专题09 相似三角形实际问题五大类型（高效培优专项训练）数学华东师大版九年级上册

专题09 相似三角形实际问题五大类型 题型一：利用影子测量物体的高度 题型二：借助标杆或直尺测量物体的高度 题型三：利用镜子的反射测量物体的高度 题型四：利用相似测量河的宽度 题型五：综合问题 题型一：利用影子测量物体的高度 1．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底在同一水平地面上的两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，，，在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察点，，，三点也在一直线上，且，，，，在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度．     2．小峰想用镜子测量一棵松树的高度，如图所示，把镜子放在点处（镜子的大小忽略不计），人站在点时，正好在镜子中看到树顶点，但由于树旁有一条河，不能直接测量镜子与树之间的距离，于是小峰从点向后退到点处，此时他发现自己的影子和树的影子于地面点处重合．已知小峰身高为1.6米（忽略头顶到眼睛的距离）．经过测量米，米，米，请你用所学的知识，帮小峰求出松树的高． 3．如图是小彬晚上在路灯下散步的示意图，图中线段表示站立在路灯下的小彬，线段表示直立在路边的灯杆，点表示路灯的位置．在同一直线上） (1)在小彬由沿所在的方向行走到的过程中，他在地面上的影子的变化情况为_____． (2)请你在图中画出小彬站在处的影子． (3)当小彬走到处时，身高（）为的小彬的影长为，路灯的高度是多少米？ 题型二：借助标杆或直尺测量物体的高度 4．如图所示，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先从B处出发与成角方向，向前走80米到C处立一标杆，然后方向不变向前走50米至D处，在D处转，沿方向走30米，到E处，使A（目标物），C（标杆）与E在同一条直线上，那么可测得A，B间的距离是多少？ 5．如图是古代测量工具“水平真尺”的示意图，在尺子的表面有一条凹槽用来盛水，尺子两端各有一个小孔，通过这两个小孔去观察远处的目标，如果两个小孔和水面在同一水平线上，那么通过小孔看到的远处目标也在同一水平线上．如图，小明利用自制水平真尺测量池塘对面楼房的高度．小明在B处安置一根与地面垂直的标杆，利用水平真尺在点A处测得点A，B，楼房底端点C在同一水平线上，此时点A，标杆上的点D，楼房顶端点E恰在同一直线上．小明往后退5米到点F处，利用水平真尺测得点F，B，C在同一水平线上，此时点F，标杆顶点G，楼房顶端点E在同一直线上．测量得到米，米，米．请据此计算出楼房的高度． 6．九年级数学项目式学习小组通过学习知道太阳光是平行光，可以借助太阳光线构成两个相似三角形，来计算出一些没办法直接测量的物体的高度．学习小组利用可伸缩的标杆和卷尺展开了测量物体高度的学习． (1)如图1，若垂直于地面的标杆米，它的影长米，同一时刻，旗杆的影长米，则旗杆的高度为______米； (2)如图2，学习小组计划测量运动场围墙外的电线杆的高度，但受围墙的阻碍，没办法直接测量电线杆的影长．同学们进行了如下操作：①在某一时刻，垂直于地面的2米标杆的端点C的影子恰好与电线杆的端点A的影子重合于点E，测得米；②把标杆缩短为1.2米，记作，过了一段时间，标杆的端点D的影子恰好与电线杆的端点A的影子重合于点F，测得米．请求出电线杆的高度． 题型三：利用镜子的反射测量物体的高度 7．司马迁是我国西汉伟大的史学家，其雕像位于韩城市司马迁祠内．小明和小华想要测量司马迁雕像的高度，于是带着测量工具来到这座雕像前．如图，由于雕塑底座周围的阶梯无法直接测量距离，经工作人员介绍雕像底部到地面的高度为，于是他们设计了如下测量方案：小华在与底座底部B处同一水平面的地面点C处放置一块平面镜（平面镜厚度忽略不记），他从点C沿方向后退，当退行到D处时，恰好在镜子中看到司马迁雕像顶端A的像；此时小华原地不动，小明发现小华影子的顶点F恰好与司马迁雕像影子的顶点重合，此时测得为，小华的身高为（忽略头顶到眼睛的距离）．已知，，点B，C，D，F共线．请根据以上所测数据，计算司马迁雕像的高度．（结果保留整数） 8．周末，小辰和笑笑想利用所学的数学知识测量某古塔的高度．如图，他们在距离塔的处放置了一根垂直于地面的标杆，其高度为，接着小辰笔直地站在处，笑笑在和之间找到一个合适的位置，并在处放置了一面小镜子，此时小辰恰好看到镜子里点和点的像重合．已知点，，，在同一条直线上，小辰的眼睛离地面的高度，．求古塔的高度． 9．2024年10月1日清晨，太原五一广场升国旗仪式隆重举行．逾10万名市民群众和各地游客满怀爱国情，观礼升旗仪式，同庆中华人民共和国成立75周年．假日过后，某综合实践活动小组同学们对该旗杆高度进行了测量，为减小测量误差，在测量时，对每个数据都分别测量了多次，并取它们的平均值作为测量结果．以下是他们测量的数据：如图所示，线段表示旗杆，，镜子放在点处，人的眼睛与地面距离，在测量过程中保证人的眼睛恰好能在镜子中看到旗杆的顶端，．已知图中点在同一竖直平面内，三点在同一水平直线上．请根据上述数据，求旗杆的高度． 题型四：利用相似测量河的宽度 10．如图，点是河对岸上一点，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，且，．若米，米，米，求河的宽度． 11．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点，再在河岸的这一边选出点和点．分别在，的延长线上取点，，使得．经测量，米，米，且点到河岸的距离为米．已知于点，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度． 12．校园周边有一河流，小明想通过自己所学的数学知识计算河流的宽度．如图，河流两侧河岸平行，他在河的对岸选定一个目标作为点A，再在学校一侧的河岸边选出点B和点C，分别在的延长线上取点D、E，连接，使得．经测量，米，米，且点E到河岸的距离为7.5米．过点A作于点F（即为河流的宽度），请你根据提供的数据计算河流的宽度． 题型五：综合问题 13．如图所示，在平行四边形中，，，点E是的中点，将绕点E顺时针旋转得到，过点E作的角平分线，角平分线交平行四边形的边于点P． (1)连接，求证：≌； (2)在旋转过程中，求点与点D之间的最小距离； (3)在旋转过程中，若点落在的内部（不包含边界），求的取值范围． 14．如图，中，，，，点，分别在边，上，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且． （1）求的长； （2）点是射线上的一个动点，连接，，，的面积与的面积相等， ①当点在线段上时，求的长； ②当点在线段的延长线上时，________； （3）将直线平移，平移后的直线与直线，直线分别交于点和点，以线段为一边作正方形，点与点在直线两侧，连接当时，请直接写出的值． 15．将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，2），点O（0，0）．点M为边OA上的一个动点（点M不与点O、A重合），沿着BM折叠该纸片，得顶点O的对应点O′． （I）如图①，当点O′在边AB上时，求点O′的坐标； （II）设直线BO′与x轴相交于点F． ①如图②，当BA平分∠MBF时，求点F的坐标； ②当OM=时，求点F的坐标（直接写出结果即可） 16．已知，在矩形ABCD中，BC＝2，连接BD，把△ABD绕点B顺时针旋转后得到△FBE，旋转角度小于360°． （1）如图1，当点E在BC的延长线上，且直线EF过点D，求AB的长． （2）若AB＝4，如图2，取AB边的中点P，过点P作直线EF的垂线PH，垂足为H． ① 若PH交线段BD于点G，当△BPG为等腰三角形时，求BG的长； ② 直接写出PH长的取值范围． 17．如图，中，，为上一个动点，过作，且与交于，与交于 若，，则________．（如图） 若，，求的值，写出求解过程．（如图） 若，，则________．（如图） 18．如图，已知正方形ABCD，点E为AB上的一点，，交BD于点F． (1)如图1，直按写出的值_______； (2)将△EBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE、DF，猜想DF与AE的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，当BE=BA时，其他条件不变，△EBF绕点B顺时针旋转，设旋转角为，当为何值时EA=ED?请在图3或备用图中画出图形并求出的值． 19．如图，在梯形中，，，，点、分别在线段、上，．的延长线交边于点，交于点、其延长线交的延长线于点． （1）求证：； （2）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出它的定义域； （3）联结，当与相似时，求的长． 20．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG． （1）求证：四边形EFDG是菱形； （2）求证EG2＝GF•AF； （3）若AG＝3，EG＝，求BE的长． 21．在矩形ABCD的CD边上取一点E，将沿BE翻折至的位置． （1）如图1，当点F落在矩形ABCD内部时，连接CF并延长，交AD于点G，若，，，则GF的长度为________________； （2）如图2，当点C恰好落在AD边上点F处时，若，且，求BC的长； （3）如图3，当点C恰好落在AD边上点F处时，延长EF，与的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当时，求的值． 22．定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形． （1）矩形 垂等四边形（填 “是”或“不是”）； （2）如图1，在正方形中，点、、分别在、、上，四边形是垂等四边形，且，． ①求证：； ②若，求的值； （3）如图2，在中，， 以为对角线，作垂等四边形．过点作的延长线的垂线，垂足为，且与相似，则四边形的面积是 ． 23．阅读理解：如图1，在△ABC中，当DE∥BC时可以得到三组成比例线段：① ；② ；③ ．反之，当对应线段成比例时也可以推出DE∥BC． 理解运用：三角形的内接四边形是指顶点在三角形各边上的四边形． （1）如图2，已知矩形DEFG是△ABC的一个内接矩形，将矩形DEFG沿CB方向向左平移得矩形PBQH，其中顶点D、E、F、G的对应点分别为P、B、Q、H，在图2中画出平移后的图形；     （2）在（1）所得的图形中，连接CH并延长交BP的延长线于点R，连接AR．求证：AR∥BC；   （3）如图3，某小区有一块三角形空地，已知△ABC空地的边AB＝400米，BC＝600米，∠ABC＝45°；准备在△ABC内建一个内接矩形广场DEFG（点E、F在边BC上，点D、G分别在边AB和AC上），三角形其余部分进行植被绿化，按要求欲使矩形DEFG的对角线EG最短，请在备用图中画出使对角线EG最短距离（不要求证明）． 24．在中与中，，，将绕点顺时针旋转，连接，点分别是的中点，连接． （1）观察猜想 如图1，当点与点重合时，与的数量关系是__________，位置关系是__________； （2）类比探究 当点与点不重合时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请仅就图2的情形给出证明；如果不成立，请说明理由． （3）问题解决在旋转过程中，请直接写出的面积的最大值与最小值． 25．如图，已知正方形，点E在的延长线上，连结交对角线于点G，交于点F． （1）若，求的值； （2）求证：； （3）若，求n关于m的关系式． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 相似三角形实际问题五大类型 题型一：利用影子测量物体的高度 题型二：借助标杆或直尺测量物体的高度 题型三：利用镜子的反射测量物体的高度 题型四：利用相似测量河的宽度 题型五：综合问题 题型一：利用影子测量物体的高度 1．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底在同一水平地面上的两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，，，在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察点，，，三点也在一直线上，且，，，，在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度．     【答案】该东塔的高度为． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，设，则，先证，推出，再证，推出，进而可得，然后解方程即可求解，掌握相似三角形的应用是解题的关键． 【详解】解：设，则， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 同理可证， ∴，即， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴， ∴该东塔的高度为． 2．小峰想用镜子测量一棵松树的高度，如图所示，把镜子放在点处（镜子的大小忽略不计），人站在点时，正好在镜子中看到树顶点，但由于树旁有一条河，不能直接测量镜子与树之间的距离，于是小峰从点向后退到点处，此时他发现自己的影子和树的影子于地面点处重合．已知小峰身高为1.6米（忽略头顶到眼睛的距离）．经过测量米，米，米，请你用所学的知识，帮小峰求出松树的高． 【答案】9.6米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明，，根据相似三角形的性质得出，，然后解方程即可求解． 【详解】解：根据题意，得，，， ∴，， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：松树的高9.6米． 3．如图是小彬晚上在路灯下散步的示意图，图中线段表示站立在路灯下的小彬，线段表示直立在路边的灯杆，点表示路灯的位置．在同一直线上） (1)在小彬由沿所在的方向行走到的过程中，他在地面上的影子的变化情况为_____． (2)请你在图中画出小彬站在处的影子． (3)当小彬走到处时，身高（）为的小彬的影长为，路灯的高度是多少米？ 【答案】(1)先变短后变长； (2)见解析 (3)路灯的高度是米． 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据光是沿直线传播的道理分析即可； （2）连接并延长交直线于点，线段即为小亮站在处的影子； （3）连接并延长交直线于点，利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：在小彬由沿所在的方向行走到的过程中，他在地面上的影子的变化情况为先变短后变长， 故答案为：先变短后变长； （2）解：如图，线段即为所求作影子； （3）解：如图，连接并延长交直线于点， 由题意可知，，，， ， ， ， ， ， ， 即路灯的高度是米． 题型二：借助标杆或直尺测量物体的高度 4．如图所示，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先从B处出发与成角方向，向前走80米到C处立一标杆，然后方向不变向前走50米至D处，在D处转，沿方向走30米，到E处，使A（目标物），C（标杆）与E在同一条直线上，那么可测得A，B间的距离是多少？ 【答案】48米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．先根据已知条件求出，再根据相似三角形的对应边成比例，解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：米， ∴的长为48米． 5．如图是古代测量工具“水平真尺”的示意图，在尺子的表面有一条凹槽用来盛水，尺子两端各有一个小孔，通过这两个小孔去观察远处的目标，如果两个小孔和水面在同一水平线上，那么通过小孔看到的远处目标也在同一水平线上．如图，小明利用自制水平真尺测量池塘对面楼房的高度．小明在B处安置一根与地面垂直的标杆，利用水平真尺在点A处测得点A，B，楼房底端点C在同一水平线上，此时点A，标杆上的点D，楼房顶端点E恰在同一直线上．小明往后退5米到点F处，利用水平真尺测得点F，B，C在同一水平线上，此时点F，标杆顶点G，楼房顶端点E在同一直线上．测量得到米，米，米．请据此计算出楼房的高度． 【答案】楼房的高度为10米 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，解题关键是根据相似三角形的性质“对应边成比例”，列方程求解． 根据题意，可分别证明，，利用相似三角形对应边成比例，分别得到与的关系，进而求解． 【详解】解：楼房和标杆均与地面垂直， ， ， ， ，即， 整理，得， ，， ， ， 即， 又， 整理，得， 解得， 答：楼房的高度为10米． 6．九年级数学项目式学习小组通过学习知道太阳光是平行光，可以借助太阳光线构成两个相似三角形，来计算出一些没办法直接测量的物体的高度．学习小组利用可伸缩的标杆和卷尺展开了测量物体高度的学习． (1)如图1，若垂直于地面的标杆米，它的影长米，同一时刻，旗杆的影长米，则旗杆的高度为______米； (2)如图2，学习小组计划测量运动场围墙外的电线杆的高度，但受围墙的阻碍，没办法直接测量电线杆的影长．同学们进行了如下操作：①在某一时刻，垂直于地面的2米标杆的端点C的影子恰好与电线杆的端点A的影子重合于点E，测得米；②把标杆缩短为1.2米，记作，过了一段时间，标杆的端点D的影子恰好与电线杆的端点A的影子重合于点F，测得米．请求出电线杆的高度． 【答案】(1)12 (2)10米 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定的应用，解题的关键是掌握相似三角形的性质． （1）首先证明出，得到，然后代数求解即可； （2）证明出，得到，推出，然后表示出，同理证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴电线杆的高度为10米． 题型三：利用镜子的反射测量物体的高度 7．司马迁是我国西汉伟大的史学家，其雕像位于韩城市司马迁祠内．小明和小华想要测量司马迁雕像的高度，于是带着测量工具来到这座雕像前．如图，由于雕塑底座周围的阶梯无法直接测量距离，经工作人员介绍雕像底部到地面的高度为，于是他们设计了如下测量方案：小华在与底座底部B处同一水平面的地面点C处放置一块平面镜（平面镜厚度忽略不记），他从点C沿方向后退，当退行到D处时，恰好在镜子中看到司马迁雕像顶端A的像；此时小华原地不动，小明发现小华影子的顶点F恰好与司马迁雕像影子的顶点重合，此时测得为，小华的身高为（忽略头顶到眼睛的距离）．已知，，点B，C，D，F共线．请根据以上所测数据，计算司马迁雕像的高度．（结果保留整数） 【答案】司马迁雕像的高度约为 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据垂直的定义得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为， ∴， 答：司马迁雕像的高度约为． 8．周末，小辰和笑笑想利用所学的数学知识测量某古塔的高度．如图，他们在距离塔的处放置了一根垂直于地面的标杆，其高度为，接着小辰笔直地站在处，笑笑在和之间找到一个合适的位置，并在处放置了一面小镜子，此时小辰恰好看到镜子里点和点的像重合．已知点，，，在同一条直线上，小辰的眼睛离地面的高度，．求古塔的高度． 【答案】古塔的高度为30米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：古塔的高度为30米． 9．2024年10月1日清晨，太原五一广场升国旗仪式隆重举行．逾10万名市民群众和各地游客满怀爱国情，观礼升旗仪式，同庆中华人民共和国成立75周年．假日过后，某综合实践活动小组同学们对该旗杆高度进行了测量，为减小测量误差，在测量时，对每个数据都分别测量了多次，并取它们的平均值作为测量结果．以下是他们测量的数据：如图所示，线段表示旗杆，，镜子放在点处，人的眼睛与地面距离，在测量过程中保证人的眼睛恰好能在镜子中看到旗杆的顶端，．已知图中点在同一竖直平面内，三点在同一水平直线上．请根据上述数据，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，先证明，再利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：， ∴． 又， ∴． ． ， ． ． 答：旗杆的高度为． 题型四：利用相似测量河的宽度 10．如图，点是河对岸上一点，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，且，．若米，米，米，求河的宽度． 【答案】河的宽度为米 【分析】本题考查了相似三角形的应用; 设宽度为米，证明得出，代入数据，即可求解． 【详解】解：设宽度为米， ， ， ， 又米，米，米， ， 解得， 答：河的宽度为米 11．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点，再在河岸的这一边选出点和点．分别在，的延长线上取点，，使得．经测量，米，米，且点到河岸的距离为米．已知于点，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度． 【答案】米 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，两直线平行同位角相等，垂直于同一直线的两直线平行等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过点作于点，可证得，于是可得，即，进而可证得，于是可得，即，据此即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴桥的长度为米． 12．校园周边有一河流，小明想通过自己所学的数学知识计算河流的宽度．如图，河流两侧河岸平行，他在河的对岸选定一个目标作为点A，再在学校一侧的河岸边选出点B和点C，分别在的延长线上取点D、E，连接，使得．经测量，米，米，且点E到河岸的距离为7.5米．过点A作于点F（即为河流的宽度），请你根据提供的数据计算河流的宽度． 【答案】河流的宽度为10米 【分析】本题考查的是相似三角形判定与性质的应用，过点E作，垂足为H，先证，得出，再证得出，求出结论． 【详解】解：过点E作，垂足为H， ， ， ， ， ． ，， ． ， ， ，即 ． 答：河流的宽度为10米． 题型五：综合问题 13．如图所示，在平行四边形中，，，点E是的中点，将绕点E顺时针旋转得到，过点E作的角平分线，角平分线交平行四边形的边于点P． (1)连接，求证：≌； (2)在旋转过程中，求点与点D之间的最小距离； (3)在旋转过程中，若点落在的内部（不包含边界），求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理求解三角形，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及动点问题中距离与取值范围的探究．熟练掌握全等三角形的判定与相似三角形的判定与性质是解决本题的关键． （1）由边边边的判定方法证明和全等即可； （2）根据“两点之间线段最短”，即当点落在上时，点与点D之间的距离最小，结合勾股定理求解即可； （3）分别考虑点落在和上这两种边界情况，点落在上时，利用相似三角形的性质求出，进而得到；点落在上时，利用等腰三角形和角的关系得到平行，从而可求解到，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵点E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴≌； （2）解：如图， 当点落在上时，点与点D之间的距离最小， ∵，， ∴， 根据勾股定理得， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴点与点D之间最小距离为； （3）解：当点落在上时， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴∽， ∴，即， 解得， ∴， 当点落在上时，连接交于点F，如图， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点落在内部（不含边界）， ∴的取值范围是． 14．如图，中，，，，点，分别在边，上，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且． （1）求的长； （2）点是射线上的一个动点，连接，，，的面积与的面积相等， ①当点在线段上时，求的长； ②当点在线段的延长线上时，________； （3）将直线平移，平移后的直线与直线，直线分别交于点和点，以线段为一边作正方形，点与点在直线两侧，连接当时，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）． 