习）已知，，且，则的最小值为 . 【答案】1 【分析】由条件得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，且， 所以， 所以 ， 当且仅当， 即，时，等号成立，所以的最小值为 【题型12】 和，积，平方和之间的转化 解题技巧 涉及和，积，平方和的最值问题时利用基本不等式变形求解 常用不等式链：（主要用于和积转换） 【例题1】（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）若正实数x，y满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由基本不等式得到，求出答案. 【详解】正实数x，y满足，则，当且仅当时取等号， 所以，即，即，两边平方, 结合，解的. 【例题2】已知，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 【答案】B 【解析】，则有， 可得，即4，当且仅当时，等号成立. 所以的最大值为4. 【例题3】（湖南长沙·高一长郡中学校考）已知，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意，且，当且仅当时，即时等号成立，令，则上式为：，即， 解得或（舍），所以的取值范围为． 【巩固练习1】（高一上·天津河北·期中）若，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，，且， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以，解得（舍去），或， 所以，当且仅当，即时取等号， 即的取值范围是 【巩固练习2】若，则的最小值是 （    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【解析】，当且仅当时取等号， 因此，即，解得， 所以当时，取得最小值2. 【巩固练习3】已知实数，满足，则的最大值为________ 【答案】 对于选项AB，， 则，当且仅当时等号成立，故的最大值为 【巩固练习4】（多选题）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A：因为，所以，当且仅当时取等号，所以不恒成立，故错误； 对于B：因为且，所以， 所以，当且仅当时取等号，故正确； 对于C：因为，所以， 所以，所以，当且仅当时取等号，故正确； 对于D：由C可知错误 【巩固练习5】（24-25高一上·四川宜宾·期末）(多选)若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】通过对已知条件进行变形，利用均值不等式来分析，，的取值范围，进而判断各个选项的正确性. 【详解】已知，因为，那么. 设（），则，移项得到. 因为，即，也就是，两边平方可得，所以A选项正确、B选项错误. 由可得，因为，所以，当且仅当时取等号，所以C选项正确. 根据完全平方公式，由前面可知，. 那么，当且仅当时取等号，所以D选项正确. 故选：ACD. 【课后训练】 1． （2025·上海·高考真题）设，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 2． 正实数，满足，则的最小值是________ 【答案】 【解析】因为正实数，满足， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值是 3． 已知且，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】令，结合可得，由此即得，展开后利用基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意得，， 令，则， 由得， 故 ， 当且仅当，结合，即时取等号， 也即，即时，等号成立， 故的最小值为9 4． （多选）若实数、满足：，则下列叙述正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的范围是 D．的范围是 【答案】ABC 【解析】因为实数、满足：，由不等式的可加性可得，解得，A对； 由题意可得，由不等式的可加性可得，解得，B对； 设，则，解得， 所以，， 因为，由不等式的可加性可得，C对D错. 故选：ABC. 5． 正实数a，b满足，则的最小值为______. 【答案】1 【分析】将变为，即可将化为，展开后利用基本不等式即可求得答案. 【详解】因为正实数满足，所以， 则 ， 当且仅当,即时取等号， 所以的最小值为1， 6． （24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】将变形为，再利用“1”的代换，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为    ， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 7． （24-25高一上·贵州·期中）已知，且，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式得到、，进而求的范围，注意等号成立条件. 【详解】由，即，又， 所以，可得，当且仅当时等号成立，A对，B错； 由，即， 所以，当且仅当时等号成立，C、D错. 8． （24-25高一上·江苏扬州·期末）(多选)已知实数满足且，则下列说法正确的有（    ） A．若，则对任意实数， B．若，则 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】BCD 【分析】应用特殊值判断A；作差法判断B；应用基本不等式“1”的代换求最小值判断C；由且求最小值判断D. 【详解】A：当，此时，错； B：由，则，即，对； C：， 当且仅当时取等号，对； D：由，则，故， 当时，取得最小值，对； 9． （24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）（1）已知，求的最大值； （2）若，求的最小值； （3）已知为正实数，，求的最小值. 【答案】（1）；（2）8；（3）． 【分析】利用基本不等式结合常数代换求最值. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号； 所以，的最大值为. （2）因为，所以， 所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为. （3），． 又，， ， 当且仅当，即时，等号成立． 由得 当，时，取得最小值． 10． （24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）（1）已知，求的最大值； （2）若，求的最小值； （3）已知为正实数，，求的最小值. 【答案】（1）；（2）8；（3）． 【分析】利用基本不等式结合常数代换求最值. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号； 所以，的最大值为. （2）因为，所以， 所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为. （3），． 又，， ， 当且仅当，即时，等号成立． 由得 当，时，取得最小值． 11． （24-25高一上·宁夏银川·阶段练习）（1），，求证：； （2）已知，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）利用作差法结合已知条件证明即可； （2）令，整理后求出，然后利用不等式的性质可求得结果. 【详解】（1）， 因为，所以， 又，所以， 即. （2）令， 所以，解得， 所以， 因为，所以， 又，所以， 故的取值范围为. 12． （25-26高一上·全国·课后作业）已知，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）解法1  因为且，所以，且，两边取倒数得，又，则，从而得证． 解法2  因为且，所以，且，所以，即． （2）因为且，所以，，则，，由，可得，即，所以，即．综上，． 13． （24-25高一上·广西来宾·阶段练习）从下列三组式子中选择一组比较大小： (1)设，，，比较，的大小； (2)设，均为正实数，，，比较，的大小； (3)设，，，比较，的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）化简可得，，再通过比较分母的大小即可得解； （2）借助作差法作差后因式分解即可得； （3）借助作差法比较即可得. 【详解】（1）， ， 由，， 故，即有； （2） ， 由，均为正实数，故，即； （3） ， 由，故，，，， 即，故. 14． 不等关系是数学中一种最基本的数关系，生活中随处可见.例如.已知克糖水中含有克糖，再添加m克糖(假设全部溶解)，糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式.并证明这个不等式成立： (2)利用（1）中的结论证明：若为三角形的三边长，则. 【答案】(1)，，证明见解析；(2)证明见解析； 【解析】（1）糖水变甜了得出不等式，. 证明：. .， ，. （2）设的三边长分别为，则有， 由（1）已证不等式可得：，，， 将以上不等式左右两边分别相加得：， 所以， 15． （高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【答案】①； ②； ③； 【分析】①利用有理根式可得，再由即可得的大小关系； ②用作差法比较即可； ③用作差法或作商法比较即可. 【详解】解： ① ， 因为， 所以， 即； . ② ， . ③ 方法一（作差法） ， 因为，所以， 所以， 所以. .. 方法二（作商法）因为，所以， 所以， 所以. . 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2-1 不等式性质综合与基本不等式常考题型梳理 总览 题型解读 【题型1】利用不等式性质求代数式取值范围（待定系数法） 【题型2】糖水不等式的证明及应用 【题型3】不等式的证明及不等式判断综合 【题型4】直接使用基本不等式和常用不等式 【题型5】 凑配法求最值 【题型6】分离常数法求最值 【题型7】“1”的妙用：乘“1”法 【题型8】“1”的妙用（2）：“1”的代换 【题型9】二次比一次型换元法求最值 【题型10】分母换元法（1）：单换元 【题型11】分母换元法（2）：双换元+配凑 【题型12】 和，积，平方和之间的转化 【课后训练】 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】利用不等式性质求代数式取值范围（待定系数法） 基础知识 例题：已知，且，求和的取值范围. 第一步：令，并化简该式 第二步：列方程组，求出m，n的值． 第三步：分别求出的取值范围． 第四步：合并第三步的结果，即得的取值范围 第五步：将和平方作差即可得出的取值范围 解析：（1）设，则解得 由已知得，则， 即. （2）因为，所以，即， 所以，则，所以. 【例题1】（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）已知实数，满足，，则的取值范围是 ，的取值范围是 . 【例题2】（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知，，则下列代数式的范围错误的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知则的取值范围为 ． 【巩固练习3】已知，，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 【题型2】糖水不等式的证明及应用 基础知识 糖水不等式是一个基于生活常识的数学不等式，常用于分式放缩。 其核心表述为：若（代表原有糖水浓度，且)（代表加入的糖量），则必有： 含义解释： （1）左边不等号：在糖水（溶质a，溶液b）中加入纯糖（m）后，新糖水的浓度一定比原来的浓度更甜（更大）. （2）右边不等号：加入糖后，浓度依然小于1（即仍是糖水，不可能变成纯糖）. 关键点： 前提：原分数是真分数（），且加入的量m是正数. 结论：分子分母加上同一个正数后，分数值变大（更接近1），但仍小于1. 应用：该不等式简洁有力，在证明涉及分式的不等式、比较大小或进行放缩时非常有用，体现了“加糖变甜”的直观思想在数学中的精确表达。 【例题1】（高一上·浙江嘉兴·阶段练习）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？ (1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了； (2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡. 【例题2】（24-25高一上·黑龙江黑河·阶段练习）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了． (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：． 【巩固练习1】（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【巩固练习2】（24-25高一上·四川成都·阶段练习）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明糖水不等式； (2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 【巩固练习3】下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？