5.3 一元一次方程的应用（和差倍分问题）教学设计 2025-2026学年北师大版（2024）数学七年级上册

教学课题

5.3 一元一次方程的应用（和差倍分问题）

教学背景分析

“一元一次方程的应用（和差倍分问题）” 是北师大版（2024）数学七年级上册第五章的基础内容，承接前序 “一元一次方程的解法” 及 “行程、配套” 等场景化应用，聚焦 “生活中最基础的数量关系 —— 和、差、倍、分”，是方程知识在 “纯数量关系问题” 中的核心应用。和差倍分问题的本质是通过分析 “两个或多个量之间的总和、差值、倍数、部分与整体” 关系（如 “甲与乙的和为 50”“甲比乙多 10”“甲是乙的 2 倍”“甲占总数的三分之一”），建立一元一次方程模型解决实际问题。

从教材编排来看，本节课遵循 “由浅入深、由单一到复合” 的认知规律：先通过 “两量和差”（如 “甲 + 乙 = 30，甲 - 乙 = 6，求甲、乙”）和 “两量倍分”（如 “甲是乙的 3 倍，甲 + 乙 = 24，求甲、乙”）的简单问题，让学生掌握基础数量关系的方程表达；再过渡到 “多量和倍”（如 “甲、乙、丙的和为 60，乙是甲的 2 倍，丙是甲的 3 倍，求三量”）和 “和差倍复合”（如 “甲比乙的 2 倍多 5，甲 + 乙 = 35，求甲、乙”）的复杂问题；最后结合生活场景（如年龄问题、物资分配、人数统计），让学生体会和差倍分关系的广泛应用。教材通过 “梳理数量关系 — 设未知数 — 列方程” 的步骤，不仅强化了一元一次方程的应用能力，更培养了学生 “从文字中提取数学关系” 的抽象能力，为后续学习 “二元一次方程组”“不等式” 等内容中涉及的数量关系分析奠定基础，是构建 “代数应用题解题思维” 的关键环节。

教学目标

1. 能准确识别和差倍分问题中的核心数量关系：①“和”（两量或多量相加的总和，如 “甲 + 乙 = 总量”）；②“差”（两量相减的差值，如 “甲 - 乙 = 相差量”）；③“倍”（一个量是另一个量的整数倍，如 “甲 = 乙 ×n，n 为正整数”）；④“分”（部分与整体的关系，如 “甲 = 总量 × 分率，分率为十分之几、百分之几等”）。
2. 能根据数量关系正确列代数式：①已知乙为 x，“甲比乙多 5” 表示为 “x+5”，“甲比乙的 2 倍少 3” 表示为 “2x-3”；②已知总数为 x，“甲占总数的三分之一” 表示为 “x÷3”，“乙占总数的五分之二” 表示为 “(2x)÷5”。
3. 能根据等量关系（和、差、倍、分关系）设未知数，列出一元一次方程解决问题：①两量问题（如 “甲 + 乙 = 40，甲 = 2 乙，设乙为 x，列 x+2x=40”）；②多量问题（如 “甲 + 乙 + 丙 = 50，乙 = 2 甲

，丙 = 3 甲，设甲为 x，列 x+2x+3x=50”）；③复合问题（如 “甲比乙的 2 倍多 4，甲 - 乙 = 10，设乙为 x，列 2x+4 -x=10”）。

重难点

4. 掌握和差倍分问题的核心数量关系：能准确区分 “和、差、倍、分” 四种关系，将文字表述转化为正确的代数式（如 “甲比乙的 2 倍多 3” 转化为 “2x+3”，而非 “2 (x+3)”）。
5. 学会合理设元：面对两量或多量关系，能确定 “基准量”（通常设 “被比较的量”“倍数关系中的基础量” 为 x），通过间接设元简化方程（如 “甲是乙的 2 倍，丙比乙多 5”，设乙为 x，甲 = 2x，丙 = x+5，避免多量直接设元导致的复杂表达式）。
6. 能列方程解决基础和差倍分问题：包括 “两量和差”“两量倍分”“多量和倍” 问题，确保根据数量关系准确建立方程，求解并验证解的合理性。

教学活动设计