专题03 图形的相似全章14种题型（期末复习专项训练）九年级数学上学期华东师大版

专题03 图形的相似 题型1 成比例线段 题型8 相似三角形中的动点问题（重点） 题型2 平行线分线段成比例 题型9 相似三角形的判定与性质的综合（难点） 题型3 相似多边形的性质（常考点） 题型10 相似三角形的实际应用（重点） 题型4相似三角形的判定（难点） 题型11 与中位线有关的求解与证明（常考点） 题型5 相似三角形的判定综合应用（常考点） 题型12 与中位线有关的实际问题 题型6 相似三角形的性质求解 题型13 位似图形的识别与画图 题型7 相似三角形的性质证明 题型14 图形的变换与坐标 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 成比例线段（共4小题） 1．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，分式的化简求值，解题的关键是正确理解比例的性质．令，代入分式化简即可． 【详解】解：令， ． 故选：A． 2．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）下列各组数中，不成比例的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段，熟练掌握概念是解答本题的关键．对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，由此逐项判断即可． 【详解】解：A、，所以成比例，故不符合题意； B、，所以不成比例，故符合题意； C、，所以成比例，故不符合题意； D、，所以成比例，故不符合题意． 故选：B． 3．（25-26九年级上·浙江温州·期末）下面四组线段中不能成比例线段的是（    ） A．3、6、2、4 B．4、6、8、10 C．1、、、 D．、、2、 【答案】B 【分析】本题考查了成比例线段的概念．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段． 根据成比例线段的概念，对选项进行一一分析，即可得出答案． 【详解】解：A．，能成比例； B．，不能成比例； C．能成比例； D．，能成比例． 故选B 4．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，全球票房达到亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知，因为点为的黄金分割点， 所以． 因为， 所以， 所以， 故选：C． 题型二 平行线分线段成比例（共3小题） 1．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如图，若，则下列各式错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由平行判断成比例的线段，解题关键是正确列出比例式． 根据由平行判断成比例的线段，正确列出比例式，再对四个式子逐一作出判断． 【详解】解：∵， ∴，，， 不能推得，故A、B、C正确，D错误， 故选：D． 2．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知，直线分别交直线于点、、，交直线于点、、，那么下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题是一道关于平行线分线段成比例的题目，掌握平行线分线段成比例的相关知识是解答本题的关键．根据平行线分线段成比例定理，即可进行判断． 【详解】解：A．∵， ∴，故A正确； B．根据无法判断，故B错误； C．根据无法判断故C错误； D．∵， ∴， ∴，故D错误． 故选：A． 3．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，直线，直线和被，，，，则的长为（   ） A．4 B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活应用定理，找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：， ，即， 解得：． 故选：A． 题型三 相似多边形的性质（共3小题） 1．（24-25九年级上·四川成都·期末）下列说法正确的是（   ） A．任意两个矩形都相似 B．方程有实数根 C．反比例函数图象是轴对称图形，但不是中心对称图形 D．甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等 【答案】D 【分析】分别根据相似多边形的性质，根的判别式，反比例函数图象的性质，轴对称图形和中心对称图形的定义，平行投影对各项逐一判断即可． 【详解】解：A．任意两个矩形不一定相似，故选项A错误，不符合题意； B．方程可化为方程， ∵， ∴ 即此方程无实数根，故选项B错误，不符合题意； C．反比例函数图象是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项C错误，不符合题意； D．甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，一元二次方程根的判别式，反比例函数的性质，矩形的性质，轴对称图形以及中心对称图形的定义，平行投影等知识点，解决此题的关键是要能熟练运用以上知识点． 2．（24-25九年级上·河南郑州·期末）一块矩形的纸片的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的两个矩形，且使裁成的每个矩形的宽和长的比与原纸片的宽与长的比相同，即，则a的值为（    ）． A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】此题考查了相似多边形的性质．注意相似多边形的对应边成比例． 由裁出的矩形的宽与长的比与矩形的宽与长的比相同，构建方程求解即可． 【详解】解：根据题意可知，． 由，得， 即． ∴． 开平方，得（舍去）， 故选：A． 3．（24-25九年级上·广东江门·期末）如果两个相似多边形的周长比为，则它们的面积比为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似多边形的性质，根据相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似多边形的周长比为， ∴相似多边形的相似比为； ∴它们的面积比为；故选：C． 题型四 相似三角形的判定（（共5小题） 1．（23-24九年级上·云南文山·期末）如图，在中，点，分别在边，上，连接，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，先证明，再由可以根据两边对应成比例且它们的夹角相等的两三角形相似证明结论． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴． 2．（19-20九年级下·全国·课后作业）如图，在中，点E为边上一点，连结：点F为线段上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定，根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质可得，，利用等量代换可得，再根据相似三角形的判定即可得证． 【详解】证明：在中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，中，点D在上，连接．已知，，，求证． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解决本题的关键． 根据已知线段的长度，推出，利用两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似，即可得证． 【详解】证明：∵，，． ∴，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）在边长为1的小正方形网格中，的顶点、、均落在格点（小正方形的顶点）上，请只用无刻度的直尺按要求完成作图． (1)将绕点按逆时针方向旋转，得到，请在图1中作出．（点与点是对应点） (2)请在图2中画一个三角形，使得该三角形与相似（不全等）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了旋转作图，相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和相似三角形的判定定理． （1）根据旋转的性质，先作出点B、C的对应点、，然后再顺次连接即可； （2）根据相似三角形的判定求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，为所求作的三角形； （2）解：如图所示， 5．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，是边上的高，平分，且分别与相交于点E，F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，角平分线的定义等知识点，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据互余可得，再由角平分线得到，即可证明． 【详解】证明：∵是边上的高， ∴ ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 题型五 相似三角形的判定综合应用（（共3小题） 1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数是． 【分析】此题重点考查角平分线的定义、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识． （1）由，得，由平分，得，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明； （2）由相似三角形的性质得，则，所以． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． 2．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，在矩形中，是对角线，，．点E从点D出发，沿方向匀速运动，速度是；点F从点B出发，沿方向匀速运动，速度是．直线过点F，且，分别交、于点M，N，连接、、．两点同时出发，设运动时间为（），请回答下列问题： (1)当t为___________时，和相似； (2)设四边形的面积为，求关于之间的函数关系式； (3)求当为何值时，为等腰三角形． 【答案】(1) (2) (3)或时，为等腰三角形 【分析】（1）根据矩形的性质及相似三角形的判定，即可求得答案； （2）根据相似三角形的判定分别求出，，，再根据求解即可； （3）若时，直接列方程求解；若时，过点作于，证明，并列方程求解即可；若时，过点作于点G，证明，并列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， 四边形是矩形， ，， ， ， 若要使和相似， 则， ， 解得， 当t为时，和相似； 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ， ， 即， ， 同理， ，， 即S关于之间的函数关系式为：； （3）解：①若时，则，解得：； ②若时，过点作于， ， 为等腰三角形， 又， ， ，， ， ， 即， ； ③若时，过点作于点G， ， 为等腰三角形， 又， ， ，， ， 即， 解得， 此时（舍去）； 综上所述，当或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，对等腰三角形进行分类讨论及添加辅助线是解题的关键． 3．（22-23九年级上·广西贺州·期末）如图，点是矩形中边上一点，沿折叠为，点落在上．    (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】 （1）根据矩形的性质可知，在中可得，再由可得，进而可得即可证明结论； （2）由可得，然后说明可得，然后将代入计算即可． 【详解】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴． 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2） 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的概念等知识点，掌握有两个角相等的两个三角形相似是解题的关键． 题型六 相似三角形的性质求解（共3小题） 1．（23-24九年级上·江苏泰州·月考）如图，． (1)若平分，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握角平分线的性质． （1）根据角平分线的性质得出，然后再利用相似三角形的对应角相等，即可求解； （2）利用线段的和差求出，然后再利用相似三角形的对应边成比例，即可求解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，（负值已舍）． 2．（18-19八年级下·山东潍坊·期末）如图，在中，点D、E分别在边上，的延长线相交于点F，且 如 (1)求证： (2)当时，求的长 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定解答． （1）根据相似三角形的判定得出，得出，进而证明，再利用相似三角形的性质证明即可； （2）根据相似三角形的性质得出有关图形之比，进而解答即可． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵ ∴， 即， ∴， ∴． 3．（24-25九年级上·北京昌平·期末）如图，在中，，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握两个三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． （1）由直角三角形两锐角互余得到，再由两个三角形相似的判定定理求解即可得证； （2）由（1）中得到，再将，代入求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：在中，于点， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 题型七 相似三角形的性质证明（共3小题） 1．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，在中，，点，，，在同一条直线上，且． (1)证明：． (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键． （1）等边对等角结合平角的定义，得到，即可得出，结合，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵，，， ∴， ∴（负值舍去）． 2．（22-23九年级上·北京顺义·期末）如图，将等边三角形折叠，使点A落在边上的点D处（不与B、C重合），折痕为． (1)求证：； (2)若，，直接写出，的周长； (3)在（2）的条件下，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)14，10 (3) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）由等边三角形的性质、折叠的性质以及三角形外角的性质可得、即可证明结论； （2）有已知条件可得，由等边三角形的性质可得，再由折叠的性质可得，，最后根据三角形周长的定义即可解答； （3）根据相似三角形的性质列式求解即可． 【详解】（1）证明：∵等边三角形 ∴ ∵三角形折叠，使点A落在边上的点D处 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴． （2）∵， ∴ ∵等边三角形 ∴ ∵三角形折叠，使点A落在边上的点D处 ∴， ∴的周长为： 的周长为：． （3）∵． 又∵的周长为：14，的周长为：10 ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（23-24九年级上·四川巴中·期末）已知：如图，． (1)求证：； (2)如果，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理在计算中的应用， （1）先由所给等式，证得，从而得，再由所给等式得出，从而证得结论； （2）先由已知数据，结合勾股定理得出的长，再利用相似三角形的性质，得出比例式，代值求解即可． 【详解】（1） ∴ ∴； （2），， 由勾股定理得： ∵， ∵， ∴， ∴． 题型八 相似三角形中的动点问题（共3小题） 1．（24-25九年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，，，点P从点A沿向C以的速度移动，到C即停，点Q从点C沿向B以的速度移动，到B就停 (1)若P、Q同时出发，经过几秒钟； (2)若点Q从C点出发后点P从点A出发，再经过几秒与相似． 【答案】(1)秒 (2)秒或秒 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，一元二次方程的应用，掌握相似三角形即可． （1）首先设经过时间为秒钟，根据题意列出关于t的一元二次方程，解出t值即可； （2）先设点从点出发后，再经过秒与相似，有两种情形，一种是当时分析求值，一种是当时分析解决即可． 【详解】（1）解：设经过秒钟， 由题意得，， 由题意得，， 整理得，， 解得，， 则同时出发，经过秒钟； （2）解：设点从点出发后，再经过秒与相似，有两种情形， 由题意得，，则， ①当时，， 即， 解得，， ②当时，， 即， 解得，， 综上所述，点从点出发后点从点出发，再经过秒或秒与相似． 2．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，的两条直角边，，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接．设运动的时间为t秒，解答下列问题： (1)______，______．（用含t的代数式表示） (2)求当动点运动时间t为多少秒时，与相似； (3)在运动过程中，当时，求t的值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质：两组角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了勾股定理以及分类讨论思想的运用． （1）设运动的时间为t秒，根据题意可得出、含t的代数式； （2）分类：当，即时，；当，即时，，然后分别根据三角形相似的性质得到比例线段求出的值； （3）先计算出，若，则易证得，然后根据三角形相似的性质得到比例线段求出． 【详解】（1）解：∵的两条直角边，，， ∴， ∵点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒， ∴， ， ∴，， 故答案为：， （2）解：当，即时，， ， ， ； 当，即时，， ， ， ； 所以当动点运动秒或秒时，与相似； （3）解： 如图，过点作于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ． 3．（24-25九年级上·四川眉山·期末）阅读理解． 如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中，，点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线上运动，连接，过点B作交x轴于点E，连接交直线于点F，设运动时间为t秒． (1)当时，______，______； (2)当时，求运动时间t的值； (3)在运动过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；3 (2) (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、矩形的性质、一元二次方程，熟练掌握以上知识点，结合图形找到相似三角形是解题的关键． （1）通过证明和是等腰直角三角形，即可解答； （2）先证明，利用相似三角形的面积比是相似比的平方，可得，再证明，得到，代入数据求出的长，即可求出t的值； （3）由（2）得，可得，，根据以P、O、E为顶点的三角形与相似，且，需要分4种情况①点P在线段上，且；②点P在线段上，且；③点P在延长线上，且；④点P在延长线上，且；分别利用相似三角形对应边成比例列出方程，求出t的值即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：由题意得，当时，， 在矩形中，，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． 故答案为：；3． （2）解：， ， ， ，即， 又， ， 由（1）得，， ， ， 又 ， ，即， 解得：， ， 运动时间t的值为． （3）解：存在， 由题意得，， 由（2）得，， ，即， ， ， 以P、O、E为顶点的三角形与相似，且， 下面分4种情况讨论： ①当点P在线段上，且， 此时，即， 整理得：，无实数解，舍去； ②当点P在线段上，且， 此时，即， 解得：，（负值舍去）， ， ； ③当点P在延长线上，且， 此时，即， 解得：，（负值舍去）， ， ； ④当点P在延长线上，且， 此时，即， 整理得：，无实数解，舍去； 综上所述，点P的坐标为或． 题型九 相似三角形的判定与性质的综合（共3小题） 1．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）问题情境： （）综合与实践课上，老师让每个小组准备了一张矩形纸片，其中，．如图，把矩形绕点逆时针旋转得到矩形纸片，点的对应点为，，，如图，连接，当在的延长线上时，延长，交于点．判断与的数量关系并说明理由． 数学思考： （）老师将矩形纸片绕点逆时针方向再次旋转，并让同学们提出新的问题． ①“爱数小组”提出问题：如图，当点落在上时，连接，取的中点，连接、，求的长．请你解答此问题： ②“好学小组”提出问题：如图，当点落在上时，连接，求的面积．请你解答此问题． 【答案】（1）理由见解析；（2）①；② 【分析】（1）由矩形的性质可证，得到，由旋转的性质可得，即得，即得到，即可得四边形是平行四边形，得到，即可求证； （2）①连接，由勾股定理得，由旋转得，，进而可得，即得，再根据直角三角形的性质即可求解；②过点A作于E，于H，设与相交于点F，由三角形的面积可得，进而由勾股定理得，得，再由旋转和等腰三角形的性质可得，即得，得到，即得到，，即可得，得，得到，由三线合一得，即得到，最后根据三角形面积公式计算即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： 连接， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， 由旋转得，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）①如图，连接， ∵，，， ∴， 由旋转得，，， ∵， ∴， 即， ∴， ∵点是的中点， ∴； ②如图，过点作于，于，设与相交于点，则， ∵，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转得，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 2．（25-26九年级上·四川眉山·期末）【基础巩固】（1）如图1，在中，，，D是边上一点，F是边上一点，．求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，点D是边的中点，，若，，求线段的长． 【拓展提高】（3）在中．，，以A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上．若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）5；（3）10 【分析】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握一线三等角基本几何模型是解题的关键． （1）利用一线三等角模型，可说明，得； （2）如图2中，延长交的延长线于点．证明，推出，求出，，再利用勾股定理求解； （3）过点作与交于点，使，由（1）同理得，可知，再利用，可得答案． 【详解】（1）证明：，， ， ， ∴， ， ， ， ； （2）解：如图2中，延长交的延长线于点． ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ； （3）解：如图，过点作与交于点，使， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，（舍去） ． 3．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）综合探究 如图，在矩形中，，动点在边上，连接． (1)过点作交于， 当，求证：； 当时，求的值（用含的代数式表示）． (2)如图，动点在边上，将矩形沿折叠，点折叠后的位置分别是点，点恰好是线段的中点，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1)见解析；； (2)． 【分析】（）设，交于点，当，则有，由四边形是矩形，得，所以，由，则，得，所以，证明，然后通过性质即可求证； 由知，，，所以，然后通过相似三角形性质即可求解； （）取的中点，连接，作，交于，所以，根据四边形是矩形，所以，，可证四边形是平行四边形，所以，由题意得点和点关于对称，，所以，则有，由知，，得，不妨设，，则，由勾股定理得，则有，从而得． 【详解】（1）证明：如图， 设，交于点， 当，则有， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解：由知，，， ∴， ∴； （2）解：如图， 取的中点，连接，作，交于， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵矩形沿折叠，点折叠后的位置分别是点，点恰好是线段的中点， ∴点和点关于对称，， ∴， ∴， 由知，， ∴， 不妨设，，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，矩形与折叠，轴对称的性质，同角的余角相等，平行四边形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用，正确添加辅助线是解题的关键． 题型十 相似三角形的实际应用（共2小题） 1．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）在抗美援朝期间“跳眼法”是炮兵常用的一种简易测距方法（图）．如图，点为左眼，点为右眼，点为右手大拇指，点为敌人的位置，点为敌人正左侧方的某一个参照物（），目测的长度后，然后利用相似三角形的知识来计算处敌人距离我方的大致距离． 已知大多数人的眼距长约为厘米左右，手臂长约为厘米左右．若的估测长度为米，那么的大致距离为多少米． 【答案】400米 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，利用平行关系判定相似三角形，再结合相似三角形的对应边成比例是解题关键．由可证得，进而通过相似三角形的比例关系建立等式，求解的长度． 【详解】解：厘米米，厘米米， ， ， ， ， 米． 答：的大致距离为米． 2．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）利用相似三角形可以计算某些不能直接测量的物体的高度，某校“综合与实践”小组的同学把“测量学校旗杆的高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告． 19． 活动课题 测量学校旗杆的高度 活动目的 利用相似三角形知识解决实际问题 活动工具 皮尺、镜子、标杆等 测量方案 方案：利用影子 方案：利用镜子 方案：利用标杆 测量示意图 测量过程 在同一时刻，小组同学测得身高为米的小乐的影长为米，同时测得旗杆的影长为米． 小慧在她脚下放置镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆顶部．小组同学测得小慧的眼睛距离地面的高度为米，小慧到镜子的距离为米，旗杆到镜子的距离为21米． 小智在他前面立一根标杆，当小智的眼睛、标杆顶部、旗杆顶部在同一直线上时，小组同学测得标杆高为2米，小智的眼睛距离地面的高度为米，小智与旗杆之间的距离为米． 计算结果 … 活动反思 … 根据上面活动报告，解答下列问题： (1)利用方案测得旗杆的高度为________米； (2)请将方案的测量示意图补充完整，并求出旗杆的高度； (3)小智在利用方案计算旗杆的高度时，发现还缺少数据，你认为还需要测出哪个数据，就能计算旗杆的高度．（不需写出计算过程） 【答案】(1)15 (2)米，图见解析 (3)还需要测出线段（或线段）的长度． 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，灵活运用相似三角形解决实际问题是解题的关键 （1）同一时刻下，物长与影子的长对应成比例，即，据此列出比例式求解即可； （2）先根据题意补全示意图，再证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可； （3）根据题意可知的长，则只需要求出的长即可，再可证明，得到，则只需要知道的长即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴，即，解得：米． ∴利用方案A测得旗杆的高度为15米； （2）解：补全测量示意图如下所示，过点C作， ， 又， ， ， ，， ， ∴， ，即，解得：米， ∴旗杆的高度为15米． （3）解：如图所示，根据题意可知的长， ∵ ∴， ∴，则只需要知道的长即可求出的长，进而求出的长， ∴还需要测出线段（或线段）的长度． 题型十一 与中位线有关的求解与证明（共3小题） 1．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，O是边的中点．按下列要求作图：①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点D，交于点E；②以点O为圆心、长为半径画弧，交线段于点F；③以点F为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线同侧；④作直线，交AC于点M．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，平行线的判定与性质及三角形中位线定理的推论，根据作图过程得出角的关系，再结合平行线的判定与性质、三角形中位线定理来逐一分析选项即可． 【详解】解：由作图过程可知，，故A正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵O是边的中点，， ∴， ∴点M为的中点， ∴，故C正确，不符合题意； ∵O是边的中点，点M为的中点， ∴， ∵题干中未给出， 故由已知条件不能得出，故D错误，符合题意， 故选：D． 2．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中，平分，是的中点，，，，则（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质定理，关键是作辅助线得到等腰三角形． 延长交的延长线于点，证明，则，即可求得的长，点E是的中点，求得的长，从而得到是中位线，即可求得的长． 【详解】解：延长交的延长线于点，如图， ， ， 平分， ， ∵， ∴ ， ∵是的中点， ∴是的中位线， ． 故选：A． 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是边的中点，那么添加下列条件一定能判定四边形是正方形的是（    ） A．且 B．且和互相平分 C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键． 根据三角形的中位线定理先证明四边形是平行四边形，再证明其是菱形，最后根据有一个角是直角的菱形的是正方形即可证明． 【详解】解：如图： 当且，四边形是正方形，理由如下： ∵点E，F，G，H分别是边的中点， ∴,，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形，故D符合题意，而A、B、C均不能证明，不符合题意， 故选：D． 题型十二 与中位线有关的实际问题（共3小题） 1．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，小聪同学想测量池塘A，B两处之间的距离．他先在A，B外选一点C，然后步测的中点分别为点D，E，测得，则A，B之间的距离为（   ） A．50m B．40m C．20m D．10m 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线定理应用，根据D，E是的中点，即是的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解． 【详解】解：∵D，E是的中点，即是的中位线， ∴ ∵， ∴． 故选：B． 2．（24-25九年级上·甘肃天水·期末）如图，在一次数学实践活动中，同学们为估测被花坛隔开的A，B两处之间的距离，先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出DE的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中位线的实际应用．由题意，易得为的中位线，根据三角形的中位线定理，即可得出结果． 【详解】解：∵点D，E，分别为的中点， ∴为的中位线， ∴； 故选：B． 3．（23-24八年级下·河北张家口·期末）如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接、，分别取，的中点D，E，测得，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形中位线的性质，难度较易，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 根据中位线定义及性质解题：三角形的中位线平行第三边，且等于第三边的一半． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴是的中位线， ， 故选：B． 题型十三 位似图形的识别与画图（共3小题） 1．（24-25九年级上·湖南永州·期末）下列图形中是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似图形的识别，对应点连线交于一点的两个相似图形是位似图形，据此求解即可． 【详解】解：A、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意； B、对应点连线交于一点，且两个三角形是相似三角形，是位似图形，符合题意； C、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意； D、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）下列图形变化属于位似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是位似图形，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．根据位似图形的定义判断即可． 【详解】解：选项A的图形属于位似图形，符合题意； 选项B、C、D的图形都不属于位似图形，不符合题意； 故选：A． 3．（22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)在图1中，以C为位似中心，位似比为；请画出放大后的． (2)在图2中，线段上作点M，利用格点作图使得． (3)在图3中，利用格点在边上作－个点D，使得． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】本题考查了作位似图形，平行线分线段成比例定理在作图中的应用，相似三角形在作图中的应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据位似图形的定义，延长到点，使得，延长到点，使得，连结，可证明与位似，位似比为，所以即为所求； （2）取格点C和点D，使，，连接，交于点M，根据相似三角形的判定和性质，可得，所以点M就是所求的点； （3）过点A作，使得，点E恰为格点，过点B作，使得，点F恰为格点，与交于点D，则，同时可证得，由此即可证明，所以点D就是所求的点． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； ； （2）解：如图，点M就是所求的点； ； （3）解：如图，点D就是所求的点． ． 题型十四 图形的变换与坐标共3小题） 1．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，以原点为位似中心，将放大为原来的倍，得到，则的重心坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，三角形的重心的性质，位似的性质，掌握“位似图形的坐标变换规律：变换前坐标 若位似比为 则变换后的坐标为或”是解本题的关键． 如图，为的两条中线，相交于点D，则为的重心，利用重心的性质先求解的坐标，再利用与位似，利用位似的性质可得答案． 【详解】解：如图，为的两条中线，相交于点D， 则为的重心， ， ，， ， ， ， ， ， 以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到， 的重心坐标是或． 故选：D． 2．（20-21九年级上·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，若点A、B的对应点在第一象限，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求位似图形的对应坐标，根据位似比以及相应的象限求出对应点的坐标即可． 【详解】解：，位似比为， 则点A的对应点的横坐标为，纵坐标为， 又位于第一象限， ． 故选：D． 3．（20-21九年级上·河南驻马店·期末）如图，小明家客厅有一张直径为米，高米的圆桌，在距地面米的处有一盏灯，的影子为，依据题意建立平面直角坐标系，其中点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形相似的实际应用． 根据题意可知，可证，对应高的比等于对应底的比，可得，结合点的坐标，即可得点的坐标． 【详解】解：根据题意可知，， ∴， 由已知可得在中，边上的高为（米） ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为． 故选：C． $专题03 图形的相似 题型1 成比例线段 题型8 相似三角形中的动点问题（重点） 题型2 平行线分线段成比例 题型9 相似三角形的判定与性质的综合（难点） 题型3 相似多边形的性质（常考点） 题型10 相似三角形的实际应用（重点） 题型4相似三角形的判定（难点） 题型11 与中位线有关的求解与证明（常考点） 题型5 相似三角形的判定综合应用（常考点） 题型12 与中位线有关的实际问题 题型6 相似三角形的性质求解 题型13 位似图形的识别与画图 题型7 相似三角形的性质证明 题型14 图形的变换与坐标 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 成比例线段（共4小题） 1．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）下列各组数中，不成比例的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江温州·期末）下面四组线段中不能成比例线段的是（    ） A．3、6、2、4 B．4、6、8、10 C．1、、、 D．、、2、 4．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，全球票房达到亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是（   ） A． B． C． D． 题型二 平行线分线段成比例（共3小题） 1．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如图，若，则下列各式错误的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知，直线分别交直线于点、、，交直线于点、、，那么下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，直线，直线和被，，，，则的长为（   ） A．4 B． C．5 D．6 题型三 相似多边形的性质（共3小题） 1．（24-25九年级上·四川成都·期末）下列说法正确的是（   ） A．任意两个矩形都相似 B．方程有实数根 C．反比例函数图象是轴对称图形，但不是中心对称图形 D．甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等 2．（24-25九年级上·河南郑州·期末）一块矩形的纸片的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的两个矩形，且使裁成的每个矩形的宽和长的比与原纸片的宽与长的比相同，即，则a的值为（    ）． A． B． C．2 D． 3．（24-25九年级上·广东江门·期末）如果两个相似多边形的周长比为，则它们的面积比为（ ） A． B． C． D． 题型四 相似三角形的判定（（共5小题） 1．（23-24九年级上·云南文山·期末）如图，在中，点，分别在边，上，连接，且．求证：． 2．（19-20九年级下·全国·课后作业）如图，在中，点E为边上一点，连结：点F为线段上一点，且．求证：． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，中，点D在上，连接．已知，，，求证． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）在边长为1的小正方形网格中，的顶点、、均落在格点（小正方形的顶点）上，请只用无刻度的直尺按要求完成作图． (1)将绕点按逆时针方向旋转，得到，请在图1中作出．（点与点是对应点） (2)请在图2中画一个三角形，使得该三角形与相似（不全等）． 5．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，是边上的高，平分，且分别与相交于点E，F．求证：． 题型五 相似三角形的判定综合应用（（共3小题） 1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 2．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，在矩形中，是对角线，，．点E从点D出发，沿方向匀速运动，速度是；点F从点B出发，沿方向匀速运动，速度是．直线过点F，且，分别交、于点M，N，连接、、．两点同时出发，设运动时间为（），请回答下列问题： (1)当t为___________时，和相似； (2)设四边形的面积为，求关于之间的函数关系式； (3)求当为何值时，为等腰三角形． 3．（22-23九年级上·广西贺州·期末）如图，点是矩形中边上一点，沿折叠为，点落在上．    (1)求证：； (2)若，，求的值． 题型六 相似三角形的性质求解（共3小题） 1．（23-24九年级上·江苏泰州·月考）如图，． (1)若平分，求的度数； (2)若，求的长． 2．（18-19八年级下·山东潍坊·期末）如图，在中，点D、E分别在边上，的延长线相交于点F，且 如 (1)求证： (2)当时，求的长 3．（24-25九年级上·北京昌平·期末）如图，在中，，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 题型七 相似三角形的性质证明（共3小题） 1．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，在中，，点，，，在同一条直线上，且． (1)证明：． (2)若，，求的长度． 2．（22-23九年级上·北京顺义·期末）如图，将等边三角形折叠，使点A落在边上的点D处（不与B、C重合），折痕为． (1)求证：； (2)若，，直接写出，的周长； (3)在（2）的条件下，求的长． 3．（23-24九年级上·四川巴中·期末）已知：如图，． (1)求证：； (2)如果，求的长． 题型八 相似三角形中的动点问题（共3小题） 1．（24-25九年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，，，点P从点A沿向C以的速度移动，到C即停，点Q从点C沿向B以的速度移动，到B就停 (1)若P、Q同时出发，经过几秒钟； (2)若点Q从C点出发后点P从点A出发，再经过几秒与相似． 2．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，的两条直角边，，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接．设运动的时间为t秒，解答下列问题： (1)______，______．（用含t的代数式表示） (2)求当动点运动时间t为多少秒时，与相似； (3)在运动过程中，当时，求t的值． 3．（24-25九年级上·四川眉山·期末）阅读理解． 如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中，，点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线上运动，连接，过点B作交x轴于点E，连接交直线于点F，设运动时间为t秒． (1)当时，______，______； (2)当时，求运动时间t的值； (3)在运动过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型九 相似三角形的判定与性质的综合（共3小题） 1．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）问题情境： （）综合与实践课上，老师让每个小组准备了一张矩形纸片，其中，．如图，把矩形绕点逆时针旋转得到矩形纸片，点的对应点为，，，如图，连接，当在的延长线上时，延长，交于点．判断与的数量关系并说明理由． 数学思考： （）老师将矩形纸片绕点逆时针方向再次旋转，并让同学们提出新的问题． ①“爱数小组”提出问题：如图，当点落在上时，连接，取的中点，连接、，求的长．请你解答此问题： ②“好学小组”提出问题：如图，当点落在上时，连接，求的面积．请你解答此问题． 2．（25-26九年级上·四川眉山·期末）【基础巩固】（1）如图1，在中，，，D是边上一点，F是边上一点，．求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，点D是边的中点，，若，，求线段的长． 【拓展提高】（3）在中．，，以A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上．若，求的长． 3．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）综合探究 如图，在矩形中，，动点在边上，连接． (1)过点作交于， 当，求证：； 当时，求的值（用含的代数式表示）． (2)如图，动点在边上，将矩形沿折叠，点折叠后的位置分别是点，点恰好是线段的中点，求的值（用含的代数式表示）． 题型十 相似三角形的实际应用（共2小题） 1．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）在抗美援朝期间“跳眼法”是炮兵常用的一种简易测距方法（图）．如图，点为左眼，点为右眼，点为右手大拇指，点为敌人的位置，点为敌人正左侧方的某一个参照物（），目测的长度后，然后利用相似三角形的知识来计算处敌人距离我方的大致距离． 已知大多数人的眼距长约为厘米左右，手臂长约为厘米左右．若的估测长度为米，那么的大致距离为多少米． 2．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）利用相似三角形可以计算某些不能直接测量的物体的高度，某校“综合与实践”小组的同学把“测量学校旗杆的高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告． 19． 活动课题 测量学校旗杆的高度 活动目的 利用相似三角形知识解决实际问题 活动工具 皮尺、镜子、标杆等 测量方案 方案：利用影子 方案：利用镜子 方案：利用标杆 测量示意图 测量过程 在同一时刻，小组同学测得身高为米的小乐的影长为米，同时测得旗杆的影长为米． 小慧在她脚下放置镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆顶部．小组同学测得小慧的眼睛距离地面的高度为米，小慧到镜子的距离为米，旗杆到镜子的距离为21米． 小智在他前面立一根标杆，当小智的眼睛、标杆顶部、旗杆顶部在同一直线上时，小组同学测得标杆高为2米，小智的眼睛距离地面的高度为米，小智与旗杆之间的距离为米． 计算结果 … 活动反思 … 根据上面活动报告，解答下列问题： (1)利用方案测得旗杆的高度为________米； (2)请将方案的测量示意图补充完整，并求出旗杆的高度； (3)小智在利用方案计算旗杆的高度时，发现还缺少数据，你认为还需要测出哪个数据，就能计算旗杆的高度．（不需写出计算过程） 题型十一 与中位线有关的求解与证明（共3小题） 1．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，O是边的中点．按下列要求作图：①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点D，交于点E；②以点O为圆心、长为半径画弧，交线段于点F；③以点F为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线同侧；④作直线，交AC于点M．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中，平分，是的中点，，，，则（　　） A．1 B． C．2 D． 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是边的中点，那么添加下列条件一定能判定四边形是正方形的是（    ） A．且 B．且和互相平分 C．且 D．且 题型十二 与中位线有关的实际问题（共3小题） 1．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，小聪同学想测量池塘A，B两处之间的距离．他先在A，B外选一点C，然后步测的中点分别为点D，E，测得，则A，B之间的距离为（   ） A．50m B．40m C．20m D．10m 2．（24-25九年级上·甘肃天水·期末）如图，在一次数学实践活动中，同学们为估测被花坛隔开的A，B两处之间的距离，先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出DE的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·河北张家口·期末）如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接、，分别取，的中点D，E，测得，则的长是（    ） A． B． C． D． 题型十三 位似图形的识别与画图（共3小题） 1．（24-25九年级上·湖南永州·期末）下列图形中是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）下列图形变化属于位似的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)在图1中，以C为位似中心，位似比为；请画出放大后的． (2)在图2中，线段上作点M，利用格点作图使得． (3)在图3中，利用格点在边上作－个点D，使得． 题型十四 图形的变换与坐标共3小题） 1．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，以原点为位似中心，将放大为原来的倍，得到，则的重心坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 2．（20-21九年级上·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，若点A、B的对应点在第一象限，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（20-21九年级上·河南驻马店·期末）如图，小明家客厅有一张直径为米，高米的圆桌，在距地面米的处有一盏灯，的影子为，依据题意建立平面直角坐标系，其中点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． $