写出式子并证明. (1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了； (2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡； (3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了. 【题型3】不等式的证明及不等式判断综合 基础知识 常用不等式的证明方法 1、作差法：任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小． 2、作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． 3、中间量法：若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量． 4、平方法：对两式先平方，再比较大小． 5、利用平方公式的非负性 【例题1】（23-24高一上·河北保定·月考）设，，. (1)证明：；(2)若，证明. 【例题2】今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为元斤、元斤，王大妈每周购买元的白菜，李阿姨每周购买斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【例题3】（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知正实数满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】证明：已知，且，求证：. 【巩固练习2】（24-25高一上·山西·期末）(多选)已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】两次购买同一种物品可以有两种不同的策略，设两次购物时价格分别为，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则 种购物策略比较经济．（填“甲”或“乙”） 【巩固练习4】（24-25高一上·浙江杭州·期中）(多选)已知实数a，b，c满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习5】（1）已知，证明：； （2）若a，b，c为三角形的三边长，则． 【巩固练习6】（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）（1）已知，，求，及的取值范围． （2）设、均为正实数，试比较和的大小． 【题型4】直接使用基本不等式和常用不等式 基础知识 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式：若，则（或），当且仅当时取等号 常用不等式：若，则，当且仅当时取等号； 方法技巧总结：和与积的最值问题，直接使用基本不等式即可；和与平方和的问题需要用常用不等式来求最值 【例题1】已知，则的最大值为 ． 【例题2】若，，则的最小值为______． 【例题3】已知正数，满足，则的最大值为 ． 【巩固练习1】（24-25高一上·江苏连云港·期末）若，，且，则的最小值为 . 【巩固练习2】若，，且，则的最小值是________ 【巩固练习3】若, 则的最小值是 ; 此时的值为 . 【巩固练习4】已知，，且，则的最小值是________ 【题型2】 凑配法求最值 基础知识 配凑法：加上一个数或减去一个数使和(积)为定值，然后利用基本不等式求解． 1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2、注意验证取得条件． 常见的配凑法求最值模型 (1)模型一：，当且仅当时等号成立； (2)模型二：，当且仅当时等号成立 【例题1】若，则的最小值为 . 【例题2】已知，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【例题3】（24-25高一上·湖南湘潭·期末）已知，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【巩固练习1】（24-25高一上·广东茂名·期末）当取得最小值时，（    ） A．0 B．1 C． D． 【巩固练习2】已知实数x＞3，则的最小值是（ ） A．24 B．12 C．6 D．3 【巩固练习3】（）的最小值为 ． 【题型5】 凑配法求最值 基础知识 配凑法：加上一个数或减去一个数使和(积)为定值，然后利用基本不等式求解． 1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2、注意验证取得条件． 常见的配凑法求最值模型 (1)模型一：，当且仅当时等号成立； (2)模型二：，当且仅当时等号成立 【例题1】若，则的最小值为 . 【例题2】已知，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【例题3】（24-25高一上·湖南湘潭·期末）已知，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【巩固练习1】（24-25高一上·广东茂名·期末）当取得最小值时，（    ） A．0 B．1 C． D． 【巩固练习2】已知实数x＞3，则的最小值是（ ） A．24 B．12 C．6 D．3 【巩固练习3】（）的最小值为 ． 【题型6】分离常数法求最值 解题技巧 方法总结：对于分子分母中含有相同单一字母时，可以考虑分离常数 例1：（x>0） 例2： 【例题1】若，则函数的最小值为（ ） A．4 B．5 C．7 D．9 【例题2】的最小值是______. 【巩固练习1】已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【巩固练习2】已知，则的最小值为 . 【巩固练习3】已知，则的最小值是______，此时a=______． 【题型7】“1”的妙用：乘“1”法 解题技巧 方法总结：乘“1”法就是指凑出1，利用乘“1”后值不变这个性质，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值． 主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值 注意：验证取得条件． 【例题1】（广东广雅中学校考）若正实数a，b满足，则的最小值是________ 【例题2】已知且，则的最小值是 ． 【例题3】（24-25广东东莞·阶段练习）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D．8 【例题4】已知，，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知，，且，则的最小值为 ． 【巩固练习2】（24-25高一下·湖南娄底·期中）已知，且，则的最小值是 . 【巩固练习3】（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知正数x，y满足，则的最小值为（   ） A．36 B．24 C．18 D．