第十三章全等三角形 单元试卷 江苏省南通市海安市海陵中学2025-2026学年 人教版八年级数学上册

江苏省海安市海陵中学2025-2026第一学期《全等三角形》单元试卷 （满分 ：150分 时间：120分钟） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列判断不正确的是（　　） A．形状相同的图形是全等图形 B．能够完全重合的两个三角形全等 C．全等图形的形状和大小都相同 D．全等三角形的对应角相等 【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，结合各项说法作出判断即可． 【详解】解：A、两个形状相同的图形大小不一定相等，故本项错误； 根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，可得：B、能够完全重合的两个三角形全等正确，故本项错误； C、全等图形的形状和大小都相同正确，故本项错误； D、根据全等三角形的性质可得：全等三角形的对应角相等，故本选项正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了全等形的概念和三角形全等的性质：1、能够完全重合的两个图形叫做全等形，2、全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；全等图形的形状和大小都相同，做题时要细心体会． 2．如图，△ABD≌△CDB，且AB，CD是对应边．下面四个结论中不正确的是（　　） A．△ABD和△CDB的面积相等 B．△ABD和△CDB的周长相等 C．∠ABD＝∠CBD D．AD∥BC 【分析】根据全等三角形的面积相等、周长相等、对应角相等、平行线的判定定理判断即可． 【详解】解：∵△ABD≌△CDB， ∴△ABD和△CDB的面积相等，△ABD和△CDB的周长相等，A、B选项结论正确，不符合题意； ∵△ABD≌△CDB， ∴∠ABD＝∠CDB，而不是∠ABD＝∠CBD，C选项结论错误，符合题意； ∵△ABD≌△CDB， ∴∠ADB＝∠CDB， ∴AD∥BC，D选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、平行线的判定，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 3．如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝25°，则∠EAC的度数为（　　） A．45° B．40° C．35° D．25° 【分析】根据全等三角形的性质求出∠D和∠E，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠D＝∠B＝80°，∠E＝∠C＝30°， ∴∠DAE＝180°﹣∠D﹣∠E＝70°， ∴∠EAC＝∠EAD﹣∠DAC＝45°， 故选：A． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键． 4．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，BE与AD交于点F，若AD＝BD＝5，CD＝3，则AF的长为（　　） A．3 B．3.5 C．2.5 D．2 【分析】根据ASA推出△BDF≌△ADC，根据全等三角形的性质得出CD＝DF，根据线段的和差即可得出答案． 【详解】解：∵BE⊥AC，AD⊥BC， ∴∠AEB＝∠ADC＝∠BDF＝90°， ∵∠AFE＝∠BFD，∠FBD+∠BDF+∠BFD＝180°，∠AEB+∠AFE+∠DAC＝180°， ∴∠DAC＝∠DBF， 在△BDF和△ADC中， ， ∴△BDF≌△ADC（ASA）， ∴DF＝CD＝3， ∵AF+DF＝AD＝5， ∴AF＝2， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，能求出△BDF≌△ADC是解此题的关键． 5．如图，点C，D分别在线段OA，OB上，AD与BC相交于点E，若OC＝OD，∠A＝∠B，则图中全等三角形的对数为（　　） A．5对 B．4对 C．3对 D．2对 【分析】根据全等三角形的判定和性质依次证明图中三角形全等即可． 【详解】解：在△AOD和△BOC中， ∵OC＝OD，∠AOD＝∠BOC，∠A＝∠B， ∴△AOD≌△BOC（SAS）， ∴OA＝OB， ∵OC＝OD，OA＝OB， ∴AC＝BD， 在△ACE和△BDE中， ∵∠A＝∠B，∠AEC＝∠BED，AC＝BD， ∴△ACE≌△BDE（AAS）， ∴AE＝BE， 在△AOE和△BOE中， ∵OA＝OB，∠A＝∠B，AE＝BE， ∴△AOE≌△BOE（SAS）， ∴∠COE＝∠DOE， 在△COE和△DOE中， ∵OC＝OD，∠COE＝∠DOE，OE＝OE， ∴△COE≌△DOE（SAS）， 故全等的三角形有4对， 故选：B． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 6．如图：一把直尺压住射线OB，完全相同的另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　） A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确 【分析】过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE＝PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB； 【详解】解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO， ∵两把完全相同的长方形直尺， ∴PE＝PF， ∴OP平分∠BOA（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了角平分线的判定，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上． 7．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（3，4），则点B的坐标为（　　） A．（﹣1，7） B．（﹣1，5） C．（﹣2，6） D．（﹣2，7） 【分析】由“AAS”可证△AOE≌△BAF，可得OE＝AF＝3，BF＝AE＝4，据此即可求解． 【详解】解：如图，过点A作AE⊥x轴于E，过点B作BF⊥AE于F， ∵点A的坐标为（3，4）， ∴AE＝4，OE＝3， ∵四边形OABC是正方形， ∴BA＝OA，∠BAO＝90°， ∵AE⊥OE，BF⊥AE， ∴∠BFA＝∠AEO＝90°， ∴∠OAE+∠AOE＝90°＝∠OAE+∠BAF， ∴∠BAF＝∠AOE， 在△AOE和△BAF中， ， ∴△AOE≌△BAF（AAS）， ∴OE＝AF＝3，BF＝AE＝4， ∴EF＝7， ∴点B的坐标为（﹣1，7）， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 8．下列说法正确的有（　　） ①有两边和一角对应相等的两个三角形全等； ②有一个角为100°，且腰长对应相等的两个等腰三角形全等； ③有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等； ④三条边对应相等的两个三角形对应角也是相等的． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据SAS定理可得①说法错误；根据SAS定理可得②正确；根据HL和SSS定理可判定③错误；根据SSS和全等三角形的性质可得④正确． 【详解】解：①有两边和一角对应相等的两个三角形全等，说法错误，必须是夹角； ②有一个角为100°，且腰长对应相等的两个等腰三角形全等，说法正确； ③有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等，说法错误； ④三条边对应相等的两个三角形对应角也是相等的，说法正确． 说法正确的共2个， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 9．如图，点P是∠BAC平分线AD上的一点，AC＝9，AB＝5，PB＝3，则PC的长可能是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】在AC上取AE＝AB＝5，然后证明△AEP﹣ABP，根据全等三角形对应边相等得到PE＝PB＝3，再根据三角形的任意两边之差小于第三边即可求解． 【详解】解：在AC上截取AE＝AB＝5，连接PE， ∵AC＝9， ∴CE＝AC﹣AE＝9﹣5＝4， ∵点P是∠BAC平分线AD上的一点， ∴∠CAD＝∠BAD， 在△APE和△APB中， ， ∴△APE≌△APB（SAS）， ∴PE＝PB＝3， ∵4﹣3＜PC＜4+3， 解得1＜PC＜7， ∴PC取6， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系；通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键﹒ 10．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③AH+BD＝AB；④连接DH，△PDH为等腰直角三角形；⑤连接DE，S四边形ABDE，其中正确的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐条分析判断． 【详解】解：在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， 又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC， ∴∠BAD+∠ABE（∠A+∠B）＝45°， ∴∠APB＝135°，故①正确． ∴∠BPD＝45°， 又∵PF⊥AD， ∴∠FPB＝90°+45°＝135°， ∴∠APB＝∠FPB， 又∵∠ABP＝∠FBP，BP＝BP， ∴△ABP≌△FBP（AAS）， ∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF，故②正确． ∵∠APH＝∠FPD＝90°，∠PAH＝∠BAP＝∠BFP，PA＝PF， ∴△APH≌△FPD（AAS）， ∴AH＝FD， 又∵AB＝FB， ∴AB＝FD+BD＝AH+BD．故③正确． 连接HD，ED． ∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD， ∴S△APB＝S△FPB，S△APH＝S△FPD，PH＝PD， ∵∠HPD＝90°， ∴△PDH为等腰直角三角形，故④正确； ∴∠HDP＝∠DHP＝45°＝∠BPD， ∴HD∥EP， ∴S△EPH＝S△EPD， ∵S四边形ABDE＝S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD ＝S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD ＝S△ABP+S△APH+S△PBD ＝S△ABP+S△FPD+S△PBD ＝S△ABP+S△FBP ＝2S△ABP，故⑤错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 二．填空题（共8小题，第11-12每题3分，13-18题每题4分，共30分） 11．用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用全等的方法是　SSS　 （用字母写出）． 【分析】根据用直尺和圆规画一个角等于已知角的过程很容易看出所得两个三角形三边对应相等． 【详解】 解：①设已知角的顶点为O，以O为圆心，任意长度为半径画圆，交角两边为A，B两点； ②用直尺画一条射线，端点为M，以M为圆心，用同样的半径画圆，该圆为圆M，交射线为C点； ③以A为圆心，以AB为半径画圆，然后以C点为圆心，以同样的半径画圆，交圆M于D，E两点，随意连MD或者ME； 得到的∠CMD就是所求的角； 由以上作角过程不难看出有三个对应边相等． ∴证明全等的方法是SSS． 故答案为：SSS． 【点睛】本题考查的关键是作角的过程，作角过程中所产生的条件就是证明全等的条件． 12．已知△ABC≌△DEF，∠A＝50°，∠F＝30°，则∠E＝　100°　 ． 【分析】根据全等三角形的性质可得∠A＝∠D＝50°，∠C＝∠F＝30°，然后利用三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵△ABC≌△DEF， ∴∠A＝∠D＝50°，∠C＝∠F＝30°， ∴∠E＝180°﹣30°﹣50°＝100°． 故答案为：100°． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等． 13．△ABC中，AB＝5，AC＝a，BC边上的中线AD＝4，则a的取值范围是　3＜a＜13　 ． 【分析】先延长AD到E，且AD＝DE，并连接BE，由于∠ADC＝∠BDE，AD＝DE，利用SAS易证△ADC≌△EDB，从而可得AC＝BE，在△ABE中，再利用三角形三边的关系，可得5﹣a＜AE＜5+a，从而易求AD． 【详解】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE， ∵AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，BD＝DC， ∴△ADC≌△EDB（SAS） ∴BE＝AC＝a， 在△AEB中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE， 即5﹣a＜2AD＜5+a， ∴AD．， ∵AD＝4， ∴a的取值范围是3＜a＜13， 故答案为：3＜a＜13 【点睛】此题主要考查三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 14．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为16，则BE等于（　　） A．3 B．4 C．8 D． 【分析】过点B作BF⊥DC，交DC的延长线于F，则四边形BEDF为矩形，证明△ABE和△CBF全等得BE＝BF，S△ABE＝S△CBF，则矩形BEDF为正方形，S四边形ABCD＝S正方形BEDF＝16，由此可得BE的长． 【详解】解：过点B作BF⊥DC，交DC的延长线于F，如图所示： ∵∠CDA＝90°，BE⊥AD， ∴四边形BEDF为矩形， ∴∠FBE＝90°，∠BEA＝∠F＝90°， ∴∠FBC+∠CBE＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABE+∠CBE＝90°， ∴∠ABE＝∠FBC， 在△ABE和△CBF中， ， ∴△ABE≌△CBF（AAS）， ∴BE＝BF，S△ABE＝S△CBF， ∴矩形BEDF为正方形， ∵四边形ABCD的面积为16， ∴S△ABE+S四边形BEDC＝16， 即S△CBF+S四边形BEDC＝16， ∴S正方形BEDF＝16， ∴BE＝4， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正确地添加辅助线，构造全等三角形和正方形的判定是解决问题 15．如图是5×5的正方形网格，以点D、E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形可以最多画出　4　 个． 【分析】根据全等三角形的判定作出图形即可． 【详解】解：如图，满足条件的三角形共有4个， 故答案为：4． 【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定，灵活运用所学知识解决问题． 16．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠P+∠Q＝ 　45　 度． 【分析】利用网格得出△PAB≌△QCB，那么对应角∠P＝∠BQC，进而得出答案． 【详解】解：如图所示： 在△PAB与△QCB中， ， ∴△PAB≌△QCB（SAS）， ∴∠P＝∠BQC， ∴∠P+∠AQB＝∠BQC+∠AQB＝∠AQC＝45°． 故答案为：45． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，正确借助网格分析是解题关键． 17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，AD是∠BAC的平分线．若射线AC上有一点P，且∠CPD＝∠B，则AP的长为 　9或15　 ． 【分析】分两种情况讨论：①点P在线段AC上；②点P在线段AC的延长线上．过点D作DE⊥AB于E，利用角平分线的性质可得DE＝DC，进而证明△CDP≌△EDB，根据勾股定理求出AP的长． 【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E， ∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9， ∴AB＝15， 分两种情况讨论： ①当点P在线段AC上时， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴DE＝DB，AE＝AC＝12， ∴BE＝AB﹣AE＝15﹣12＝3， 在△CDP和△EDB中， ， ∴△CDP≌△EDB（AAS）， ∴CP＝BE＝3， ∴AP＝AC﹣CP＝12﹣3＝9； ②当点F在线段AC的延长线上时， 同理可得△CDP′≌△EDB（AAS）， ∴CP′＝BE＝3， ∴AP＝AC+CP′＝12+3＝15， 综上所述，AP的长为9或15． 故答案为：9或15． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，勾股定理，关键是灵活运用这些性质解决问题． 18．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，则△EDF的面积为　6　 ． 【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF＝DH，然后利用“HL”证明Rt△DEF和Rt△DGH全等，根据全等三角形的面积相等可得S△EDF＝S△GDH，设面积为S，然后根据S△ADF＝S△ADH列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点D作DH⊥AC于H， ∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB， ∴DF＝DH， 在Rt△DEF和Rt△DGH中， ， ∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL）， ∴S△EDF＝S△GDH，设面积为S， 同理Rt△ADF≌Rt△ADH， ∴S△ADF＝S△ADH， 即38+S＝50﹣S， 解得S＝6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形并利用角平分线的性质是解题的关键． 三．解答题（共90分） 19．尺规作图：如图，在直线MN上求作一点P，使点P到∠AOB两边的距离相等（不要求写出作法，但要保留作图痕迹，写出结论） 【分析】利用角平分线的作法作∠AOB的平分线，∠AOB的平分线与直线MN交于一点，这一点就是P点． 【详解】解：如图所示，作∠AOB的平分线，∠AOB的平分线与直线MN交于一点，则点P即为所求． 【点睛】此题主要考查了作角平分线，关键是掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 20．如图，A，B，C，D是同一条直线上的点，AC＝BD，AE∥DF，∠1＝∠2．求证：BE＝CF． 【分析】根据等式的性质得出AB＝DC，再利用ASA证明△ABE≌△DCF． 【详解】证明：∵AC＝AB+BC，BD＝BC+CD，AC＝BD， ∴AB＝DC， ∵AE∥DF， ∴∠A＝∠D， 在△ABE和△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（ASA）， ∴BE＝CF． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，利用全等三角形的判定定理ASA证出△ABE≌△DCF是解题的关键． 21．已知：如图，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA＝OC，OB＝OD． 求证：AB＝CD． 【分析】根据角平分线的性质得出∠AOP＝∠COP，∠BOP＝∠DOP，从而推出∠AOB＝∠COD，再利用SAS判定其全等从而得到AB＝CD． 【详解】证明：∵OP是∠AOC和∠BOD的平分线， ∴∠AOP＝∠COP，∠BOP＝∠DOP， ∴∠AOB＝∠COD， 在△AOB和△COD中， ． ∴△AOB≌△COD（SAS）， ∴AB＝CD． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，以及全等三角形的性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．本题比较简单，读已知时就能想到要用全等来证明线段相等． 22．如图，AB＝AC，点D，E分别在AC、AB上，AG⊥BD于G，AF⊥CE于F，且AG＝AF．求证：BD＝CE． 【分析】根据判定两个三角形全等的方法“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”可证Rt△AGB≌Rt△AFC，从而得出∠B＝∠C，进而可证得△ABD≌△ACE，从而得出BD＝CE． 【详解】证明：∵AG⊥BD，AF⊥CE， ∴△AGB和△AFC是直角三角形， 在Rt△AGB和Rt△AFC中， ， ∴Rt△AGB≌Rt△AFC（HL）． ∴∠B＝∠C． 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（ASA）． ∴BD＝CE． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键． 23．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l，BE⊥l于E，AD⊥l于D．若BE＝2，AD＝6，求DE的长． 【分析】分为两种情况，画出图形求出△ADC≌△CEB，推出CD＝BE，AD＝CE，即可得出答案． 【详解】解：分为两种情况： ①如图1， ∵AD⊥l，BE⊥l， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠ACD+∠DAC＝90°，∠ACD+∠BCE＝90°， ∴∠DAC＝∠BCE（同角的余角相等）， 在△ADC和△CEB中 ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴CD＝BE，AD＝CE． ∵DE＝DC+CE， ∴DE＝AD+BE＝6+2＝8； ②如图2， ∵AD⊥l，BE⊥l， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°， ∴∠BCD＝∠CAD（同角的余角相等）． 在△ADC和△CEB中 ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD＝CE，BE＝CD， ∵DE＝CE﹣CD， ∴DE＝AD﹣BE＝6﹣2＝4， 即DE的长是8或4． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的对应边相等，对应角相等． 24．已知，如图：在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD+BC＝AB，E为DC中点．连接AE、BE．试判断AE、BE的位置关系，并加以说明． 【分析】证明△AED≌△QEC（AAS），由全等三角形的性质得出DA＝QC，AE＝QE，证出AB＝BQ，由等腰三角形的性质可得出结论． 【详解】解：AE⊥BE． 理由：延长AE，BC交于点Q， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠EQC， ∵E为CD的中点， ∴DE＝CE， 在△AED和△QEC中， ， ∴△AED≌△QEC（AAS）， ∴DA＝QC，AE＝QE， ∵BC+AD＝AB， ∴CQ+BC＝AB， ∴AB＝BQ， 又∵AE＝EQ， ∴AE⊥BE． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是证明△AED≌△QEC． 25．如图，四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝120°，E、F分别为AB、AD上的点，∠ECF＝∠A＝60°．求证：EF＝BE+DF； 【分析】延长EB至点G，使BG＝DF，连接CG，证△CBG≌△CDF（SAS），得CG＝CF，∠BCG＝∠DCF，再证△ECG≌△ECF（SAS），得EG＝EF，即可得出结论； 【详解】证明：延长EB至点G，使BG＝DF，连接CG，如图1所示： ∵∠A+∠BCD＝60°+120°＝180°， ∴∠ABC+∠D＝360°﹣180°＝180°， ∵∠ABC+∠CBG＝180°， ∴∠CBG＝∠D， 在△CBG和△CDF中， ， ∴△CBG≌△CDF（SAS）， ∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF， ∵∠BCE+∠DCF＝∠BCD﹣∠ECF＝120°﹣60°＝60°， ∴∠BCE+∠BCG＝60°， 即∠ECG＝60°， ∴∠ECG＝∠ECF， 在△ECG和△ECF中， ， ∴△ECG≌△ECF（SAS）， ∴EG＝EF， ∵EG＝BE+BG＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF； 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、平角的定义、四边形内角和定理等知识，本题综合性强，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 26．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD、CE交于点F． ①探究线段BD与CE之间的关系，并证明； ②如图2，连接CD，连接AF并延长交CD于点G，求∠CFG的度数． 图1 图2 【分析】①证明△ABD≌△ACE（SAS），得到BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，进而推出∠BFC＝90°，即可得到答案； ②过点A作AM⊥BD于点M，AN⊥CE于点N，证明△AMB≌△ANC（AAS），得到AM＝AN，推出FA平分∠BFE，从而得到，即可求出∠CFG的度数． 【详解】解：①BD＝CE，BD⊥CE； 证明：在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABC+∠ACB＝∠ABD+∠CBF+∠ACB＝90°， ∴∠ACE+CBF+∠ACB＝∠CBF+∠BCF＝90°， ∴∠BFC＝90°， ∴BD⊥CE； ②如图4，过点A作AM⊥BD于点M，AN⊥CE于点N， ∴∠AMB＝∠ANC＝90°， ∵△ABD≌△ACE， ∴∠ABM＝∠ACN， 在△AMB和△ANC中， ， ∴△AMB≌△ANC（AAS）， ∴AM＝AN， ∵AM⊥BD，AN⊥CE， ∴FA平分∠BFE， 由①可知，∠BFE＝90°， ∴， ∴∠CFG＝∠AFN＝45°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理等知识，正确作辅助线构造全等三角形，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省海安市海陵中学2025-2026第一学期《全等三角形》单元试卷 （满分 ：150分 时间：120分钟） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列判断不正确的是（　　） A．形状相同的图形是全等图形 B．能够完全重合的两个三角形全等 C．全等图形的形状和大小都相同 D．全等三角形的对应角相等 2．如图，△ABD≌△CDB，且AB，CD是对应边．下面四个结论中不正确的是（　　） A．△ABD和△CDB的面积相等 B．△ABD和△CDB的周长相等 C．∠ABD＝∠CBD D．AD∥BC 3．如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝25°，则∠EAC的度数为（　　） A．45° B．40° C．35° D．25° 4．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，BE与AD交于点F，若AD＝BD＝5，CD＝3，则AF的长为（　　） A．3 B．3.5 C．2.5 D．2 5．如图，点C，D分别在线段OA，OB上，AD与BC相交于点E，若OC＝OD，∠A＝∠B，则图中全等三角形的对数为（　　） A．5对 B．4对 C．3对 D．2对 6．如图：一把直尺压住射线OB，完全相同的另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　） A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确 7．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（3，4），则点B的坐标为（　　） A．（﹣1，7） B．（﹣1，5） C．（﹣2，6） D．（﹣2，7） 8．下列说法正确的有（　　） ①有两边和一角对应相等的两个三角形全等； ②有一个角为100°，且腰长对应相等的两个等腰三角形全等； ③有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等； ④三条边对应相等的两个三角形对应角也是相等的． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，点P是∠BAC平分线AD上的一点，AC＝9，AB＝5，PB＝3，则PC的长可能是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 10．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③AH+BD＝AB；④连接DH，△PDH为等腰直角三角形；⑤连接DE，S四边形ABDE，其中正确的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 二．填空题（共8小题，第11-12每题3分，13-18题每题4分，共30分） 11．用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用全等的方法是　 　 （用字母写出）． 12．已知△ABC≌△DEF，∠A＝50°，∠F＝30°，则∠E＝ ． 13．△ABC中，AB＝5，AC＝a，BC边上的中线AD＝4，则a的取值范围是　 　 ． 14．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为16，则BE等于（　　） A．3 B．4 C．8 D． 15．如图是5×5的正方形网格，以点D、E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形可以最多画出　 　 个． 16．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠P+∠Q＝ 　 　 度． 17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，AD是∠BAC的平分线．若射线AC上有一点P，且∠CPD＝∠B，则AP的长为 　 　 ． 18．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，则△EDF的面积为　 　 ． 三．解答题（共90分） 19．尺规作图：如图，在直线MN上求作一点P，使点P到∠AOB两边的距离相等（不要求写出作法，但要保留作图痕迹，写出结论） 20．如图，A，B，C，D是同一条直线上的点，AC＝BD，AE∥DF，∠1＝∠2．求证：BE＝CF． 21．已知：如图，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA＝OC，OB＝OD． 求证：AB＝CD． 22．如图，AB＝AC，点D，E分别在AC、AB上，AG⊥BD于G，AF⊥CE于F，且AG＝AF．求证：BD＝CE． 23．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l，BE⊥l于E，AD⊥l于D．若BE＝2，AD＝6，求DE的长． 24．已知，如图：在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD+BC＝AB，E为DC中点．连接AE、BE．试判断AE、BE的位置关系，并加以说明． 25．如图，四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝120°，E、F分别为AB、AD上的点，∠ECF＝∠A＝60°．求证：EF＝BE+DF； 26．如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD、CE交于点F． ①探究线段BD与CE之间的关系，并证明； ②如图2，连接CD，连接AF并延长交CD于点G，求∠CFG的度数． 图1 图2 1 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