精品解析：2023年北京市中考数学备战测评数学试卷

2023年北京市中考数学备战测评数学试卷 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，属于柱体的一组是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】柱体分为圆柱和棱柱，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，由此可选出答案． 【详解】解：A、左边的图形属于锥体，故本选项不符合题意； B、上面的图形是圆锥，属于锥体，故本选项不符合题意； C、三个图形都属于柱体，故本选项符合题意； D、上面的图形不属于柱体，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了立体图形的定义，注意几何体的分类，一般分为柱体、锥体和球．解答本题的关键是掌握柱体的定义和特点，难度一般． 2. 据报道．截至2022年10月底，北京市累计建成并开通5G基站73000个，将73000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示形式表示即可． 【详解】， 故选：C． 【点睛】本题考查了把绝对值大于1的数用科学记数法表示，其形式为，且n为正整数，它等于原数的整数数位与1的差． 3. 下列说法错误的是（ ） A. 对顶角相等 B. 平行于同一条直线的两直线平行 C. 相等的角是对顶角 D. 等角的余角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了对顶角、平行公理、等角的余角相等．根据对顶角的定义对A和C进行判断；根据平行公理对B进行判断；根据余角的定义对D进行判断． 【详解】解：A、两直线相交，所形成的对顶角相等，说法正确，本选项不符合题意； B、平行于同一条直线两直线平行，说法正确，本选项不符合题意； C、相等的角不一定为对顶角，原说法不正确，本选项符合题意； D、等角的余角相等，说法正确，本选项不符合题意； 故选：C． 4. 如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ） A. ∠1=∠2 B. ∠2=∠3 C. ∠1＞∠4+∠5 D. ∠2＜∠5 【答案】A 【解析】 【分析】根据对顶角性质、三角形外角性质分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：由两直线相交，对顶角相等可知A正确； 由三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和可知 B选项为∠2＞∠3， C选项为∠1=∠4+∠5， D选项为∠2＞∠5． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，对顶角性质，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质进行判断． 5. 下列多边形中，内角和最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式可直接进行排除选项． 【详解】解：A、是一个三角形，其内角和为180°； B、是一个四边形，其内角和为360°； C、是一个五边形，其内角和为540°； D、是一个六边形，其内角和为720°； ∴内角和最大的是六边形； 故选D． 【点睛】本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键． 6. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由数轴及题意可得，依此可排除选项． 【详解】解：由数轴及题意可得：， ∴， ∴只有B选项正确， 故选B． 【点睛】本题主要考查实数的运算及数轴，熟练掌握实数的运算及数轴是解题的关键． 7. 为响应“书香校园”建设的号召，在全校形成良好的阅读氛围，随机调查了部分学生平均每天阅读时间，统计结果如图所示，则本次调查中阅读时间为的众数和中位数分别是（ ） A. 2和1 B. 1.25和1 C. 1和1 D. 1和1.25 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据里的数；给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．如果一组数据存在众数，则众数一定是数据集里的数．由统计图可知阅读时间为1小数的有19人，人数最多，所以众数为1小时；总人数为40，得到中位数应为第20与第21个的平均数，而第20个数和第21个数都是1（小时），即可确定出中位数为1小时． 考点：（1）众数；（2）条形统计图；（3）中位数 8. 初三年级甲、乙、丙、丁四个级部举行了知识竞赛，如图，平面直角坐标系中，x轴表示级部参赛人数，y轴表示竞赛成绩的优秀率（该级部优秀人数与该级部参加竞赛人数的比值），其中描述甲、丁两个级部情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四个级部在这次知识竞赛中成绩优秀人数的多少正确的是（ ） A. 甲乙丙丁 B. 丙甲丁乙 C. 甲丁乙丙 D. 乙甲丁丙 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知的值即为该级部的优秀人数，再根据图象即可确定各级部人数的大小关系． 【详解】解：根据题意，可知的值即为该级部的优秀人数， ∵描述甲、丁两级部情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴甲、丁两级部的优秀人数相同， ∵点乙在反比例函数图象上面， ∴乙级部的的值最大，即优秀人数最多， ∵点丙在反比例函数图象下面， ∴丙级部的的值最小，即优秀人数最少， ∴乙甲丁丙， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，结合实际含义理解图象上点的坐标含义是解题的关键． 二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分） 9. 若y＝＋＋1，则xy＝_____． 【答案】． 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到关于x的不等式组，求出x，代入求出y，即可求解． 【详解】解：由题意得： ， 解得x＝ ， ∴＝1， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，熟练掌握二次根式有意义的条件，代数式求值，根据二次根式有意义的条件求出x、y的值是解题关键． 10. 分解因式：_________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 先提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 解方程：＝＋1的解是________． 【答案】x=3 【解析】 【分析】首先去分母，化为整式方程，再解整式方程即可求解，最后检验即可． 【详解】解：去分母，得：x(x+1)=4+x2-1 解得x=3 经检验x=3是原方程的解 所以，原方程的解为x=3． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握和运用分式方程的解法是解决本题的关键． 12. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，CO＝2，则阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂径定理可得CE=DE，∠CEO=∠DEB=90°，然后根据∠CDB=30°，得出∠COB=60°，继而证得△OCE≌△BDE，把阴影部分的面积转化为扇形的面积计算即可． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E， ∴CE＝DE，∠CEO＝∠DEB＝90°． ∵∠CDB＝30°， ∴∠COB＝60°，∠OCE＝∠CDB， △OCE和△BDE中， ， ∴△OCE≌△BDE（ASA）， ∴S阴影＝S扇形OCB＝π， 故答案为． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算以及垂径定理、全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是理解性质和定理，注意掌握扇形的面积公式． 13. 如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P.若∠AOB＝90°，OP＝6，则OC的长为______. 【答案】 【解析】 【分析】连接CP，由切线的性质可得CP⊥AO，再由切线长定理可得∠POC=45°，进而可得△POC是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出OC的长． 【详解】解： 连接CP， ∵OA边与⊙C相切于点P， ∴CP⊥AO， ∵⊙C与∠AOB的两边分别相切，∠AOB=90°， ∴∠POC=45°， ∴OP=CP=6， ∴OC=， 故答案为:. 【点睛】本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理的运用，能够正确的判定△POC是等腰直角三角形是解题关键． 14. 如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm．他准备了一支长为20cm的蜡烛，想要得到高度为5cm的像．蜡烛应放在距离纸筒 _____cm的地方． 【答案】60 【解析】 【分析】先根据题意得出相似三角形，再利用三角形相似的性质得到相似比，然后根据比例性质计算． 【详解】解：如图，AB=20cm，OF=15cm，CD=5cm， ∵AB∥CD，EF⊥AB， ∴EF⊥CD， ∴△OAB∽△ODC， ∴，即， 解得OE=60cm． 答：蜡烛应放在距离纸筒60cm的地方． 故答案为：60． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 15. 一组学生春游，预计共需要费用120元，后来又有2人参加进来，总费用不变，于是每人可少摊3元，若设原来这组学生人数为x，那么可列方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】理解题意找出题意中存在的等量关系，未增加人前每人摊的费用增加人后每人摊的费用，列出方程即可． 【详解】解：解：设原来这组学生人数为x， 则原来每人摊的费用为，又有2人参加进来，此时每人摊的费用为， 根据题意可列方程为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键在于找出题中的等量关系． 16. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=32°，点B、C在上，边AB、AC分别交于D、E两点﹐点B是的中点，则∠ABE=__________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接 先证明再证明利用三角形的外角可得：再利用直角三角形中两锐角互余可得：再解方程可得答案． 【详解】解：如图，连接 是的中点， 故答案为： 【点睛】本题考查的是圆周角定理，三角形的外角的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握圆周角定理的含义是解题的关键． 三、解答题 17. （1）， （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先计算负整数指数幂、零指数幂以及特殊角的余弦值，再根据实数的混合运算法则计算即可； （2）先求出每一个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可作答． 