12 【巩固练习4】（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，且，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【巩固练习5】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知，，且，则的最小值是 . 【题型8】“1”的妙用（2）：“1”的代换 解题技巧 方法总结：通过常数“1”的代换，把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子，达到解题的目的． 【例题1】已知，，，则的最小值为 ． 【例题2】已知实数x，满足，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D．8 【巩固练习1】若，，且，则有最小是________ 【巩固练习2】正实数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．5 D． 【巩固练习3】（2024·安徽·三模）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【题型9】二次比一次型换元法求最值 解题技巧 基本模型：，当且仅当时等号成立 【例题1】已知，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C． D．或3 【例题2】已知，则的最小值为 . 【巩固练习1】当时，函数的最小值为 ． 【巩固练习2】若，则函数的最小值为 . 【题型10】分母换元法（1）：单换元 解题技巧 对于两个分式的最值问题可以考虑整体法或换元法配凑 整体配凑法原理是把目标当作一个整体，然后利用基本不等式求最值. 单分母换元：把其中一个分母进行换元 【例题1】已知，则的最小值是________ A．6 B．8 C．4 D．9 【例题2】（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【例题3】已知，其中，，，则的最小值为 ． 【巩固练习1】若，则的最小值是 ． 【巩固练习2】若，，，，则的最小值为 ． 【巩固练习3】已知，则的最小值是______. 【巩固练习4】（24-25高一下·河北保定·期中）已知x，y都是正数．若，且，则的最小值为 ． 【巩固练习5】（24-25高一下·浙江衢州·期末）已知实数，则的最小值为（   ） A． B． C．0 D． 【题型11】分母换元法（2）：双换元+配凑，乘1 解题技巧 双分母换元：可以把2个分母都换元 【例题1】（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）已知，，且，则的最小值为（    ） A．9 B． C．13 D．14 【例题2】（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）设正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知且，则的最小值为 . 【巩固练习2】若正实数满足，则最小值为________ 【巩固练习3】已知实数，且，则的最小值是 ． 【巩固练习4】设x，y是正实数，且，则的最大值是 . 【巩固练习5】（24-25·江苏南京·阶段练习）已知，，且，则的最小值为 . 【题型12】 和，积，平方和之间的转化 解题技巧 涉及和，积，平方和的最值问题时利用基本不等式变形求解 常用不等式链：（主要用于和积转换） 【例题1】（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）若正实数x，y满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例题2】已知，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 【例题3】（湖南长沙·高一长郡中学校考）已知，且，则的取值范围为 ． 【巩固练习1】（高一上·天津河北·期中）若，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】若，则的最小值是 （    ） A． B．1 C．2 D． 【巩固练习3】已知实数，满足，则的最大值为________ 【巩固练习4】（多选题）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习5】（24-25高一上·四川宜宾·期末）(多选)若，且，则（   ） A． B． C． D． 【课后训练】 1． （2025·上海·高考真题）设，则的最小值为 ． 2． 正实数，满足，则的最小值是________ 3． 已知且，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 4． （多选）若实数、满足：，则下列叙述正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的范围是 D．的范围是 5． 正实数a，b满足，则的最小值为______. 6． （24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知，，且，则的最小值为 ． 7． （24-25高一上·贵州·期中）已知，且，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 8． （24-25高一上·江苏扬州·期末）(多选)已知实数满足且，则下列说法正确的有（    ） A．若，则对任意实数， B．若，则 C．的最小值是 D．的最小值是 9． （24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）（1）已知，求的最大值； （2）若，求的最小值； （3）已知为正实数，，求的最小值. 10． （24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）（1）已知，求的最大值； （2）若，求的最小值； （3）已知为正实数，，求的最小值. 11． （24-25高一上·宁夏银川·阶段练习）（1），，求证：； （2）已知，求的取值范围. 12． （25-26高一上·全国·课后作业）已知，且． (1)求证：； (2)求证：． 13． （24-25高一上·广西来宾·阶段练习）从下列三组式子中选择一组比较大小： (1)设，，，比较，的大小； (2)设，均为正实数，，，比较，的大小； (3)设，，，比较，的大小． 14． 不等关系是数学中一种最基本的数关系，生活中随处可见.例如.已知克糖水中含有克糖，再添加m克糖(假设全部溶解)，糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式.并证明这个不等式成立： (2)利用（1）中的结论证明：若为三角形的三边长，则. 15． （高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $