5.1 第2课时 含30°角的直角三角形的性质及其应用（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年八年级数学上册同步备课（湘教版·新教材）

该初中数学课件聚焦八年级上册含30°角的直角三角形性质及应用，通过三角尺拼接观察、等边三角形对折操作导入，衔接直角三角形性质与等边三角形知识，搭建从直观到抽象的探究支架。 其亮点在于采用动手测量、合作探究及中线法、倍长法、截半法多种证法，培养推理能力，结合触礁问题等实际应用例题渗透模型意识，助力学生深化理解，教师可通过分层例题与练习提升教学效率。

第2课时 含 30° 角的直角三角形的 性质及其应用 5.1 直角三角形的性质定理 第5章 直角三角形 ÷ 八年级上册数学（湘教版） 1.理解和掌握含 30° 角的直角三角形的性质和应用； （重点） 2.通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培 养逻辑思维能力、分析和解决问题的能力．（难点） 学习目标 问题1 如图，将两个含 30° 角的三角尺摆放在 一起，你能借助这个图 形，找到 Rt△ABC 的直 角边 BC 与斜边 AB 之间 的数量关系吗？（提示：请点击拼接和分离） 分离 拼接 A B C D A' C' 情境导入 问题2 剪一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？ 动手：用刻度尺测量含 30°角的直角三角形的斜边和短直角边，比较它们之间的数量关系. 含30°角的直角三角形的性质 结论：短直角边=斜边 探究新知 A B C D 如图，△ADC 是 △ABC 的轴对称图形， 因此 AB = AD， ∠BAD = 2×30° = 60°， 从而 △ABD 是一个等边三角形. 再由 AC⊥BD， 可得 BC = CD = BD = AB. 合作探究 证明：取线段 AB 的中点 D，连接 CD. ∵CD 为 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线， A 30° B C D ∵∠BCA = 90°，且 ∠A = 30°， ∴∠B = 60°. ∴△CBD 为等边三角形. 证明方法：中线法 证法1 证明：在 △ABC 中， ∵∠ACB = 90°，∠BAC = 30°， ∴∠B = 60°． 延长 BC 到 D，使 BD = AB，连接 AD， 则△ABD 是等边三角形． A B C D ∴ BC = BD = AB．　　 30° ) 证明方法：倍长法 证法2 ) 证明： 在 BA 上截取 BE = BC，连接 EC. ∵ ∠B = 60° ，BE = BC. ∴ △BCE 是等边三角形， ∴ ∠BEC = 60°，BE = EC. ∵ ∠A = 30°， ∴ ∠ECA = ∠BEC -∠A = 60° - 30°= 30°. ∴ AE = EC， ∴ AE = BE = BC， ∴ AB = AE + BE = 2BC. E A B C ∴BC = AB．　　 30° 证明方法：截半法 证法3 含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 应用格式： 因为在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，　　 A B C 所以BC = AB．　　 ) 30° 知识要点 (1) 直角三角形中 30° 角所对的直角边等于另一直角边的一半． (2) 三角形中 30° 角所对的边等于最长边的一半. (3) 直角三角形中最小的直角边是斜边的一半. (4) 直角三角形的斜边是 30° 锐角所对直角边的 2 倍． √ 想一想 例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD 是斜边 AB 上的高，AD＝3 cm，则 AB 的长度是(　) A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．12 cm 注意：运用含 30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形． D 解析：在 Rt△ABC 中，∵CD 是斜边 AB 上的高，∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD＝∠B＝30°. 在 Rt△ACD 中，AC＝2AD＝6 cm，在 Rt△ABC 中，AB＝2AC＝12 cm. ∴ AB 的长度是 12 cm. 典例精析 ∵∠B = ∠ACB = 15° (已知)， ∴∠DAC = ∠B+∠ACB = 15°+15° = 30°， 例2 已知：等腰三角形的底角为 15°，腰长为 20. 求腰上的高. A C B D 15° 15° 20 解：过 C 作 CD⊥BA 交 BA 的延长线于点 D. ) ) ∴CD = AC = ×20 = 10. 方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含 30° 角的直角三角形来解决． 例3 在 A 岛周围 20 海里水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到 O 处时，测得 A 岛在北偏东 60°的方向，且与轮船相距 30 海里，如图所示. 若该轮船继续保持由西向东的航向，会有触礁的危险吗？(已知≈1.732) 分析：如图，取轮船航向所在的直线为 OB .过点 A 作 AD⊥OB ，垂足为D. AD 的长为 A 岛到轮船航道的最短距离，若 AD 大于 20 海里，则轮船由西向东航行不会有触礁的危险. 典例精析 解：如图，取轮船航向所在的直线为OB.过点 A 作AD⊥OB，垂足为 D，连接 AO. 在 Rt△AOD中，AO = 30海里，∠AOD =3 0°， 于是 AD = AO = ×30=15 ≈25.98 (海里). 因为 AD ≈25.98 > 20， 所以轮船由西向东航行不会有触礁的危险. (方法一) 解：如图，取线段 AB 的中点 D，连接 CD. ∵CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线， ∴CD = AB = BD = BC， 即△BDC 为等边三角形． ∴∠B = 60°. ∵∠B +∠A = 90°， ∴∠A = 30°. 例4 如图，在 Rt△ABC 中，如果 BC = AB，求证∠A = 30° . D (方法二)如图，延长 BC 到 F，使 CF = BC，连接 AF 所以 BF = AB， 因此 BF = AB =AF，即△ABF 是等边三角形. 所以∠B = 60°， 因此∠CAB=90° -∠B = 30°. 因为 ∠BCA = 90°，BC = CF， 所以 AC 垂直平分 BF，于是 AB = AF (线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等). 又 BC = AB，BC = CF = BF， 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 30°. 应用格式： ∵ 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，　 A B C BC = AB．　　 ) 30° ∴∠A = 30° 要点归纳 例5 如图所示，在四边形 ACBD 中，AD∥BC，AB⊥AC，且 AC ＝ BC，求∠DAC 的度数． 解：∵AB⊥AC， ∴∠CAB ＝ 90°. ∵AC ＝ BC， ∴∠CBA ＝ 30°. ∵AD∥BC， ∴∠BAD ＝ ∠CBA ＝30°． ∴∠DAC ＝ ∠CAB＋∠BAD ＝ 120°. 1. 如图，一棵树在一次强台风中，于离地面 3 米处折断倒下，倒下部分与地面成 30° 角，这棵树在折断前的高度为( ) A．6 米 B．9 米 C．12 米 D．15 米 B 课堂练习 2. 如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是高， ∠A = 30°，AB = 4．则 BD 的长为 . A B C D 1 3. 在 △ABC 中，∠A∶∠B∶∠C = 1∶2∶3，若 AB = 10，则 BC 的长为 . 5 4. 如图，Rt△ABC 中，∠A = 30°，AB + BC = 12 cm，则 AB =______cm. A C B 8 第4题图 5. 在△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 15°，DE 是 AB 的垂直平分线，BE = 5，求 AC 的长． 解：连接 AE， ∵DE 是 AB 的垂直平分线， ∴BE = AE， ∴∠B = ∠EAB = 15°， ∴∠AEC = 30°， ∵∠C = 90°， ∴AC = AE= BE = 2.5． A C B E D 证明：∵AB = AC，∠BAC = 120°， ∴∠B = ∠C = 30°. ∵ D 是 BC 的中点，∴AD⊥BC. ∴∠ADC = 90°，∠BAD = ∠DAC = 60°. ∴ AB = 2AD. ∵DE⊥AB，∴∠AED = 90°. ∴∠ADE = 30°，∴AD = 2AE. ∴ AB = 4AE. ∴BE = 3AE. 6. 在 △ABC 中， AB = AC，∠BAC = 120°，D 是 BC 的中点，DE⊥AB于 E 点，求证：BE = 3AE. A B C D E 内容 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半（反之亦成立） 使用要点 含 30°角的直角三角形的性质 找准 30° 的角所对的直角边，点明斜边 注意 前提条件：含30° 角的直角三角形中 课堂小结 声 明 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $