4.2 一元一次方程及其解法 课件 2025--2026学年苏科版七年级数学上册

4.2解一元一次方程（二） ——去括号与去分母 苏科版七年级 上册 复习回顾，明确思路 一元一次方程 一元一次方程的解（x=a） 解方程 实际问题 设未知数， 根据相等关系列方程 抽象出数学模型 实际问题的答案 回归实际问题 检验 问题1 怎样解方程 复习回顾，明确思路 3x＋7＝32-2x ？ 解：移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 3x＋2x＝32-7. 5x＝25. x＝5. 移项 合并同类项 系数化为1 一元一次方程 一元一次方程的解（x=a） 解方程 化归思想 复习回顾，明确思路 一元一次方程 一元一次方程的解（x=a） 实际问题 实际问题的答案 回归实际问题 检验 移项 合并同类项 系数化为1 化归思想 解方程 设未知数， 根据相等关系列方程 抽象出数学模型 问题2 某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少2000 kW · h(千瓦·时），全年用电15万 kW · h.这个工厂去年上半年每月平均用电是多少？ （1 kW·h的电量即1 kW的电器1 h的用电量） 创设情境，提出问题 思考：本题中涉及到哪些量？ 这些量之间有怎样的关系？ 5 不共顶点的角4和角5，分别在截线EF的右侧，被截线AB和CD之间，即在截线同侧，被截线之间，具有这种位置关系的角叫同旁内角. 图中的同旁内角还有角3与角6.画出每对同旁内角的边，它们由三条线段组成，结构象字母“U”. 下面我们就结合定义和图形的结构特征解决具体问题。 问题2 某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少2000 kW · h(千瓦·时），全年用电15万 kW · h.这个工厂去年上半年每月平均用电是多少？ （1 kW·h的电量即1 kW的电器1 h的用电量） 分析： 若设上半年每月平均用电 x kW•h， （x -2000） 根据等量关系，可列方程 . 6x + 6（x -2000）=150000 创设情境，提出问题 上半年月平均用电量（kW·h） 全年用电量（ kW·h ） 15万 上半年用电量（kW·h） 下半年月平均用电量（kW·h） 下半年用电量（kW·h） ×月数 = ×月数 = x 6 6 6（x -2000） 6x 月平均用电量 全年用电15万 kW · h 6 不共顶点的角4和角5，分别在截线EF的右侧，被截线AB和CD之间，即在截线同侧，被截线之间，具有这种位置关系的角叫同旁内角. 图中的同旁内角还有角3与角6.画出每对同旁内角的边，它们由三条线段组成，结构象字母“U”. 下面我们就结合定义和图形的结构特征解决具体问题。 6x+ 6（x -2000）=150000 怎样使方程向x =a 的形式转化？ 去括号法则： 1.如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同. 2.如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反. 乘法分配律：a(b+c)=ab+ac 6x＋6x－12 000＝150 000 x＝13 500 合并同类项 移项 6x＋6x＝150 000＋12 000 系数化为1 12x＝162 000 去括号 分析问题，探究方法 6x+ 6（x -2000）=150000 6x＋6x－12 000＝150 000 x＝13 500 合并同类项 移项 6x＋6x＝150 000＋12 000 系数化为1 12x＝162 000 去括号 分析问题，探究方法 通过以上解方程的过程，你能总结出带有括号的一元一次方程解法的一般步骤吗？ 去括号 合并同类项 移项 系数化为1 问题2 某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少2000 kW · h(千瓦·时），全年用电15万 kW · h.这个工厂去年上半年每月平均用电是多少？ （1 kW·h的电量即1 kW的电器1 h的用电量） 分析： 若设上半年每月平均用电 x kW•h， 创设情境，提出问题 由上可知，这个工厂去年上半年每月平均用电13 500 kW•h. 6x + 6（x -2000）=150000 根据等量关系，可列方程 . 本题还有其他的列方程的方法吗？ 9 不共顶点的角4和角5，分别在截线EF的右侧，被截线AB和CD之间，即在截线同侧，被截线之间，具有这种位置关系的角叫同旁内角. 图中的同旁内角还有角3与角6.画出每对同旁内角的边，它们由三条线段组成，结构象字母“U”. 下面我们就结合定义和图形的结构特征解决具体问题。 注意：括号外的数字因数与括号内的各项相乘时，不要出现漏乘. 练习1 判断题：方程 去括号后得 2x + 3 = 5x.（ ） 如果你认为正确，请在括号内划“√”； 如果你认为错误，请在括号内划“×”，并改正. 改为：去括号，得 2x + 6 = 5x × 应用新知，解决问题 练习2 解方程 ， 去括号正确的是（ ）. 注意：当括号外面是“-”号时，去括号后，原括号内的各项都变号. D 应用新知，解决问题 B. C. D. A. 例1 解下列方程： （1） 解：去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 应用新知，解决问题 ； （2） 例1 解下列方程： 解：去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 应用新知，解决问题 . . . . . 1. 行程问题涉及哪些量？它们之间的关系是什么？ 路程 思考： 2. 你会用静水速度和水流速度表示顺流速度和逆流速度吗？ 顺流速度＝ ； 逆流速度＝ . 静水速度＋水流速度 静水速度－水流速度 速度 例2　一艘游船从天津站码头到天津之眼码头顺流行驶，用了 0.4 h；从天津之眼码头返回天津站码头逆流行驶，用了0.6 h．已知水流的速度是3 km/h，求船在静水中的平均速度. 时间 ＝ × 应用新知，解决问题 应用新知，解决问题 分析：设船在静水中的平均速度为x km/h， 速度/（km/h） 时间 / h 路程 / km 顺流行驶 0.4 逆流行驶 0.6 x＋3 x－3 0.4(x＋3) 0.6(x－3) 等量关系：往返路程相等 例2　一艘游船从天津站码头到天津之眼码头顺流行驶，用了 0.4 h；从天津之眼码头返回天津站码头逆流行驶，用了0.6 h．已知水流的速度是3 km/h，求船在静水中的平均速度. 解：设船在静水中的平均速度为x km/h，则顺流的速度为(x＋3) km/h，逆流速度为(x－3) km/h. 根据往返路程相等，列出方程，得 去括号，得 移项及合并同类项，得 系数化为1，得 答：船在静水中的平均速度为 15km/h. 应用新知，解决问题 . . . . 梳理脉络，总结提升 1. 本节课主要学习了哪些内容？ 2. 去括号的依据是什么？目的是什么？应该注意什么问题？ 3. 解带括号的一元一次方程的步骤是什么？ 4. 用方程来解决实际问题的关键是什么？ 实际问题 一元一次方程 一元一次方程的解（x=a） 设未知数， 根据相等关系列方程 抽象出数学模型 解方程 实际问题的解答 回归实际问题 检验 去括号 梳理脉络，总结提升 移项 合并同类项 系数化为1 化归思想 基础过关全练 知识点1　解一元一次方程——去括号 1.(2024江苏镇江润州月考)一元一次方程-3(x-1)=5(x+2),去 括号得 (　    ) A.-3x-1=5x+2　    B.-3x-3=5x+10 C.-3x+1=5x+2　    D.-3x+3=5x+10 D 解析　去括号,得-3x+3=5x+10.故选D. 初中数学 2.(2024江苏淮安淮阴期末)若3(x-1)=7(x+3),则x的值是 (      ) A.-3　　　    B.3　　　    C.-6　　　    D.6 C 解析　去括号,得3x-3=7x+21.移项,得3x-7x=21+3.合并同类 项,得-4x=24.系数化为1,得x=-6.故选C. 初中数学 3.(2024江苏无锡期末)如果5m-2与2m+3互为相反数,那么m的 值是　　　    . - 解析　因为5m-2与2m+3互为相反数, 所以5m-2=-(2m+3), 去括号,得5m-2=-2m-3, 移项,得5m+2m=-3+2, 合并同类项,得7m=-1,系数化为1,得m=- . 初中数学 4.(新考向·新定义试题)(2024江苏苏州期末)我们定义 = ad-bc,例如 =2×5-3×4=-2,若 =0,则x的值为　　 .       解析　因为 =ad-bc, =0, 所以3x-7(x-1)=0,去括号,得3x-7x+7=0, 移项,得3x-7x=-7,合并同类项,得-4x=-7, 系数化为1,得x= . 初中数学 5.解下列方程: (1)3(x-2)-2(4x-1)=11. (2)3-[2(1-3x)-5]=4(x-1)+2. (3)  =1. 初中数学 解析    (1)去括号,得3x-6-8x+2=11, 移项,得3x-8x=11-2+6, 合并同类项,得-5x=15, 系数化为1,得x=-3. (2)去括号,得3-2+6x+5=4x-4+2, 移项,得6x-4x=-4+2-3+2-5, 合并同类项,得2x=-8, 系数化为1,得x=-4. 初中数学 (3)去括号,得 x-2-8=1, 移项,得 x=1+2+8, 合并同类项,得 x=11, 系数化为1,得x=55. 初中数学 能力提升全练 6.(2023江苏苏州太仓期末)若规定“⊕”的运算 过程表示为a⊕ b= a-2b,如3⊕1= ×3-2×1=-1. (1)(-6)⊕ =　　　    . (2)若(2x-1)⊕x=3⊕x,求x的值. 初中数学 解析    (1)(-6)⊕= ×(-6)-2× =-2-1=-3. 故答案为-3. (2)因为(2x-1)⊕x=3⊕x, 所以 (2x-1)-2× x= ×3-2x, 去括号,得 x- -x=1-2x, 移项,得 x-x+2x=1+ , 合并同类项,得 x= ,解得x= . 初中数学 7.(2024江苏南通港闸月考)解下列方程: (1)278(x-3)-463(6-2x)-888(7x-21)=0. (2)  -3=0. 初中数学 解析    (1)因为278(x-3)-463(6-2x)-888(7x-21)=0,所以278(x-3) +463×2(x-3)-888×7(x-3)=0,所以(x-3)(278+463×2-888×7)=0, 所以x-3=0,解得x=3. (2)移项,得  =3, 两边都乘2,得  -3=6, 所以  =9, 两边都乘2,得  -3=18, 初中数学 所以  =21, 两边都乘2,得 x-3=42,所以 x=45, 两边都乘2,得x=90. 初中数学 基础过关全练 知识点2　解一元一次方程——去分母 1.将方程 -5= - 去分母时,方程两边应同时乘(     ) A.12　　　    B.18　　　    C.36　　　    D.72 B 解析    18、3、2的最小公倍数为18,故方程两边应同时乘18. 初中数学 2.(2024江苏淮安月考)在解方程 - =2时,去分母正确 的是 (　    ) A.3(x-1)-2(2x+1)=2 B.3x-1-2(2x+1)=12 C.3(x-1)-4x+1=12 D.3(x-1)-2(2x+1)=12 D 解析　方程 - =2的两边都乘6,得3(x-1)-2(2x+1)=12. 故选D. 初中数学 3.(2024江苏南京秦淮期末)若 与 互为倒数,则x=　      . 解析　由题意,得 = ,去分母,得2x-1=2, 移项、合并同类项,得2x=3,系数化为1,得x= . 初中数学 4.(2024江苏扬州江都月考)方程 - =-2.5的解是x=    　    . 6.5 解析　方程变形,得 - =-2.5, 去分母,得5(10x+30)-2(40x-10)=-25, 去括号,得50x+150-80x+20=-25, 移项、合并同类项,得-30x=-195,解得x=6.5. 初中数学 5.(2023南京中考)小红在解方程 = +1时,第一步 出现了错误: 解:2×7x=4x-1+1, …… (1)请在框内用横线标出小红的错误处. (2)写出你的解答过程. 初中数学 解析    (1)如图: 解:2×7x=4x-1+1, …… (2)去分母,得2×7x=4x-1+6, 去括号,得14x=4x-1+6, 移项,得14x-4x=-1+6, 合并同类项,得10x=5, 系数化为1,得x= . 初中数学 6.解下列方程: (1)(2023镇江中考) + =4. (2)x- =1+ . (3) -2= - . (4) - =0.75. 初中数学 解析    (1)去分母,得3(x-3)+2(x-1)=24, 去括号,得3x-9+2x-2=24, 移项,得3x+2x=24+9+2, 合并同类项,得5x=35, 系数化为1,得x=7. (2)去分母,得6x-3(x-2)=6+2(2x-1), 去括号,得6x-3x+6=6+4x-2, 移项,得6x-3x-4x=6-6-2, 合并同类项,得-x=-2, 初中数学 系数化为1,得x=2. (3)去分母,得5(3x+1)-20=3x-2-2(2x+3), 去括号,得15x+5-20=3x-2-4x-6, 移项,得15x-3x+4x=-2-6-5+20, 合并同类项,得16x=7, 系数化为1,得x= . (4)原方程可化为 - = , 去分母,得2(30+2x)-4(20+3x)=3, 初中数学 去括号,得60+4x-80-12x=3, 移项,得4x-12x=3-60+80, 合并同类项,得-8x=23, 系数化为1,得x=- . 初中数学 7.已知方程  =1和方程 -1= 的解相 同,求a的值. 初中数学 解析     -1= , 分母化为整数,得 -1= , 去分母,得2(17-20x)-6=8+10x, 去括号,得34-40x-6=8+10x, 移项、合并同类项,得-50x=-20, 系数化为1,得x= . 将x= 代入方程  =1, 初中数学 得 × =1, 去括号,得 a-1+ =1, 移项、合并同类项,得 a= , 系数化为1,得a= .故a的值为 . 初中数学 能力提升全练 8.(2024江苏淮安淮阴期末)在解一元一次方程  -1= 去分母时,若“ ”变形成“4x”,则“-1”需要变形成  (　    ) A.-4　　　    B.-3　　　    C.-12　　　    D.不变 C 解析　两边同时乘12,得3(x+2)-12=4x,所以-1变成了-12. 初中数学 9.(2024江苏南京)当x=　　　    时,x- 的 值与方程x+2=4的解互为倒数. 解析　根据x+2=4可得x=2,因为x- 的值与方程x+2=4的解 互为倒数, 所以x- = ,解得x= , 即当x= 时,x- 的值与方程x+2=4的解互为倒数. 初中数学 10.(2023江苏南京栖霞期末)下面是某同学解方程 的过程,请认真阅读并回答相应问题.  - =1. 解:4(x-1)-3(3x-2)=12,(第一步) 4x-4-9x+6=12,(第二步) 4x-9x=12+6-4,(第三步) -5x=14,(第四步) x=- .(第五步) 初中数学 (1)在以上解题过程中,第一步是依据　　　　　　　    进行 变形的.第二步是依据　　　　　　　    (运算律)进行变形 的. (2)第　　　    步开始出现错误,这一步错误的原因是　　     　　　    . (3)请写出该方程的正确解答过程. 初中数学 解析    (1)等式的基本性质2;乘法分配律. (2)三;移项没变号. (3)去分母,得4(x-1)-3(3x-2)=12, 去括号,得4x-4-9x+6=12, 移项,得4x-9x=12-6+4, 合并同类项,得-5x=10, 系数化为1,得x=-2. 初中数学 素养探究全练 11.(推理能力)阅读下面的材料,并解答后面的问题. 材料:试探究方程ax=b的解的情况. 当a≠0时,方程有唯一解x= ; 当a=b=0时,方程有无数解; 当a=0,b≠0时,方程无解. 问题:已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2,请你讨论它的解的情况. 初中数学 解析    a(2x-1)=3x-2,所以2ax-a=3x-2,所以2ax-3x=a-2,所以(2a -3)x=a-2, 当2a-3≠0,即a≠ 时,方程有唯一解x= ; 当2a-3=0,即a= 时,a-2≠0,方程无解. 因为2a-3和a-2不能同时为0, 所以方程不可能有无数解. 初中数学 　根据方程的解的关系求字母的值 　当m为何值时,关于x的方程4x-2m=3x-1的解是方程x=2x- 3m的解的2倍? 例 解析　解方程4x-2m=3x-1,得x=2m-1. 解方程x=2x-3m,得x=3m. 因为关于x的方程4x-2m=3x-1的解是方程x=2x-3m的解的2倍, 所以2m-1=2×3m,解得m=- . 初中数学 变式 1.(倍数关系→倒数关系)已知方程3-4(x+1)=0的解与关于x的 方程 -2k=3x的解互为倒数,求k的值. 解析　由3-4(x+1)=0得3-4x-4=0,所以-4x=1,解得x=- ,因为方 程3-4(x+1)=0的解与关于x的方程 -2k=3x的解互为倒数, 所以关于x的方程 -2k=3x的解是x=-4,所以 -2k=-12, 解得k= . 初中数学 2.(求字母的值→求方程的解)已知关于x的方程m+ =4的解 是关于x的方程 - = x-1的解的5倍,求这两个方程 的解. 初中数学 解析　解关于x的方程m+ =4,得x=8-2m. 解关于x的方程 - = x-1, 去分母,得4(2x-3m)-3(x-1)=2x-12, 去括号,得8x-12m-3x+3=2x-12, 移项、合并同类项,得3x=-15+12m, 解得x=-5+4m. 因为关于x的方程m+ =4的解是关于x的方程 - =  x-1的解的5倍, 初中数学 所以8-2m=5(-5+4m),解得m= , 所以m+ =4的解是x=5, - = x-1的解是x=1. 初中数学 $