【分析】（1）如图1中，连接DF，在Rt△DCF中，利用勾股定理，构建方程即可解决问题． （2）①如图2-1中，当DG∥BC时，S△DGC=S△DGB．设BG=x．利用平行线分线段成比例定理即可解决问题． ②如图2-2中，当点G在BA的延长线上时，证明AB=2AG时，满足条件． （3）如图3中，当PD∥BC时，作QK⊥BC于K．利用全等三角形以及相似三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：（1）如图1中，连接DF， ∵将△ABC沿直线EF折叠，点B恰好落在AC边上的点D处 ∴DF=BF 在Rt△DCF中，DF2=DC2+CF2， ∴（6-CF）2=9+CF2， ∴CF=． （2）①如图2-1中，当DG∥BC时，S△DGC=S△DGB．设BG=x． 在Rt△ACB中，AC=4，BC=6， ∴AB=， ∵DG∥BC， ∴， ∴， ∴x=． ②如图2-2中，当点G在BA的延长线上时， ∵CD=3AD， ∴S△GDC=3S△GAD， ∴当S△ADB=2S△ADG时，S△GDC=S△GBD， ∴AB=2AG， ∴AG=， ∴GB=3. 综上：GB=或； （3）如图3中，当PD∥BC时，作QK⊥BC于K． ∵四边形MNPQ是正方形， ∴易证△PDN≌△NCM≌△MKA， ∴KQ=CM=DN，KM=CN=PD， ∵△PDN∽△BCD， ∴， ∴， ∴PD=2DN， ∴CN=2DN， ∴DN=1，CN=2， ∴KQ=DN=CM=1，KM=CN=2， ∴BK=9， ∴tan∠QBC=． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了三角形的面积，正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 15．将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，2），点O（0，0）．点M为边OA上的一个动点（点M不与点O、A重合），沿着BM折叠该纸片，得顶点O的对应点O′． （I）如图①，当点O′在边AB上时，求点O′的坐标； （II）设直线BO′与x轴相交于点F． ①如图②，当BA平分∠MBF时，求点F的坐标； ②当OM=时，求点F的坐标（直接写出结果即可） 【答案】（Ⅰ）O'（，2﹣）；（Ⅱ）①F（2，0）；②F（，0） 【分析】(I) 过点O'作O'H⊥y轴于H，由折叠可知，BO'=BO=2，∠BO'H=∠BAO=45°，利用特殊角的三角函数值求出BH、O'H，从而得到O'的坐标； (II) ①由BA平分∠MBF时，得到∠OBF=60º，利用特殊角的三角函数值求出OF，即可得到点F的坐标；②先说明△FO'M∽△FOB，从而=，设F(a,0)，利用勾股定理，用含a式子表示O'F，代入=，求出a，从而得到点F的坐标. 【详解】解：(I)如图①，过点O'作O'H⊥y轴于H， 由折叠知，△BMO≌△BMO'， ∴BO'=BO=2， ∵O'H∥OA， ∴∠BO'H=∠BAO=45°， 在Rt△BO'H中，O'H=BO'•cos∠BO'H=， ∴BH=O'H=， ∴OH=OB﹣BH=2﹣， ∴O'（，2﹣）； (II)①∵BA平分∠MBF， ∴∠ABO=3∠MBA=45°， ∴∠ABF=∠MBA=15°， ∴∠OBF=∠ABO+∠ABF=60°， 在Rt△BOF中，OF=OB•tan60º=2， ∴F（2，0）； ②由折叠知，O'M=OM=，O'B=OB=2，∠MO'F=90°=∠FOB， ∵∠FO'M=∠FOB， ∴△FO'M∽△FOB， ∴=， 设F（a，0）（a＞0）， ∴OF=a， 在Rt△BOF中，BF=， ∴O'F=﹣2， ∴， ∴a=0（舍）或a=， F（，0）. 故答案为(I)O'（，2﹣）；(II)①F（2，0）；②F（，0） 【点睛】本题是几何变换综合题目，考查了折叠的性质、坐标与图形性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，难度较大. 16．已知，在矩形ABCD中，BC＝2，连接BD，把△ABD绕点B顺时针旋转后得到△FBE，旋转角度小于360°． （1）如图1，当点E在BC的延长线上，且直线EF过点D，求AB的长． （2）若AB＝4，如图2，取AB边的中点P，过点P作直线EF的垂线PH，垂足为H． ① 若PH交线段BD于点G，当△BPG为等腰三角形时，求BG的长； ② 直接写出PH长的取值范围． 【答案】见解析 【分析】（1）根据旋转得到∠ABD=∠FBE,再用三线合一性质得∠ABD=∠FBE=∠DBF=30°即可解题.（2）第一问过点P作PM⊥BD,证明△ABD∽△MBP,根据相似比,证明△BPG是等腰三角形,即可求出BG的长,第二问旋转△BAD即可. 【详解】（1）由旋转可知∠ABD=∠FBE,BD=BE, ∵四边形ABCD为矩形, ∴∠DAB=∠EFB=∠ABE=90°, ∴BF垂直平分线段DE, ∴∠DBF=∠FBE, ∴∠ABD=∠FBE=∠DBF=30° 在直角三角形DAB中,AD=BC=2, ∴BD=4,AD=2 （2）①如图所示,过点P作PM⊥BD于点M, ∵BC=AD=2,AB=4,P是AB边的中点, ∴BD=2（勾股定理）,BP=2, 又∵∠ABD=∠MBP ∴△ABD∽△MBP ∴=,即= ∴MB= ∵△BPG是等腰三角形,PM⊥BD ∴BG=2BM= ②2,以点B为旋转中心旋转△BAD,当BF在AB的右侧延长线时,PH最长=BF+BP=6 当BF与AB重合时,PH最短=AB-BP=2 【点睛】本题考查了相似三角形的应用,难度较大.通过证明相似三角形,求线段长是解题关键. 17．如图，中，，为上一个动点，过作，且与交于，与交于 若，，则________．（如图） 若，，求的值，写出求解过程．（如图） 若，，则________．（如图） 【答案】（1）1；（2）；（3）； 【分析】（1）根据四点共圆的性质以及圆周角定理求出即可； （2）过作的延长线于，作的于，连，先证，再根据相似三角形的性质与相关三角形的面积比的关系求出的值； （3）与（2）互逆. 【详解】解：∵，， ∴，，，四点共圆， ∵，， ∴， ∴， ∴； 过作的延长线于，，作的于，连， 先证， 得， 又， 即可得； 过作的延长线于， 作的于，连， 先证， 得， ∴， ∴． 【点睛】本题结合三角形的面积计算考查了相似三角形的判定和性质，其中（2）与（3）之间互为逆运算. 18．如图，已知正方形ABCD，点E为AB上的一点，，交BD于点F． (1)如图1，直按写出的值_______； (2)将△EBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE、DF，猜想DF与AE的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，当BE=BA时，其他条件不变，△EBF绕点B顺时针旋转，设旋转角为，当为何值时EA=ED?请在图3或备用图中画出图形并求出的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)画图见解析，α的值为30°或150°， 【分析】由是正方形ABCD的对角线，可知∠ABD=45°，由垂直可知，，则可求出边相等，进而可知，根据边之间的等量关系可知，故可知； 由（1）知，，，，进而可知边之间的比例关系，由旋转知，，故可证明，根据相似比可证明边之间的等量关系； （3）连接DE，CE根据边相等的条件，以及角相等的条件可知AE=DE，BE=CE，由四边形ABCD是正方形，可知，AB=BC，进而可得△BCE是等边三角形，，进而可证，即：，同理，也可证明△BCE是等边三角形，，即：． 【详解】（1）是正方形ABCD的对角线， ∴∠ABD=45°，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）， 理由：由（1）知，，，， ， 由旋转知，， ， ， ； （3）如图3，连接DE，CE ∵EA=ED， ∴点E在AD的中垂线上， ∴AE=DE，BE=CE， ∵四边形ABCD是正方形， ，AB=BC， ， ∴△BCE是等边三角形， ， ，即：， 如图4，同理，△BCE是等边三角形， ，即：， 故答案为：30°或150°． 【点睛】本题考查图形的旋转变换，相似三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，等边三角形的性质，能够根据题意将变换后的图像画出来并构造适合的辅助线是解决本题的关键． 19．如图，在梯形中，，，，点、分别在线段、上，．的延长线交边于点，交于点、其延长线交的延长线于点． （1）求证：； （2）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出它的定义域； （3）联结，当与相似时，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）y＝(0＜x≤9)；（3）3或． 【分析】（1）由AD∥BC知，，结合DB=DC=15，DE=DF=5知，从而得，据此可得答案； （2）作DP⊥BC，NQ⊥AD，求得BP=CP=9，DP=12，由知BG=CH=2x，BH=18+2x，根据得，即DN＝，再根据知NQ＝，由三角形的面积公式可得答案； （3）分∠ADN=∠FGH和∠ADN=∠GFH两种情况分别求解可得． 【详解】解：（1）∵AD∥BC， ∴，． ∵DB=DC=15，DE=DF=5， ∴， ∴， ∴BG=CH． （2）过点D作DP⊥BC，过点N作NQ⊥AD，垂足分别为点P、Q． ∵DB=DC=15，BC=18， ∴BP=CP=9，DP=12． ∵， ∴BG=CH=2x， ∴BH=18+2x． ∵AD∥BC， ∴， ∴， ∴， ∴DN＝． ∵AD∥BC， ∴∠ADN=∠DBC， ∴sin∠ADN=sin∠DBC， ∴， ∴NQ＝． ∴y＝AD•NQ＝x•(0＜x≤9)． （3）∵AD∥BC， ∴∠DAN=∠FHG． （i）当∠ADN=∠FGH时， ∵∠ADN=∠DBC， ∴∠DBC=∠FGH， ∴BD∥FG， ∴， ∴， ∴BG=6， ∴AD=3． （ii）当∠ADN=∠GFH时， ∵∠ADN=∠DBC=∠DCB， 又∵∠AND=∠FGH， ∴△ADN∽△FCG． ∴， ∴x•(18−2x)＝ •10，整理得x2-3x-29=0， 解得x＝，或x＝（舍去）． 综上所述，当△HFG与△ADN相似时，AD的长为3或． 【点睛】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质、分类讨论思想的运用等知识点． 20．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG． （1）求证：四边形EFDG是菱形； （2）求证EG2＝GF•AF； （3）若AG＝3，EG＝，求BE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF； （2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系； （3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD-GH求解即可． 【详解】（1）证明：∵GE∥DF， ∴∠EGF=∠DFG． ∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF， ∴∠DGF=∠DFG． ∴GD=DF． ∴DG=GE=DF=EF． ∴四边形EFDG为菱形． （2）证明：如图1所示：连接DE，交AF于点O． ∵四边形EFDG为菱形， ∴GF⊥DE，， ∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA， ∴△DOF∽△ADF． ∴，即DF2=FO•AF． ∵， ∴； （3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H． ∵， ∴，整理得：FG2+3FG-10=0． 解得：FG=2，FG=-5（舍去）． ∵ ∴ ∵GH⊥DC，AD⊥DC， ∴GH∥AD． ∴△FGH∽△FAD． ∴，即， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO•AF是解题答问题（2）的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题（3）的关键． 21．在矩形ABCD的CD边上取一点E，将沿BE翻折至的位置． （1）如图1，当点F落在矩形ABCD内部时，连接CF并延长，交AD于点G，若，，，则GF的长度为________________； （2）如图2，当点C恰好落在AD边上点F处时，若，且，求BC的长； （3）如图3，当点C恰好落在AD边上点F处时，延长EF，与的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当时，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）设CF交BE于点H，利用勾股定理求得，证，利用相似三角形的性质求出的长，由翻折得，求得，最后； （2）由翻折和矩形的性质证出，利用相似三角形的性质运算求出的长，由线段的数量关系得到，利用勾股定理求得的长，再由计算即可； （3）过点作于点，证出，，利用相似三角形的比值关系和角平分线的性质分别用含和的式子表示出，，的长，利用勾股定理可得到，代入后可得到与的数量关系，即可用含的式子表示出，再利用比值关系进行比较即可． 【详解】（1）设CF交BE于点H， ∵四边形为矩形 ∴， ∴ 由翻折可得：， ∴为的中垂线 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 由翻折得 ∴ ∴ 故答案为： （2）∵将沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处 ∴， 又∵矩形ABCD中， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （3）过点作于点 ∵ ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴，设 ∵平分，， ∴，，设，则 ∵ ∴ 解得 ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查了矩形的翻折综合，其中涉及到了相似三角形的性质及判定，勾股定理，角平分线的性质，熟悉利用相似三角形的比值关系进行列式运算是解题的关键． 22．定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形． （1）矩形 垂等四边形（填 “是”或“不是”）； （2）如图1，在正方形中，点、、分别在、、上，四边形是垂等四边形，且，． ①求证：； ②若，求的值； （3）如图2，在中，， 以为对角线，作垂等四边形．过点作的延长线的垂线，垂足为，且与相似，则四边形的面积是 ． 【答案】（1）是；（2）①见解析；②；（3）或 【分析】（1）根据“垂等四边形”的定义进行分析； （2）①通过的性质推知；然后根据四边形是垂等四边形的性质知；最后由等量代换证得结论； ②如图1，过点作，垂足为，首先证明为等腰直角三角形，则；然后证得为等腰直角三角形；再次，根据等腰直角三角形的性质和已知条件得到：，．代入求值即可； （3）如图2，过点作，垂足为，构造矩形．在中，利用勾股定理求得，．再由垂等四边形四边形的性质知． 分两种情况：当时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由求得结果； 当时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由求得结果． 【详解】解：（1）矩形有一组邻边垂直且对角线相等，故矩形是垂等四边形． 故答案为：是； （2）①证明：四边形为正方形， ，． 又， ， ． 四边形是垂等四边形， ， ； ②如图1，过点作，垂足为， 四边形为矩形， ． 由①知， ． 由题意知，，， ， 即， 为等腰直角三角形， ． 又， ， 为等腰直角三角形， ， ， ，． ， ； （3）如图2，过点作，垂足为， 四边形为矩形． ， ． 在中，， 根据勾股定理得，，即， ，． 四边形为垂等四边形， ． 第一种情况： 当时， ， 设，则， ． 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得，（舍去）， ，， ； 第二种情况： 当时， ， 设，则， ． 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得，（舍去）， ，， ． 综上所述，四边形的面积为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了相似综合题，综合运用相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用等知识点解题，解题的关键是掌握“垂等四边形”的定义，另外解题过程中，注意方程思想的应用．难度较大． 23．阅读理解：如图1，在△ABC中，当DE∥BC时可以得到三组成比例线段：① ；② ；③ ．反之，当对应线段成比例时也可以推出DE∥BC． 理解运用：三角形的内接四边形是指顶点在三角形各边上的四边形． （1）如图2，已知矩形DEFG是△ABC的一个内接矩形，将矩形DEFG沿CB方向向左平移得矩形PBQH，其中顶点D、E、F、G的对应点分别为P、B、Q、H，在图2中画出平移后的图形；     （2）在（1）所得的图形中，连接CH并延长交BP的延长线于点R，连接AR．求证：AR∥BC；   （3）如图3，某小区有一块三角形空地，已知△ABC空地的边AB＝400米，BC＝600米，∠ABC＝45°；准备在△ABC内建一个内接矩形广场DEFG（点E、F在边BC上，点D、G分别在边AB和AC上），三角形其余部分进行植被绿化，按要求欲使矩形DEFG的对角线EG最短，请在备用图中画出使对角线EG最短距离（不要求证明）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）画图见解析， 【分析】（1）根据条件画出矩形PBQH即可． （2）如图1中，连接CH并延长交BP的延长线于点R，连接AR．由PH∥BC，推出＝，由DG∥BC，推出＝，由PH＝DG，推出＝，推出AR∥HG，由HG∥BC，即可证明AR∥BC． （3）如图2中，作AR∥BC，BR⊥BC，连接CR，作BH⊥CR，过点H作PH∥BC交RB于P交AB于D交AC于G．作HQ⊥BC于Q，DE⊥BC于E，GF⊥BC于F．则四边形DEFG是矩形，此时矩形的对角线最短．由（2）可知BH＝EG，求出BH即可解决问题． 【详解】（1）解：矩形PBQH如图1所示   （2）解：如图1中，连接CH并延长交BP的延长线于点R，连接AR   ∵PH∥BC， ∴ ∵DG∥BC， ∴ ∵PH＝DG， ∴ ∴AR∥HG， ∵HG∥BC， ∴AR∥BC （3）解：如图2中，作AR∥BC．BR⊥BC，连接CR，作BH⊥CR，过点H作PH∥BC交RB于P交AB于D交AC于G，作HQ⊥BC于Q，DE⊥BC于E，GF⊥BC于F   则四边形DEFG是矩形，此时矩形的对角线最短（BH是垂线段，垂线段最短，易证EG＝BH，故此时矩形的对角线EG最短）． ∵AB＝400米，∠ABC＝45°， ∴，即BR＝200m， 在Rt△RBC中， ∵BC＝600m，BR＝200m， ∴CR＝m， ∵， ∴BH＝米 由（2）可知EG＝BH＝米． 【点睛】本题考查相似三角形综合题、平行线分线段成比例定理、勾股定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用（2）中的添加辅助线的方法解决问题（3），灵活应用垂线段最短解决最值问题． 24．在中与中，，，将绕点顺时针旋转，连接，点分别是的中点，连接． （1）观察猜想 如图1，当点与点重合时，与的数量关系是__________，位置关系是__________； （2）类比探究 当点与点不重合时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请仅就图2的情形给出证明；如果不成立，请说明理由． （3）问题解决在旋转过程中，请直接写出的面积的最大值与最小值． 【答案】（1）CG=CF，CF⊥CG；（2）成立，CG=CF，CF⊥CG；（3）△CFG的面积最大值，最小值． 【分析】（1）观察猜想 由直角三角形的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半再结合30°直角三角形三边比即可证明； （2）类比探究 先证明△BCD∽△ACE，再证明△ACG∽△BCF，可得结论； （3）问题解决 延长BC至H，使BC=CH=1，连接DG，由三角形中位线定理结合三角形面积公式可求△CFG的面积=，求出DH最小值即可． 【详解】（1）观察猜想 ∵在Rt△ABC中与Rt△DCE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠BAC=∠DEC=30°，AC=DC=， ∴AE=2DC=2，AC=BC=，AB=2BC，∠CDE=60°， ∴BC=1，AB=2， ∵点F，G分别是BD，AE的中点， ∴CG=AE=，CG=AG，CF=AB=1，CF=AF， ∴CG=CF，∠GDC=∠GCD=60°，∠ACF=∠FAC=30°， ∴∠FCG=90°， ∴CF⊥CG， 故答案为：CG=CF，CF⊥CG； （2）类比探究 仍然成立， 理由如下： ∵∠ACB=∠DCE=90°，∠BAC=∠DEC=30°，AC=DC=， ∴∠BCD=∠ACE，AC=BC，CE=CD， ∴， ∴△BCD∽△ACE， ∴ ，∠CAE=∠CBD， ∵点F，G分别是BD，AE的中点， ∴BF=BD，AG=AE， ∴ ∴△ACG∽△BCF， ∴，∠BCF=∠ACG， ∴CG=CF，∠ACB=∠FCG=90°， ∴CF⊥CG； （3）问题解决 如图，延长BC至H，使BC=CH=1，连接DH， ∵点F是BD中点，BC=CH=1， ∴CF=DH， 由（2）可知，CF⊥CG， ∴△CFG的面积=×CF×CG=CF2， ∴△CFG的面积=， ∴当DH取最大值时，△CFG的面积有最大值，当DH取最小值时，△CFG的面积有最小值， ∵CD=， ∴点D在以点C为圆心，为半径的圆上， ∴当点D在射线HC的延长线上时，DH有最大值为+1， ∴△CFG的面积最大值=， ∴当点D在射线CH长线上时，DH有最小-1， ∴△CFG的面积最小值=． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了直角三角形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，三角形面积公式，证明△ACG∽△BCF是本题的关键． 25．如图，已知正方形，点E在的延长线上，连结交对角线于点G，交于点F． （1）若，求的值； （2）求证：； （3）若，求n关于m的关系式． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）证明△ABG∽△EDG，得到，根据，可得，即； （2）证明△ADG∽△FBG，得到，再根据AB∥DE，得到，通过等量代换可得结果； （3）根据△ADG∽△FBG，△ABG∽△EDG，推出，根据，可以推出，再根据，得到GE=nGF-AG，结合（2）中，得到nGF-AG=，令，则根据nGF-AG=x·GA，变形可得，证明△ABF∽△ECF，得到，推出x=m+1，结合可得m和n的关系． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD为正方形， ∴AB∥DE，AD∥BC，AB=AD=BC=DC， ∴△ABG∽△EDG， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵AD∥BC， ∴△ADG∽△FBG， ∴， ∵AB∥DE， ∴△ABG∽△EDG， ∴， ∴， ∴； （3）∵AD∥BC， ∴△ADG∽△FBG， ∴， ∵AB∥DE， ∴△ABG∽△EDG， ∴， 又∵，即， ∴， ∵，CF∥AD， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 则AG=AE-GE=nGF-GE， 则GE=nGF-AG， 由（2）可知：， ∴， ∴nGF-AG=， 令， 则nGF-AG=x·GA， 变形得：， ∴， 则， ∵AB∥CE， ∴△ABF∽△ECF， ∴， 又∵， ∴， 则， ∴，又∵BC=AD， ∴， ∴， 又∵， ∴x=m+1， ∵， ∴=， ∴m与n的关系为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，有一定的综合性，熟练运用相似三角形的性质，遇到线段比，通常联想到相似三角形，需熟练掌握． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $