精品解析：广东省深圳市深圳实验学校高中园2025-2026学年高三上学期九月统测数学试题

深圳实验学校高中园2025-2026学年度第一学期九月统测 高三数学 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 12 4. 函数的图象的一个对称中心是（ ） A. B. C. D. 5. 著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位:）满足：.若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到以下，至少大约需要的时间为（ ）（参考数据：） A. 40分钟 B. 41分钟 C. 42分钟 D. 43分钟 6. 已知函数是定义在上的减函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数，满足，则下列关系不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在R上的奇函数，的图象关于对称，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 二、多选题：本题共3小题，每小6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，最小值是4的有（ ）. A. B. C. D. 10. 已知定义域为R的是奇函数，则（ ） A. B. 在R上单调递增 C. 的值域为 D. 的解集为 11. “曼哈顿距离”是由赫尔曼-闵可夫斯基使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系中，点的曼哈顿距离为：．若点，点为圆上一动点，则（ ） A. 点和点的曼哈顿距离为3 B. 设，则 C. 的最小值为 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为______. 13. 已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是______. 14. 若存在实数a，对任意的，都有恒成立，则实数m的最大值为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递增区间； （3）求函数在区间上的值域. 16. 设中，角所对的边分别为，． （1）求A； （2）已知的面积为，是边上靠近点的三等分点，，求的值． 17. 已知数列，满足 （1）证明：为等差数列，并求通项公式； （2）若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围． 18. 如图，三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点，是上一点（不含端点）． （1）证明：平面； （2）若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 19. 已知函数． （1）当时，判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）利用三角恒等变换，分别求函数在，4，6时的取值范围； （3）请结合（2）的结果猜想函数的取值范围，然后证明你的猜想，并求方程有解时n的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳实验学校高中园2025-2026学年度第一学期九月统测 高三数学 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据常见数集，结合交集运算，可得答案. 【详解】因为集合是所有非正整数组成的集合，所以． 故选：D. 2. 若，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，结合模长公式，可得答案. 【详解】由，则，，， 所以. 故选：B. 3. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量共线的坐标表示列式求解. 【详解】向量，，则，由， 得，所以. 故选：B 4. 函数的图象的一个对称中心是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用正切型函数的性质，准确运算，即可求解. 【详解】由函数，令，解得， 令，可得，所以函数的一个对称中心有，其它不是对称中心. 故选：B． 5. 著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位:）满足：.若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到以下，至少大约需要的时间为（ ）（参考数据：） A. 40分钟 B. 41分钟 C. 42分钟 D. 43分钟 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，列出方程，结合对数的运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可知，， 即，则，即， 即至少大约需要的时间为42分钟. 故选：C 6. 已知函数是定义在上的减函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数和反比例函数的单调性，结合分割点处函数值之间的关系，列出不等式，求解即可. 【详解】解：因为函数是定义在上的减函数， 所以解得，即. 故选：A. 7. 已知实数，满足，则下列关系不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数图像直接画图求解即可. 【详解】设， 则分别为与图象交点的横坐标， 当时，如下图所示，此时，故A情况可能出现. 当时，且位于和交点上方时， 如下图所示，此时，故C情况可能出现. 当时，且位于和交点下方时， 如下图所示，此时，故D情况可能出现. 所以不可能出现. 故选：B 8. 已知是定义在R上的奇函数，的图象关于对称，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据函数对称性可以得到，利用函数为奇函数可求出函数的周期，利用周期进一步计算即可求出函数值. 【详解】因为的图象关于对称， 所以，于是， 又是定义在上的奇函数，所以， 则，即， 所以的周期为4， 所以， 又因为是定义在上的奇函数，所以. 故选：. 二、多选题：本题共3小题，每小6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，最小值是4的有（ ）. A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用基本不等式求最值判断ACD，取，可判断B. 【详解】对于A选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立，满足题意； 对于B选项，当时，，则，不满足题意； 对于C选项，， 当且仅当时，即时，等号成立，又，所以等号不成立， 即的最小值不是，不满足题意； 对于D选项，， 当且仅当时，即时，等号成立，故的最小值是4，满足题意. 故选：AD. 10. 已知定义域为R的是奇函数，则（ ） A. B. 在R上单调递增 C. 的值域为 D. 的解集为 【答案】ACD 【解析】 【详解】因为是定义域为R的奇函数，所以，即，解得，此时，，是奇函数，故，故A正确．因为，所以在R上单调递减，故B错误．因为，所以，所以，故C正确．因为在R上单调递减，所以，即，解得或，所以的解集为，故D正确．故选ACD． 11. “曼哈顿距离”是由赫尔曼-闵可夫斯基使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系中，点的曼哈顿距离为：．若点，点为圆上一动点，则（ ） A. 点和点的曼哈顿距离为3 B. 设，则 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据“曼哈顿距离”直接计算可判断得A正确，得出的表达式并分类讨论得出分段函数形式可得B正确，结合辅助角公式以及三角函数单调性和值域性质计算可得C错误，D正确. 【详解】对于A，易知点和点的曼哈顿距离为，即A正确； 对于B，若，可得， 易知， 当时，可得， 当时，可得； 所以可得，即B正确； 对于C，D，由B选项分析可知不妨取， 当时，，则， 因此可知当时，取得最大值为，当时，的最小值为； 当时，，则， 若时，取得最大值为，当趋近于时，趋近于； 综上可知，的最小值为，的最大值为，可知C错误，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，求出，再利用函数的奇偶性得出. 【详解】设，则， 所以， 又函数是奇函数， 所以， 即时，的解析式为. 故答案为： 13. 已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用符合函数的单调性以及对数函数的定义域即可求得结果. 【详解】因为函数在区间上是减函数， 所以在区间上是减函数且恒成立， 所以,解得,综上，实数a的取值范围为. 故答案为： 14. 若存在实数a，对任意的，都有恒成立，则实数m的最大值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知或恒成立，数形结合，可知的图象不能在直线，即的同一侧，即可求得答案. 【详解】由题意知存在实数a，对任意的，都有恒成立， 即或恒成立； 在同一坐标系中，作出函数的图象如图： 由图象可知， 当时，要使不等式恒成立，，此时满足题意的实数有无数多个； 当时，要使不等式恒成立，只有； 当时，需使得的图象不能在直线，即的同一侧， 故此时需满足，综合可知，实数m的最大值为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递增区间； （3）求函数在区间上的值域. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）首先利用三角恒等变换公式将函数化简，再结合余弦函数的性质计算可得； （2）由求出的取值范围，即可得到函数的单调递增区间； （3）由的取值范围，求出的取值范围，再结合余弦函数的性质计算可得； 【详解】解： （1）因为，所以函数的最小正周期 （2）由得 的单调递增区间为 （3）因为，所以，所以，所以 所以函数的值域为. 16. 设中，角所对的边分别为，． （1）求A； （2）已知的面积为，是边上靠近点的三等分点，，求的值． 【答案】（1） （2）24 【解析】 【分析】（1）结合已知条件，利用正弦定理进行边化角，再利用三角恒等变换公式进行化简即可； （2）根据是边上靠近点的三等分点，可得，从而可得，对等式两边同时平方化简即可得到答案． 【小问1详解】 由正弦定理及， 得， ， ， ． ∵，∴，整理得． 又∵， ∴，∴． 【小问2详解】 由题知， 则， 故， 两边平方得． ∵， ∴， 即． ∵，即，∴， ∴． 17. 已知数列，满足 （1）证明：为等差数列，并求通项公式； （2）若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围． 【答案】（1） 因为， 所以两边同除以得：，即， 又因为，所以的首项， 所以是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，所以 （2） 【解析】 【分析】（1）证明为常数即可证明为等差数列，根据等差数列通项公式即可求通项公式，于是可求通项公式； （2）根据通项公式的特征，采用错位相减法求其前n项和，求单调性并求其范围即可求的范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意知，， 所以， ， 两式相减得，， 所以 ＝， 因为数列中每一项均有，所以为递增数列，所以， 因为，所以， 所以，所以 18. 如图，三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点，是上一点（不含端点）． （1）证明：平面； （2）若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1） 因为，分别是，的中点，所以． 因为平面平面，所以平面． （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）要证明线面平行，可通过证明线线平行即可证明线面平行，即证明. （2）（i）先根据已知条件确定球的球心位置，然后根据球的表面积求出球的半径，最后可求出三棱锥的体积.（ii）先建立空间直角坐标系，然后利用向量的坐标、向量夹角的余弦公式即可求出线面角的正弦值的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）如图，连接． 因为是以为斜边的等腰直角三角形，为中点， 所以点是外接圆的圆心． 因为是等边三角形，是中点，所以外接圆的圆心在上． 又平面平面，所以球的球心即为外接圆的圆心． 因为球的表面积，所以球的半径， 所以，，， 所以三棱锥的体积． （ⅱ）如图，以为原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设，则． 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 设直线与平面所成角为， 则. 令，则， 当时，， 当且仅当，即时取等号． 综上所述，直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 19. 已知函数． （1）当时，判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）利用三角恒等变换，分别求函数在，4，6时的取值范围； （3）请结合（2）的结果猜想函数的取值范围，然后证明你的猜想，并求方程有解时n的最小值． 【答案】（1）为偶函数，理由如下： 当时，，定义域为， 则，所以为偶函数． （2） 当时，； 当时，； 当时，． （3），证明如下： 因为n为偶数，所以， 故是周期为的周期函数， 那么不妨只讨论时函数的取值范围， 因为此范围即为函数在定义域上的取值范围； 因为n为偶数，则，， 此时，， 令，解得，或， 易知，当时，， 此时单调递减， 当时，， 此时单调递增， 因为，， 所以此时的最大值为1，最小值为，即；， 所以要使方程有解，只需不等式成立， 当时，，当时，，所以． 【解析】 【分析】（1）由奇偶性的定义判断即可； （2）由二倍角公式化简函数解析式，然后在，4，6时分别求解即可； （3）猜想，当，时，，然后利用导数分析函数的单调性证明该结论，要使方程有解，只需不等式成立，，然后解不等式求解即可. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 则，所以为偶函数． 【小问2详解】 当时，； 当时，， 此时有； 当时，， 此时有． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $