第23章 图形的相似 单元测试2025-2026学年华东师大版九年级数学上册

华师大版九年级上册 第23章 图形的相似 单元测试 一、选择题 1.如图的小正方形边长表示1km，点A相对点B的位置表述正确的是（　　） A.北偏西45°方向 B.南偏东45°方向 C.北偏西45°方向2km处 D.南偏东45°方向2km处 2.如图，面积为2的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是（　　） A.1 B. C. D. 3.点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线y＝﹣1对称，则点Q的坐标为（　　） A.（﹣2，﹣3） B.（﹣2，﹣1） C.（﹣2，﹣2） D.（﹣2，﹣4） 4.在平面直角坐标系中，将点A（5，6）的横坐标乘﹣1，纵坐标不变，得到点A'，则点A与点A'的关系是（　　） A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于x轴、y轴均不对称 D.不确定 5.如图，在△ABC中，D是△ABC的BC边上的中点，AF：FD＝1：2，BF的延长线交AC于点E，则AE：CE的值为（　　） A. B. C. D. 6.如图，AB∥DE，AE与BD相交于点C，若AB＝2，，则CE：AC等于（　　） A.1：1 B.1：2 C. D. 7.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线MN分别与x轴，y轴交于点M，N，且OM＝6，∠OMN＝30°，等边△AOB的顶点A，B分别在线段MN，OM上，则OB的长为（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 8.在平面直角坐标系中，点（﹣1，﹣3）关于原点成中心对称的点的坐标是（　　） A.（1，﹣3） B.（1，3） C.（﹣1，3） D.（3，﹣3） 9.如图，坐标原点O为矩形ABCD的对称中心，顶点A的坐标为（1，t），AB∥x轴，矩形A′B′C′D′与矩形ABCD是位似图形，点O为位似中心，点A′，B′分别是点A，B的对应点，且A′B′＝2AB．已知mn＝3（m，n为正实数），在以m，n为坐标（记为（m，n）的所有的点中，若有且只有一个点落在矩形A′B′C′D′的边上，则t的值等于（　　） A. B.1 C. D. 10.如图所示，在△ABC外取一点O，连接OA，OB，OC，并分别各取这些线段的中点D，E，F连接起来，则下列结论错误的是（　　） A.△ABC与DEF是位似图形 B.点O是△ABC与△DEF的位似中心 C.△ABC与△DEF的相似比2：1 D.△ABC与△DEF的周长比为4：1 11.如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于点E，若BE＝1，则EC的长为（　　） A.2 B.2.5 C.3 D.4 12.如图，线段AB＝1，点P1是线段AB的黄金分割点（且AP1＜BP1，即P1B2＝AP1•AB），点P2是线段AP1的黄金分割点（AP2＜P1P2），点P3是线段AP2的黄金分割点（AP3＜P2P3），…，以此类推，则线段AP2024的长度是（　　） A. B. C. D. 二、填空题 13.在一幅平面图上，图上距离是3厘米表示实际距离是6米，这幅图的比例尺是1：2．________（判断对错） 14.一个四边形的边长分别是3，4，5，6，另一个与它相似的四边形最小边长为6，则另一个四边形的最长边是 　      　． 15.边长分别为1的正方形和边长分别为3与2的长方形按如图所示放置，图中阴影部分的面积是 　　   ． 16.根据如图中所注的条件，判断图中两个三角形是否相似，并求出x和y的值． 17.如图，△ABC中，D、F为AB边的三等分点，BC＝4EC，连结FP并延长交AC于点H，则FPPHFPPH的值为 　   　． 三、解答题 18.如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上． （1）求AM，DM的长； （2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？ 19.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝100°，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，点E是AB的中点，连接DE． （1）求∠BAD的度数； （2）求∠B的度数； （3）已知三角形两边中点连线的长等于第三边长的一半，试求线段DE的长． 20.如图，AB∥EF∥CD，已知AB＝20，BC＝10，CD＝80，求EF的值． 21.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，求△BEF的面积． 22.如图，AB和A'B'与x轴垂直，A点的坐标是（2，4），△AOB和△A'OB'是位似三角形，且位似比是1：3，点C是OA′的中心，反比例函数y＝的图象经过点C，与A'B'交于点D． （1）求点D坐标； （2）连接BD．CD，求四点边形ABDC的面积． 华师大版九年级上册 第23章 图形的相似 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.如图的小正方形边长表示1km，点A相对点B的位置表述正确的是（　　） A.北偏西45°方向 B.南偏东45°方向 C.北偏西45°方向2km处 D.南偏东45°方向2km处 【答案】C 【解析】如图，由勾股定理得，AB＝＝2， 所以，点A相对点B的位置是北偏西45°方向2km处． 故选：C． 2.如图，面积为2的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是（　　） A.1 B. C. D. 【答案】B 【解析】∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点， ∴＝， ∴△DEF∽△CAB， ∴＝（）2＝， ∵△ABC的面积＝2， ∴△DEF的面积＝， 故选：B． 3.点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线y＝﹣1对称，则点Q的坐标为（　　） A.（﹣2，﹣3） B.（﹣2，﹣1） C.（﹣2，﹣2） D.（﹣2，﹣4） 【答案】A 【解析】∵点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线y＝﹣1对称， ∴＝﹣1， 解得：b＝﹣3， ∴点Q的横坐标为a＝﹣2，纵坐标为b＝﹣3， ∴点Q的坐标为（﹣2，﹣3），故A正确． 故选：A． 4.在平面直角坐标系中，将点A（5，6）的横坐标乘﹣1，纵坐标不变，得到点A'，则点A与点A'的关系是（　　） A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于x轴、y轴均不对称 D.不确定 【答案】B 【解析】在平面直角坐标系中，将点A（5，6）的横坐标乘﹣1，纵坐标不变，得到点A'，则点A与点A'的关系是关于y轴对称． 故选：B． 5.如图，在△ABC中，D是△ABC的BC边上的中点，AF：FD＝1：2，BF的延长线交AC于点E，则AE：CE的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】过点D作DM∥BE交AC于点M，如图所示. ∵D是△ABC的BC边上的中点， ∴BD＝CD． ∵DM∥BE， ∴＝＝，＝＝1， ∴CE＝EM+CM＝2EM， ∴＝＝． 故选：C． 6.如图，AB∥DE，AE与BD相交于点C，若AB＝2，，则CE：AC等于（　　） A.1：1 B.1：2 C. D. 【答案】C 【解析】∵AB∥DE， ∴∠A＝∠E，∠B＝∠D， ∴△CDE∽△CBA， ∴． ∵AB＝2，， ∴CE：AC＝：2． 故选：C． 7.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线MN分别与x轴，y轴交于点M，N，且OM＝6，∠OMN＝30°，等边△AOB的顶点A，B分别在线段MN，OM上，则OB的长为（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】∵△AOB为等边三角形， ∴∠AOB＝60°，OA＝OB， ∴∠OAM＝180°﹣∠OMN﹣∠AOM＝90°， ∴△OAM为直角三角形， ∵∠OMN＝30°， ∴； 故选：C． 8.在平面直角坐标系中，点（﹣1，﹣3）关于原点成中心对称的点的坐标是（　　） A.（1，﹣3） B.（1，3） C.（﹣1，3） D.（3，﹣3） 【答案】B 【解析】点（﹣1，﹣3）关于原点成中心对称的点的坐标是（1，3）． 故选：B． 9.如图，坐标原点O为矩形ABCD的对称中心，顶点A的坐标为（1，t），AB∥x轴，矩形A′B′C′D′与矩形ABCD是位似图形，点O为位似中心，点A′，B′分别是点A，B的对应点，且A′B′＝2AB．已知mn＝3（m，n为正实数），在以m，n为坐标（记为（m，n）的所有的点中，若有且只有一个点落在矩形A′B′C′D′的边上，则t的值等于（　　） A. B.1 C. D. 【答案】A 【解析】∵矩形A′B′C′D′与矩形ABCD是位似图形，A′B′＝2AB，顶点A的坐标为（1，t）， ∵矩形A′B′C′D′与矩形ABCD是位似图形，点O为位似中心， ∴点C的坐标为（﹣1，﹣t），矩形A′B′C′D′也关于点O成中心对称， ∴C′点的坐标是（﹣2，﹣2t）， ∵mn＝3， 即n＝， ∵以m，n为坐标（记为（m，n）的所有的点中，有且只有一个点落在矩形A′B′C′D′的边上， ∴反比例函数n＝的图象只经过点A′或C′， ∵矩形A′B′C′D′关于点O成中心对称，反比例函数n＝的图象关于点O成中心对称， ∴反比例函数n＝的图象经过C′点， ∴﹣2•（﹣2t）＝3， 解得t＝． 故选：A． 10.如图所示，在△ABC外取一点O，连接OA，OB，OC，并分别各取这些线段的中点D，E，F连接起来，则下列结论错误的是（　　） A.△ABC与DEF是位似图形 B.点O是△ABC与△DEF的位似中心 C.△ABC与△DEF的相似比2：1 D.△ABC与△DEF的周长比为4：1 【答案】D 【解析】∵点D，E，F分别为OA、OB、OC的中点， ∴DE、EF、DF分别为△OAB、△OBC、△OAC的中位线， ∴DE＝AB，EF＝BC，DF＝AC，DE∥AB，EF∥BC，DF∥AC， ∴， ∴△DEF∽△ABC， ∵直线AD、BE、CF相交于点O， ∴△ABC与DEF是位似图形，点O是△ABC与△DEF的位似中心，△ABC与△DEF的相似比2：1， ∴△ABC与△DEF的周长比为2：1， 故选项A、B、C说法正确，不符合题意，选项D说法错误，符合题意； 故选：D． 11.如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于点E，若BE＝1，则EC的长为（　　） A.2 B.2.5 C.3 D.4 【答案】B 【解析】过D点作DF∥CE交AE于F，如图， ∵DF∥BE， ∴=， ∵O是BD的中点， ∴OB＝OD， ∴DF＝BE＝1， ∵DF∥CE， ∴=， ∵AD：DC＝1：2， ∴AD：AC＝1：3， ∴， ∴CE＝3DF＝3×1＝3． 故选：C． 12.如图，线段AB＝1，点P1是线段AB的黄金分割点（且AP1＜BP1，即P1B2＝AP1•AB），点P2是线段AP1的黄金分割点（AP2＜P1P2），点P3是线段AP2的黄金分割点（AP3＜P2P3），…，以此类推，则线段AP2024的长度是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据黄金比的比值，BP1＝， 则AP1＝1﹣＝， AP2＝（）2， AP3＝（）3， … 依此类推，则线段AP2024的长度是（）2024， 故选：A． 二、填空题 13.在一幅平面图上，图上距离是3厘米表示实际距离是6米，这幅图的比例尺是1：2．________（判断对错） 【答案】× 【解析】∵6米＝600厘米， ∴这幅图的比例尺是3：600＝1：200． 故题干的说法是错误的． 故答案为：×． 14.一个四边形的边长分别是3，4，5，6，另一个与它相似的四边形最小边长为6，则另一个四边形的最长边是 　      　． 【答案】12 【解析】3+4+5+6＝18， 设第二个四边形的周长为x， ∵两个四边形相似， ∴＝， 解得x＝36． 36×＝12， 故答案为：12． 15.边长分别为1的正方形和边长分别为3与2的长方形按如图所示放置，图中阴影部分的面积是 　　   ． 【答案】 【解析】如图所示：设BC＝x，则CE＝1﹣x， 根据题意得，AB∥EF， ∴△ABC∽△FEC， ∴， ∴＝， 解得x＝， ∴阴影部分面积为：S△ABC＝××1＝， 故答案为：． 16.根据如图中所注的条件，判断图中两个三角形是否相似，并求出x和y的值． 【答案】解　（1）相似． ∵∠G＝∠I＝90°， ∴x＝GH＝＝＝4，y＝HJ＝＝＝10， ∴=＝， ∴△FGH∽△JIH． （2）相似． ∵＝=，=＝， ∴＝， ∵∠FHK＝∠GHJ＝90°， ∴∠FHG＝∠JHK， ∴△FGH∽△JKH， ∴∠G＝∠K，＝， 即x°＝124°，=， ∴x＝124，y＝33． 【解析】 17.如图，△ABC中，D、F为AB边的三等分点，BC＝4EC，连结FP并延长交AC于点H，则FPPHFPPH的值为 　   　． 【答案】3 【解析】如图，过点E作EK∥CD交AB于点K． ∵EK∥CD， ∴＝， ∵BC＝4EC， ∴＝＝， 设DK＝k，则BK＝3k， ∵D、F为AB边的三等分点， ∴AD＝DF＝BK＝2k， ∴＝＝2＝， ∴FP∥CB， ∴＝＝， ∴＝＝3． 故答案为：3． 三、解答题 18.如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上． （1）求AM，DM的长； （2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？ 【答案】解　（1）在Rt△APD中，AP＝1，AD＝2，由勾股定理知PD＝＝＝， ∴AM＝AF＝PF﹣AP＝PD﹣AP＝﹣1， DM＝AD﹣AM＝3﹣． 故AM的长为﹣1，DM的长为3﹣； （2）点M是AD的黄金分割点． 由于＝， ∴点M是AD的黄金分割点． 【解析】 19.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝100°，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，点E是AB的中点，连接DE． （1）求∠BAD的度数； （2）求∠B的度数； （3）已知三角形两边中点连线的长等于第三边长的一半，试求线段DE的长． 【答案】解　（1）∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵∠BAC＝100°， ∴∠BAD＝50°； （2）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠B＝＝40°； （3）∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD是等腰△ABC底边BC上的高也是中线，即∠ADB＝90°，BE＝DE， 在直角三角形ABD中，点E是AB的中点， ∴DE为斜边AB边上的中线， ∴DE＝AB＝4． 【解析】 20.如图，AB∥EF∥CD，已知AB＝20，BC＝10，CD＝80，求EF的值． 【答案】解　∵AB∥CD， ∴△AEB∽△CED， ∴＝＝， ∵AB∥EF， ∴= ∴△CEF∽△CAB， ∴=， ∴＝ ∴EF＝16 【解析】 21.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，求△BEF的面积． 【答案】解　连接AC．∵S△ABC＝•BC•AB＝＝4， ∵四边形ABCD的面积为6， ∴S△ADC＝6﹣4＝2， ∵S△BEF＝S四边形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△FED， 易知S△ABE+S△BCF＝S四边形ABCD＝3，S△EDF＝， ∴S△BEF＝S四边形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△FED＝6﹣3﹣＝． 【解析】 22.如图，AB和A'B'与x轴垂直，A点的坐标是（2，4），△AOB和△A'OB'是位似三角形，且位似比是1：3，点C是OA′的中心，反比例函数y＝的图象经过点C，与A'B'交于点D． （1）求点D坐标； （2）连接BD．CD，求四点边形ABDC的面积． 【答案】解　（1）∵△AOB和△A'OB'是位似三角形，且位似比是1：3， ∴， ∵A点坐标是（2，4）， ∴OB＝2，AB＝4， ∴， ∴A'B'＝12，OB'＝6， ∴A'（6，12）， ∵点C是OA′的中点， ∴C（3，6）， ∴k＝3×6＝18即反比例函数为：， ∵A'B'⊥x轴， ∴xD＝xA'＝6， ∴即D（6，3）； （2）如图， ∵A（2，4），B（2，0），C（3，6），D（6，3），A'（6，12），B'（6，0）， ∴S△OAB＝×2×4＝4， S△DBB′＝×（6﹣2）×3＝6， △A′OB′的面积＝×6×12＝36， △A′CD的面积＝×（12﹣3）×（6﹣3）＝， ∴S四边形ABDC＝S△OA′B′＝． 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$