【详解】（1）原式 （2）解不等式得：； 解不等式得：． 则不等式组解集为：． 【点睛】本题考查了实数的混合运算、解一元一次不等式组，解题关键是掌握解一元一次不等式组的步骤及实数混合运算时先化简各项． 18. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式，单项式乘以多项式，平方差公式进行化简，再将已知代数式变形代入求解即可． 【详解】解：∵ 又 ∴原式 【点睛】本题考查了整式的化简求值，掌握完全平方公式，单项式乘以多项式，平方差公式是解题的关键． 19. 已知的半径为，弦． （1）求圆心O到弦的距离． （2）若弦恰好是的中位线，以中点E为圆心，R为半径作，当和相切时，求R的值． 【答案】（1） （2）当两圆外切时，半径，当两圆内切时，半径 【解析】 【分析】（1）过O作于F，交于E，根据等腰三角形性质求出，根据勾股定理求出即可； （2）由中位线的性质可知，，再由平行线分线段成比例定理得，然后分两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：过O作于F，交于E， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即圆心O到弦的距离是； 【小问2详解】 解 ：∵是的中位线， ∴，， ∴， ∴， 即， 分为两种情况：当两圆外切时，半径， 当两圆内切时，半径． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的中位线，平行线分线段成比例定理，圆与圆的位置关系的应用，注意分类讨论的思想． 20. （1）已知，求值； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）2；（2），2 【解析】 【分析】（1）根据等式左边逆用幂的乘方法则，同底数幂的乘、除法则变形为，右边利用幂的乘方运算法则变形为，根据相等的等底数幂指数相等求出m的值即可； （2）根据平方差公式，多项式除以单项式法则，去括号合并同类项，化简，把x与y的值代入计算即可． 【详解】解：（1）∵ ， ， ∴， 解得，； （2）∵ ， ∴当，时， 原式． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握幂的乘方法则，同底数幂乘法、除法法则，平方差公式，多项式除以单项式法则，是解决问题的关键． 21. 已知：如图，在等边三角形ABC中，过边AB上一点D作DE⊥BC，垂足为点E，过边AC上一点G作GF⊥BC，垂足为点F，BE＝CF，联结DG． （1）求证：四边形DEFG是平行四边形； （2）联结AF，当∠BAF＝3∠FAC时，求证：四边形DEFG是正方形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质及平行四边形的判定证明即可； （2）根据等边三角形的判定和性质及正方形的判定求证即可； 【小问1详解】 在等边三角形ABC中， ∵DE⊥BC，GF⊥BC， ∴∠DEF＝∠GFC＝90°， ∴DE∥GF， ∵∠B＝∠C＝60°，BE＝CF，∠DEB＝∠GFC＝90°， ∴△BDE≌△CGF， ∴DE＝GF， ∴四边形DEFG是平行四边形； 【小问2详解】 在平行四边形DEFG中， ∵∠DEF＝90°， ∴平行四边形DEFG是矩形， ∵∠BAC＝60°，∠BAF＝3∠FAC， ∴∠GAF＝15°， 在△CGF中， ∵∠C＝60°，∠GFC＝90°， ∴∠CGF＝30°， ∴∠GFA＝15°， ∴∠GAF＝∠GFA， ∴GA＝GF， ∵DG∥BC， ∴∠ADG＝∠B＝60°， ∴△DAG是等边三角形， ∴GA＝GD， ∴GD＝GF， ∴矩形DEFG是正方形． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，正方形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 22. 如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，连结PO，AB相交于点D，C是⊙O上一点，∠C＝60°. （1）求∠APB的大小； （2）若PO＝20 cm，求△AOB的面积． 【答案】（1）60° （2）25 【解析】 【分析】（1）由PA、PB分别切⊙O于A、B，由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圆周角定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小． （2）由切线长定理，可求得∠APO的度数，继而求得∠AOP的度数，易得PO是AB的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得AD与OD的长，从而求得答案． 【小问1详解】 解：∵PA、PB分别切⊙O于A、B， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∴∠PAO=∠PBO=90°， ∵∠C=60°， ∴∠AOB=2∠C=2×60°=120°， ∴∠APB=360°-∠PAO-∠PBO-∠AOB=60°； 【小问2详解】 解：∵PA、PB分别切⊙O于A、B， ∴∠PAO=∠PBO=90°，∠APO=∠APB=×60°=30°，PA=PB， ∴P在AB的垂直平分线上， ∵OA=OB， ∴O在AB的垂直平分线上， 即OP是AB的垂直平分线， 即OD⊥AB，AD=BD=AB， ∵∠PAO=90°， ∴∠AOP=60°， 在Rt△PAO中，AO=PO=×20=10， 在Rt△AOD中，AD=AO•sin60°=10×=5， OD=OA•cos60°=10×=5， ∴AB=2AD=10， ∴△AOB的面积为：AB•OD=×10×5=25． 【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，圆周角定理，三角函数以及线段垂直平分线的判定和性质，掌握切线的相关知识是解题的关键． 23. 如图，已知是的外接圆，是的直径，且，延长到E，是的切线，B是切点． （1）求证：； （2）若，，求． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据等弦所对的劣弧相等，再由切线的性质和圆周角定理即可得出结论； （2）利用三角形的中位线先求出，再用勾股定理求出半径R．在中，求出的值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图1，连接． ∵， ∴． ∵是的切线， ∴． ∵是的直径， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图2，设圆的半径为R，连接． ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中，∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角的性质，切线的性质，三角形中位线定理，勾股定理，三角函数等知识点，解答本题的关键是作出辅助线． 24. 为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，教育主管部门在A、B两市各抽取50名团员开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分100分．整理分析过程如下： 【收集数据】A市50名团员中，知识竞赛在组的具体数据如下： 82，82，82，82，82，84，84，85，86，86，86，86，87，88. 【整理数据】不完整的两所学校的频数分布表如下 组别 A市 2 6 a 14 13 B市 1 9 15 13 12 不完整的A市成绩频数分布直方图如图所示： A市知识竞赛频数分布直方图 【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数、方差如下表： 特征数 平均数 众数 中位数 方差 A市 80.9 82 b 118.79 B市 80.8 95 80 109.95 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查是 调查（选填“抽样”或“全面”）； （2）统计表中， ， ； （3）补全频数分布直方图； （4）在这次调查中，竞赛成绩波动较小的是 市（选填“A”或“B”）； （5）按此次结果估算，了解共青团知识得分不低于80分，估计两个城市8000名团员中，能得到了解共青团知识（不低于80分）的团员共有 人． 【答案】（1）抽样 （2）15；82 （3）见解析 （4）B （5）4160 【解析】 【分析】（1）根据题意，即可得出结论； （2）利用频数之和等于总数求出，将数据排序后，第25个数据和第26个数据的平均数即为中位数； （3）补全直方图即可； （4）根据方差小的波动小，即可得出结论； （5）用总体乘以样本中的比例进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵教育主管部门在A、B两市各抽取50名团员开展团知识竞赛， ∴采用的是抽样调查； 故答案为：抽样； 【小问2详解】 ， 数据排序后，第25个数据和第26个数据均为， ∴； 故答案为：15，82； 【小问3详解】 补全直方图，如下： 【小问4详解】 ∵市的方差小， ∴竞赛成绩波动较小的是市； 故答案为：B； 【小问5详解】 解：由题意可知：市成绩不低于80分的人数为：（人）， ∵市成绩的中位数为， ∴市成绩不低于80分的人数为：（人）， （人）． 答：估计两个城市了解共青团知识（不低于80分）的团员共有4160人． 故答案为：4160． 【点睛】本题考查统计图表，以及求中位数，利用方差做决策，利用样本估计总体．从统计图表中有效的获取信息，是解题的关键． 25. 某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板长为2米，跳板距水面高为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以为横轴，为纵轴建立直角坐标系． （1）求这条抛物线的解析式； （2）求运动员落水点与点C的距离． 【答案】（1） （2）运动员落水点与点的距离为5米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键． （1）建立平面直角坐标系，列出顶点式，代入点的坐标，求得的值，则可求得抛物线的解析式； （2）令，得关于的方程，求得方程的解并根据题意作出取舍即可． 【小问1详解】 解：如图所示，建立平面直角坐标系， 由题意可得抛物线的顶点坐标为，点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点坐标为代入得：， 解得：， ∴这条抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴令得：， 解得：， ∵起跳点A坐标为， ，不符合题意， ， ∴运动员落水点与点的距离为5米． 26. 已知抛物线． （1）若b＝2a，求抛物线的对称轴； （2）若a＝1，且抛物线的对称轴在y轴右侧． ①当抛物线顶点的纵坐标为1时，求b的值； ②点，，在抛物线上，若，请直接写出b的取值范围． 【答案】（1）抛物线的对称轴为直线x＝－1 （2）①；②－2<b<0． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线对称轴公式求解即可； （2）①先根据抛物线对称轴在y轴右侧求出，再根据抛物线顶点坐标公式求解即可；②根据抛物线的增减性以及对称性求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线， ∵b＝2a， ∴x＝－1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝－1． 【小问2详解】 解：①当a＝1时，抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵该抛物线顶点的纵坐标为1， ∴， 解得：，， 又∵b<0， ∴． ②∵抛物线对称轴在y轴右侧，且，抛物线对称轴为直线，且抛物线开口向上 ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的增减性，对称轴公式，顶点坐标公式是解题的关键． 27. 在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧）点D是射线上一动点（不与点C重合），点E在线段上，且． （1）如图1，当点E与点C重合时，与的位置关系是 ，若，则的长为 ；（用含a的式子表示） （2）如图2，当点E与点C不重合时，连接． ①用等式表示与之间的数量关系，并证明； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）互相垂直； （2）①，证明见解析；②，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得与的位置关系是互相垂直，过点A作于点M，根据等腰三角形性质得到，利用证明，根据全等三角形性质即可得出； （2）当点E与点C不重合时，①过点A作于点M、于点N，利用证明，根据全等三角形性质即可得到； ②在上截取，连接，利用证明，根据全等三角形性质得到，，根据角的和差得到，再利用证明，根据全等三角形性质及线段和差即可得到． 【小问1详解】 解：当点E与点C重合时，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即与的位置关系是互相垂直， 若，过点A作于点M，如图： 则， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴， 即的长为， 故答案：互相垂直；； 【小问2详解】 解：①当点E与点C不重合时，用等式表示与之间的数量关系是：，证明如下： 过点A作于点M、于点N，如图： 则， ∴， ∵， 即， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； ②用等式表示线段，，之间的量关系是：，证明如下： 上截取，连接，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 由①知：， 即， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线l与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线l关于该圆的“圆截距”． （1）如图1，的半径为1，当时，直接写出直线l关于的“圆截距”； （2）点M的坐标为， ①如图2，若的半径为1，当时，直线l关于的“圆截距”小于，求k的取值范围； ②如图3，若的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线l关于的“圆截距”的最小值为，直接写出b的值． 【答案】（1） （2）①或；② 【解析】 【分析】（1）先求出与一次函数的交点坐标即为，再根据“圆截距”的定义利用勾股定理求解即可； （2）①求出当直线l经过点时，，解直角三角形求出此时；求出当直线l经过点时，，由对称性可知此时直线l关于的“圆截距”为，两种情况结合函数图象求解即可．②如图所示，设直线l与交于B、C，与y轴交于D，过点M作于E，连接，先证明当点E与点D重合时，最大，即此时最小，再由，求出，可得，解得． 【小问1详解】 解：当时，则一次函数解析式为， ∴此时一次函数与坐标轴的交点坐标为， ∵到原点的距离都为1， ∴都在上，即与一次函数的交点坐标即为， ∴“圆截距”； 【小问2详解】 解：①如图2-1所示，当直线l经过点时， ∴， ∴； ∵． ∴． ∴． 设与的另一个交点为C，连接，可知． ∴．即此时直线l关于的“圆截距”为． 结合图形可知． 如图2-2所示，当直线l经过点时，同理可得． 由对称性可知此时直线l关于的“圆截距”为． 结合图形可知． 综上，当或时直线l关于的“圆截距”小于； ②如图所示，设直线l与交于B、C，与y轴交于D，过点M作于E，连接， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴当最大时，最小，即此时最小， ∵， ∴当点E与点D重合时，最大，即此时最小， ∵直线l关于的“圆截距”的最小值为，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，一次函数与几何综合，解直角三角形，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年北京市中考数学备战测评数学试卷 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，属于柱体的一组是( ) A B. C. D. 2. 据报道．截至2022年10月底，北京市累计建成并开通5G基站73000个，将73000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法错误的是（ ） A. 对顶角相等 B. 平行于同一条直线的两直线平行 C. 相等的角是对顶角 D. 等角的余角相等 4. 如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ） A. ∠1=∠2 B. ∠2=∠3 C. ∠1＞∠4+∠5 D. ∠2＜∠5 5. 下列多边形中，内角和最大的是（ ） A B. C. D. 6. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 为响应“书香校园”建设的号召，在全校形成良好的阅读氛围，随机调查了部分学生平均每天阅读时间，统计结果如图所示，则本次调查中阅读时间为的众数和中位数分别是（ ） A. 2和1 B. 1.25和1 C. 1和1 D. 1和1.25 8. 初三年级甲、乙、丙、丁四个级部举行了知识竞赛，如图，平面直角坐标系中，x轴表示级部参赛人数，y轴表示竞赛成绩的优秀率（该级部优秀人数与该级部参加竞赛人数的比值），其中描述甲、丁两个级部情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四个级部在这次知识竞赛中成绩优秀人数的多少正确的是（ ） A. 甲乙丙丁 B. 丙甲丁乙 C. 甲丁乙丙 D. 乙甲丁丙 二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分） 9. 若y＝＋＋1，则xy＝_____． 10. 分解因式：_________． 11. 解方程：＝＋1的解是________． 12. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，CO＝2，则阴影部分的面积为_____． 13. 如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P.若∠AOB＝90°，OP＝6，则OC的长为______. 14. 如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm．他准备了一支长为20cm的蜡烛，想要得到高度为5cm的像．蜡烛应放在距离纸筒 _____cm的地方． 15. 一组学生春游，预计共需要费用120元，后来又有2人参加进来，总费用不变，于是每人可少摊3元，若设原来这组学生人数为x，那么可列方程为_____． 16. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=32°，点B、C在上，边AB、AC分别交于D、E两点﹐点B是的中点，则∠ABE=__________． 三、解答题 17. （1）， （2）解不等式组：． 18. 已知，求代数式的值． 19. 已知的半径为，弦． （1）求圆心O到弦的距离． （2）若弦恰好是中位线，以中点E为圆心，R为半径作，当和相切时，求R的值． 20. （1）已知，求的值； （2）先化简，再求值：，其中． 21. 已知：如图，在等边三角形ABC中，过边AB上一点D作DE⊥BC，垂足为点E，过边AC上一点G作GF⊥BC，垂足为点F，BE＝CF，联结DG． （1）求证：四边形DEFG是平行四边形； （2）联结AF，当∠BAF＝3∠FAC时，求证：四边形DEFG是正方形． 22. 如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，连结PO，AB相交于点D，C是⊙O上一点，∠C＝60°. （1）求∠APB的大小； （2）若PO＝20 cm，求△AOB的面积． 23. 如图，已知是的外接圆，是的直径，且，延长到E，是的切线，B是切点． （1）求证：； （2）若，，求． 24. 为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，教育主管部门在A、B两市各抽取50名团员开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分100分．整理分析过程如下： 【收集数据】A市50名团员中，知识竞赛在组的具体数据如下： 82，82，82，82，82，84，84，85，86，86，86，86，87，88. 【整理数据】不完整的两所学校的频数分布表如下 组别 A市 2 6 a 14 13 B市 1 9 15 13 12 不完整的A市成绩频数分布直方图如图所示： A市知识竞赛频数分布直方图 【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数、方差如下表： 特征数 平均数 众数 中位数 方差 A市 80.9 82 b 11879 B市 80.8 95 80 109.95 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查是 调查（选填“抽样”或“全面”）； （2）统计表中， ， ； （3）补全频数分布直方图； （4）在这次调查中，竞赛成绩波动较小的是 市（选填“A”或“B”）； （5）按此次结果估算，了解共青团知识得分不低于80分，估计两个城市8000名团员中，能得到了解共青团知识（不低于80分）的团员共有 人． 25. 某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板长为2米，跳板距水面高为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以为横轴，为纵轴建立直角坐标系． （1）求这条抛物线的解析式； （2）求运动员落水点与点C的距离． 26. 已知抛物线． （1）若b＝2a，求抛物线的对称轴； （2）若a＝1，且抛物线的对称轴在y轴右侧． ①当抛物线顶点的纵坐标为1时，求b的值； ②点，，在抛物线上，若，请直接写出b的取值范围． 27. 在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧）点D是射线上一动点（不与点C重合），点E在线段上，且． （1）如图1，当点E与点C重合时，与的位置关系是 ，若，则的长为 ；（用含a的式子表示） （2）如图2，当点E与点C不重合时，连接． ①用等式表示与之间的数量关系，并证明； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线l与某个圆相交，则两个交点之间距离称为直线l关于该圆的“圆截距”． （1）如图1，的半径为1，当时，直接写出直线l关于的“圆截距”； （2）点M的坐标为， ①如图2，若的半径为1，当时，直线l关于的“圆截距”小于，求k的取值范围； ②如图3，若的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线l关于的“圆截距”的最小值为，直接写出b的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $