专题04 一元二次方程的六大解法（高效培优专项训练）数学华东师大版九年级上册

专题04 一元二次方程的六大解法 题型一：直接开平方法 题型二：因式分解法 题型三：配方法 题型四：公式法 题型五：换元法 题型六：解分式方程（化为一元二次方程） 题型一：直接开平方法 1．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． 【详解】解：移项得，， ， ，． 2．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）利用直接开平方法解方程即可求解． （2）利用直接开平方法解方程即可求解． 【详解】（1）解： ∴， ∴． （2）解： ∴， ∴． 3．解方程： 【答案】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的直接开平方法是解题的关键． 先移项，再利用直接开平方法求出x的值即可． 【详解】解：， ∴， ∴． 4．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键． （1）直接利用开平方解方程得出答案； （2）方程两边同时开平方，进而得出答案． 【详解】（1） ， 则， 解得：，； （2）． ， 解得：，． 5．直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先两边同时除以5，再直接开平方，即可作答． （2）先移项，再直接开平方，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； 解得 6．用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1)4， (2)4， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先在两边同时除以2，得，再直接开平方法，即可作答． （2）先移项，在两边同时除以3，得，再直接开平方法，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴两边同时除以2，得， 则， ∴或， 解得4，． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得4， 7．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查直接开方法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据直接开方法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 题型二：因式分解法 8．用适当的方法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键，利用直接开平方法，进行求解即可． 【详解】解：， ， ∴． 9．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴或， 解得，； （2）解：， ， 或， 解得，． 10．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查 了解一元二次方程——因式分解法和直接开平方法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ∴， 或， ． 11．计算 习题课上老师给了一道方程：． 嘉嘉的解法 原方程可化为：……第一步 ……第二步 ，……第三步 琪琪的解法 原方程可化为：……第一步 两边都除以…．．第二步 　……第三步 (1)她们的解法都是错误的，嘉嘉从第 步开始错误，琪琪从第 步开始错误； (2)写出方程正确的解答过程． 【答案】(1)二；二 (2)，，过程见解析 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法和等式的基本性质求解即可； （2）利用十字相乘法将左边因式分解，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：她们的解法都是错误的，嘉嘉从第二步开始错误，因为方程左边因式分解出现了错误；琪琪从第二步开始错误，因为他方程两边同时除以时，没分值为0和不为0讨论． 故答案为：二，二； （2）解：按嘉嘉的解法：原方程可化为：， ， ，． 按琪琪的解法：原方程可化为： 当时，， 当时，两边都除以，得， ，． 12．解方程： 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，移项后，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ， ∴或， ∴． 13．解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）直接开方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴； （2）， ， 或， ∴． 题型三：配方法 14．用配方法解方程时，原方程应变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 将方程通过配方法变形，转化为完全平方形式即可． 【详解】解：， 移项得 ： ， 配方得 ： ， 即． 故选：B． 15．下列方程最适合用配方法求解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，根据方程的特点选择合适的解法，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【详解】解：A、此方程适合用因式分解法求解； B、此方程适合用配方法求解； C、此方程适合用直接开平方法求解； D、此方程适合用因式分解法求解； 故选：B． 16．用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【详解】解：， ， 则， 即， 故选：D． 17．方程经过配方法化为的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先将方程变形为，再两边同时加上1，利用完全平方公式进行配方即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 18．已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成 ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，利用配方法，首先移项，二次项系数化为1，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，于是可将配方成，结合已知条件，求出p和q的值，进而即可求解． 【详解】解：， ， ， ∴， ∵方程可以配方成的形式， ∴，， ∴， ∴为， ∴， 配方，得，即， 故答案为： ． 19．若关于的一元二次方程可配成的形式， ． 【答案】25 【分析】本题主要考查了配方法的应用．先利用配方法得到，再确定、的值，然后计算的值． 【详解】解：， 整理得， 配方得，即， 所以，， 所以． 故答案为：25． 20．解方程． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题关键，利用平方差公式分解因式解方程即可． 【详解】解：， ， ， ， 或， ． 21．解方程． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，运用配方法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 则． 22．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用配方法求解； （2）利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得：； （2）解：， ， 或 解得：． 23．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键． （1）方程的左边可以因式分解为，利用因式分解法解方程即可得； （2）方程可以配方为，再两边同时开平方解方程即可得． 【详解】（1）解：， ， 或， 或， 所以方程的解为． （2）解：， ， ， ， ， ， 所以方程的解为． 24．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活的选择解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用配方法解题即可； （2）利用因式分解法解题即可． 【详解】（1）解： ，； （2）解： 或 ， 题型四：公式法 25．用公式法解方程时所得到的解正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及公式法解一元二次方程，利用公式法直接求解即可得到答案，熟悉一元二次方程的常见解法是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 26．方程解的个数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题涉及绝对值方程的求解，需要根据绝对值的性质，分情况讨论去掉绝对值符号，将方程转化为一元二次方程来求解，然后判断根的个数． 【详解】解：①当时， 此时，原方程可化为， ∵，，， ∴由求根公式， 解得：或， ∵， ∴； ②当时， 此时，原方程可化为， 因式分解，得， 解得或， ∵， ∴， 综上，方程有两个根和． 故选：B． 27．关于的方程，下列解法完全正确的是（   ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以得 整理得 ，，， ， ， ， 整理得， 配方得， ， ， ， 移项得， ， 或， ， A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程，根据公式法、配方法、因式分解法解方程步骤逐项判断即可． 【详解】解：A．甲的解法错误，方程两边不能同时除以，这样会漏解； B．乙的解法错误，没有将原方程整理成一元二次方程的一般形式，所以的值错误； C．丙的解法错误，配方时，方程两边应同时加上一次项系数一半的平方，即； D．丁利用因式分解法解方程，计算正确； 故选D． 28．解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用配方法求解； （2）利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， ，； （2）解：， ， ， ， 或， ，． 29（1）解方程 ①；      ② ③；             ④； （2）小明在解关于x的方程时，过程如下： 第1步：移项，得， 第2步：变形，得， 第3步：设，即，代入上式得， 所以，即， 第4步：两边开平方，得， 第5步：代入，得，即． 你认为小明的做法从第______步开始出现错误，原因是______． 【答案】（1）①；；②无解；③；④，；（2）4，可能小于0，而负数没有平方根 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法（因式分解法、配方法）以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解法和根的判别式的应用是解题的关键． （1）①通过因式分解法，将方程转化为两个一次方程求解；②利用一元二次方程根的判别式判断方程是否有解；③先整理方程，再用因式分解法求解；④通过因式分解法求解． （2）分析小明解方程的步骤，找出错误步骤并说明原因． 【详解】①解：∵， ∴， ∴或， 解得； ②解：∵， ∴， ∴， ∴原方程无解； ③解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． ④， ， 或， 所以，； （2）小明的做法从第4步开始出现错误，原因是可能小于0，而负数没有平方根． 故答案为：4，可能小于0，而负数没有平方根． 30．用适当的方法解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1)， (2)． 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法以及公式法是解题的关键． （1）利用因式分解解方程，即可得到答案； （2）先把方程进行整理，然后利用公式法解方程，即可得到答案． 【详解】（1）解： 或 ，． （2）解： ， ， ， ． 31．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）运用公式法求解即可； （2）运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴分解因式，得， ∴， ∴． 32．解方程． (1)（因式分解法） (2)（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据因式分解法即可求解； （2）运用公式法求解即可． 【详解】（1）解： ， ， ∴或， ∴，． （2）解： ，． 题型五：换元法 33．若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则，利用换元的思想是解决问题的关键． 把方程看作关于的一元二次方程，则利用关于的方程的两根为得到，然后利用根与系数的关系即可解答本题． 【详解】解：把方程看作关于的一元二次方程， 设关于的方程的两根为， 则方程的两根为， 关于的方程的两根之和为，两根之积为， ， ． 故选：D． 34．关于x的方程的解是，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．无实数解 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，理解一元二次方程的结构相同，则解相同是解题的关键．通过换元法，将新方程转化为原方程的形式，从而利用已知解推导出新解． 【详解】解：∵原方程 的解为 ，， ∴令新方程 中的 ，则方程变为 ，与原方程形式相同， ∴新方程的 解与原方程的 解相同，即 或 ， ∴ 或， ∴此时新方程解得 或 ； 故选：B ． 35．关于的一元二次方程的两根分别为，3，则关于的一元二次方程的两根分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查解一元二次方程，由题意知或，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根分别为，3， 一元二次方程中，或， 则关于的一元二次方程中，或， 解得，， 故选：C． 36.已知方程的解是，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查换元法解方程，根据题意，得到方程的解为或，进行求解即可． 【详解】解：∵方程的解是， ∴方程的解为或， 解得：； 故选：B． 37．若关于的方程（其中、均为常数）的解是，，则关于的方程的解是 ． 【答案】， 【分析】此题考查换元法解一元二次方程，利用换元法转化方程是解题的关键； 把看成一个整体，根据方程的解，解方程即可． 【详解】令，则方程可化为， 关于的方程的解是，， 或， 解得，． 故答案为：，． 38．若实数满足 ，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求解方法为解题关键．设，则原方程变形为，运用因式分解法解得，然后确定的值． 【详解】解：设，则， ，即， 解得：， ， ． 故答案为：1． 39．关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是 ． 【答案】，/， 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，首先把方程 ，整理成的形式，根据方程的解是，，可知方程的解是，，从而求出方程的解． 【详解】解：， 整理得：， 方程的解是，， 方程的解是，， 解得：，． 故答案为：， ． 40．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)，． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，包括因式分解法和求根公式法，熟练掌握一元二次方程的求解方法和求根公式是解题的关键． （1）通过将方程左侧提取公因式的方式，将方程转化为两个一元一次方程求解． （2）采用求根公式法进行求解． 【详解】（1）解：， ， ∴， （2）解：， ∵，，， ∴， 即， ∴，． 41．阅读下面的材料： 解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，则，∴原方程可化为，解得，当时， ，当时，．∴原方程有四个根是： ， ，，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． (1)解方程：． (2)已知实数a，b满足，试求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，代数式求值，熟练掌握换元法是解题的关键． （1）设，则，整理，得，解关于y的一元二次方程，然后解关于x的一元二次方程即可求解； （2）设，则，整理得，解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：设，则， 整理得：， 解得：， 当，即时， 解得； 当，即时， 解得． 综上，原方程的解为，． （2）设，则， 整理得：， 解得： (舍去)， ∴． 42．解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，公式法解一元二次方程，换元法解一元二次方程． （1）对原方程进行整理，分解因式，求解即可； （2）对原方程进行整理，用公式法解方程即可； （3）设，则，对原方程进行转化，整理可得，解方程可得的值，代入，即可得原方程的解． 【详解】（1）解：∵ 去括号、移项得， 分解因式得， ∴或， ∴， （2）解： 整理可得， ∴， ∴， ∴， ∴， （3）解：设，则， 原方程化为， 整理得， 解得，， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴， 题型六：解分式方程（化为一元二次方程） 43．已知实数、满足，试求的值． 解：设， 则原方程可化为，即： 解得． ∵， ∴ 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化，根据以上阅读材料为内容，解决下列问题： (1)若四个连续正整数的积为120，直接写出这四个连续的正整数． (2)已知实数、满足，求的值． 【答案】(1)这四个连续的正整数为，，，； (2)的值为． 【分析】本题考查平方差公式，解题的关键是正确理解“换元法”． （1）设这四个连续的正整数为，，，，，根据题意列方程，用换元法求解即可； （2）设，根据题意列方程，用换元法求解即可． 【详解】（1）解：设这四个连续的正整数为，，，，为正整数， 根据题意可得， ∴， 设，，则， 解得或（舍去）， ∴，， ∴， ∴，，， 答：这四个连续的正整数为，，，． （2）解：设，，则， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 答：的值为． 44．解方程： 【答案】，， 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握换元法，是解题的关键．设，，则原方程可变为，整理得出，即可得出或，再分别解方程和，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】解：， 设，，则原方程可变为： ， ， ， ， ， ∴或， 当时，，解得：； 当时，，解得：或， 检验：把，，分别代入或中，和均不等于零， ∴原方程的解为：，，． 45．解方程：． 【答案】或 【分析】本题考查了解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．方程两边同乘以，化成一元二次方程，利用因式分解法解方程求出的值，再代入进行检验即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 因式分解，得， 解得或， 经检验，或都是分式方程的解， 所以方程的解为或． 46．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据解分式方程的步骤进行计算即可； （2）根据解分式方程的步骤进行计算即可． 【详解】（1）解：原方程可化为：， 解得：， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为：； （2）解：去分母，得：， ， ， ， 解得：或， 检验：当时， ；当时，（舍去）； ∴原分式方程的解为：． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题04 一元二次方程的六大解法 题型归纳 题测型一：直接开平方法 题型二：因试分解法 题型三：配方法 题型四：公式法 题型五：换元法 题型六：解纷式方程（化为一元二次方程） 题型专练 题型一：直接开平方法 1.解方程：(x+22-1=0 2.解下列方程： (1)x2-4=0: (2(2x-3)2=7. 3解方程：x2-3=0 4.用直接开平方法解下列方程： x--}-0, (2x-3)2=(5-2x)2. 1/9 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5.直接开平方法解下列方程： (1)5x2=20; (2)(2x-3)2-16=0. 6.用直接开平方法解下列方程： (1)2(x-1)2=18 (2)3(x+102-75=0. 7.解方程：48-3(x-2)2=0. 题型二：因式分解法 8.用适当的方法解方程：y2-9=0. 9.解方程： (1)x2=6x: (2)x2-4x-5=0. 10.解方程： (1)x-3)2=25: (2)x2-6x+5=0. 11.计算 习题课上老师给了一道方程：x2+2x=3x+6, 嘉嘉的解法 琪琪的解法 2/9 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 原方程可化为：x2-x-6=0…第一步 原方程可化为：x(x+2)=3(x+2)…第一步 ∴.(x-2)x+3)=0…第二步 两边都除以(x+2).第二步 x=2,x2=-3第三步 x=3…第三步 (1)她们的解法都是错误的，嘉嘉从第_步开始错误，琪琪从第_步开始错误； (2)写出方程正确的解答过程. 12.解方程：xx-3=3-x 13.解下列方程： (1)x2-9=0 (2)x2-2x-8=0 题型三：配方法 14.用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变形为() A.(x+1)2=6 B.（x-1)2=6 C.(x+22=9 D.(x-22=9 15.下列方程最适合用配方法求解的是() A.x2-3x=0 B.x2-2x-1=0 c.2(x-1)2=6 D.2x2-3x+1=0 16.用配方法解一元二次方程x2-4=2x时，此方程可变形为() A.（x-1)2=3B.(x-22=2 C.(x-2)2=6x D.(x-12=5 17.方程x2-2x-4=0经过配方法化为(x+a2=b的形式，正确的是() A.(x-12=5 B.（x+1)2=5 c.(x-1)2=4 D.（x+12=25 18.已知方程x2-6x+g=0可以配方成(x-p)2=3的形式，那么x2-6x+9=4可以配方 成 3/9 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 19.若关于x的一元二次方程x2-6x-5=0可配成(x+p2=g的形式，p+2q=一 20.解方程(3x-22=(2x-32. 21.解方程x2+6x+1=0. 22.解方程： (1)2x2-4x-1=0; (2)2x-12=4x-2. 23.解方程： (1)x2-3x+2=0. (2）x2+4x-1=0. 24.解方程： (1)x2-6x+1=0: (2)(x-2)2=3(x-2). 题型四：公式法 25.用公式法解方程4x2-12x=3时所得到的解正确的是（ A.x=-3±v6 B.x=3±v6 2 2 4/9 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.x=-3±2V5 2 0.x=3t25 2 26.方程x2-2x-3=0解的个数() A.1 B.2 C.3 D.4 27.关于x的方程x(x-)=3(x-1),下列解法完全正确的是() 甲 乙 丙 整理得x2-4x=-3 整理得x2-4x=-3, 移项得 :a=1,b=-4,c=-3, 配方得 x(x-1)-3(x-1)=0, 两边同时除以(x-)得 .b2-4ac=28, x2-4x+2=-1, (x-3)(x-1)=0, x=3 .(x-2)2=-1, .X= 4±28=2±7， x-3=0或x-1=0, 2 .x-2=±1， x=2+V7,x2=2-√7 x=1,x2=3 x=1,x2=3 A.甲 B.乙 C.丙 D. 28.解方程： (1)x2-2x-4=0 (2)4x-3)=x(x-3 29(1)解方程 ①x-32+2(x-3)=0: ②x2-4x+5=0 ③xx-3=-2; ④x2-6x+5=0; (2)小明在解关于x的方程x2-6x+c=0时，过程如下： 第1步：移项，得x2-6x=-c, 第2步：变形，得xx-6=-c, 第3步：设m=x+x-6=x-3,即x=m+3,代入上式得(m+3m-3)=-c, 2 5/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以m2-9=-c,即m2=9-c, 第4步：两边开平方，得m=±9-c, 第5步：代入x=m+3,得x=3±V9-c,即x=3+V9-c,x,=3-V9-c. 你认为小明的做法从第步开始出现错误，原因是· 30.用适当的方法解下列方程： (1)xx-2)=4x-2); (2)3x2+52x+1=0 31.解方程： (1)x2+2x-5=0 (2）2x2-x-6=0 32.解方程。 (1)3x2+2x-1=0(因式分解法) (2)x2+x-3=0（公式法) 题型五：换元法 33.若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之和为2，两根之积为-3，则关于y的方程 a(y-2)+b(y-2)+c=0的两根之积为() A.-1 B.1 C.-5 D.5 6/9 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 34.关于x的方程a(x+m2+b=0的解是x1=-3,x2=2,则方程a(x+m+12+b=0的解是() A.x=-2,x2=3B.x=-4,X3=1C.X=4,x2=-1D.无实数解 35.关于x的一元二次方程a(x-h)2=k(a≠0)的两根分别为-1,3，则关于x的一元二次方程 a(2x-h+1)2=k的两根分别为() A.x1=-2,x2=6 B.x=0,x2=2 C.x1=-1,x2=1 D.x=0,x2=-1 36.已知方程x2+2x-3=0的解是x,=1,x3=-3,则方程(x+3)+2(x+3-3=0的解是（) A.x=2,x,=6 B.x1=-2,x2=-6 C.x1=-1,x2=3 D.x=4,x2=0 37.若关于x的方程x2+x-k=0（其中h、k均为常数)的解是x=2,x2=-3,则关于y的方程 (-y+2)+h(-y+2)-k=0的解是 38.若实数xy满足(x2+y2)(x2+y2+3)=4，则x2+y2的值为一 39.关于的方程a(x+m)+b=0的解是x=-5,x2=3(a、b、m均为常数，a≠0)，则方程 a(x+m-2+b=0的解是_ 40.解方程： (1)x2-4x=0; (2)3x2-4x-1=0. 7/9 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 41.阅读下面的材料： 解方程x4-7x2+12=0这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y,则 x4=y2,.原方程可化为：y2-7y+12=0,解得，=3，y2=4,当y=3时，x2=3,x=±V3,当y=4时， x2=4,x=士2..原方程有四个根是：x,=V3,x2=-3,=2,x4=-2,以上方法叫换元法，达到了 降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题. (1)解方程：(x2+x)2-5(x2+x)+4=0. (2)已知实数a,b满足(a2+b2)2-3(a2+b2)-10=0,试求a2+b的值， 42.解下列方程： (1)xx+5)=24; (2y+3)1-3y)=1+2y2: (3)1997-x)2+(x-1996)2=1. 题型六：解分式方程（化为一元二次方程） 43.已知实数m、n满足2m2+n2+12m2+n2-1=80,试求2m2+n2的值 解：设2m2+n2=y, 则原方程可化为y+1)(y-1=80,即y2=81: 解得y=9. :2m2+n2≥0， .2m2+n2=9 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中， 8/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化，根据以上阅读材 料为内容，解决下列问题： (1)若四个连续正整数的积为120，直接写出这四个连续的正整数. (2)已知实数x、y满足2x2+2y2+3(2x2+2y2-3=27,求x2+y2的值. 44.解方程：2x+3+、44-x+3 42x+334-x 45.解方程：x+1=2x一 46.解分式方程： 2)5+1=3-x1 4x-44-x2 9/9