辽宁省阜新市细河区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年辽宁省阜新市细河区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图所示的支架一种小零件的两个台阶的高度和宽度相等，则它的左视图为(    ) A. B. C. D. 2.假期同学们去张大爷的鲢鱼塘参观，小刚同学问张大爷“您的鱼塘里大约有多少尾鲢鱼啊？”张大爷笑着说：“前一段时间我往鱼塘放入150尾鲤鱼，后来我打捞几次发现，每次打捞的鱼中鲤鱼的频率稳定在左右，你自己算算鱼塘原来有多少尾鲢鱼吧”，聪明的你帮小刚算一算张大爷的鱼塘大约有尾鲢鱼. A. 7350 B. 7500 C. 7650 D. 7800 3.如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯O的水平距离，则树的高度AB长是(    ) A. 2m B. 3m C. D. 4.用配方法解方程，经过配方后得到的方程是(    ) A. B. C. D. 5.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔40 海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处．这时，B处与灯塔P的距离BP的长可以表示为(    ) A. 40海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 6.若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 7.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(    ) A. 且 B. C. D. 且 8.如图，在中，AD平分，按以下步骤作图：第一步分别以点A、D为圆心，以大于的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF，则四边形AFDE是(    ) A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 9.某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为应列方程是(    ) A. B. C. D. 10.河南是中原粮仓，粮食的水分含量是评价粮食品质的重要指标，粮食水分检测对粮食的收购、运输、储存等都具有十分重要的意义.其中，电阻式粮食水分测量仪的内部电路如图甲所示，将粮食放在湿敏电阻上，使的阻值发生变化，其阻值随粮食水分含量的变化关系如图乙所示.观察图象，下列说法不正确的是(    ) A. 当没有粮食放置时，的阻值为 B. 的阻值随着粮食水分含量的增大而减小 C. 该装置能检测的粮食水分含量的最大值是 D. 湿敏电阻与粮食水分含量之间是反比例关系 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.已知，则______. 12.如图，在矩形ABCD中，若，，，则AE的长为______. 13.小红、小芳、小明在一起做游戏时需要确定作游戏的先后顺序，他们约定用“锤子、剪刀、布”的方式确定，请问在一个回合中三个都出“布”的概率是______. 14.如图，将视力表中的两个“E”放在平面直角坐标系的第二象限内，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的相似比为2：1，点P与Q为一组对应点，若点Q坐标为，则点P的坐标为______. 15.如图，在矩形纸片ABCD中，，，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段上的点处，EF为折痕，连接若，则          . 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题9分 解方程：； 计算： 17.本小题6分 某学校游戏节活动中，设计了一个有奖转盘游戏，如图，A转盘被分成三个面积相等的扇形，B转盘被分成四个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数字，先转动A转盘，记下指针所指区域内的数字，再转动B转盘，记下指针所指区域内的数字当指针在边界线上时，重新转动转盘，直到指针指向一个区域内为止 请利用画树状图或列表的方法只选其中一种，表示出转转盘可能出现的所有结果； 如果将两次转转盘指针所指区域的数据相乘，乘积是无理数时获得一等奖，那么获得一等奖的概率是多少？ 18.本小题8分 如图，某校一幢综合楼的楼顶竖有一块“启智求真，健体尚美”的宣传牌该校九年级班在一次数学活动课中进行实地测量，在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为，米，米，已知斜坡AB的坡角为，参考数据：，，，；精确到米 求综合楼的高度DE； 求宣传牌的高度 19.本小题10分 如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外一点，，，，连接AE交BD于点F、连接 求证：四边形BECO是菱形； 填空：若，则线段CF的长为______. 20.本小题10分 某旅行社为吸引市民组团去某风景区旅游，推出了如下收费标准： 如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元；如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元． 某单位组织员工去这个风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去这个风景区旅游． 21.本小题8分 如图，在中，D是边AB上一点. 当时，若，，求AC的长； 已知，若，求BC的长. 22.本小题12分 如图，在平面直角坐标系xOy中，点在反比例函数的图象上，过点A作轴于点 求反比例函数的表达式； 如图，点B在反比例函数的图象上且在点A的右侧，过点B作轴于点D，连接AB、OB，OB交AC于点F，若点C是OD的中点，求的面积； 点N在反比例函数的图象上，点M坐标为，若是等边三角形，求m的值. 23.本小题12分 【数学活动】 如图1，将矩形纸片ABCD进行以下操作： 第一步：将矩形纸片ABCD沿直线L对折，使点A与点D重合，然后展开铺平，得到折痕EF，再将矩形纸片ABCD沿对角线AC对折，得到折痕AC，再次展开铺平，两折痕AC与EF交于点G； 第二步：将绕点G逆时针旋转得到，点F，A的对应点分别为点H，K，直线HK与边AD所在直线交于点点M不与点A重合，与边CD所在直线交于点 【数学思考】 绕点G旋转至图1的位置时，试判断MF与MH的数量关系，并证明你的结论. 【数学探究】 矩形ABCD中，，如图2，当直线时，求DM的长. 【拓展提升】 如图3，在菱形ABCD中，，，E是BD上的一个三等分点，且，记点D关于AE的对称点为，射线与菱形ABCD的边交于点F，请补全图形，并直接写出的长. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：从左面看去，是两个有公共边的矩形，如图所示： 故选： 找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中． 本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上． 2.【答案】A  【解析】解：设张大爷的鱼塘大约有x尾鲢鱼， 根据题意得 解得， 经检验是方程的解， 答：张大爷的鱼塘大约有7350尾鲢鱼． 故选： 设张大爷的鱼塘大约有x尾鲢鱼，根据“鲤鱼的频率稳定在左右”，据此可估计打捞出鲤鱼的概率为，根据概率公式列出方程，求解即可． 此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 3.【答案】A  【解析】【分析】 利用相似三角形的性质求解即可． 本题考查相似三角形的应用．测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等解决． 【解答】 解：， ∽， ， ， ， 故选： 4.【答案】B  【解析】【分析】 此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 首先进行移项，在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形为左边是完全平方式，右边是常数的形式． 此题考查配方法的一般步骤： ①把常数项移到等号的右边； ②把二次项的系数化为1； ③等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【解答】 解：， ， ， 故选 5.【答案】D  【解析】解：一艘海轮位于灯塔P的南偏东方向， ， 海里， 海里. 故选 根据已知条件得出，再根据海里和即可求出BP的长． 本题考查解直角三角形，用到的知识点是方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想． 6.【答案】B  【解析】解：点，，都在反比例函数的图象上， ，即； ，即； ，即； ； 故选： 将点，，分别代入反比例函数，求得，，的值后，再来比较一下它们的大小． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．所有反比例函数图象上的点的坐标都满足该函数的解析式． 7.【答案】D  【解析】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且， 且， 解得且， 故选： 根据一元二次方程有两个不相等的实数根列出关于k的不等式，即可解得答案． 本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握有两个不相等的实数根，则 8.【答案】C  【解析】解：根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线， ，， ， 平分， ， ， ， 同理， 四边形AEDF是平行四边形， ， 四边形AEDF为菱形， 故选： 根据作法得到MN是线段AD的垂直平分线，则，，所以，加上，得到，则可判断，同理，于是可判断四边形AEDF是平行四边形，加上，则可判断四边形AEDF为菱形． 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定． 9.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键. 设这两年的年利润平均增长率为x，根据2018年初及2020年初的利润，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解. 【解答】解：设这两年的年利润平均增长率为x， 根据题意得： 故选 10.【答案】D  【解析】解：A、当没有粮食放置时，即水分含量为0，由图象可知的阻值为，故本选项不符合题意； B、由图象可知，的阻值随着粮食水分含量的增大而减小，故本选项不符合题意； C、由图象可知，该装置能检测的粮食水分含量的最大值是，故本选项不符合题意； D、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于0的常数，那么就说这两个变量成反比例，从图象中得到当水分含量为0时，的阻值为，此时这水分含量的阻值为0，不符合成反比例关系的定义，故本选项符合题意． 故选： 根据图象对每一个选项逐一判断即可． 本题考查了物理与数学的跨学科综合，成反比例关系的概念，从函数图象获取信息，是解题的关键． 11.【答案】4  【解析】解：， 设，， ， 故答案为： 利用设k法，进行计算即可解答． 本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键． 12.【答案】1  【解析】解：四边形ABCD是矩形， ，， ，， ， ，， ， ， ， 故答案为： 由矩形的性质得出，，利用勾股定理求出，利用相似三角形的性质，即可求出AE的长． 本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 13.【答案】  【解析】解：列表得： 可以得出一共有27种情况， 在一回合中三个人都出“布”的概率是 故答案为： 欲求出在一回合中三个人都出“布”的概率，可先列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可． 此题主要考查了树状图法求概率，树状图法适用于两步或两步以上完成的事件．解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 14.【答案】  【解析】解：两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的相似比为2：1，点Q坐标为， 点P的坐标为，即， 故答案为： 根据位似变换的性质解答即可． 本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或 15.【答案】  【解析】解：连接AF，设，则，， 四边形ABCD是矩形， ，，， ， ， 由折叠知，，， ， ， ， ， ， 解得，或6， 当时，，，，不合题意，应舍去， ， ， ，， 故答案为： 连接AF，设，用x表示AE、EF，再证明，由勾股定理通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出，便可求得结果． 本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解直角三角形的性质，关键是利用勾股定理列出方程． 16.【答案】，；    【解析】，，， ， ， ，； 原式 先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解； 先根据特殊角的三角函数值计算，然后进行二次根式的混合运算即可． 本题考查了解一元二次方程-公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．也考查了实数的运算． 17.【答案】解：列表如下：     0  0 0  0  0  1        3     由表可知所有等可能的情况有12种； 乘积是无理数的情况有2种， 则乘积为无理数  【解析】列表得出所有等可能的情况，进而可得转转盘可能出现的所有结果； 找出乘积为无理数的情况数，即可求出一等奖的概率． 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 18.【答案】24m；     【解析】解：在中，，米， ， ， 答：综合楼的高度DE约为24m； 如图，过点B作于F，，交EA的延长线于G， 则四边形BGEF为矩形， ，， 在中，，米， 则， ， ， ， ， 答：宣传牌的高度CD约为 根据正切的定义求出DE； 过点B作于F，，交EA的延长线于G，根据等腰直角三角形的性质求出BG、AG，进而求出CF，结合图形计算，得到答案． 本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 19.【答案】证明：，， 四边形OBEC是平行四边形， 四边形ABCD是矩形， ，，， ， 平行四边形OBEC是菱形； 解：  【解析】【分析】 本题考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握矩形的性质定理是解题的关键. 根据平行四边形的判定定理得到四边形OBEC是平行四边形，根据矩形的性质得到，，，根据菱形的判定定理即可得到结论； 根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，推出是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，解直角三角形即可得到结论. 【解答】 解：见答案； ， ， ， 在与中，， ≌， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 故答案为 20.【答案】解：元，， 该单位这次去这个风景区旅游的人数超过25人； 人，不为整数， 人均旅游费用不能为700元． 设该单位这次共有x名员工去这个风景区旅游，则人均旅游费用为元， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，符合题意； 当时，，不合题意，舍去． 答：该单位这次共有30名员工去这个风景区旅游．  【解析】利用总价=单价数量可求出旅游人数为25人时所需总旅游费，由该值小于27000元可得出该单位这次去这个风景区旅游的人数超过25人，利用人数=总旅游费可求出人均旅游费用为700元时的旅游人数，由该值不为整数可得出人均旅游费用不能为700元，设该单位这次共有x名员工去这个风景区旅游，则人均旅游费用为元，利用总旅游费用=人均旅游费用人数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出该单位这次共有30名员工去这个风景区旅游． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21.【答案】AC的长是   BC的长是  【解析】，， ， ，， ∽， ， ， 或不符合题意，舍去， 的长是 ， ∽，， ， ， ， 的长是 由，，得，由，，证明∽，得，所以，求得 由，得，由相似三角形的性质得，而，则，求得 此题重点考查相似三角形的判定与性质，适当选择相似三角形的判定定理证明∽是解题的关键． 22.【答案】解：将点代入得， 解得， 反比例函数的表达式为； 轴， ， 点C是OD的中点， ， 轴于点D， 点B和点D横坐标相等， 将代入得， 点B坐标为， 设OB的解析式为， 将代入得， 解得， 的解析式为， 将代入，得， 点F坐标为， ， ； ①当M在y轴正半轴时，如图1， 在OM延长线上取点G，使得，在MO延长线上取点H使得， 过点N作轴于点I， 为等边三角形， ，， 在中，， ， ， 设，则，由勾股定理得 ， 即， 解得负值舍去， ，，， ， ， ， ≌， ，， ， 在中，， ， ，， ， 点B坐标为， 为反比例上的点， ， 即， 为整数且在y轴正半轴上， ； ②当M在y轴负半轴时，如图2 在CO延长线上取点P，使得，在OC延长线上取点Q，使得， 过点N作轴于点R， 为等边三角形， ，， 在中，， ， ， 设，则，由勾股定理得， 即， 解得负值舍去， ，，， 同理可证：≌， ，， 在中，， ， ， ， ， 点坐标为， 为反比例上的点， ， 即， 为整数且在y轴负半轴上 综上所述，m的值为1或  【解析】将点代入反比例函数，于是得到结论； 由轴，得到，根据点C是OD的中点，得到，得到点B和点D横坐标相等，将代入得到，求得点B坐标为，解方程得到OB的解析式，得到点F坐标，根据三角形的面积公式即可得到结论； ①当M在y轴正半轴时，如图1，在OM延长线上取点G，使得，在MO延长线上取点H使得，过点N作轴于点1，得到，，在中，，得到，求得，设，则，根据勾股定理得到负值舍去，求得，，，根据全等三角形的性质得到，，求得，得到点B坐标，解方程得到；②当M在y轴负半轴时，如图2在CO延长线上取点P，使得，在OC延长线上取点Q，使得，过点N作轴于点R，根据等边三角形的性质得到，，求得，根据勾股定理得到负值舍去，根据直角三角形的性质即可得到结论． 本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 23.【答案】，证明如下：由折叠和矩形性质得，， ， ， ， 是的中位线， ， 如图，连接GM， 由旋转的性质得，， ， ；   ；   的长为或  【解析】，证明如下：由折叠和矩形性质得，， ， ， ， 是的中位线， ， 如图，连接GM， 由旋转的性质得，， ， ； 当直线时， 如图，过D作于P，交KN于Q， 则四边形PQHG是矩形， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ∽， ， 即， 解得； 如图，设AC交BD于点O，如图， 四边形ABCD是菱形，，， ，，，，， 在中，， ， 分两种情况：①当时，则， 如图，连接，AE，，与AB交于点F，过点A作于点G， 由对称性可知，，，，， ，， ∽， ， 设，则， 在和中， ， ≌， ， ，， 在中，， 即， 解得：舍，， ， ； ②当时，连接，AE，与BD交点G，延长交BC于F， 由对称性可知，，，， ∽， ， 设，则，即， 在中，， 即， 解得：舍去，， ， ，， ∽， ， ， ， 综上，的长为或 证GF是的中位线，连接GM，由旋转知，，，再证，即可得出结论； 由旋转的性质和等腰三角形的性质得，则，设，在中，由勾股定理求出x的值，即可解决问题； 根据E是BD上的一个三等分点，可分成两种情况求解，先根据对称性得到边长，然后根据三角形相似以及直角三角形的勾股定理可求得结果． 本题是四边形综合题，考查了旋转的性质、折叠的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质等知识，本题综合性强，熟练掌握旋转的性质和折叠的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键． 第1页，共1页 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