精品解析： 福建省福州市第十八中学2025-2026学年九年级上学期开门考适应性调研测试数学试卷

2025-2026学年暑假作业适应性调研 九年级数学学科 满分150分；完卷时间120分钟 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 3. 解一元二次方程，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 经过有交通信号灯的路口遇到绿灯，这个事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 以上说法都不对 5. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，圆O的直径，弦，垂足为M，下列结论不成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，A、B、C是上的三点，若，则的度数是 （ ） A. B. C. D. 8. 受新型冠状病毒感染的影响，某企业生产总值从某月份的万元，连续两个月降至万元，设平均降低率为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 关于抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a﹣3，下列说法错误的是（ ） A. 开口向上 B. 当a＝3时，经过坐标原点O C. 抛物线与直线y＝1无公共点 D. 不论a为何值，都过定点 10. 如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 一元二次方程的根是_______． 12. 如果关于x的函数是二次函数，则m＝_____． 13. 平面直角坐标系中，若点，关于原点对称，则=______． 14. 如图，在中，直径，则阴影部分的面积是_____． 15. 在一个不透明的袋子中有50个除颜色外均相同的小球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中白球有______个． 16. 若m，n是方程的两个实数根，则的值为______． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 选择适当的方法解下列方程： （1） （2） 18. 已知：二次函数y＝x2﹣mx+m﹣2 （1）求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点； （2）若图象经过原点，求二次函数的解析式． 19. 某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，求： （1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元? （2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案． 20. 有3个完全相同的小球，把它们分别标上号码1，2，3，放在一个不透明的口袋中，随机摸出一个小球放回后再随机摸出另一个小球． （1）采用画树状图法（或列表法）列出两次摸球出现的所有可能的结果． （2）求摸出的两个小球的号码之和等于5的概率． 21. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点落在线段上． （1）求证：平分； （2）连接，求证：． 22. 已知AB是圆O的直径，点C是圆O上一点，点P为圆O外一点，且，． （1）求证：PA为圆O的切线； （2）如果，求AC的长． 23. 星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为米． （1）若平行于墙的一边的长为米，直接写出与之间的函数关系式及其自变量的取值范围； （2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值； （3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图像，直接写出的取值范围． 24. 探究题： （1）特殊情景： 如图（1），在四边形中，，以点为顶点作一个角，角的两边分别交，于点，，且，连接，若，探究：线段，，之间的数量关系为：______．（提示：延长到，使，连接） （2）类比猜想：类比特殊情景，在上述（1）条件下，把“”改成一股情况“，”如图（2），小明猜想：线段，，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明结论． （3）解决问题：如图（3），在中，，，点，均在边上，且，若，计算的长度． 25. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高． 素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决 任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围． 任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年暑假作业适应性调研 九年级数学学科 满分150分；完卷时间120分钟 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对每一个选项进行判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．解题的关键是掌握轴对称图形与中心对称图形的概念． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 【答案】D 【解析】 【分析】根据顶点式，顶点坐标是（h，k），即可求解. 【详解】∵顶点式，顶点坐标是（h，k）， ∴抛物线的顶点坐标是（1，2）． 故选：D． 3. 解一元二次方程，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．根据配方法解一元二次方程求解作答即可． 【详解】解：， ， ， ∴． 故选：A． 4. 经过有交通信号灯的路口遇到绿灯，这个事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 以上说法都不对 【答案】C 【解析】 【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件． 【详解】解：经过有交通信号灯的路口遇到绿灯，这个事件是随机事件， 故选：C． 【点睛】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的定义是解题的关键． 5. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则+，因此此题根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，， 故选：C． 6. 如图，圆O的直径，弦，垂足为M，下列结论不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂径定理得到CM=DM，，，然后根据圆周角定理得∠ACD=∠ADC，而对于OM与MB的大小关系不能判断． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴CM=DM，，， ∴∠ACD=∠ADC． 而无法比较，的大小， 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理． 7. 如图，A、B、C是上的三点，若，则的度数是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直接根据圆周角定理进行解答即可． 【详解】∵与是同弧所对的圆周角与圆心角， ∴． 故选D． 8. 受新型冠状病毒感染的影响，某企业生产总值从某月份的万元，连续两个月降至万元，设平均降低率为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据该企业某月份的生产总值以及经过两个月连续降低的生产总值，即可得到关于的一元二次方程，进而得到本题的正确选项． 【详解】解：依题意可得：， 故选． 【点睛】本题考查了一元二次方程与实际问题的相关知识点，找出等量关系正确列出方程是解题的关键． 9. 关于抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a﹣3，下列说法错误的是（ ） A. 开口向上 B. 当a＝3时，经过坐标原点O C. 抛物线与直线y＝1无公共点 D. 不论a为何值，都过定点 【答案】C 【解析】 【分析】根据a＝1，判断开口方向，把a＝3代入解析式，即可得出图象过原点，根据左同右异原则即可得出a的范围，把（1，﹣2）代入即可得出答案，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断． 【详解】∵a＝1， ∴抛物线开口向上； 当a＝3时，抛物线的解析式为y＝x2﹣4x，则过原点； 对称轴为x＝， 当a＞0时，对称轴＞0， ∴对称轴在y轴右侧； 当x＝1时，y＝1﹣a﹣1+a﹣3＝﹣3， ∴不论a为何值，都经过定点（1，﹣3）， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的系数与图象的关系，可根据二次函数的系数判断二次函数图象的开口方向、对称轴位置、顶点坐标等． 10. 如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，延长BP，作AF⊥BP于点F．AP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数，在直角△APF中利用三角函数求得AF和PF的长，则在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的长，进而求得三角形ABC的面积． 详解：∵△ABC为等边三角形， ∴BA=BC， 可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图， ∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°， ∴△BPE为等边三角形， ∴PE=PB=4，∠BPE=60°， 在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4， ∴AE2=PE2+PA2， ∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°， ∴∠APB=90°+60°=150°． ∴∠APF=30°， ∴在直角△APF中，AF=AP=，PF=AP=． ∴在直角△ABF中，AB2=BF2+AF2=（4+）2+（）2=25+12． 则△ABC的面积是•AB2=•（25+12）=9+． 故选A． 点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 一元二次方程的根是_______． 【答案】，##， 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： ， 或， 所以，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 12. 如果关于x的函数是二次函数，则m＝_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据二次函数的定义，可得且，即可求解． 【详解】解：由题意得：且， ∴且， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般形式为是解题的关键． 13. 平面直角坐标系中，若点，关于原点对称，则=______． 【答案】2 【解析】 【分析】直接利用关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是，进而得出m，n的值． 【详解】解：∵点，关于原点对称， ∴， 解得， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键． 14. 如图，在中，直径，则阴影部分的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆周角定理求出，再根据扇形面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵直径， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，扇形面积，灵活运用所学知识是解题的关键． 15. 在一个不透明的袋子中有50个除颜色外均相同的小球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中白球有______个． 【答案】 【解析】 【分析】用袋中球的总个数乘以摸到白球的频率，据此可得． 【详解】解：估计袋中白球有个， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系． 16. 若m，n是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】2036 【解析】 【分析】由m，n是方程x2-2x-1=0的两个实数根可得：m2=2m+1，n2=2n+1，m+n=2，代入所求式子即可得到答案． 【详解】解：∵m，n是方程x2-2x-1=0的两个实数根， ∴m2-2m-1=0，n2-2n-1=0，m+n=2， ∴m2=2m+1，n2=2n+1， ∴2m2+4n2-4n+2022 =2（2m+1）+4（2n+1）-4n+2022 =4m+2+8n+4-4n+2022 =4（m+n）+2028 =4×2+2028 =2036， 故答案为：2036． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的概念，解题的关键是整体思想的应用． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 选择适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用开平方的方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 18. 已知：二次函数y＝x2﹣mx+m﹣2 （1）求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点； （2）若图象经过原点，求二次函数的解析式． 【答案】 （1）证明：△＝（﹣m）2﹣4（m﹣2）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4＞0 ∴无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点； （2）y＝x2﹣2x． 【解析】 【分析】（1）根据二次函数与一元二次方程的关系，利用根的判别式大于零即可证明二次函数的图像与x轴都有两个交点； （2）因为函数图象经过原点，将（0，0）代入函数解析式求得m的值即可. 【详解】（1）略 （2）解：把（0，0）代入y＝x2﹣mx+m﹣2得m﹣2＝0，解得m＝2， 所以抛物线解析式为y＝x2﹣2x． 【点睛】本题主要考查了根据根的判别式判断二次函数的图像与轴的交点的个数以及待定系数法求函数解析式. 19. 某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，求： （1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元? （2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案． 【答案】（1）20元 （2）每件衬衫需降价15元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题时要能利用基本数量关系：平均每天售出的件数×单件盈利=每天销售的利润． (1)依据题意，设每件衬衫降价元，可得每件盈利元，每天可以售出件，进而得到商场平均每天盈利元，依据方程即可得到的值； (2)依据题意，用“配方法”即可求出的最大值，即可得到每件衬衫降价多少元． 【小问1详解】 解：设每件衬衫降价元，则多售出件， 由题意：， 解得，（要尽快减少库存，故舍去） 答：每件衬衫降价20元． 【小问2详解】 设盈利元，则与的关系式为：， ， 当时，该二次函数有最大值，为1250元． 答：每件衬衫需降价15元，商场平均每天赢利最多． 20. 有3个完全相同的小球，把它们分别标上号码1，2，3，放在一个不透明的口袋中，随机摸出一个小球放回后再随机摸出另一个小球． （1）采用画树状图法（或列表法）列出两次摸球出现的所有可能的结果． （2）求摸出的两个小球的号码之和等于5的概率． 【答案】（1） 解：根据题意，可以画出如下的树形图： 从树形图可以看出，两次摸球出现的所有可能结果共有9种． （2） 【解析】 【分析】本题考查借助树状图或列表法求概率．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． （1）画树状图列举出所有情况； （2）让摸出的两个球号码之和等于5的情况数除以总情况数即为所求的概率． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由树状图知摸出的两个小球号码之和等于5的有2种结果， ∴摸出的两个小球号码之和等于5的概率为． 21. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点落在线段上． （1）求证：平分； （2）连接，求证：． 【答案】（1） 证明：将绕点顺时针旋转得到，点落在线段上， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2） 证明：由旋转得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质以及角平分线的判定，解题的关键是利用旋转的性质得到相等的边和角，再结合等腰三角形的性质进行推理． （1）根据旋转的性质得到，利用等腰三角形的性质得，从而得出，进而证明平分； （2）先由旋转得到，，，然后得到，，最后利用三角形的内角和定理得证结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 已知AB是圆O的直径，点C是圆O上一点，点P为圆O外一点，且，． （1）求证：PA为圆O的切线； （2）如果，求AC的长． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）先由圆周角定理得∠ACB=90°，则∠BAC+∠B=90°．再由平行线的性质得∠AOP=∠B，然后证∠P+∠AOP=90°，则∠PAO=90°，即可得证； （2）先证△OAP≌△BCA（AAS），得BC=OA=AB=1，再由勾股定理求出AC的长即可． 【小问1详解】 证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠BAC+∠B=90°， 又∵OP∥BC， ∴∠AOP=∠B， ∴∠BAC+∠AOP=90°， ∵∠P=∠BAC， ∴∠P+∠AOP=90°， ∴∠PAO=90°， ∴PA⊥OA， 又∵OA是⊙O的半径， ∴PA为⊙O的切线； 【小问2详解】 由（1）得：∠PAO=∠ACB=90°， 又∵∠P=∠BAC，OP=BA， ∴△OAP≌△BCA（AAS）， ∴BC＝OA＝AB＝1， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解题的关键． 23. 星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为米． （1）若平行于墙的一边的长为米，直接写出与之间的函数关系式及其自变量的取值范围； （2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值； （3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图像，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）当垂直于墙的一边的长为米时，这个苗圃园的面积最大，最大值为平方米 （3） 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的实际应用问题．解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可． （1）由题意直接写出函数关系式，再根据，求出自变量的取值范围； （2）根据矩形的面积写出函数关系式，再根据函数的性质和自变量的取值范围求最值求最值； （3）根据题意得到，解一元二次方程，再结合二次函数图象的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：， ， ， 解得：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设矩形苗圃的面积为， ∴， 由（1）知，， ∵， ∴当时，有最大值， ∴当垂直于墙的一边的长为米时，这个苗圃园的面积最大，最大值为平方米； 【小问3详解】 解：令得：， 整理得：， 解得：，， ， 当时，，当时，， 对称轴直线，与轴交点为和，顶点为， ，函数图象如图： 苗圃园的面积不小于平方米时，的取值范围为． 24. 探究题： （1）特殊情景： 如图（1），在四边形中，，以点为顶点作一个角，角的两边分别交，于点，，且，连接，若，探究：线段，，之间的数量关系为：______．（提示：延长到，使，连接） （2）类比猜想：类比特殊情景，在上述（1）条件下，把“”改成一股情况“，”如图（2），小明猜想：线段，，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明结论． （3）解决问题：如图（3），在中，，，点，均在边上，且，若，计算的长度． 【答案】（1） （2） 成立，理由如下： 设，则， 如图，将绕点顺时针旋转得到， ，，，， ， ， 点，，在同一直线上， ，， ， ， ， 又， ，且， ． （3） 【解析】 【分析】（1）如图，将绕点顺时针旋转，得到，根据旋转的性质可得，可证，，由此即可求解； （2）设，则，如图，将绕点顺时针旋转得到，根据旋转的性质可得，可证，，由此即可求解； （3）如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接，可证，可得，在中，，可求出的长，由此可表示出的长，再根据线段的关系表示出，在中根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：结论：，理由如下： 如图，将绕点顺时针旋转，得到， 四边形中，，，， ∴，， ，即点，，共线， 由旋转可得，，， ， ， ， ， ， ， 又， ． 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接， ，，，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ，， ，，即， ， ，， ，即，解得，． 【点睛】本题主要考查图形变换，三角形全等的判定和性质，勾股定理的综合运用，掌握以上知识的灵活运用，利用旋转构成全等三角形的方法是解题的关键． 25. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高． 素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决 任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围． 任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标． 【答案】 任务一：直角坐标系： ； 任务二：悬挂点的纵坐标的最小值是；； 任务三：有两种设计方案 方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼． ∵，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为， ∴若顶点一侧挂4盏灯笼，则， 若顶点一侧挂3盏灯笼，则， ∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼． ∵挂满灯笼后成轴对称分布， ∴共可挂7盏灯笼． ∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是． 方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为， ∵若顶点一侧挂5盏灯笼，则， 若顶点一侧挂4盏灯笼，则， ∴顶点一侧最多可挂4盏灯笼． ∵挂满灯笼后成轴对称分布， ∴共可挂8盏灯笼． ∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是． 【解析】 【分析】任务一：根据题意，以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，待定系数法求解析式即可求解； 任务二：根据题意，求得悬挂点的纵坐标，进而代入函数解析式即可求得横坐标的范围； 任务三：有两种设计方案，分情况讨论，方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼；方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为，根据题意求得任意一种方案即可求解． 【详解】任务一：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为，且经过点． 设该抛物线函数表达式为， 则， ∴， ∴该抛物线的函数表达式是． 任务二：∵水位再上涨达到最高，灯笼底部距离水面至少，灯笼长， ∴悬挂点的纵坐标， ∴悬挂点的纵坐标的最小值是． 当时，，解得或， ∴悬挂点的横坐标的取值范围是． 任务三：略 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意建立坐标系，掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $