重庆市第八中学校2024-2025学年高一上学期数学周考一试题

周考一参考答案与试题解析 1. 解:∵P={x|x<0}, Q={x|x≤-1或yx≥1}, ∴P∩Q={x|x≤-1}.故选: B. 2. 解: 的否定是 故选: C. 3. 解: x>0, y>0, 且 则xy≥8, 当且仅当2x=y=4, 取得最小值8. 故选: A. 4. 解: 设A={x|-2≤x≤10}, B={x|1-m≤x≤1+m},因为p的充分不必要条件是q，所以B是A的真子集，所以 且等号不同时成立，解得0<m≤3，当m=3时，B={x|-2≤x≤4}.成立，所以0<m≤3. 故选: A. 5. 解: 令A={x|5-x∈N, x∈N}, 则A={0, 1,2, 3, 4, 5}, 而( 因为 card (A)=6,所以A的非空子集个数为 故选:D . 6.解：由已知条件可知，a、b为方程. 的两根, 此时△>0, ∴a+b=8, ab=5, 故选: A. 7. 解: ∵a>0, b>0, a+b=1, 可得b=1-a, 当且仅当 即 时取等号， 的最小值为8.故选：C. 8.解：设只参加“数学建模课”和“语文素养课”的有x人，只参加“数学建模课”和“国际视野课”的有y人, 只参加“语文素养课”和“国际视野课”的有z人, 则139+128+115+30-(x+y+z)+20=400,所以x+y+z=32. 故选: C. 9.解：A：因为集合N⁺的元素为正整数，所以0gN⁺，故A错误， B：因为集合CRQ表示有理数的补集，则集合中的元素为无理数，所以 故B正确， C: 因为集合{0}的元素0在集合{0, 1}中, 所以{0}⊆{0, 1}, 故C 正确, D: 因为{0}作为元素在集合{{0}, 1}中, 所以{0}∈{{0}, 1}, 故D错误, 故选: BC. 10. 解: 对于A, 因为0>a>b, 所以 又 ab>0,所以 故正确； 对于B, 因为0>a>b, 所以 故错； 对于C,因为c>0>a>b,所以-b>-a>0①,可得c-b>c-a>0②,-1/c-->-1/c-b>0,可得 所以 故正确； 对于D， 分母符号不确定，故错；故选：AC. 11. 解: A,∵A={1,2}, ∴集合B={(1,1), (2,2)}或B={(1,1), (2,2), (1,2)}或B={(1,1), (2,2), (2,1)}共3个, ∴A正确, B, 由③知, (1,2), (2,1)不能同时出现, ∴B错误, C, 必须含有(1,1), (2, 2)(3, 3), ∵(1,2)与(2,1), (1,3)与(3,1), (2,3)与(3,2)不能同时出现, ∴再从(1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2)中取一个, 共6个, ∴C 正确, D, R'={(a,b)|a∈R , b∈R, a≤b}满足①②, ∵∀(a,b)∈R', a≤b, ∀(b,a)∈R', b≤a, ∴a=b, 满足③, 学科网（北京）股份有限公司 ∵∀(a,b)∈R', a≤b, ∀(b,c)∈R', b≤c, ∴a≤c, ∴(a,c)∈R', ∴D正确, 故选: ACD. 12. ,因对任意实数x，y，都有 成立， 故当且仅当 即 时，多项式取得最小值16.故答案为：16. 13. 解: U=A∪B={x∈N|0≤x≤10}={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10},{1, 3, 5, 7}⊆A, 而B中不包含{1, 3, 5, 7},用 Venn图表示如图∴B={0, 2, 4, 6, 8, 9, 10}. 14. 解: 将 化为(4x-y)(x-2y)=-4, 令t=4x-y, 则 解得 因为 所以t>0, 所以 当且仅当 即t=2时，等号成立，此时 所以3x+y的最小值为4.故答案为：4. 15.【解答】(1) 情形一: 若a=0, 则 中只有 这一个元素，故a=0符 合题意； 情形二：若a≠0，且集合A中只有一个元素， 这意味着当且仅当一元二次方程。 有两个相等的实数根， 从而△=9-4a=0, 解得 综上所述，实数a的所有取值可能为：0, 情形一: 当m=0时, B={x| mx-1=0}={x|0·x-1=0}=∅,此时满足B⊆C,故m=0符合题意; 情形二：当m≠0时， 若要B⊆C，则当且仅当 或 解得 或m=1;综上： 或m=1. 16.【解答】(1) 因为a、b是正数, 所以 当且仅当a=b=2时取等，故a+b的最小值为4. (2) 由 因为a>1, b>1, 所以a-1>0, b-1>0, 则 当且仅当 时等号成立，故 的最小值为25. 17.【解答】解：(1)因活动室的左右两侧的长度均为x米，则活动室正面的长度为 米，于是得 所以y关于x的函数解析式是 学科网（北京）股份有限公司 (2)由(1)知,对于公司甲, 当且仅当 即x=4时取“=”，则当左右两侧墙的长度为4米时，公司甲的最低报价为28800元，对于乙, 函数600x+20000在[1, 5]上单调递增, 20600≤600x+20000≤23000,即乙公司最高报价为23000元， 因23000<28800，因此，无论x取何值，公司甲的报价均更高，所以公司乙能竞标成功. 18.【解答】解: (1) 根据题意, 若x比y远离2, 即|x-2|>|y-2|①, 又由x+y=1, 则①式可变形为|>x-2|>|1-x-2|=x+1|,解可得： 即x的取值范围为 (2) 证明: 则 则 a≠b, 则 则 故 比 远离 ab; (3) 根据题意, 由于x+y=2, 则. 故 当 时， 此时 则有 当 时， 此时 则有 综合可得： 故 更远离 19.【解答】解:(1)若 由题意可得,1×3,1×9,3×9∈T,即3,9,27∈T,此时 满足题意， 假设集合T中还有第四个元素为t，则由题意可知：若t<3，即 则 所以不成立；若t>3,则 所以t=3或9或27, 矛盾. 故集合T中无四个元素, 所以集合T={3, 9, 27}. (2)设集合 不妨设( 假设1∈S₂, 即( 则 且a₂, a₃, a₂a₃∈T, 由②知 注意到 故有 即 所以 故 即 因为集合T中有4个元素，故设 学科网（北京）股份有限公司 由②可得：若则 所以 ∉S₂, 矛盾； 若 则 或a₂或ca²,所以 或a²或a²₂，与集合元素的互异性矛盾，假设错误, 故l∉S₂. 不妨设 所以 又 故 同理可得 若 与(2)类似得 从而必有 对任意的l≤i<j≤2n-3,有 即 所以：2n-4≤n-1, 即n≤3.若x₁≠1,即 故 所以 即 从而必有 对任意的3≤i<j≤2n-1,必有 即 所以2n-4≤n, 即n≤4.综上, 得n≤4, 又n=4时, 有S={2, 4, 8, 16}, T={8, 16, 32, 64, 128}符合题意,所以n的最大值为4. 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆八中高2027级高一 (上)周考一 数 学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合P={x|x<0}, Q={x|x²≥1}, 则P∩Q= A. {x|x<1} B. {x|x≤-1} C. {x|x>1} D.{x|x≥-1} 2. 命题: 的否定是 3. 已知x>0, y>0, 且2x+y= xy, 则 xy的最小值为 A. 8 C. 9 4.已知p:-2≤x≤10, q:1-m≤x≤1+m(m>0), 若p的充分不必要条件是q，则实数m的取值范围为 A.0<m≤3 B.0<m<3 C. m<3 D. m≤3 5.已知∅⫋M⊆{x|5-x∈N, x∈N},则满足条件的集合M 的个数为 A. 32 B. 31 C. 64 D. 63 6. 若实数a≠b, 且a, b满足 则代数式 的值为 A. - 20 B. 2 C. 2或-20 D. 2或20 7. 已知a>0, b>0, a+b=1, 则 的最小值为 A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 8.为丰富学生的课外活动，学校开展了丰富的选修课，参与“数学建模选修课”的有 169人，参与“语文素养选修课”的有158人，参与“国际视野选修课”的有145人，三项选修课都参与的有30人，三项选修课都没有参与的有20人，全校共有400人，问只参与两项活动的同学有多少人? A. 30 B. 31 C. 32 D. 33 学科网（北京）股份有限公司 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列关于符号“∈，⊆”使用正确的有 A. 0∈N⁻ C.{0}⊆{0,1} D.{0}⊆{{0}, 1} 10. 若a, b, c∈R, c>0>a>b, 下列不等式一定成立的有 11.对于一个非空集合B，如果满足以下四个条件： 答案①B⊆{(a,b)|a∈A, b∈A}; ②∀a∈A, (a,a)∈B; ③∀a, b∈A, 若(a,b)∈B且(b,a)∈B, 则a=b; ④∀a, b, c∈A, 若(a,b)∈B且(b,c)∈B, 则(a,c)∈B. 就称集合B为集合A的一个“偏序关系”，以下说法正确的是 A.设A={1，2}，则满足是集合A的一个“偏序关系”的集合B共有3个 B. 设A={1,2,3}, 则集合B={(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,3)}是集合A的一个“偏序关系” C.设A={1，2，3}，则含有四个元素且是集合A的“偏序关系”的集合B共有6个 D. R'={(a,b)|a∈R, b∈R, a≤b}是实数集R的一个“偏序关系” 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分。 12.多项式 的最小值为 . 13.已知全集U=A∪B={x∈N|0≤x≤10}, A∩(C,B)={1, 3, 5, 7}, 则集合B= . 14.已知正实数x，y满足 且 则3x+y的最小值为 . 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (本小题满分13分) (1)设集合 中有且仅有一个元素，求实数a的所有取值； (2)已知集合 若 求实数m的值. 16. (本小题满分15分) 已知正数a、b满足 (1) 求a+b的最小值; (2) 求 的最小值. 17.(本小题满分15分) 为了方便社团活动，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的社团活动室，由于此活动室的后背靠墙，无需建造费用，公司甲给出的报价为：活动室正面的报价为每平方米400元，左右两侧报价为每平方米300元，屋顶和地面报价共计9600元，设活动室的左右两侧的长度均为x米( 公司甲的整体报价为y元. (1)试求y关于x的函数解析式； (2)现有公司乙也要参与此活动室建造的竞标，其给出的整体报价为(600x+20000元，若采用最低价中标的规则，哪家公司能竞标成功?请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 18. (本小题满分17分) 当 时, 则a<-b或a>b.若实数x, y, m满足| ，则称x比y远离m. (1) 若x比y远离2且.x+y=1,求实数x的取值范围； (2)对任意两个不相等的实数a，b，证明： 比 远离 ab; (3) 若x+y=2, 判断: x与 哪一个更远离 并说明理由. 19. (本小题满分17分) 设集合S、T为正整数集N⁺的两个子集，S、T至少各有两个元素.对于给定的集合S，若存在满足如下条件的集合T： ①对于任意a, b∈S, 若a≠b, 都有( ②对于任意a， 若a<b,则 则称集合T为集合S的“K集”. (1)若集合 求 的“K集” T₁; (2)若三元集 存在“K集” T₂, 且 中恰含有4个元素，求证： (3)若 存在“K集”,且. 求n的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $