5.1直角三角形的性质定理（第1课时直角三角形的性质）（教学课件）数学新教材湘教版八年级上册

该初中数学课件聚焦直角三角形性质，涵盖两锐角互余、斜边上中线等于斜边一半的性质及两锐角互余的判定方法。导入通过复习三角形按角分类，引出直角三角形定义，衔接旧知搭建学习支架，帮助学生自然过渡到新知探究。 其亮点是以“探究-证明-应用”为主线，通过画图操作（如用三角板画直角三角形探究中线性质）和逻辑推理（如证明逆命题）发展推理能力（数学思维）。典例与练习结合具体情境（如例1证明三角形是直角三角形），培养模型意识与应用意识（数学语言）。课堂小结系统梳理知识，学生能夯实基础提升能力，教师可高效开展教学。

湘教版2024·八年级上册 5.1直角三角形的性质定理 第1课时 直角三角形的性质 第5章 直角三角形 导入新课 我们知道，三角形按角的大小分类可以分成三类，你还记得是哪三类吗？ 什么是直角三角形？ 直角三角形 有一个角为90° 一般三角形 直角边 直角边 斜边 “直角三角形ABC”用符号“＿＿＿＿＿”表示。 Rt△ABC 学 习 目 标 1 2 3 掌握直角三角形两个锐角互余的性质（重点） 利用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”判定直角三角形.（重点） 掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质（重点） 新知探究 说一说 在Rt△ABC中，若∠C=90°，则∠A+∠B=? 直角三角形的两个锐角互余. 三角形的内角和等于180°，所以∠A+∠B+∠C=180°。 而∠C=90°，所以∠A+∠B=90° 由此，你得出什么结论？ 新知探究 议一议 (1)“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是什么? (2)该逆命题是真命题吗? (1)逆命题：“有两个角互余的三角形是直角三角形”. 真命题 证明 已知：如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°, 求证：△ABC是直角三角形。 证明：在△ABC中，因为∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B=90°, 所以∠C=90°. 因此，△ABC是直角三角形. 由此，你得出什么结论？ 直角三角形的判定方法1：有两个角互余的三角形是直角三角形 新知探究 思 考 如图5.1-2，用三角板画一个Rt△ABC，取线段 AB的中点D，连接DC.以点D为圆心，DB为半径画圆弧，则所画的弧经过点C吗?DC与AB之间有怎样的数量关系? 可以发现，该弧经过点C DC=DB DC=DB=DA=AB DB=DA=AB 你能证明它吗? 证明：过点D作DE// BC，DF// AC，分别交AC，BC于点E，F，于是∠ADE=∠B,∠AED=∠ACB=90°，∠FDC=∠ECD,∠DFB=∠ACB=90°. 在△ADE与△DBF中， ∠AED=∠DFB, ∠ADE=∠B， AD=DB, 所以△ADE≌△DBF(角角边),从而DE=BF.① 在△DFC与△CED中， ∠DFC=∠CED， ∠FDC=∠ECD, DC=CD, 所以△DFC≌△CED(角角边), 从而CF=DE. ② 由①式和②式得，CF=BF. 因此，直线DF是线段BC的垂直平分线. 根据线段垂直平分线的性质定理得，DC=DB.因此DC=DB=AB 新知探究 已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线.求证：DC=AB。 新知探究 总结归纳 直角三角形的性质定理: 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 几何语言： 在Rt△ABC中 ∵CD是斜边AB上的中线 ∴CD＝AD＝BD＝AB （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） A B C D 典例分析 例1 如图5.1-4，已知CD是△ABC的边AB上的中线，且CD=AB. 求证:△ABC是直角三角形. △ABC是直角三角形. 分析： ∠A+∠B=90° ∠A=∠1 ∠B=∠2 ∠A+∠B+∠1+∠2=180° CD=DB CD=DB 典例分析 例1 如图5.1-4，已知CD是△ABC的边AB上的中线，且CD=AB. 求证:△ABC是直角三角形. 证明： 因为CD=AB=AD=BD, 所以∠1=∠A，∠2=∠B. 因为∠A +∠B+∠ACB=180°， ∠ACB=∠1+∠2， 所以∠A+ ∠B+∠1+ ∠2=180°,从而2(∠A+∠B)=180°.因此∠A +∠B=90°. 所以△ABC是直角三角形. 如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 新知应用 基础巩固题 2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边上的中线CD=2.5，则斜边AB的长是 . 1.在△OAB中，∠O＝90°，∠A＝35°，则∠B的度数为(　　)    A．35°     B．55°     C．65°     D．145° 3.在△ABC中，已知∠A＝70°，∠B＝20°，那么这个三角形是(　　)    A．锐角三角形     B．直角三角形    C．钝角三角形     D．无法确定 5 B B 直角三角形的两个锐角互余 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 有两个角互余的三角形是直角三角形 新知应用 基础巩固题 4.如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，BE与DE的大小关系是(　　)    A．DE＞BE     B．DE＝BE    C．DE＜BE     D．不能确定 B 5.如图所示，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别 是AB，AC边上的高，且CD，BE交于一点P，若 ∠A=50°，则∠BPC的度数是（ ）. A.100° B.120° C.130° D.150° C 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 直角三角形的两个锐角互余 新知应用 基础巩固题 6、△ABC中，∠C：∠B：∠A＝1：1：2，则它的三个 内角分别是∠C＝　 ，∠B＝　 ，∠A＝　 ， 它是一个　　 　三角形。 450 450 900 等腰直角 7. 在△ABC中， ∠ACB=90 °，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_________，与∠A相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________. AE,BE ∠ACE 55° 新知应用 基础巩固题 8.如图，在Rt△ABC中，CE是斜边AB上的中线，CD⊥AB，若CD＝5，CE＝6，则△ABC的面积是(　　)    A．24     B．25      C．30     D．36 C 新知应用 基础巩固题 9. 如图，AB//CD，∠CAB和∠ACD的平分线相交于点H，E为AC的中点，EH=2.那么△AHC是直角三角形吗?为什么?若是，求出AC的长. 由EH=2 易知AC=4. 证明： 因为 AB∥CD，所以 ∠BAC+∠DCA=180°. 又 ， ， 所以 所以△AHC是直角三角形. 在Rt△AHC中，EH为斜边上的中线， 所以有 ， 新知应用 能力提升题 10.如图，在△ABC中，BD、CE是高，M、N分别是BC、ED的中点， 试说明：MN⊥DE. 解：连结EM、DM. ∵BD、CE是高，M是BC中点， ∴在Rt△BCE和Rt△BCD中， EM=BC,DM=BC　 ∴EM=DM. 又∵N是ED中点， ∴MN⊥ED N M D E B C A 新知应用 能力提升题 11.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，M，N分别是AB，AC的中点，连接DM，DN. (1)若AB＋AC＝10，求四边形AMDN的周长； 新知应用 能力提升题 (2)连接MN，观察并猜想，线段AD与线段MN有何位置关系？并证明你的猜想． 课堂小结 感谢聆听! $