专题03 函数的概念与性质（3.1～3.2）（期中知识清单）高一数学上学期人教A版必修第一册

该高中数学知识清单系统梳理了函数概念与性质的核心内容，涵盖函数三要素、解析式求法、单调性与最值、奇偶性及其应用等六大知识模块，构建了从定义理解到方法掌握再到综合运用的阶梯式学习支架，帮助学生形成结构化认知体系。 清单通过分类归纳、分级标注和关联整合的方式呈现知识脉络，如将“待定系数法”“换元法”“方程组法”归为同一类解析式求解策略，并用图标区分易错点与高频考点，强化学生的逻辑推理能力和运算能力。特别设计“易错警示栏”和“典型题型精析”，例如在单调性证明中强调“作差变形后必须判断符号”，并附带“口诀记忆法”辅助理解复合函数单调性规律，既提升学生自主学习效率，又为教师提供精准教学依据，助力课堂提质增效。

专题03 函数的概念与性质（68知识&20题型&4易错 &4方法清单） 函数的概念与性质 函数的概念 函数的表示 单调性与最值 定义 待定系数法求解析式 单调性证明 奇偶性 函数奇偶性 三要素 定义域 值域 换元法求解析式 消元法求解析式 单调性性质 最大值 最小值 判断函数奇偶性性质法 分离常数法 换元法 【清单01】函数的概念 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集. 【清单02】求解析式方法 1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． 2、换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围. 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， 4、方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 【清单03】函数单调性 1增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). 2减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function). 3、函数的单调性与单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 【清单04】函数单调性的判断与证明 1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 2、图象法 一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性. 3、性质法 （1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反； （2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同； （3）和的公共定义区间，有如下结论； 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 【清单05】函数最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最大值； 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最小值； 【清单06】复合函数单调性 ：令：和 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 【清单07】函数奇偶性 1偶函数：一般地， 设函数的定义域为，如果，都有， 且，那么函数就叫做偶函数. 2奇函数：一般地， 设函数的定义域为，如果，都有， 且，那么函数就叫做奇函数. 【清单08】性质法判断函数奇偶性 ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 【题型一】函数关系判断 【例1】（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知集合，，给出下列四个对应关系：①，②，③，④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】D 【分析】由函数的定义一一判断即可. 【详解】对于①，当时，，故①不正确； 对于②，当时，，故②不正确； 对于③，当时，，当时，，故③正确； 对于④，当时，，当时，，故④正确. 故选：. 【变式1-1】（多选）（24-25高一上·湖南怀化·期中）下列四个图象中，是函数图象的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由函数定义结合所给图象判断. 【详解】根据函数的定义，对定义域内任意一个，都有唯一一个实数与之对应， 结合图象可知，ACD符合函数定义，B不符合函数定义， 故选：ACD 【题型二】函数定义域（具体函数定义域） 【例2】（24-25高一下·河北保定·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式、根式有意义的基本要求可构造不等式组求得结果. 【详解】由得：且，的定义域为. 故选：D. 【变式2-1】（24-25高一上·江苏无锡·期中）函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据二次根号写大于等于零以及分母不为零，建立不等式组，可得答案. 【详解】由题意可知，解得且，所以函数的定义域为. 故答案为：. 【题型三】函数定义域（抽象函数定义域） 【例3】（24-25高一上·重庆·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据定义域满足的不等式关系，即可列不等式组求解. 【详解】由于函数的定义域为，所以的定义域需要满足： ，解得或， 故定义域为： 故选：D 【变式3-1】（24-25高一上·安徽阜阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域是 . 【答案】 【分析】求出使函数式有意义的自变量的范围即可． 【详解】由题设，可得，则. 故答案为： 【题型四】函数值域（二次函数） 【例4】（23-24高一上·北京·期中）函数，的值域为 . 【答案】 【分析】根据二次函数的知识求得正确答案. 【详解】二次函数的开口向上，对称轴为， 所以当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为， 所以函数的值域为. 故答案为： 【变式4-1】（23-24高一上·宁夏石嘴山·期中）函数的值域为 【答案】 【分析】根据题意，由二次函数的单调性，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，且，则当时，，当时，，则函数值域为. 故答案为： 【题型五】函数值域（根式型） 【例5】（23-24高一上·江苏苏州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，，可得，利用函数单调性求值域. 【详解】令，，则， 所以函数，函数在上单调递增， 时，有最小值， 所以函数的值域为. 故选：C 【变式5-1】（23-24高一上·安徽亳州·期中）函数的值域为 【答案】 【分析】令，将原函数转化为关于t的二次函数，然后由二次函数的性质可得. 【详解】令，则， 于是， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，没有最大值，所以函数的值域是. 故答案为： 【题型六】函数值域（分式型） 【例6】（24-25高二下·上海·期中）函数的值域是 . 【答案】且 【分析】求出给定函数的定义域，再利用分离常数法求出函数的值域. 【详解】函数中，，则且， 于是，由，得；由，得， 所以原函数的值域为且. 故答案为：且 【变式6-1】（24-25高一上·四川内江·期中）函数的值域是 ． 【答案】 【分析】分离常数，即可求解. 【详解】, 由于，故， 故值域为， 故答案为： 【题型七】待定系数求解析式 【例7】（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【详解】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 【变式7-1】（24-25高一上·天津·期中）已知函数为一次函数，且，则（    ） A． B． C． D．7 【答案】C 【分析】根据条件求出，得的解析式，进而代入求值即可. 【详解】∵，∴且，解得， ∴，∴. 故选：C. 【题型八】换元法求解析式 【例8】（24-25高一上·陕西西安·期中）已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由换元法求函数解析式即可. 【详解】已知，设， 所以，要使得有意义，则需，解得， 所以. 故选：A. 【变式8-1】（24-25高一上·重庆·期中）函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法将设为，反求出，再代入原式，并将改为即得. 【详解】设，则，即， 代入，可得，故. 故选：A. 【题型九】方程组法求解析式 【例9】（24-25高一上·云南文山·期中）已知定义在上的函数满足，则函数的解析式是 ． 【答案】 【分析】利用方程组法求解即可. 【详解】由，① 得，② 由得， 所以. 故答案为：. 【变式9-1】（24-25高一上·安徽芜湖·期中）根据下列条件，求的解析式. (1)是一次函数，且满足； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，利用待定系数法确定函数解析式； （2）将原式中的x与互换，建立方程组，求解即可. 【详解】（1）由题意，设 因为， 所以， 即， 由恒等式性质，得， 解得， 则所求函数解析式为. （2）因为，将原式中的x与互换，得， 于是得关于的方程组：， 解得. 【题型十】定义法证明函数单调性 【例10】（24-25高一上·陕西西安·期中）已知函数，且，. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性并用单调性的定义证明你的判断； (3)若不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)在上的单调递增；证明见解析 (3) 【分析】（1）由已知可得，计算即可求得的解析式； （2）函数在上单调递增，利用单调性的定义即可证明； （3）求得，利用单调性可得，求解即可. 【详解】（1）因为函数，且，， 所以，解得，所以； （2）函数在上单调递增，理由如下： ，且， ， 因为，，所以，， 所以，所以，所以， 所以在上的单调递增； （3）由（1）可得，解得，解得或， 所以， 又因为，由，可得， 由（2）可知在上的单调递增； 所以，解得或， 所以的取值范围为. 【变式10-1】（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数. (1)判断函数在的单调性，并用定义证明； (2)求函数在的值域. 【答案】(1)函数在上单调递减，证明见解析 (2) 【分析】（1）判断出函数在上单调递减，任取、且，作差，变形并判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立； （2）分析函数在上单调性，即可求出该函数在区间上的值域. 【详解】（1）函数在上单调递减，证明如下： 任取、且， 则 ， 因为，则，，， 因为，，则，可得， 所以，即， 所以函数在上是减函数. （2）任取、，且，即，则， ，可得，且，，， 所以，即， 所以函数在上为增函数， 故当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又因为，，所以，， 因此函数在的值域为. 【题型十一】根据函数单调性求参数 【例11】（24-25高一上·天津·期中）已知函数，若在单调递增，则m的范围为 . 【答案】. 【分析】由题意，结合二次函数性质得单调区间，进一步结合已知即可列不等式求解. 【详解】由题意， 所以在单调递减，在单调递增，在单调递减，在单调递增， 若在单调递增， 则或，解得或. 故答案为：. 【变式11-1】（24-25高一上·江苏连云港·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据分段函数在R上单调递增列出不等式组，解此不等式组即可作答. 【详解】由题意可得，解得. 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【题型十二】根据函数值域（最值）求参数 【例12】（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函数的最小值为8.则实数的值是（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将原函数分离常数，由题意，结合反比例函数的性质建立方程，解之即可. 【详解】由， 而函数在上单调递减，所以函数在上单调递减， 又其在上的最小值为8， 所以，解得. 故选：C. 【变式12-1】（23-24高一上·湖北荆州·期中）已知函数在上的最大值为，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据二次函数的对称性讨论最值取值情况即可得实数的值. 【详解】函数的对称轴为直线，因为 当时，，得（舍去）， 当时，，得， 综上，实数的值是. 故答案为：. 【题型十三】二次函数（含参）最值 【例13】（24-25高一上·江西宜春·期中）已知函数，不等式的解集． (1)求函数的解析式； (2)设函数在上的最小值为，求的表达式及的最小值． 【答案】(1) (2)，． 【分析】（1）根据不等式解集与二次函数、一元二次方程的关系计算参数即可； （2）利用二次函数的性质分类讨论动区间端点与对称轴的关系可得表达式，再利用二次函数的性质计算最小值即可. 【详解】（1）∵，不等式的解集， ∴0，5为的两个根， ∴， ∴. （2）由（1）知，，其对称轴是， i.当时，易知在 递增， 故， ii．当即时，， iii．当即时，函数在上单调递减，， 综上，， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 且，则． 【变式13-1】（24-25高一上·重庆·期中）已知二次函数的图象经过两点，且函数的最小值是. (1)求的解析式； (2)已知，讨论在区间上的最值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由已知两点坐标得到对称轴，即知道顶点坐标，将二次函数设为顶点式，代入一个点坐标求出的值，即可得到的解析式； （2）由二次函数的单调区，讨论不同的取值范围内，得到在区间上的最值. 【详解】（1）因为图象经过两点，且纵坐标相等， 所以的对称轴为，即的顶点为， 设二次函数的顶点式为， 因为，所以， 所以. （2）当时，在上单调递减， 所以，； 当时，在上单调递减，在上单调递增，且， 所以，； 当时，在上单调递减，在上单调递增，且 所以，； 综上所述：当时，，； 当时，，； 当时，，； 【题型十四】函数奇偶性判断 【例14】（24-25高一上·贵州·期中）已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)讨论函数在区间上的单调性. 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)答案见解析. 【分析】（1）应用奇偶性定义证明函数的奇偶性； （2）利用单调性定义求得函数在区间上的单调性. 【详解】（1）为奇函数，证明如下： 由解析式知，当时，函数定义域为，， ，所以为奇函数. 当时，函数定义域为R，且， 所以为奇函数， 综上，为奇函数. （2）令，则 ，而，即， 当时，，此时在上单调递减； 当时，，此时在上单调递增； 【变式14-1】（24-25高一上·吉林白城·期中）判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3) 【答案】(1)奇函数 (2)既是奇函数又是偶函数． (3)偶函数 【分析】先求出函数的定义域并判断定义域是否关于原点对称，再利用奇偶性的定义判断即可. 【详解】（1）因为，所以． 又因为， 所以为奇函数． （2）因为函数的定义域为，关于原点对称，且， 所以． 所以既是奇函数又是偶函数． （3）的定义域是， 对，都有． 当时，，； 当时，，． 综上可知，对于，都有，故为偶函数． 【题型十五】由奇偶性求解析式 【例15】（23-24高一上·山东·期中）已知是R上的奇函数，且时，，则时， ． 【答案】 【分析】设，，代入求出，由奇函数的性质即可求出. 【详解】设，，则：； ∴． 故答案为：． 【变式15-1】（24-25高一下·河北保定·期中）已知是定义在上的偶函数，当时，. (1)求，的值； (2)求的解析式； (3)画出的简图；写出的单调区间.（只需写出结果，不要解答过程） 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）根据解析式和奇偶性求值； （2）利用奇偶性的定义求解析式； （3）根据（2）中解析式得函数的简图，由图象得单调区间. 【详解】（1）由已知是定义在上的偶函数，当时，， 所以，； （2）因为偶函数在时有， 所以时，， 所以； （3）时，，抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是，与轴交点为， 作出图象，再关于轴作对称图形即可得的图象，如下图， 由图象知增区间是和，减区间是和. 【题型十六】由奇偶性求参数 【例16】（24-25高一上·重庆·期中）设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶性可得，，，解出，进而得出答案． 【详解】由偶函数的定义域是关于原点对称的，所以， 显然，，所以． 故选：B． 【变式16-1】（24-25高一上·内蒙古·期中）设是定义在上的奇函数，则（    ） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】B 【分析】由题设得，进而求出a，再检验即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，即，故， 此时，所以， 满足是定义在上的奇函数， 所以. 故选：B. 【题型十七】奇偶性+单调性解不等式（小题） 【例17】（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知函数是定义域为的奇函数，且在上单调递增．若，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性和单调性来求得的取值范围. 【详解】依题意，函数是定义域为的奇函数，且在上单调递增， 所以在上单调递增， 由，得， 所以， 所以的取值范围是. 故选：D 【变式17-1】（24-25高一下·上海·期中）已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用偶函数的性质，得到，即可求解. 【详解】因为是定义域为的偶函数，且在上为严格减函数， 由，得到，整理得到，解得， 故答案为：. 【题型十八】奇偶性+单调性解不等式（大题） 【例18】（24-25高一上·天津·期中）已知函数是定义域在上的奇函数，且. (1)求a，b的值； (2)用定义法证明函数在上单调递增； (3)解不等式. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由及列方程求参数值，注意验证； （2）根据单调性定义，应用作差法比较大小，即可证； （3）由奇函数、单调性得，求解即可. 【详解】（1）由题设，，则， 所以，则，满足题设， 所以； （2）由（1），令， 则 ， 由，则， 所以函数在上单调递增； （3）由题设， 则， 所以，即. 【变式18-1】（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知为定义在上的偶函数，当时，且. (1)求实数的值及在上的解析式： (2)判断并证明在上的单调性； (3)解关于的不等式：. 【答案】(1)，； (2)单调递减，证明见解析； (3). 【分析】（1）利用偶函数的性质求出，进而求出指定区间上的解析式. （2）借助对勾函数单调性判断，再利用减函数的定义推理论证. （3）利用偶函数的性质及函数单调性求解不等式. 【详解】（1）由为定义在上的偶函数，，得， 而当时，则，解得； 当时，，， 所以在上的解析式为. （2）由（1）知，，函数在上单调递减. ，， 由，得，则， 即，因此， 所以函数在上单调递减. （3）由（2）知，不等式， 又函数在上单调递减，则， 即或，解得或， 所以原不等式的解集为. 【题型十九】分段函数问题 【例19】（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知函数的最小值是-2，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据端点处的函数值，然后讨论以及，即可得出实数a的取值范围. 【详解】由已知时，， 显然在单调递减，在单调递增， 所以在处取到最小值，， 当时， 时，在单调递减， 不符合，舍去； 当时，时，开口向下，不符合，舍去； 当时，时，开口向上，且对称轴为， 在单调减，在单调增， 若即，则，所以； 若即，则得； 综上，实数a的取值范围是. 故选：C 【变式19-1】（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知函数.若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先讨论、分别求得、，再讨论并结合解析式，列不等式求参数m的范围. 【详解】当时，由， 若时，，即，故； 若时，，即，故； 此时； 当时，由， 所以或，即或（舍）， 若时，，即，显然无解； 若时，，即，故； 此时； 综上，实数的取值范围是. 故选：A 【题型二十】函数图形识别 【例20】（23-24高一上·天津河北·期中）函数的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得到为奇函数，图象关于原点对称，且在为单调递增函数，结合选项，即可求解. 【详解】由函数的定义域为关于原点对称， 且， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除A选项； 当时，可得，此时函数在为单调递增函数， 可排除B项和D项，只有A项符合题意. 故选：C. 【变式20-1】（24-25高一上·福建莆田·期中）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数的奇偶性，再取特殊值验证结合函数单调性即可判断. 【详解】 (x) , ∴函数为奇函数，故排除A，D， 因为x在上单调递增，在 上单调递增， 即在上单调递增， 故排除B, 故选:C. 【题型二十一】抽象函数问题 【例21】（23-24高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知函数对任意的，都有，且当时，． (1)求证：是上的增函数； (2)若，，解不等式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知条件结合函数单调性的定义证明； （2）利用赋值法求得，再利用（1）求出的函数单调性解不等式． 【详解】（1）设，且，则，即， ∴， ∴，∴是上的增函数； （2）∵，∴， 在上式中取，则有， ∵，∴， 于是不等式等价于， 又由（1）知是上的增函数， ∴，解得或， ∴原不等式的解集为． 【变式21-1】（24-25高一上·安徽·期中）定义在上的函数满足：①当时，；②对任意实数x，y都有． (1)证明：当时，； (2)判断在上的单调性； (3)解不等． 【答案】(1)证明见解析 (2)增函数 (3) 【分析】（1）赋值法可直接求出结果； （2）利用单调性得定义即可判断； （3）根据题意原不等式等价于，然后利用函数得单调性解不等式即可. 【详解】（1）令，则，所以．    当时，，则．在中， 令，则，所以 （2）设，则，所以． 于是， 故在上是增函数． （3）由题意知，原不等式等价于   由（2），在上是增函数得到，，且， 解得． 故原不等式的解集是． 【题型一】求函数单调区间忽略定义域 【例1】（23-24高一上·湖北十堰·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，令，可知该函数在上单调递减，由单调性的性质即可得出答案. 【详解】解：由，解得, 所以函数的定义域为， 令，其图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为， 该函数在上单调递减， 则函数的单调递增区间是. 故选：C. 【变式1-1】（24-25高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】现根据解析式有意义的条件求的定义域，然后在定义域内，利用复合函数的单调性法则求得结果. 【详解】要使函数有意义，则， 即，解得或， 函数定义域为. 令，则，在上单调递减， 对称轴为，开口向上， 在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，可知的单调递减区间是. 故选：D. 【变式1-2】（24-25高一上·广东湛江·期中）函数的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】根据偶次方根的被开方数为非负数列不等式，由此求得的定义域，结合二次函数的性质求得的单调递减区间. 【详解】由，解得或， 则函数的定义域是， 二次函数的开口向上，对称轴为， 所以的单调递减区间是. 故答案为： 【题型二】解不等式忽视了函数定义域 【例2】（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数在定义域上是减函数，且，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用函数的定义域和单调性，可得，由此求得实数a的取值范围． 【详解】因为函数在定义域上是减函数，且， 所以，解得， 故答案为：. 【变式2-1】（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数是定义在上的增函数，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意列出不等式组，解出即可. 【详解】由题意得，解得，则实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式2-2】（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数是定义域为的减函数，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用的单调性，结合其定义域即可得解. 【详解】因为是定义域为的减函数，， 所以，即，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【题型三】分段函数单调性忽视了端点值大小比较 【例3】（24-25高一上·江苏南通·期中）已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，确定函数的单调性，再利用分段函数单调性列式求解. 【详解】对任意，当时，都有成立， 得函数在上单调递增，而函数， 则，解得，所以实数的取值范围是. 故选：A 【变式3-1】（23-24高一上·云南昭通·期中）已知是定义域为上的增函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由分段函数的单调性得到求解即可； 【详解】由是上的增函数， 需满足：解得， 故选：D. 【变式3-2】（24-25高一上·江苏南京·期中）已知函数满足对任意的，，恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件得到在定义域上单调递减，再利用分段函数、一次函数、反比例函数的性质，即可求解. 【详解】因为，且， 不妨设，则，， 所以在定义域上单调递减， 当时，在区间上单调递减，所以， 当时，，，为减函数， 又，解得， 综上： 故选：A. 【题型四】定义在上的奇函数忽略了 【例4】（24-25高一上·湖北·期中）已知函数是定义在上的奇函数，时，，则函数在上的解析式为 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性分别求出和时的解析式即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以， 设，则， 则， 所以， 所以， 故答案为：. 【变式4-1】（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ． 【答案】 【分析】设，则利用奇函数的定义得出，可得出函数在上的解析式.即可求解 【详解】设，则，则， 函数是上的奇函数，则当时，. 又， 所以 故答案为： . 【变式4-2】（23-24高一上·河南郑州·期中）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】根据函数奇偶性得到函数解析式，注意. 【详解】当时，，则， 因为是定义在R上的奇函数，所以， 故，所以， 又， 所以. 故答案为： 【题型一】根据单调性求值域 适用：能判断或者证明函数的单调性 【例1】（23-24高一上·湖北宜昌·期中）函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将函数分离常数，再利用函数的单调性求解. 【详解】函数，易得函数在上单调递减，在上单调递减， 当时，；当时，； 所以函数的值域为. 故选：D. 【变式1—1】（24-25高一上·广东东莞·期中）函数在上的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】根据对勾函数的单调性得出最小值. 【详解】因为函数在上单调递减，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以. 故答案为：. 【题型二】判别式法求值域 适用：二次型 【例2】（24-25高一上·山东菏泽·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，函数称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，例如：，.已知函数，则函数的值域是 . 【答案】 【分析】令，利用判别式法可得的取值范围，即可得的值域，结合所给定义即可得的值域. 【详解】令，由，则有， 当时，有； 当时，则有， 解得，又，即或； 综上可得，则， 故的值域是. 故答案为：. 【变式2—1】（24-25高一上·四川成都·期中）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】将函数式转化为方程，即该方程在上有解，讨论和，结合判别式法即可求值域. 【详解】由解析式知：函数的定义域为R，且， 整理可得，即该方程在上有解， 当时，，显然成立； 当时，有，整理得，即， 综上，原函数值域为. 故答案为：. 【题型三】分离常数法求值域 适用：齐次分式型 【例3】（24-25高一上·云南昆明·期中）函数，的值域为 ． 【答案】 【分析】化简函数为，根据其单调性求解即可. 【详解】由， 函数在上单调递减， 所以当时，， 当时，， 所以函数，的值域为. 故答案为：. 【变式3—1】（24-25高一上·福建福州·期中）函数在区间的值域为 . 【答案】 【分析】化简解析式，再根据定义域求出值域即可. 【详解】由题意得，， 因为，所以， 所以， 所以， 即的值域为. 故答案为：. 【题型四】分类讨论法求二次函数在闭区间上的最值问 适用：求二次函数（含参）的最值问题 【例4】（24-25高一上·四川泸州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，. (1)求的解析式； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据偶函数的定义求解即可； （2）根据的单调性，按的不同取值分类讨论即可. 【详解】（1）若，则，则， 为偶函数.则， 故. （2）当时，，开口向上，对称轴，在单调递减，在单调递增， 当时，，则； 当时，，则； 当时，； 故. 【变式4—1】（24-25高一上·河南·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． (1)求函数的解析式； (2)直接写出函数的增区间； (3)若函数，求函数的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据偶函数的定义直接可求得函数解析式； （2）结合偶函数性质及二次函数单调性可得单调递增区间； （3）结合二次函数性质讨论二次函数对称轴，可得最值. 【详解】（1）由已知当时，， 则当时，，， 又函数是定义在上的偶函数，则， 综上所述； （2）由已知当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递增， 综上所述函数的单调递增区间为； （3）由已知，，对称轴方程为， 当，即时，为最小值； 当，即时，为最小值； 当，即时，为最小值． 综上，. 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的概念与性质（68知识&20题型&4易错 &4方法清单） 函数的概念与性质 函数的概念 函数的表示 单调性与最值 定义 待定系数法求解析式 单调性证明 奇偶性 函数奇偶性 三要素 定义域 值域 换元法求解析式 消元法求解析式 单调性性质 最大值 最小值 判断函数奇偶性性质法 分离常数法 换元法 【清单01】函数的概念 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集. 【清单02】求解析式方法 1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． 2、换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围. 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， 4、方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 【清单03】函数单调性 1增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). 2减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function). 3、函数的单调性与单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 【清单04】函数单调性的判断与证明 1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 2、图象法 一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性. 3、性质法 （1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反； （2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同； （3）和的公共定义区间，有如下结论； 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 【清单05】函数最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最大值； 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最小值； 【清单06】复合函数单调性 ：令：和 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 【清单07】函数奇偶性 1偶函数：一般地， 设函数的定义域为，如果，都有， 且，那么函数就叫做偶函数. 2奇函数：一般地， 设函数的定义域为，如果，都有， 且，那么函数就叫做奇函数. 【清单08】性质法判断函数奇偶性 ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 【题型一】函数关系判断 【例1】（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知集合，，给出下列四个对应关系：①，②，③，④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【变式1-1】（多选）（24-25高一上·湖南怀化·期中）下列四个图象中，是函数图象的有（    ） A． B． C． D． 【题型二】函数定义域（具体函数定义域） 【例2】（24-25高一下·河北保定·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一上·江苏无锡·期中）函数的定义域是 . 【题型三】函数定义域（抽象函数定义域） 【例3】（24-25高一上·重庆·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一上·安徽阜阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域是 . 【题型四】函数值域（二次函数） 【例4】（23-24高一上·北京·期中）函数，的值域为 . 【变式4-1】（23-24高一上·宁夏石嘴山·期中）函数的值域为 【题型五】函数值域（根式型） 【例5】（23-24高一上·江苏苏州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高一上·安徽亳州·期中）函数的值域为 【题型六】函数值域（分式型） 【例6】（24-25高二下·上海·期中）函数的值域是 . 【变式6-1】（24-25高一上·四川内江·期中）函数的值域是 ． 【题型七】待定系数求解析式 【例7】（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高一上·天津·期中）已知函数为一次函数，且，则（    ） A． B． C． D．7 【题型八】换元法求解析式 【例8】（24-25高一上·陕西西安·期中）已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高一上·重庆·期中）函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【题型九】方程组法求解析式 【例9】（24-25高一上·云南文山·期中）已知定义在上的函数满足，则函数的解析式是 ． 【变式9-1】（24-25高一上·安徽芜湖·期中）根据下列条件，求的解析式. (1)是一次函数，且满足； (2). 【题型十】定义法证明函数单调性 【例10】（24-25高一上·陕西西安·期中）已知函数，且，. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性并用单调性的定义证明你的判断； (3)若不等式恒成立，求的取值范围. 【变式10-1】（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数. (1)判断函数在的单调性，并用定义证明； (2)求函数在的值域. 【题型十一】根据函数单调性求参数 【例11】（24-25高一上·天津·期中）已知函数，若在单调递增，则m的范围为 . 【变式11-1】（24-25高一上·江苏连云港·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 . 【题型十二】根据函数值域（最值）求参数 【例12】（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函数的最小值为8.则实数的值是（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 【变式12-1】（23-24高一上·湖北荆州·期中）已知函数在上的最大值为，则实数的值为 . 【题型十三】二次函数（含参）最值 【例13】（24-25高一上·江西宜春·期中）已知函数，不等式的解集． (1)求函数的解析式； (2)设函数在上的最小值为，求的表达式及的最小值． 【变式13-1】（24-25高一上·重庆·期中）已知二次函数的图象经过两点，且函数的最小值是. (1)求的解析式； (2)已知，讨论在区间上的最值. 【题型十四】函数奇偶性判断 【例14】（24-25高一上·贵州·期中）已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)讨论函数在区间上的单调性. 【变式14-1】（24-25高一上·吉林白城·期中）判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3) 【题型十五】由奇偶性求解析式 【例15】（23-24高一上·山东·期中）已知是R上的奇函数，且时，，则时， ． 【变式15-1】（24-25高一下·河北保定·期中）已知是定义在上的偶函数，当时，. (1)求，的值； (2)求的解析式； (3)画出的简图；写出的单调区间.（只需写出结果，不要解答过程） 【题型十六】由奇偶性求参数 【例16】（24-25高一上·重庆·期中）设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 【变式16-1】（24-25高一上·内蒙古·期中）设是定义在上的奇函数，则（    ） A．1 B．2 C．0 D． 【题型十七】奇偶性+单调性解不等式（小题） 【例17】（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知函数是定义域为的奇函数，且在上单调递增．若，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式17-1】（24-25高一下·上海·期中）已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为 ． 【题型十八】奇偶性+单调性解不等式（大题） 【例18】（24-25高一上·天津·期中）已知函数是定义域在上的奇函数，且. (1)求a，b的值； (2)用定义法证明函数在上单调递增； (3)解不等式. 【变式18-1】（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知为定义在上的偶函数，当时，且. (1)求实数的值及在上的解析式： (2)判断并证明在上的单调性； (3)解关于的不等式：. 【题型十九】分段函数问题 【例19】（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知函数的最小值是-2，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式19-1】（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知函数.若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型二十】函数图形识别 【例20】（23-24高一上·天津河北·期中）函数的图象为（    ） A． B． C． D． 【变式20-1】（24-25高一上·福建莆田·期中）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【题型二十一】抽象函数问题 【例21】（23-24高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知函数对任意的，都有，且当时，． (1)求证：是上的增函数； (2)若，，解不等式． 【变式21-1】（24-25高一上·安徽·期中）定义在上的函数满足：①当时，；②对任意实数x，y都有． (1)证明：当时，； (2)判断在上的单调性； (3)解不等． 【题型一】求函数单调区间忽略定义域 【例1】（23-24高一上·湖北十堰·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一上·广东湛江·期中）函数的单调递减区间为 . 【题型二】解不等式忽视了函数定义域 【例2】（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数在定义域上是减函数，且，则实数a的取值范围是 . 【变式2-1】（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数是定义在上的增函数，且，则实数的取值范围是 ． 【变式2-2】（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数是定义域为的减函数，且，则的取值范围是 ． 【题型三】分段函数单调性忽视了端点值大小比较 【例3】（24-25高一上·江苏南通·期中）已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一上·云南昭通·期中）已知是定义域为上的增函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一上·江苏南京·期中）已知函数满足对任意的，，恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型四】定义在上的奇函数忽略了 【例4】（24-25高一上·湖北·期中）已知函数是定义在上的奇函数，时，，则函数在上的解析式为 【变式4-1】（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ． 【变式4-2】（23-24高一上·河南郑州·期中）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则的解析式为 ． 【题型一】根据单调性求值域 适用：能判断或者证明函数的单调性 【例1】（23-24高一上·湖北宜昌·期中）函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式1—1】（24-25高一上·广东东莞·期中）函数在上的最小值是 ． 【题型二】判别式法求值域 适用：二次型 【例2】（24-25高一上·山东菏泽·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，函数称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，例如：，.已知函数，则函数的值域是 . 【变式2—1】（24-25高一上·四川成都·期中）函数的值域为 ． 【题型三】分离常数法求值域 适用：齐次分式型 【例3】（24-25高一上·云南昆明·期中）函数，的值域为 ． 【变式3—1】（24-25高一上·福建福州·期中）函数在区间的值域为 . 【题型四】分类讨论法求二次函数在闭区间上的最值问 适用：求二次函数（含参）的最值问题 【例4】（24-25高一上·四川泸州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，. (1)求的解析式； (2)当时，求的最小值. 【变式4—1】（24-25高一上·河南·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． (1)求函数的解析式； (2)直接写出函数的增区间； (3)若函数，求函数的最小值． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $