5.3 一元一次方程的应用（古代问题）教学设计 2025-2026学年北师大版数学七年级上册

2025-09-17

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教学设计

教学课题	5.3 一元一次方程的应用（古代问题）
教学背景分析	“一元一次方程的应用（古代问题）” 是北师大版（2024）数学七年级上册第五章的特色内容，承接前序 “行程、比例、日历” 等现代生活场景的方程应用，聚焦 “将古代数学问题转化为一元一次方程模型”，是方程知识与历史文化的结合体。古代数学问题多以古文形式呈现，核心是围绕 “分物、佣工、工程、盈亏” 等实际场景（如 “几人分银”“雇工做工”“粮仓存粮”），通过古文描述的数量关系，建立 “未知数 — 等量关系 — 方程” 的解题链条。从教材编排来看，本节课遵循 “古今贯通、由浅入深” 的认知规律：先选取语言简洁、情境易懂的古代问题（如 “今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？”），引导学生通过 “翻译古文 — 提取数量 — 找等量关系” 入门；再过渡到稍复杂的多量关系问题（如 “一牧童赶牛过河，共有甲、乙、丙、丁四头牛，甲牛过河需 1 分钟，乙牛需 2 分钟，丙牛需 5 分钟，丁牛需 6 分钟。牧童每次只能赶两头牛过河，且返回时需骑一头牛，怎样安排过河时间最短？”，此处聚焦 “时间等量关系” 建模）；最后通过 “古代数学著作选段”（如《九章算术》《孙子算经》中的经典问题），让学生感受古代数学成就。教材不仅是对一元一次方程应用的拓展，更注重培养学生 “古文翻译能力”“跨时空问题转化能力” 和 “文化传承意识”，能让学生体会 “古代数学智慧与现代方程思想的一致性”，同时为后续学习 “复杂实际问题建模” 奠定文化与方法基础。
教学目标	能结合注释或工具书，准确翻译古代数学问题的古文题意，理解 “盈”（多余）、“不足”（欠缺）、“共”（总共）、“各”（分别）等文言词汇的数学含义，将古文转化为现代文字描述的数学问题。能从翻译后的问题中，提取核心数量（如 “人数”“物价”“头数”“足数”），明确已知量与未知量，准确找出等量关系（如 “每人出的钱数 × 人数 - 多余量 = 物价”“鸡头数 + 兔头数 = 总头数”）。能根据等量关系设未知数（通常设 “所求的数量” 为未知数，如设 “人数为 x”“鸡的数量为 x”），列出一元一次方程并求解，确保解方程步骤规范（移项、合并同类项等）。
重难点	古文题意的准确转化：能将含有 “盈”“不足”“共”“各” 等词汇的古文，逐句翻译为现代文字描述的数学问题，明确题目中的已知条件、未知

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条件和所求问题。

核心等量关系的提取：从翻译后的问题中，梳理出 “数量之间的相等关系”（如 “分物问题中，不同分法下的物价相等”“鸡兔同笼中，头数总和与足数总和的双重关系”），为列方程奠定基础。
方程的建立与求解：根据等量关系合理设未知数，列出一元一次方程，规范完成解方程步骤，并结合古代问题的实际场景（如人数为正整数）验证解的合理性。

教学活动设计

教学环节	老师活动	学生活动	设计意图
一、文化导入（5 分钟）	1. 展示《九章算术》《孙子算经》的古籍图片，播放简短动画介绍古代数学家（如刘徽）的成就，提问：“大家知道古代人是怎么解决数学问题的吗？他们没有现代方程，却能算出复杂的分物、工程问题，今天我们就用一元一次方程‘穿越’回古代，解决他们留下的数学难题。”2. 呈现简单古文数学题（带注释）：“今有五人分银，每人得六两，余四两。问银共几何？”（注释：“余” 指多余），引导学生尝试用现代语言描述题意。	1. 观看图片与动画，感受古代数学文化，激发 “用现代方法解决古代问题” 的探究兴趣。2. 结合注释理解古文，尝试翻译为 “5 个人分银子，每人分 6 两，还剩下 4 两，求银子总共有多少两”，初步感知古文数学题的表述特点。	1. 用古代数学文化和趣味动画导入，拉近学生与古代问题的距离，消除 “古文畏难情绪”，激发学习兴趣。2. 用简单带注释的古文题铺垫，让学生初步掌握 “结合注释翻译古文” 的方法，为后续复杂问题学习做好准备。
二、新知探究（20 分钟）	1. 讲解 “分物盈不足” 问题（基础型）：（1）呈现经典问题：“今有共买物，人出八，盈	1. 跟随老师逐句翻译 “分物盈不足” 问题，理解 “盈	1. 以经典 “盈不足” 问题为载体，分步讲解 “翻译

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三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？”（注释：“盈” 指多余，“不足” 指欠缺），逐句引导翻译：“几人一起买东西，每人出 8 个单位，多余 3 个单位；每人出 7 个单位，还差 4 个单位。求人数和物价各是多少。” （2）引导提取数量：设人数为 x，分析两种分法下的物价：①第一种分法：物价 = 8x - 3（每人出 8，多余 3，物价比总出钱少 3）；②第二种分法：物价 = 7x + 4（每人出 7，不足 4，物价比总出钱多 4）。（3）根据 “物价不变” 列方程：8x - 3 = 7x + 4，求解 x=7（人数），代入得物价 = 8×7 - 3=53，验证 “7 人出 7×7=49，49+4=53”，符合题意。2. 拓展 “鸡兔同笼” 问题（多量关系型）：（1）呈现问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问鸡兔各几何？”，引导翻译为 “鸡和兔关在一个笼子里，上面数有 35 个头，下面数有 94 只脚，求鸡和兔各有多

”“不足” 的数学含义，尝试用含 x 的式子表示物价，通过 “物价不变” 的等量关系列方程求解，验证结果是否合理。2. 独立翻译 “鸡兔同笼” 问题，梳理 “头数”“脚数” 与 “鸡、兔数量” 的关系，设未知数并列方程，对比古代 “抬脚法” 与现代方程法，体会方程法的优势。3. 积极参与上台展示，认真听取点评，修正自己解题中 “翻译偏差”“等量关系错误” 的问题。

— 找量 — 列方程” 流程，突破 “古文转化” 与 “等量关系提取” 的教学重点，培养古今问题转化能力。2. 通过 “鸡兔同笼” 问题拓展多量关系场景，对比古今解法，让学生体会方程法的普适性，同时渗透数学文化，落实 “情感态度与价值观” 目标。3. 个别指导与上台展示结合，及时解决学生个性化问题，规范解题步骤，强化 “验证解的实际意义” 的意识。

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