专题02 一元二次函数、方程和不等式（期中真题汇编，广西专用）高一数学上学期人教A版

专题02 一元二次函数、方程和不等式 高频考点概览 考点01 不等式的性质 考点02 一元二次不等式 考点03基本不等式求最值 考点04解答题 地 城 考点01 不等式的性质 一、单选题 1．(24-25高一上·广西钦州·期中)下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】若，取，，则，故A错误； 若，当时，则，故B错误； 若，取，，则，故C错误； 若，则，故D正确. 故选：D. 2．(24-25高一上·广西钦州·期中)已知为实数，且，则下列不等式一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，，，， 选项A，，， ， A错误； 选项B，，， ，B错误； 选项C，，， ，根据不等式的加法性质，C正确.； 选项D，，，，D错误. 故选：C． 3．(24-25高一上·广西南宁西乡塘区·期中)已知，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，所以，故A错误；，故B错误，D正确；由于，，故C错误；故选：D 4．(24-25高一上·广西南宁青秀区·期中)下列命题中正确的是（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【详解】A. 若，则,当c取负值时就不成立，故错误；B. 若，，则，例如a=3，b=1，c=2，d=-2显然此时,故错误；D，若，，则，例如a=3，c=-1，b=-1，d=-2，此时,故错误，所以综合得选C. 5．(24-25高一上·广西部分名校·)已知，b，，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】若,则，故，A错误，若中有一个为0，则或无意义，故B错误； 对于C,由于且，故，C正确.对于D，取，，则,故D错误.故选：C. 6．(23-24高一上·广西南宁第三中学·)若则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于，由，且，则，错； 对于，由，且，则错； 对于C，若取，则错； 对于D，由，且，则，有，D正确. 故选：D. 7．(24-25高一上·广西玉林兴业县·期中)设，，，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于AC，取，满足，而，AC错误； 对于B，，则，B错误； 对于D，由，得，则，，D正确. 故选：D 8．(24-25高一上·广西壮族防城港·期中)已知实数,若,则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知,不妨取则有,, 故选项A,B错误;于选项C,不妨取,故选项C错误; 关于选项D,,,故选项D正确.故选:D 9．(24-25高一上·广西容县七校·期中)小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则小齐和小港两次购买葡萄的平均价格是（   ） A．一样多 B．小齐低 C．小港低 D．无法比较 【答案】C 【详解】设两次葡萄的单价分别为，则小齐两次购买葡萄的平均价格是，小港两次购买葡萄的平均价格是，，故，小港两次购买葡萄的平均价格低.故选：C 二、多选题 10．(24-25高一上·广西南宁银海三雅学校·期中)若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A、D，因为，所以，则，所以，即，故A错误，D正确；对于B，因为，所以，即，故B正确；对于C，若，则，，所以有，故C错误.故选：BD. 11．(24-25高一上·广西钦州第四中学·期中)对于实数，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【详解】对于A，，两边同时除以，则，A正确； 对于B，，，则，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，因为，则，C正确； 对于D，取，满足，而，D错误. 故选：ABC 12．(24-25高一上·广西名校联盟·期中)已知，则下列不等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，当，，时，，故A错误；对于B，当，，时，，故B错误；对于C，因为，所以，故C正确；对于D，当，，时，，故D错误．故选：ABD. 13．(24-25高一上·广西来宾忻城县·期中)下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】CD 【详解】对于A项：因为：，，所以得：，又因为：，所以得：，故A项错误；对于B项：令，，所以得：，但，故B项错误；对于C项：由，得：，所以得：，故C项正确；对于D项：由，，得：，所以得：，故D项正确；故选：CD. 14．(24-25高一上·广西玉林·期中)下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】对于A，当时，，故A错误；对于B，由， 因为，所以，，所以，即，故B正确；对于C，由，得，由于函数在上单调递增，所以，故C正确；对于D，当时，满足，而，故D错误.故选：BC. 15．(24-25高一上·广西桂林·调研)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，因，所以，则，所以，故A正确； 对于B，因，所以，则，所以，故B错误； 对于C，因，则，所以，所以，故C正确；对于D，因，则，所以，则，故D正确.故选：ACD 三、填空题 16．(24-25高一上·广西北海合浦县·期中)已知，则 （填“”或“”） 【答案】> 【详解】，故.故答案为：> 17．(24-25高一上·广西来宾·期中)7．已知，则的取值范围是 ．（用区间作答） 【答案】 【详解】由，则，又，则，即，故答案为：. 18．(23-24高一上·广西南宁三中·)8．已知，，则的取值范围 ．（用区间作答） 【答案】 【详解】根据题意，设，可得，因为，，可得，，所以，即的取值范围为．故答案为：. 19．(24-25高一上·广西名校联盟·期中)9．已知某商品的原价为元，由于市场原因，先降价出售，一段时间后，再提价出售，则该商品提价后的售价 该商品的原价.（填“高于”“低于”或“等于”） 【答案】低于 【详解】第一次降价后的售价为元，第二次提价后的售价为元.因为，所以，所以，所以，即该商品提价后的售价低于该商品的原价.故答案为：低于. 地 城 考点02 一元二次不等式 一、单选题 1．(24-25高一上·广西南宁西乡塘区·期中)不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，解得或，所以不等式的解集为，故选：B. 2．(24-25高一上·广西钦州第四中学·期中)，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解一元二次不等式确定集合，解分式不等式确定集合，然后由交集定义求解． 【详解】或，， 因此，.故选：C． 3．(24-25高一上·广西柳州·期中)已知集合，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【详解】由可得，解得，可得；由，解得或，可得或；所以.故选：D. 4．(24-25高一上·广西钦州第四中学·期中)已知不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】不等式的解集为，方程的实数根为和2，且；，解得，；则不等式变为， 即，解得：，所求不等式的解集为．故选：． 5．(22-23高一上·福建永泰城关中学·月考)若不等式的解集为R，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的性质，结合分类讨论，即可得到结论． 【详解】若，则不等式为，满足条件，若，要使不等式恒成立，则满足，即，则，所以，综上，实数的取值范围为．故选：A 6．(24-25高一上·广西柳州柳城县·期中)已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设知方程有两根2和4，故由韦达定理得 ，则.因此，解得.即关于x的不等式的解集为. 故选：D． 7．(23-24高一上·广西百色德保县·期中)若两个正实数x，y满足，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】由题设，则，当且仅当，即时等号成立，要使不等式有解，则，所以或.故选：C 8．(24-25高一上·广西容县七校·期中)不等式的解集为，则函数的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，不等式的解集为,故对应的二次函数开口向下 对应的一元二次方程的两个根为,解得则函数，为开口向下的二次函数，且与轴的交点为 故选：C 9．(24-25高一上·广西南宁青秀区·期中)已知一元二次不等式的解集为，则的最大值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】A 【详解】的解集为，故为方程的两个根，且（当且仅当时等号成立）.故选：A. 二、多选题 10．(24-25高一上·广西北海合浦县·期中)已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．关于的不等式的解集为 D．若，则的最大值为1 【答案】ACD 【详解】因为关于的不等式的解集为，所以整理得 则．，解得． ，即，解得，则． 故选：ACD． 11．(24-25高一上·广西柳州高级中学·期中)对于，表示不超过的最大整数，如，记，从而有，以下是真命题的有（    ） A． B．，若，则 C．不等式的解集为 D．设，则对有 【答案】BCD 【详解】根据可得，因此，可得A错误；由表示不超过的最大整数可得当，则，因此可得，即B正确；易知不等式可分解为，解得或；结合的定义可得，即C正确；由可得，则， 即，两边同时并取整可得，由于，可得，；所以，即，即D正确.故选：BCD 12．(24-25高一上·广西南宁银海三雅学校·期中)若函数的图象与x轴的两个交点是，，则下列结论正确的是（    ） A． B．方程的两根是，1 C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 【答案】ABD 【详解】依题意，方程的两根是，1，B正确；显然，即，，A正确；不等式，即的解集为或，C错误； 不等式，即的解集是，D正确.故选：ABD 13．(24-25高一上·广西南宁第三中学·期中)下列命题是真命题的是（   ） A．是定义在上的偶函数，若当时，，则当时， B．函数的最小值为2 C．已知，则 D．若关于的不等式的解集为或，且解集中仅有两个整数，则的取值范围是 【答案】ACD 【详解】对于A选项，当时，，，故A正确；对于B选项，易知，故，由基本不等式知，等号不成立，故B错误； 对于C选项，易知，令，易知，即为奇函数，所以，则，故C正确；对于D选项，关于x的不等式的解集为或，所以和4是方程的两根，且，由根与系数的关系知，，所以，，所以关于的不等式可化为，令，对称轴，，因为不等式的解集中仅有两个整数，所以这两个整数是，或，， 当这两个整数是和时，则，解得；当整数是和时，由于对称轴时，根据对称性可知，此时显然不符合题意，综上，a的取值范围是，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 14．(24-25高一上·广西钦州第四中学·期中)已知二次函数图象如图所示.则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】根据二次函数的图象可知，为方程的两根，故，即，则即，也即， ，解得或.故不等式解集为.故答案为：. 15．(24-25高一上·广西钦州第四中学·期中)关于的不等式的解集是或，则 . 【答案】 【详解】因为关于的不等式的解集是或，显然，故其对应二次方程的两根为或,则，解得，故.故答案为：. 16．(24-25高一上·广西县域高中·)若“”为假命题，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为为假命题，所以为真命题， 当时，成立，当时，由，解得， 综上所述：，故答案为：. 17．(24-25高一上·广西部分名校·)若不等式的解集是，则的解集为 ． 【答案】 【详解】不等式的解集是，则是方程的两根，所以，所以，由，得，即，解得， 所以的解集为.故答案为：. 18．(24-25高一上·广西玉林·期中)关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 . 【答案】 【详解】由题意，和1为方程的根，则，解得，则不等式，即为，即，解得，所以不等式的解集为.故答案为：. 19．(24-25高一上·广西县域高中·)不等式的解集是，则的解集为 ． 【答案】 【详解】因为不等式的解集是，则，且关于的方程的两根分别为、，由韦达定理可得，可得，所以，不等式即为，即，解得，故不等式的解集为. 故答案为：. 地 城 考点03 基本不等式求最值 一、单选题 1．(24-25高一上·广西南宁银海三雅学校·期中)如果，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为4. 故选：C 2．(24-25高一上·广西部分名校·)若，则函数的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，可得，所以，当且仅当时，即时，取得最小值.故选：D. 3．(24-25高一上·广西名校联盟·期中)若，则有（    ） A．最小值4 B．最小值2 C．最大值 D．最大值 【答案】D 【详解】.因为，所以，， 所以，当且仅当即时，等号成立， 则，即有最大值.故选：D. 4．(24-25高一上·广西南宁青秀区·期中)若正实数满足，则下列说法错误的是（ ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为 D．有最大值为 【答案】D 【详解】因为，则，当且仅当，即时取等号，故A正确； ，当且仅当，即时取等号，故B正确；因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确；因为，当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误.故选：. 5．(24-25高一上·广西北海合浦县·期中)已知，且，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【详解】因为，所以，由，得，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为12.故选：A. 6．(24-25高一上·广西南宁青秀区·期中)已知一元二次不等式的解集为，则的最大值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】A 【详解】的解集为，故为方程的两个根，且（当且仅当时等号成立）.故选：A. 7．(24-25高一上·广西桂林·调研)已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，且，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.故选：B. 8．(24-25高一上·广西容县七校·期中)若两个正实数x，y满足，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】由题设，则，当且仅当，即时等号成立，要使不等式有解，则，所以或.故选：C 9．(24-25高一上·广西部分名校·)已知实数满足，且，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C． D． 【答案】D 【详解】∵，∴，∴，当且仅当，即，时，等号成立.故选：D. 10．(24-25高一上·重庆巴蜀中学·月考)0．若实数，则的最大值为（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】A 【详解】实数，，当且仅当，即时等号成立，函数的最大值为，故选：A. 11．(24-25高一上·广西柳州高级中学·月考)1．某学校为创建高品质特色高中，准备对校园内现有一处墙角进行规划.如图，墙角线和互相垂直，学校欲建一条直线型走廊，其中的两个端点分别在这两墙角线上.若欲建一条长为10米的走廊，当的面积最大时，长度为（    ）米. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设米，米，由，有，即，的面积，当且仅当时等号成立，所以的面积最大为25平方米，此时长度为米.故选：D 二、多选题 12．(22-23高一上·江苏徐州六县·期中)2．下列说法中正确的是（    ） A．若，则函数的最小值为3 B．若，则的最小值为4 C．若，则xy的最大值为1 D．若满足，则的最小值为 【答案】BCD 【详解】A.，，令，，由对勾函数的性质得，故错误；B.因为，所以，当且仅当，即时，取等号，故正确；C. 因为，，所以，即，解得，所以，当且仅当时等号成立，故正确；D. 因为，，所以，当且仅当，即时，取等号，故正确；故选：BCD 13．(24-25高一上·广西玉林兴业县第四中学·期中)3．设正实数x，y满足，则下列选项正确的有（   ） A．的最小值是 B．的最小值是4 C．的最小值为 D．的最大值为2 【答案】BC 【详解】A．，则，当且仅当时等号成立，错误； B．，当且仅当时等号成立，正确； C．，当且仅当时等号成立，正确； D．，则，当且仅当时等号成立，若有最大值不可能为2，错误， 故选：BC． 14．(24-25高一上·广西玉林·期中)4．已知a，b为正实数，且，下列正确的是（   ） A．的最小值为4 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】正实数a，b满足，则，对于A，由，当且仅当时取等号，则，即的最小值为4，故A正确；对于B，由，当且仅当时取等号，于是，解得，因此的最大值为4，故B错误；对于C，，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故C正确；对于D，，由A知，，则，当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D正确.故选：ACD. 15．(24-25高一上·广西南宁第三中学·期中)5．若正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．有最小值 C． D．有最大值 【答案】BC 【详解】对于A，，则，于是，当且仅当时取等号，A错误；对于B，，当且仅当时取等号，B正确；对于C，，当且仅当时取等号，C正确；对于D，，当且仅当时取等号，D错误.故选：BC 16．(24-25高一上·广西县域高中·)6．若a， b均为正数，且满足，则（    ） A．ab的最大值为2 B．的最小值为4 C．的最小值是4 D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】对于 A：，b均为正数，且满足，，解得，当且仅当时取等号，所以ab的最大值为2，故A正确；对于B，，，则，当且仅当时取等号，，当时等式不成立，则等号取不到，则的最小值不是4，故B不正确；对于C：，b均为正数，且满足，，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是4，故C正确；对于D：，b均为正数，且满足，则， 又，解得，则，当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D正确．故选：ACD. 17．(24-25高一上·广西来宾忻城县高级中学·期中)7．若正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为 D．有最大值为 【答案】ABC 【详解】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A正确，对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确，对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确，对于D：因为， 当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误，故选：ABC． 18．(24-25高一上·广西钦州·期中)8．下列选项正确的有（    ） A．当时，函数的最小值为 B．，函数的最大值为 C．函数的最小值为 D．当，时，若，则的最小值为 【答案】AD 【详解】A.，，当时，函数去掉最小值1，故A正确； B.，当，，得，所以的最大值为，故B错误； C. ，设，则在区间单调递增，当时，取得最小值，所以函数的最小值为，故C错误； D.若，则，则， 当时，即，时，等号成立，所以的最小值为，故D正确. 故选：AD 19．(24-25高一上·广西防城港·期中)定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，下列函数中，是在其定义域上的有界函数的有（    ） A． B． C． D．（表示不大于的最大整数） 【答案】AD 【详解】对于A，，当时，，当时，，当且仅当，即时等号成立，即对于任意，，所以存在常数，使得成立，故为有界函数；对于B，当时，由指数函数的性质可知可以无穷大，所以对于任意，不存在常数，使得成立，故不为有界函数；对于C，当时，由指数函数的性质可知可以无穷大，所以可以无穷小，所以不存在常数，使得成立，故不为有界函数；对于D，当时，，则，所以存在常数，使得成立，故为有界函数.故选：AD. 20．(24-25高一上·广西南宁第三中学·期中)0．下列命题是真命题的是（   ） A．是定义在上的偶函数，若当时，，则当时， B．函数的最小值为2 C．已知，则 D．若关于的不等式的解集为或，且解集中仅有两个整数，则的取值范围是 【答案】ACD 【详解】对于A选项，当时，，，故A正确； 对于B选项，易知，故，由基本不等式知，等号不成立，故B错误； 对于C选项，易知，令，易知，即为奇函数，所以，则，故C正确； 对于D选项，关于x的不等式的解集为或，所以和4是方程的两根，且，由根与系数的关系知，，所以，， 所以关于的不等式可化为，令，对称轴，，因为不等式的解集中仅有两个整数，所以这两个整数是，或，，当这两个整数是和时，则，解得；当整数是和时，由于对称轴时，根据对称性可知，此时显然不符合题意，综上，a的取值范围是，故D正确. 故选：ACD. 21．(24-25高一上·广西部分名校·)1．已知，，且，下列结论正确的是（   ） A．若，则的最小值为2 B．若，则的最小值为 C．若，则的最小值为2 D．若，则的最小值是4 【答案】AC 【详解】因为，，且，对于A，若，则，可得，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为2，故A正确；对于B，若，则，可得，解得，则，所以的最小值为，故B错误；对于C，若，则，得，两边同时平方得，即，由A可知，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为2，故C正确；对于D，若，则，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是6，故D错误.故选：AC. 22．(24-25高一上·广西南宁青秀区·期中)2．若正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 【答案】BCD 【详解】由正实数满足，则，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，故A选项错误；由，则，当且仅当时，等号成立，所以有最大值，故B选项正确；由 ，当且仅当时，等号成立，所以有最小值，故C选项正确；由，当且仅当时，等号成立，所以有最小值，故D选项正确.故选：BCD. 23．(24-25高一上·广西来宾来宾高级中学·期中)3．若，且，则下列不等式中，恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，，不等式成立，A正确； 对于B，由于，且，当时，，而，不等式不成立，B错误； 对于C，由于，且，当时，，而，不等式不成立，C错误； 对于D，由，且，得，则，当且仅当时取等号，D正确. 故选：AD 三、填空题 24．(24-25高一上·广西南宁第三中学·期中)4．已知正实数满足，则的最小值为 . 【答案】 【详解】任意的正实数，，，满足，所以 ，由于，为正实数，故，当且仅当，即，时，等号成立，所以，当且仅当，即时，等号成立，综上，的最小值为16．故答案为：16． 25．(24-25高一上·广西桂林·调研)5．已知均为实数且，令函数，若对恒成立，则的最大值为 . 【答案】/ 【详解】因为且，所以开口不可能向下，所以，因为恒成立，所以，所以，则，所以，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为，故答案为：. 27．(24-25高一上·广西平果铝城中学·期中)已知，且，则xy的最大值是 . 【答案】2 【详解】x>0，y>0，且，则，解得，当且仅当时取等号， 所以xy的最大值是.故答案为：2 27．(24-25高一上·广西柳州高级中学·期中)7．为了调查柳高高二年级历史类班级对学习数学的热爱程度，对一教三楼的5个班级进行问卷调查，得到这个班级中每班热爱数学程度偏低的学生人数为（具体数据丢失）但已知这个数据的方差为，平均数为的最小值（其中，）且这个数互不相同，则其最大值为 ，数据的极差为 . 【答案】 【详解】对，，有.且当时，有，所以的平均数为.由于这个数据的方差为，故.由于这个数据两两不同，所以只可能有.从而，这就得到最大数据为，极差为.故答案为：，. 地 城 考点04 解答题 1．(24-25高一上·广西来宾来宾高级中学·期中)解下列不等式： (1)；(2)；(3) 【详解】（1）原不等式可化为，解得或， 所以原不等式的解集为或； （2）原不等式可化为，即， 所以原不等式的解集为； （3）原不等式可化为，即， 所以，等价于，解得， 所以原不等式的解集为． 2．(24-25高一上·广西南宁西乡塘区广西物资学校·期中)求下列不等式的解集： (1)；(2). 【详解】（1），故或， 即该不等式解集为或； （2）由可得，解得，即该不等式解集为. 3．(24-25高一上·广西钦州·期中)已知不等式的解集为或. （1）求；（2）解不等式. 【详解】（1）因为不等式的解集为或， 所以或是方程的根，所以，解得 （2）由（1）可知不等式化为，即 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 4．(24-25高一上·广西钦州第四中学·期中)已知关于的不等式. (1)若不等式的解集为，求实数、的值； (2)若，求此不等式的解集. 【详解】（1）由题意可知，关于的方程的两根分别为、，所以，， 由韦达定理可得，解得. （2）因为，原不等式即为. 当时，原不等式即为，解得； 当时，方程的两个根分别为、. ①当时，解不等式可得或； ②当时，若时，即，即时，解不等式可得； 若时，即当时，原不等式即为，即，原不等式的解集为； 若时，即，即当时，解不等式可得. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 5．(24-25高一上·广西防城港·期中)已知关于x的不等式， (1)若的解集为，求实数a，b的值； (2)求关于x的不等式的解集． 【详解】（1）若的解集为， 则是方程的一个根，即，解得， 所以不等式为，解得：，所以.即，. （2）因为，即， ①当时，即，解得：，不等式的解集为：； ②当时，令，解得， 若时，不等式解集为：； 若时，不等式解集为：； 若时，不等式解集为：； 若时， 不等式解集为：； 综上所述：当时，不等式解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时， 不等式解集为：. 6．(24-25高一上·广西桂林·调研)已知函数，其中. (1)若的解集为，求； (2)求关于的不等式的解集，其中为常数. 【详解】（1）解：由题知，解得. 此时方程的解为，，由韦达定理得，得， 经检验符合题意.故. （2）解：， 方程的根为，， 当时，即当时，不等式为，此时原不等式的解集为； 当时，即当时，不等式的解集为； 当时，即当时，不等式的解集为； 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 7．(24-25高一上·广西容县七校·期中)已知不等式. (1)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【详解】（1）①若，则原不等式可化为，显然恒成立， ②若，则不等式恒成立，等价于 ，解得， 综上，实数m的取值范围是. （2）①当时，则原不等式可化为，显然恒成立， ②当时，函数的图象开口向上，对称轴为直线， 若时不等式恒成立，则，解得， ③当时，函数的图象开口向下， 若时不等式恒成立，则，解得， 综上，实数m的取值范围是. 8．(24-25高一上·广西南宁银海三雅学校·期中)求下列函数的最值. (1)已知，求的最小值； (2)已知: 且 ，求的最小值. (3)已知，求的最大值. 【详解】（1）， 当且仅当即时取等号，所以最小值为4. （2），当且仅当时取等号， 又，即，时，所以最小值为， （3）函数的开口向下，对称轴为， 又，所以当时，取得最大值为. 9．(24-25高一上·广西玉林兴业县第四中学·期中)(1)若，求的最小值；(2)若，满足，求的最小值. 【详解】（1）解：因为，则，所以，， 当且仅当时，即时取等号，故当时，的最小值为. （2）解：因为，且，， 所以，. 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 10．(24-25高一上·广西部分名校·)0．（1）求函数的最小值； （2）已知，，且，求的最大值. 【详解】（1）， 因为，所以，由基本不等式可得：， 当且仅当，即时，等号成立，故函数的最小值为10. （2）. 因为，，所以，，由基本不等式可得： ，当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最大值为. 11．(24-25高一上·广西南宁第三中学·期中)1．（1）已知是正实数，且．求的最小值； （2）函数的最小值为多少? 【详解】（1）因为是正实数，且，所以， 则， 当且仅当时，即时，的最小值为； （2）因为， 所以， 当且仅当时，即时，函数有最小值. 12．(24-25高一上·广西南宁青秀区南宁二中·期中)（1）已知，，，求的最小值； （2）已知，求的最大值. 【详解】（1）因为，，， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为； （2）因为，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立，故的最大值为. 13．(24-25高一上·广西名校联盟·期中)已知，，且．(1)求的最大值；(2)求的最小值． 【详解】（1）因为，，所以， 当且仅当时，等号成立． 因为，所以，解得， 则的最大值是4． （2）因为，所以． 因为，，所以，，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以，所以，则，即的最小值是 14．(24-25高一上·广西柳州柳城县中学·期中)（1）若，求的最小值； （2）若，，，求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）因为，可得，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为； （2）因为，，， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值. 15．(24-25高一上·广西北海合浦县·期中)已知．(1)证明；(2)若，求的最小值． 【详解】（1）证明： 因为，所以，，则，从而． （2）解：因为，所以． 因为，所以，当且仅当，时，等号成立， 故的最小值为． 16．(24-25高一上·广西钦州第四中学·期中)设，，均为正数，且1．(1)求的最小值；(2)证明：． 【详解】（1），均为正数，且，， 当且仅当，即 时等号成立，故的最小值为． （2）法一：由柯西不等式得，，即， 故不等式成立，当且仅当等号成立． 法二：要证明，只需证明 只需证明，只需证明 因为，当且仅当，即时等号成立. 综上所述：. 17．(24-25高一上·广西县域高中·)（1）设，证明：的充要条件是. （2）已知都是正实数，且，试比较与的大小，并证明. 【详解】（1）充分性：如果，那么， ，. 必要性：如果，那么， ，，，，. 综上知，的充要条件是. (2)由 都是正实数，且，即. 18．(24-25高一上·广西县域高中·)已知a，b，c均为正实数，且．求证：． 【详解】证明：因为a，b，c均为正实数， 所以 ， 当且仅当同时成立，即时等号成立. 19．(24-25高一上·广西桂林·调研)已知均为正实数. (1)证明：； (2)证明，并求的最小值； (3)若，求证：. 【详解】（1）证明：由基本不等式得， 左右相加得，当且仅当时“”成立，问题得证. （2）证明： ， 当且仅当时等号成立，所以不等式成立； 所以， 所以，当且仅当时取等号，故不等式成立； 当且仅当，即时，等号成立，. （3）证明：令，则， 由基本不等式得，， 同理可得， 左右相加得， 当且仅当时取“=”，显然不存在这种情况， . 试卷第1页，共3页 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 高频考点概览 考点01 不等式的性质 考点02 一元二次不等式 考点03基本不等式求最值 考点04解答题 地 城 考点01 不等式的性质 一、单选题 1．(24-25高一上·广西钦州·期中)下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．(24-25高一上·广西钦州·期中)已知为实数，且，则下列不等式一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 3．(24-25高一上·广西南宁西乡塘区·期中)已知，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·广西南宁青秀区·期中)下列命题中正确的是（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．(24-25高一上·广西部分名校·)已知，b，，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．(23-24高一上·广西南宁第三中学·)若则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高一上·广西玉林兴业县·期中)设，，，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．(24-25高一上·广西壮族防城港·期中)已知实数,若,则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 9．(24-25高一上·广西容县七校·期中)小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则小齐和小港两次购买葡萄的平均价格是（   ） A．一样多 B．小齐低 C．小港低 D．无法比较 二、多选题 10．(24-25高一上·广西南宁银海三雅学校·期中)若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 11．(24-25高一上·广西钦州第四中学·期中)对于实数，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 12．(24-25高一上·广西名校联盟·期中)已知，则下列不等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 13．(24-25高一上·广西来宾忻城县·期中)下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 14．(24-25高一上·广西玉林·期中)下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 15．(24-25高一上·广西桂林·调研)已知，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 16．(24-25高一上·广西北海合浦县·期中)已知，则 （填“”或“”） 17．(24-25高一上·广西来宾·期中)7．已知，则的取值范围是 ．（用区间作答） 18．(23-24高一上·广西南宁三中·)8．已知，，则的取值范围 ．（用区间作答） 19．(24-25高一上·广西名校联盟·期中)9．已知某商品的原价为元，由于市场原因，先降价出售，一段时间后，再提价出售，则该商品提价后的售价 该商品的原价.（填“高于”“低于”或“等于”） 地 城 考点02 一元二次不等式 一、单选题 1．(24-25高一上·广西南宁西乡塘区·期中)不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·广西钦州第四中学·期中)，，则（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·广西柳州·期中)已知集合，则（    ） A． B． C．或 D． 4．(24-25高一上·广西钦州第四中学·期中)已知不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 5．(22-23高一上·福建永泰城关中学·月考)若不等式的解集为R，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 6．(24-25高一上·广西柳州柳城县·期中)已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．(23-24高一上·广西百色德保县·期中)若两个正实数x，y满足，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 8．(24-25高一上·广西容县七校·期中)不等式的解集为，则函数的图象为（    ） A． B． C． D． 9．(24-25高一上·广西南宁青秀区·期中)已知一元二次不等式的解集为，则的最大值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 二、多选题 10．(24-25高一上·广西北海合浦县·期中)已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．关于的不等式的解集为 D．若，则的最大值为1 11．(24-25高一上·广西柳州高级中学·期中)对于，表示不超过的最大整数，如，记，从而有，以下是真命题的有（    ） A． B．，若，则 C．不等式的解集为 D．设，则对有 12．(24-25高一上·广西南宁银海三雅学校·期中)若函数的图象与x轴的两个交点是，，则下列结论正确的是（    ） A． B．方程的两根是，1 C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 13．(24-25高一上·广西南宁第三中学·期中)下列命题是真命题的是（   ） A．是定义在上的偶函数，若当时，，则当时， B．函数的最小值为2 C．已知，则 D．若关于的不等式的解集为或，且解集中仅有两个整数，则的取值范围是 三、填空题 14．(24-25高一上·广西钦州第四中学·期中)已知二次函数图象如图所示.则不等式的解集为 . 15．(24-25高一上·广西钦州第四中学·期中)关于的不等式的解集是或，则 . 16．(24-25高一上·广西县域高中·)若“”为假命题，则的取值范围是 ． 17．(24-25高一上·广西部分名校·)若不等式的解集是，则的解集为 ． 18．(24-25高一上·广西玉林·期中)关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 . 19．(24-25高一上·广西县域高中·)不等式的解集是，则的解集为 ． 地 城 考点03 基本不等式求最值 一、单选题 1．(24-25高一上·广西南宁银海三雅学校·期中)如果，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·广西部分名校·)若，则函数的最小值是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·广西名校联盟·期中)若，则有（    ） A．最小值4 B．最小值2 C．最大值 D．最大值 4．(24-25高一上·广西南宁青秀区·期中)若正实数满足，则下列说法错误的是（ ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为 D．有最大值为 5．(24-25高一上·广西北海合浦县·期中)已知，且，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C．9 D．8 6．(24-25高一上·广西南宁青秀区·期中)已知一元二次不等式的解集为，则的最大值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 7．(24-25高一上·广西桂林·调研)已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．(24-25高一上·广西容县七校·期中)若两个正实数x，y满足，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 9．(24-25高一上·广西部分名校·)已知实数满足，且，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C． D． 10．(24-25高一上·重庆巴蜀中学·月考)0．若实数，则的最大值为（   ） A． B． C．4 D．6 11．(24-25高一上·广西柳州高级中学·月考)1．某学校为创建高品质特色高中，准备对校园内现有一处墙角进行规划.如图，墙角线和互相垂直，学校欲建一条直线型走廊，其中的两个端点分别在这两墙角线上.若欲建一条长为10米的走廊，当的面积最大时，长度为（    ）米. A． B． C． D． 二、多选题 12．(22-23高一上·江苏徐州六县·期中)2．下列说法中正确的是（    ） A．若，则函数的最小值为3 B．若，则的最小值为4 C．若，则xy的最大值为1 D．若满足，则的最小值为 13．(24-25高一上·广西玉林兴业县第四中学·期中)3．设正实数x，y满足，则下列选项正确的有（   ） A．的最小值是 B．的最小值是4 C．的最小值为 D．的最大值为2 14．(24-25高一上·广西玉林·期中)4．已知a，b为正实数，且，下列正确的是（   ） A．的最小值为4 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为 15．(24-25高一上·广西南宁第三中学·期中)5．若正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．有最小值 C． D．有最大值 16．(24-25高一上·广西县域高中·)6．若a， b均为正数，且满足，则（    ） A．ab的最大值为2 B．的最小值为4 C．的最小值是4 D．的最小值为 17．(24-25高一上·广西来宾忻城县高级中学·期中)7．若正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为 D．有最大值为 18．(24-25高一上·广西钦州·期中)8．下列选项正确的有（    ） A．当时，函数的最小值为 B．，函数的最大值为 C．函数的最小值为 D．当，时，若，则的最小值为 19．(24-25高一上·广西防城港·期中)定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，下列函数中，是在其定义域上的有界函数的有（    ） A． B． C． D．（表示不大于的最大整数） 20．(24-25高一上·广西南宁第三中学·期中)0．下列命题是真命题的是（   ） A．是定义在上的偶函数，若当时，，则当时， B．函数的最小值为2 C．已知，则 D．若关于的不等式的解集为或，且解集中仅有两个整数，则的取值范围是 21．(24-25高一上·广西部分名校·)1．已知，，且，下列结论正确的是（   ） A．若，则的最小值为2 B．若，则的最小值为 C．若，则的最小值为2 D．若，则的最小值是4 22．(24-25高一上·广西南宁青秀区·期中)2．若正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 23．(24-25高一上·广西来宾来宾高级中学·期中)3．若，且，则下列不等式中，恒成立的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 24．(24-25高一上·广西南宁第三中学·期中)4．已知正实数满足，则的最小值为 . 25．(24-25高一上·广西桂林·调研)5．已知均为实数且，令函数，若对恒成立，则的最大值为 . 27．(24-25高一上·广西平果铝城中学·期中)已知，且，则xy的最大值是 . 27．(24-25高一上·广西柳州高级中学·期中)7．为了调查柳高高二年级历史类班级对学习数学的热爱程度，对一教三楼的5个班级进行问卷调查，得到这个班级中每班热爱数学程度偏低的学生人数为（具体数据丢失）但已知这个数据的方差为，平均数为的最小值（其中，）且这个数互不相同，则其最大值为 ，数据的极差为 . 地 城 考点04 解答题 1．(24-25高一上·广西来宾来宾高级中学·期中)解下列不等式： (1)；(2)；(3) 2．(24-25高一上·广西南宁西乡塘区广西物资学校·期中)求下列不等式的解集： (1)；(2). 3．(24-25高一上·广西钦州·期中)已知不等式的解集为或. （1）求；（2）解不等式. 4．(24-25高一上·广西钦州第四中学·期中)已知关于的不等式. (1)若不等式的解集为，求实数、的值； (2)若，求此不等式的解集. 5．(24-25高一上·广西防城港·期中)已知关于x的不等式， (1)若的解集为，求实数a，b的值； (2)求关于x的不等式的解集． 6．(24-25高一上·广西桂林·调研)已知函数，其中. (1)若的解集为，求； (2)求关于的不等式的解集，其中为常数. 7．(24-25高一上·广西容县七校·期中)已知不等式. (1)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围. 8．(24-25高一上·广西南宁银海三雅学校·期中)求下列函数的最值. (1)已知，求的最小值； (2)已知: 且 ，求的最小值. (3)已知，求的最大值. 9．(24-25高一上·广西玉林兴业县第四中学·期中)(1)若，求的最小值；(2)若，满足，求的最小值. 10．(24-25高一上·广西部分名校·)0．（1）求函数的最小值； （2）已知，，且，求的最大值. 11．(24-25高一上·广西南宁第三中学·期中)1．（1）已知是正实数，且．求的最小值； （2）函数的最小值为多少? 12．(24-25高一上·广西南宁青秀区南宁二中·期中)（1）已知，，，求的最小值； （2）已知，求的最大值. 13．(24-25高一上·广西名校联盟·期中)已知，，且．(1)求的最大值；(2)求的最小值． 14．(24-25高一上·广西柳州柳城县中学·期中)（1）若，求的最小值； （2）若，，，求的最小值. 15．(24-25高一上·广西北海合浦县·期中)已知．(1)证明；(2)若，求的最小值． 16．(24-25高一上·广西钦州第四中学·期中)设，，均为正数，且1．(1)求的最小值；(2)证明：． 17．(24-25高一上·广西县域高中·)（1）设，证明：的充要条件是. （2）已知都是正实数，且，试比较与的大小，并证明. 18．(24-25高一上·广西县域高中·)已知a，b，c均为正实数，且．求证：． 19．(24-25高一上·广西桂林·调研)已知均为正实数. (1)证明：； (2)证明，并求的最小值； (3)若，求证：. 试卷第1页，共3页 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $