精品解析：江苏省苏州工业园区星海实验高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷

2023级高二年级10月学情调研测试 高二数学 命题人：梅滋亚，审核人：史霞芬 2024.10 一、单选题：本题共8小题，每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列满足且，则（ ） A. 3 B. C. -2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得数列递推式，求出其前面几项，可得数列的周期，由此可求得答案. 【详解】由题意数列满足，则， 故由，得， 由此可知数列的周期为4， 故， 故选：B 2. 已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，两边取倒数，然后累加即可得到结果. 【详解】，则，，，…，，以上各式相加可得，，. 故选：B 3. 数列中，，（n为正整数），则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合递推式特征，得到为常数列可得答案. 【详解】因为，所以， 则有，得，故. 故选：A 4. 《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则 A. 64 B. 96 C. 128 D. 160 【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列公差为，求得，得到，结合党旗长与宽之比都相等和，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，设公差为， 因为，，可得， 可得， 又由长与宽之比都相等，且，可得，所以. 故选：C. 5. 是直线与直线平行的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，由两直线平行求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由直线与直线平行，得且，解得或， 所以是直线与直线平行的充分非必要条件. 故选：A 6. 已知等比数列的前3项和为168，，则（ ） A. 14 B. 12 C. 6 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解. 【详解】解：设等比数列的公比为， 若，则，与题意矛盾， 所以， 则，解得， 所以. 故选：D. 7. 已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得可能的最大值，然后构造数列满足条件，即得到的最大值． 【详解】若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小， 不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为， 则，， 所以. 对于，， 取数列各项为(，, 则， 所以n的最大值为11． 故选：C． 8. 已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是 A. 2 B. 3 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】∵数列{an}和{bn}均为等差数列，且其前n项和An和Bn满足，则 . 所以验证知，当n=1，2，3，5，11时，为整数. 故选C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列的前项和为，已知，则（ ） A. 是递增数列 B. C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据求出数列通项判断A,B,C，再结合二次函数的对称性判断D. 【详解】A选项，当时，，又， 所以，因为，则是递减数列，故A错误； B选项，由可得，故B正确； C选项，令，解得，故C正确； D选项，因为的对称轴为，开口向下，又，所以当或4时，取得最大值，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知数列满足，则（ ） A. B. 的前n项和为 C. 的前100项和为100 D. 的前30项和为357 【答案】AD 【解析】 【分析】当时，，两式相减可求出，检验满足，可判断A；由等差数列的前项和公式可判断B；由分组求和法可判断C，D. 【详解】当时，， 当时，， 两式相减可得：， 所以， 显然当时，满足，故，故A正确； 由等差数列求和公式知的前项和为，故B错误； 令，的前100项和为： ，故C错误； 令， 所以的前30项和为： ，故D正确. 故选：AD. 11. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 数列的前项和为 【答案】BCD 【解析】 【分析】直接由递推公式求出即可判断A选项；分为奇数或偶数即可判断B选项；分为奇数或偶数结合累加法即可判断C选项；由分组求和法即可判断D选项. 【详解】对于A，，，，故A错误； 对于B，当为奇数时，为偶数，则，， 可得，当为偶数时，为奇数， 则，，可得，故B正确； 对于C，当为奇数且时，，，，，， 累加可得 ，时也符合； 当为偶数且时，，，，，， 累加可得 ，故，故C正确； 对于D，设数列的前项和为，则， 又，所以，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线l经过点，且倾斜角为直线的倾斜角的一半，则l的方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题设可得已知直线的倾斜角为，即知所求直线的斜率，结合所过的点，应用点斜式写出直线方程. 【详解】由直线得此直线的斜率为， 所以倾斜角为，从而所求直线的斜率为， 则所求直线的斜率为，由直线过点， 所以所求直线为：， 即. 故答案为： 13. 记为等差数列的前n项和，若，则______. 【答案】##0.3125 【解析】 【分析】根据给定条件，求出公差与首项的关系即可计算得解. 【详解】设等差数列的公差为d，首项为，由，得，即， 则，整理得，所以． 故答案为： 14. 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则___________；数列所有项的和为____________． 【答案】 ①. 48 ②. 384 【解析】 【分析】方法一：根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解，进而可求得结果；方法二：根据等比中项求，在结合等差、等比数列的求和公式运算求解. 【详解】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为， 则，且，可得， 则，即，可得， 空1：可得， 空2： 方法二：空1：因为为等比数列，则， 且，所以； 又因为，则； 空2：设后7项公比为，则，解得， 可得，所以. 故答案为：48；384. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，数列为以为公差，以为首项的等差数列，即可得通项公式； （2）利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 根据题意，数列满足， 即， 所以根据题意，数列为以为公差的等差数列， 又，则， 所以； 【小问2详解】 根据题意，， 所以数列的前n项和为：. 16. 设为数列的前n项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据即可求出； （2）根据错位相减法即可解出． 【小问1详解】 因为， 当时，，即； 当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． 【小问2详解】 因为，所以， ， 两式相减得， ， ，即，． 17. 已知函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上． （1）求数列的通项公式； （2）若函数，令，求数列的前2020项和． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 【分析】（1）由题意可得，然后利用可求出数列的通项公式； （2）由题意可得，然后利用倒序相加法可求得结果 【详解】（1）∵点均在函数的图象上， ∴． 当时，； 当时，，适合上式，∴． （2）∵，∴． 又由（1）知，∴． ∴，① 又，② ①+②，， ∴． 18. 已知数列的前n项和满足 （1）求数列的通项公式; （2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】首先令求出首项，然后当时，有，两式相减，得到数列的递推关系，发现数列是以2为首项，1为公差的等差数列，从而求得，得到所求； 将的通项公式代入不等式等价于对恒成立，即进一步求出的最大值即可. 【小问1详解】 当时，， 即， 解得： ； 当时，，  则， 即， 即， 数列是以2为首项，1为公差的等差数列， ， 即； 又也适合上式， 故. 【小问2详解】 原不等式可化为：， 等价于， 记， 则对恒成立， ， 又， 当时，， 即； 当 时，， 即， 数列的最大项为， 即， 解得： . 【点睛】易错点点睛：本题主要考查由数列的与的关系式求通项公式的方法以及求与数列有关的恒成立中参数范围的求法；在由数列的与的关系式求通项的时候要注意的范围及验证. 19. 已知数列满足， （1）计算的值； （2）令，求证：数列是等比数列； （3）设、分别为数列、的前项和，是否存在实数，使得数列为等差数列?若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）因为，即， 则， 且，可知，即 所以数列是以首项为，公比为的等比数列. （3）存在使得为等差数列. 【解析】 【分析】（1）根据递推公式令，代入求解即可； （2）根据递推公式结合等比数列的定义分析证明； （3）根据等比数列可得，，利用累加法可得，进而可得，再根据等差数列的定义和性质分析求解. 【小问1详解】 因为，即， 令，可得； 令，可得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可得，， 则，即， 当时，则 ， 且时，符合上式， 所以， 则， 设，则， 若为等差数列，则， 即，解得， 所以，则， 所以存在使得为等差数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级高二年级10月学情调研测试 高二数学 命题人：梅滋亚，审核人：史霞芬 2024.10 一、单选题：本题共8小题，每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列满足且，则（ ） A. 3 B. C. -2 D. 2. 已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 数列中，，（n为正整数），则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则 A. 64 B. 96 C. 128 D. 160 5. 是直线与直线平行的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知等比数列的前3项和为168，，则（ ） A. 14 B. 12 C. 6 D. 3 7. 已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 8. 已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是 A. 2 B. 3 C. 5 D. 4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列的前项和为，已知，则（ ） A. 是递增数列 B. C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 10. 已知数列满足，则（ ） A. B. 的前n项和为 C. 的前100项和为100 D. 的前30项和为357 11. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 数列的前项和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线l经过点，且倾斜角为直线的倾斜角的一半，则l的方程为________． 13. 记为等差数列的前n项和，若，则______. 14. 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则___________；数列所有项的和为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 16. 设为数列的前n项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和． 17. 已知函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上． （1）求数列的通项公式； （2）若函数，令，求数列的前2020项和． 18. 已知数列的前n项和满足 （1）求数列的通项公式; （2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知数列满足， （1）计算的值； （2）令，求证：数列是等比数列； （3）设、分别为数列、的前项和，是否存在实数，使得数列为等差数列?若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $