1.4基本不等式学案-2026届高三数学一轮复习

1.4　基本不等式

[学习目标] 1．掌基本不等式及其应用条件．

2．会用基本不等式求解简单的最值问题．

3．会用基本不等式解决实际问题．

[重点] 应用基本不等式求最值．

[难点] 常数代换法、消元法求最值；从实际问题中抽象出数学模型求最值．

导：  上节复习了不等式的7条性质，已能解决一些不等关系问题；是否有一些不等式

在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？

思：

1．基本不等式：≤

(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.

(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．

(3)________称为正数a，b的算术平均数，________称为正数a，b的几何平均数．

2．两个重要的不等式

(1)a2+b2≥________(a，b∈R)，当且仅当a=b时取等号．

(2)ab≤()2(a，b∈R)，当且仅当a=b时取等号．

3．利用基本不等式求最值

已知x≥0，y≥0.

(1)如果积xy等于定值P，那么当________时，和x+y有最小值________(简记：积定和最小)．

(2)如果和x+y等于定值S，那么当________时，积xy有最大值________(简记：和定积最大)．

注意：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”．

(1)“一正”：就是各项必须为正数．

(2)“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值．

(3)“三相等”：是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号，则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．

题型一：基本不等式的理解及常见变形

例1判断下列结论是否正确.

（1）函数f(x)＝cos x＋的最小值为4（      ）

（2）x>0且y>0是＋≥2的充要条件（      ）

（3）函数的最小值是2（      ）

(4)(多选)已知a，b∈R，则下列不等式成立的是(　　)

A.≥     B.≤    C.≤   D．ab≤

总结：基本不等式的常见变形

 

题型二：利用基本不等式求最值

类型一　直接法

例2　（1）已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为________．

（2）已知．

 

 

 

类型二　配凑法

例3（1）若x＞2，则函数y＝x＋的最小值为        

（2）已知0<x<3，则2x(3－x)的最大值为        

 

（3）函数y＝(x>－1)的最小值为________

 

（4）已知a，b为正数，4a2＋b2＝7，则a的最大值为________