精品解析：吉林省长春市长春汽车经济技术开发区西湖实验学校2025-2026学年九年级上学期开学考试数学试卷

2025-2026学年上学期生涯前测—暑假作业验收 （九）年级（数学）学科试题 满分：120分 作答时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】中心对称图形：一个图形绕着某固定点旋转180度后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；轴对称图形：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这两个概念逐项判断即可．本题考查了中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； 故选：C． 2. 下列调查中,最适宜用普查方式的是（ ） A. 对一批节能灯使用寿命的调查 B. 对全国初中生学生视力状况的调查 C. 对最强大脑节目收视率的调查 D. 对量子科学卫星上某种零部件的调查 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：A. 对一批节能灯管使用寿命的调查调查具有破坏性适合抽样调查，故A不符合题意； B. 对我国初中学生视力状况的调查调查范围广适合抽样调查，故B不符合题意； C. 对“最强大脑”节目收视率的调查调查范围广适合抽样调查，故C不符合题意； D. 对量子科学通信卫星上某种零部件的调查是事关重大的调查适合普查，故D符合题意； 故选D. 点睛：根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可． 3. 在□ABCD中，∠A、∠B的度数之比为5∶4，则∠C等于（ ） A. 60° B. 80° C. 100° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得∠A、∠B互补，∠C =∠A，从而可求得∠A的度数，即可得到结果． 【详解】∵四边形ABCD为平行四边形． ∴∠A+∠B =180°，∠C =∠A． ∵∠A、∠B的度数之比为5∶4． ∴可设∠A=5x，则∠B=4x， ∴5x+4x=180°， 解得：x=20 ∴∠C =∠A=20×5=100°． 故选C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质．解题的关键是熟练掌握平行四边形的邻角互补、对角相等． 4. 一组数据2，4，3，3，5，2，2的众数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了众数，熟练掌握众数是一组数据中出现次数最多的数据是解题的关键． 通过统计这组数据中每个数出现的次数，找出出现次数最多的数，即为众数． 【详解】解：∵在数据2，4，3，3，5，2，2中，2出现了3次，3出现了2次，4和5各出现1次， ∴出现次数最多的数是2， ∴这组数据的众数是2． 故选：A． 5. 若m是方程的一个根，则的值为（ ） A. 2026 B. 2027 C. 2028 D. 2029 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握方程的根能使方程左右两边相等是解题的关键．利用方程的根的定义，将根代入方程得到关于的等式，再对所求式子进行变形，代入计算． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即． ∴ 故选：C． 6. 如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知线段得长度求解即可． 【详解】解：∵直线l1∥l2∥l3， ∴. ∵AB=5，BC=6，EF=4， ∴. ∴DE=. 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 7. 若把的各边长都扩大4倍，则锐角A的正弦值（ ） A. 扩大14倍 B. 扩大4倍 C. 缩小 D. 无变化 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的意义，理解锐角三角函数的意义是正确判断的关键．在中，各边都扩大4倍，其相应边长的比值不变，因此锐角A的正弦函数值也不会改变． 【详解】解：锐角三角函数值是随着角度的变化而变化，而角的大小与边的长短没有关系， 因此锐角A的正弦函数值不会随着边长的扩大而变化， 即若把的各边长都扩大4倍，则锐角A的正弦值无变化， 故选：D． 8. 如图，点A是反比例函数（）图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B，的面积为6．若点也在此函数的图象上，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．先根据反比例函数的几何意义求出的值，得到反比例函数解析式，再将点坐标代入解析式求出． 【详解】解：∵点在反比例函数图象上，轴，， ∴． 又∵反比例函数图象在第一象限，， ∴，解得． ∴反比例函数解析式为． ∵点在上， ∴， 解得． 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共16分． 9. 点所在的象限是第_________象限． 【答案】二 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，熟练掌握各象限内点的横、纵坐标的符号规律是解题的关键．根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，判断点横、纵坐标的符号，进而确定所在象限． 【详解】解：点的横坐标为，纵坐标为，根据第二象限内点的横坐标小于，纵坐标大于，可知点在第二象限． 故答案为：二． 10. 若，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的变形与代入计算是解题的关键．根据已知的比例关系，将用表示出来，再代入所求式子进行计算． 【详解】解：∵， ∴． ∴． 故答案为：． 11. 若关于的一元二次方程有一个根为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和方程的根的应用，熟练掌握一元二次方程二次项系数不为且方程的根满足方程是解题的关键．将已知根代入方程求出的可能值，再根据一元二次方程的定义排除不符合的取值． 【详解】解：将代入方程，得 ， ， ， 解得或． 因为方程是一元二次方程， 所以二次项系数，即． 故答案为：． 12. 如图，已知函数和的图象，则方程组的解为___． 【答案】 【解析】 【分析】一次函数图象的交点坐标就是两函数解析式组成的方程组的解． 【详解】解：∵函数和的图象交于点， ∴方程组的解是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握二元一次方程（组）与一次函数的关系． 13. 如图，的面积是20，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则的面积是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．先根据三角形中线的性质，逐步求出相关三角形的面积，再利用相似三角形的判定及性质求出与的面积关系，进而求出的面积． 【详解】解：∵点是的中点，的面积是， ∴． ∵点是的中点， ∴，． ∵点是的中点，点是的中点， ∴，且． ∴，且相似比为． ∴． 又∵， ∴． ，． ∴． 故答案为：． 14. 如图，在正方形纸片中，点P是边上一点，连结，将正方形沿折叠，点B落在点E处，延长交于点Q，连结，．给出以下结论：①≌；②；③与的面积相等；④若，则．上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由直角三角形中的其中一直角边和斜边相等可证明≌，由此判断①；由≌这个结论可得，再由三角形翻折可得，由可判断②；假设与的面积相等，则可得，由三角形全等可得结论与已知矛盾可判断③；设出正方形边长为a，与的边长为x，根据为直角三角形，由勾股定理列式可得a与x的关系，由此可判断④． 【详解】解：∵是由翻折得到， ∴，， ∴， 在正方形中，， ∴， 则在和中， 由， 可得≌，故①正确； ∵≌， ∴， 又∵是由翻折得到， ∴， ∴，故②正确； 过点C作交于点F，如图， 则与的高为， 则有，， 假设与的面积相等， 则有， ∵， ∴在和中， 由， 可知≌， ∴， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， 由题目已知可得，不是正方形的对角线， ∴与已知矛盾， ∴， ∴与的面积相等，故③错误； 设正方形边长为a，的边长为x， 则有，， ∴，， ∴， ∴， 则在中，， 即， 则有， 解得， ∴， ∵， ∴，故④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了图形的翻折，正方形的性质以及三角形全等的判定与性质，需熟练掌握直角三角形证明全等的方法以及边角边的证明方法；由假设推导结论与已知矛盾是解决本题的关键． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，包括直接开平方法和因式分解法 ，熟练掌握一元二次方程的不同解法以及其适用条件是解题的关键． （1）方程可通过移项，将方程变形为（）的形式，然后利用直接开平方法求解． （2）先将方程变形，再通过提取公因式，将方程转化为两个因式乘积等于的形式，最后根据“若，则或”来求解方程． 【小问1详解】 解： ∴，； 【小问2详解】 解： ∴或 ∴，． 16. 如图，A、B两点被池塘隔开，小吴为了测量A，B两点间的距离，他在AB外选一点C，连接AC和BC，延长AC到D，使，延长BC到E，使，连接DE．若小吴测得DE的长为400米，根据以上信息，请你求出AB的长． 【答案】AB的长为800米． 【解析】 【分析】由题意易得，然后可得△ABC∽△DEC，进而根据相似三角形的性质可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴△ABC∽△DEC， ∴， ∵DE的长为400米， ∴AB=800， 答：AB的长为800米． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 17. 如图，在中，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．连结．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．证明，得，再证明四边形是平行四边形，然后由等腰三角形的性质得，则，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵D是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， 在中，，D为的中点， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 18. 定义：如果关于x的一元二次方程有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． （1）判断一元二次方程是否为“C方程”，请说明理由； （2）已知关于x的一元二次方程是“C方程”，求代数式的最小值． 【答案】（1） 是“C方程”，理由如下： ∵， ∴， ∴或， 解得：， ∵， ∴一元二次方程是“C方程”； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，理解“C方程”的定义是解题的关键． （1）求出方程的解，再根据“C方程”定义即可判断； （2）根据“C方程”定义，得到，利用配方法，非负数的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程是“C方程”， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 19. 图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹． （1）在图①中以线段为边画一个三角形，使它与相似． （2）在图②中画一个三角形，使它与相似（不全等）． （3）在图③中的线段上画一个点P，使． 【答案】 （1）如图①； （2）如图②； （3）如图③． 【解析】 【分析】（1）连接DE，则DE//BC，由相似三角形的判定方法可知△ADE∽△ABC； （2）如图②，根据勾股定理和相似三角形的判定方法可知△DEF∽△ABC； （3）连接DE，BE，DE交AB于点P，则DE//BC，根据平行线分线段成比例定理可知． 【详解】略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，平行四边形的判定与性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的管家．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似． 20. 某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表．根据所给信息，解答下列问题： 成绩统计表 组别 成绩x（分） 百分比 A组 5% B组 15% C组 a D组 35% E组 25% 成绩条形统计图 （1）本次调查的成绩统计表中_________，并补全条形统计图； （2）这200名学生成绩的中位数会落在_________组（填A、B、C、D或E）； （3）试估计该校1200名学生中成绩在80分以上（包括80分）的人数． 【答案】（1） 补全条形统计图如下： （2）中位数落在组． （3）人 【解析】 【分析】本题主要考查了统计的相关知识，包括百分比的计算、中位数的确定以及用样本估计总体，熟练掌握这些统计概念和方法是解题的关键． （1）根据各小组百分比之和为，用减去其他组的百分比可求出的值，再根据百分比求出组的人数，进而补全条形统计图． （2）中位数是将数据从小到大排列后，位于中间位置的数，这里数据有个，是偶数个，所以中位数是第和个数的平均数，需要确定这两个数所在的组． （3）先求出成绩在分以上（包括分）的学生在抽取的名学生中的百分比，再用全校总人数乘以该百分比进行估计． 【小问1详解】 解：因为各小组百分比之和为，所以． 组的人数为（人）． 【小问2详解】 解：将个数据从小到大排列，第和个数都在组， 所以中位数落在组． 【小问3详解】 解：成绩在分以上（包括分）的学生所占百分比为． 该校名学生中成绩在分以上（包括分）的人数为（人）． 21. 李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地，行驶过程中，货车离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）的关系如图所示，当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒，设货车平均耗油量为升/千米，请根据图象解答下列问题： （1）工厂距目的地的路程为___________千米； （2）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）运输过程中，当货车显示加油提醒时，是多少？ 【答案】（1）880 （2） （3）小时 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用函数图象中的关键信息是关键． （1）依据题意，由货车从工厂去目的地送一批物资，结合图象可以得解； （2）依据题意，货车的速度为（千米小时），从而，又令，求出可得自变量的取值范围； （3）依据题意得，，进而计算可以得解． 【小问1详解】 解：货车从工厂去目的地送一批物资， 当时，就是表示工厂距目的地的路程，即为880千米． 故答案为：880； 【小问2详解】 解：货车的速度为（千米小时）， 则， 当时，解得， 关于的函数解析式为． 【小问3详解】 解：， 解得：． 即运输过程中，当货车显示加油提醒时，是小时． 22. 【问题原型】如图①，在菱形中，，．点是边上一点，点是对角线上一点，，试求的最小值． 【问题探究】如图②，小芳首先过点作，使，利用平行线的性质可得到，进而可利用，将转化为，这样就将问题转化为寻找点位置的问题． 以下是小芳证明的部分过程： 证明：过点作，使，连结 四边形是菱形，． 证明过程缺失 请你补全缺失的证明过程 【问题解决】结合上述探究过程，用无刻度的直尺，在图③中作出【问题原型】中点的位置，使的值最小，此时的最小值是_________（保留作图痕迹） 【答案】【问题探究】 ， ， ， ， ， 【问题解决】 点即为所求： 最小值 【解析】 【分析】问题探究：由题意补全证明过程即可； 解决问题：连接交于点，根据两点间线段最短可知即为的最小值，然后连接，由菱形的性质和勾股定理即可得出答案． 【详解】解：问题探究： 证明过程补全如下： 过点C作，使，连结， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ； 解决问题: 由【问题探究】可知， ∴， ∴当、、三点共线时，取得最小值，最小值为， ∴连接交于点，如图， 连接，如图， ∵四边形是菱形，， ∴，， 又∵ 是等边三角形， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，两点间线段最短，勾股定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23. 如图，在矩形中，，，点是边的中点，点是边上的动点（点不与点重合），以点为旋转中心，将点顺时针旋转，得到点． （1）_________ （2）求点到直线的距离． （3）求线段与长度之和的最小值． （4）_________ 【答案】（1）． （2）． （3） （4）． 【解析】 【分析】（1）利用矩形对边相等及中点定义求解． （2）通过作辅助线，构造全等三角形，利用全等三角形的性质求点到直线的距离． （3）利用旋转性质将转化为，再根据两点之间线段最短，结合勾股定理求最小值． （4）过点作直线于，交于，利用矩形的判定及性质求得，进而结合三角形面积公式求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形，，点是中点， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 解：过点作于点．则， ∵四边形是矩形， ∴, 又 ∵，， ∴． 又∵，， ∴． ∴，即点到直线的距离为． 【小问3详解】 解：由旋转可知，则． 当、、共线时，最小，即最小．连接， ∵，， ∴在中，， ∴的最小值为． 【小问4详解】 解：过点作于，交于． ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵ ∴四边形是矩形， ∴． 由（2）知， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握这些知识并能灵活运用是解题的关键． 24. 若一次函数经过点、，点的坐标为，点的横坐标为． （1）求的值 （2）若线段的最高点与最低点的纵坐标之差为，求的值 （3）已知点，以坐标原点为中心构造矩形，轴 ①若矩形的周长是，求的值． ②若线段与矩形只有一个公共点，的取值范围是_________ 【答案】（1）; （2）6或； （3）①或；②的取值范围是或或或． 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入一次函数解析式，求解的值． （2）先得出一次函数表达式，分析其单调性，再根据最高点与最低点纵坐标之差为列方程求解． （3）①根据矩形性质得出相关点坐标，进而得到边长，结合周长公式列方程求．②通过分析线段与矩形的位置关系，确定的取值范围． 【小问1详解】 解：∵一次函数经过点， ∴将，代入， ∴ ， ； 【小问2详解】 解：由（1）知一次函数解析式为， ∵， ∴随的增大而增大． 点横坐标为，则点纵坐标为． 当时，最高点纵坐标为，最低点纵坐标为，则， ； 当时，最高点纵坐标为，最低点纵坐标为，则， ； 【小问3详解】 解：①∵轴，点，以原点为中心构造矩形， ∴，，． ∴，． ∵矩形周长为，即． 当，，即时，， 当，，即时，， ，不成立． 当时，， ∴或． ②一次函数，点． ∵矩形中，，，，． ∴直线为，直线为，直线为，直线为 如图，当点在线段上时，，解得， 由图可得当时，线段与矩形只有一个公共点， 如图，当点在线段上时，，解得， 如图，当在线段上时，，解得， 由图，图可得时，线段与矩形只有一个公共点， 如图，当点在线段上时，，解得， 如图，当在线段上时，，解得， 由图，图可得时，线段与矩形只有一个公共点， 如图，当点在线段上时，，解得， 由图可得当时，线段与矩形只有一个公共点， 综上可得，的取值范围是或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质、矩形的性质，熟练掌握一次函数的增减性以及矩形的边长与坐标的关系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期生涯前测—暑假作业验收 （九）年级（数学）学科试题 满分：120分 作答时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查中,最适宜用普查方式的是（ ） A. 对一批节能灯使用寿命的调查 B. 对全国初中生学生视力状况的调查 C. 对最强大脑节目收视率的调查 D. 对量子科学卫星上某种零部件的调查 3. 在□ABCD中，∠A、∠B的度数之比为5∶4，则∠C等于（ ） A. 60° B. 80° C. 100° D. 120° 4. 一组数据2，4，3，3，5，2，2的众数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 若m是方程的一个根，则的值为（ ） A. 2026 B. 2027 C. 2028 D. 2029 6. 如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 7. 若把的各边长都扩大4倍，则锐角A的正弦值（ ） A. 扩大14倍 B. 扩大4倍 C. 缩小 D. 无变化 8. 如图，点A是反比例函数（）图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B，的面积为6．若点也在此函数的图象上，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共16分． 9. 点所在的象限是第_________象限． 10. 若，则_____． 11. 若关于的一元二次方程有一个根为，则________． 12. 如图，已知函数和的图象，则方程组的解为___． 13. 如图，的面积是20，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则的面积是_________． 14. 如图，在正方形纸片中，点P是边上一点，连结，将正方形沿折叠，点B落在点E处，延长交于点Q，连结，．给出以下结论：①≌；②；③与的面积相等；④若，则．上述结论中，正确结论的序号有______． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 解方程： （1）； （2）． 16. 如图，A、B两点被池塘隔开，小吴为了测量A，B两点间的距离，他在AB外选一点C，连接AC和BC，延长AC到D，使，延长BC到E，使，连接DE．若小吴测得DE的长为400米，根据以上信息，请你求出AB的长． 17. 如图，在中，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．连结．求证：四边形是矩形． 18. 定义：如果关于x的一元二次方程有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． （1）判断一元二次方程是否为“C方程”，请说明理由； （2）已知关于x的一元二次方程是“C方程”，求代数式的最小值． 19. 图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹． （1）在图①中以线段为边画一个三角形，使它与相似． （2）在图②中画一个三角形，使它与相似（不全等）． （3）在图③中的线段上画一个点P，使． 20. 某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表．根据所给信息，解答下列问题： 成绩统计表 组别 成绩x（分） 百分比 A组 5% B组 15% C组 a D组 35% E组 25% 成绩条形统计图 （1）本次调查的成绩统计表中_________，并补全条形统计图； （2）这200名学生成绩的中位数会落在_________组（填A、B、C、D或E）； （3）试估计该校1200名学生中成绩在80分以上（包括80分）的人数． 21. 李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地，行驶过程中，货车离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）的关系如图所示，当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒，设货车平均耗油量为升/千米，请根据图象解答下列问题： （1）工厂距目的地的路程为___________千米； （2）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）运输过程中，当货车显示加油提醒时，是多少？ 22. 【问题原型】如图①，在菱形中，，．点是边上一点，点是对角线上一点，，试求的最小值． 【问题探究】如图②，小芳首先过点作，使，利用平行线的性质可得到，进而可利用，将转化为，这样就将问题转化为寻找点位置的问题． 以下是小芳证明的部分过程： 证明：过点作，使，连结 四边形是菱形，． 证明过程缺失 请你补全缺失的证明过程 【问题解决】结合上述探究过程，用无刻度的直尺，在图③中作出【问题原型】中点的位置，使的值最小，此时的最小值是_________（保留作图痕迹） 23. 如图，在矩形中，，，点是边的中点，点是边上的动点（点不与点重合），以点为旋转中心，将点顺时针旋转，得到点． （1）_________ （2）求点到直线的距离． （3）求线段与长度之和的最小值． （4）_________ 24. 若一次函数经过点、，点的坐标为，点的横坐标为． （1）求的值 （2）若线段的最高点与最低点的纵坐标之差为，求的值 （3）已知点，以坐标原点为中心构造矩形，轴 ①若矩形的周长是，求的值． ②若线段与矩形只有一个公共点，的取值范围是_________ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $