1.5基本不等式综合应用学案-2026届高三数学一轮复习

§1.5　基本不等式的综合应用

[学习目标]　1.会求与基本不等式有关的恒(能)成立问题.

2.理解基本不等式在实际问题中的应用.

3.掌握基本不等式在其他知识中的应用.

[典型题目]

题型一　基本不等式的常见变形应用

例1　(1)若a>1，b>1，且a≠b，则a2+b2，2ab，a+b，2中的最大值是(　　)

A.a2+b2                B.2ab          C.a+b         D.2

(2)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC=a，BC=b，则该图形可以完成的无字证明为(　　)

A.≥(a>0，b>0)      B.a2+b2≥2(a>0，b>0)

C.≤(a>0，b>0)     D.≤(a>0，b>0)

题型二　与基本不等式有关的恒(能)成立问题

例2　(1)若不等式≥恒成立，则实数m的最大值为(　　)

A.2 B.3 C.4 D.9

 

 

 

(2)若两个正实数x，y满足＝1，且不等式x＋<m2－3m有解，则实数m的取值范围是(　　)

A.{m|－1<m<4}      B.{m|m<－4或m>1}      C.{m|－4<m<1}     D.{m|m<－1或m>4}

变式1　(1)已知a>0，若关于x的不等式x＋≥3在x∈(－1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为(　　)       A.1          B.2     C.4 D.8

 

 

(2)已知正数x，y满足(x－1)(y－2)＝2，不等式3x＋2y>m恒成立，则实数m的取值范围是(　　)

A.(－∞，4＋6) B.(6＋4，＋∞)      C.(－∞，7＋4)      D.(8＋4，＋∞)

 

 

 

题型三：利用基本不等式解决实际问题

例3　某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为元，房屋侧面每平方米的造价为元，屋顶的造价为元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？

 

 

 

 

 

 

 

例4　随着环保意识的增强，电动汽车成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段(汽车行驶速度不低于60 km/h)测试发现：①汽车每小时耗电量P(单位：kW·h)与速度v(单位：km/h)的关系满足P(v)＝0.002v2－0.04v＋5(60≤v≤120)；②相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从A地经高速公路(最低限速60 km/h，最高限速120 km/h)匀速行驶到距离为500 km的B地，出发前汽车电池存量为75 kW·h，汽车到达B地后至少要保留5 kW·h的保障电量(假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与路程都忽略不计).

(1)判断该车是否可以在不充电的情况下到达B地，并说明理由；

(2)若以该电动汽车的现存电量一定可以到达A地与B地间的服务区，服务区充电桩的功率为15 kW(充电量＝充电功率×时间)，求到达B地的最少用时(行驶时间与充电时间总和).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

变式2　某村现有180户村民，且都从事海产品养殖工作，平均每户的年收入为8万元.为探索科技助农新模式，村委会决定调整产业结构，安排x(0<x<180，x∈N*)户村民只从事直播带货工作，其余的只从事海产品养殖工作，预计调整后从事直播带货工作的村民平均每户的年收入为8(a>0)万元，从事海产品养殖工作的村民平均每户的年收入相比原来提高5x%，若从事直播带货工作的村民不管有多少人，他们的总年收入都不大于从事海产品养殖工作的村民的总年收入，则a的最大值为(　　)

A.12 B.14 C.22 D.60

 

 

 

 

 

 

 

题型四　基本不等式与其他知识交汇的最值问题

例5　(1)设a>0，b>0，若ln 是ln 3a与ln 9b的等差中项，则的最小值为(　　)

A.6 B.8 C.9 D.12

(2)(2025·绍兴模拟)原点到直线l：λx＋y－λ＋1＝0(λ∈R)的距离的最大值为(　　)

A. B. C. D.

变3　已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则sin B的取值范围是　　　　　　. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

柯西不等式

 1.二维形式的柯西不等式

(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立).

2.二维形式的柯西不等式的变式

(1)·≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立).

(2)·≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立).

(3)(a＋b)(c＋d)≥(a，b，c，d≥0，当且仅当ad＝bc时，等号成立).

3.二维形式的柯西不等式的向量形式

|α·β|≤|α||β|(当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立).

例5　(1)实数x，y满足3x2＋4y2＝12，则z＝2x＋y的最小值是(　　)

A.－5 B.－6 C.3 D.4

(2)设a＝(1，－2)，b＝(x，y)，若x2＋y2＝16，则a·b的最大值为　　　　　　.