河北省保定市四校联考2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题

2026届高三年级上学期9月份考试 数 学 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在 试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.命题“Vx∈(0,2)，2x-x≥sin(受)的否定是 AVx(0,2),2x-x≥sin(受） B.Vx∈(0,2)，2x-x2<sin(受) C.ヨx∈(0,2)，2x-x2<sin D.3xE0,2),2x-x≥sin(受) 2.已知集合A=(2026,(1+i)},B={2,2025},且A∩B=(2〉，则」之一2z= A.√7 B.3 C.√/10 D.2√3 3.已知平面向量a,b满足|a|=1,|b1=√3，|2a十b|=√11，则a在b上的投影向量为 A. a。 C. D.2b 4.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为 B,若直线BF的方程为y=一2x十2，则|AF|= A.3 B.4 C.5 D.6 5.某正四棱锥的底面棱长为4©m,其侧面与底面夹角的正切值为号，则该正四棱维的侧 面积为 A.2√J13cm2 B.4√/13cm2 C.8/13cm2 D.25 cm2 6.已知函数f(x)=ex-2+e2-x一2026，则关于m的不等式f(m十1)<f(2m一1)的解 集为 A.(-0,-2)U(侍，+∞) B(-2,) c.(等2 D.(-∞，)U(2,+∞) 7.若圆x2+(y十2)2=x2(r>0)上到直线y=√3x+2的距离为1的点有且仅有2个，则 r的取值范围是 A.(0,1) B.(1,3) C.(3,+∞) D.(0,+∞) 数学第1页（共4页）》 8.某公司研发的一不规则益智玩具如下图所示，其配套的玩具收纳箱表面有不同形状 的孔洞，可以通过旋转严丝合缝地将玩具通过孔洞塞进收纳箱中，则以下四个形状的 孔洞不会出现在该玩具收纳箱的表面的是 A. B. C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.如图是我国2023年第四季度至2024年 中国折叠屏手机出货量.同比增长率，23Q424Q4 第四季度的折叠屏手机出货量、同比（与 30001496% 160% 2571 上一年同期相比)增长率统计图，则关于 2500 2505140% 277 2233 1046% 120% 这5个季度的数据说法正确的是 红2000 857- 100% A.折叠屏手机季度出货量的极差不超过 500 83.0% 80% 60% 92万台 号1000 40% 137% 20% B.折叠屏手机季度出货量的中位数为 500 0% 0 -96% 250.5万台 -20% 2023042024Q12024Q22024Q32024Q4 C.与2023年第二季度相比，2024年第三 口出货量 -同比增长率 季度折叠屏手机的出货量增加13.7% D.2024年前3个季度折叠屏手机的同比增长率均为正数 10在平面直角坐标系中，曲线C由函数y=csx(-<<）和y=mx (-≤x<)的图象构成，则 A.曲线C关于直线x=平对称 B.曲线C关于点（于，0）对称 C.直线x=a被曲线C截得的线段长的最大值为√2 D.曲线C围成的图形的面积大于2π 11.设定义在R上的函数f(x)与g(x)的导函数分别为f'(x)和g'(x),且f(x+2)= g(1一2)十2，f(xr)=g(x+1),且g(x)的图象关于点(1,0)对称，则 A.g(1)=1 B.g(4-x)十g(x)=0 C.g(4-x)=g(x) D.f(x+4)g(x+4)=f(x)g(x) 数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若一个等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 13.2025年春晚人形机器人扭秧歌舞蹈火爆全球，一夜之间成为“科技顶流”，这一表演 也点燃了机器人租赁市场.为吸引顾客，某大型超市开业期间租了含甲、乙在内的五 个迎宾机器人，现将这五个机器人分别分配到一、二、三楼担任迎宾工作，若要求每 个楼层至少分配一个机器人，一个机器人只能去一个楼层，且机器人甲、乙不在同一 个楼层，则不同的分配方法种数为 .（用数字作答) 14.将双曲线绕其中心旋转一个合适的角度，可以得到一些熟悉的函数图象，比如反比 例函数y一是，“对勾”函数)y一x十士，“飘带”函数y=x-是等等，它们的图象都能由 C 线绕原点旋转得到.现将双曲线C:之一1(Q>0,b>0)绕厉 个合适的角度，得到“飘带”函数y=琴-士的图象C,则双曲线G的离心率 为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(sinA+sinB+sinC)(c一a +6)=3csin B. (1)若a=2√3，求△ABC外接圆的半径； (2)若b=3,c=2,BD=2DC,求线段AD的长. 16.(本小题满分15分) 某芯片公司生产甲、乙、丙三种型号的芯片，每种芯片均需要两次光刻才能成型， 甲，乙、丙芯片第一次光刻的良品率分别为号，}，只有第一次光刻为良品，才能进行 第二次光刻，否则为废品被淘达，甲、乙、丙第二次光刻的良品率分别为，号，告第二 次光刻的良品才是合格品. (1)若从第一次光刻的芯片中任取3枚甲芯片、2枚乙芯片、1枚丙芯片，再从这6 枚芯片中任取一枚，求该芯片是良品的概率； (2)甲、乙、丙三种芯片的每件合格品可为公司赚取利润100元，每件不合格品使公 司亏损25元，现生产甲、乙、丙芯片各一枚，设这3枚芯片为公司赚取的利润为X,求X 的分布列与数学期望. 数学第3页（共4页） 17.(本小题满分15分) 如图，在△ABC中，AC⊥BC,AB=2BC=6,E为AB的中点，过点E作DE⊥AB 交AC于点D,将△ADE沿DE翻折至△PDE,得到四棱锥P一BCDE,F为棱PB上 一动点（不包含端点）. (1)若F为棱PB的中点，证明：CF∥平面PDE; (2)若PB=32,直线EF与平面PEC所成角的正弦值为 51 1求器， (ⅱ)求点F到平面PCD的距离. 18.(本小题满分17分) 已知椭圆C +京=1(>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在C上运动，G 是△PF,F的重心，且点G到点R(-号，。)与到点S,0)的距商之和为号 (1)求C的方程； (2)设A,B分别为C的左、右顶点，动点Q在直线x=4上，直线QA与C的另一 个交点为M,直线QB与C的另一个交点为N. (ⅰ)证明：直线MN过定点，并求出该定点坐标； (iⅱ)求四边形ANBM面积的最大值. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=alnx+bx+1. (1)若b=1,讨论f(x)的单调性； (2)若a=b=1,数列{am}满足a1=1,am+1=f(an). (i)记{am}的前n项和为Sm,证明：Sn≤2n一1； （1)证明：当≥2时，1+a)1+a)(1+2)<e. a2a3…a 数学第4页（共4页）】 参考答亲及解析 数学 一、选择题 1.C【解析】易得全称量词命题“yx∈(0.2)，2x一x2≥sin(受)"的否定是存在量词命题“3x∈(0.2).2x-x< sin(受)”.故选c. 解析】由题意知z1+i)=2.所以22D1-i故=1+i,故12一2分=-1-31训=而 3.A【解析】因为a=1,bl=√3,12a+b1=√1T,所以4a2+4a·b+b2=11,解得a·b=1,所以a在b上的投影 向量为品0-宁A,故选A 4.C【解析】因为直线BF的方程为y=一2x+2,令y=0.则x=1.所以F(1.0).即号=1p=2,所以抛物线方程 为y2=4x,准线方程为x=一1，将x=-1代人y=一2x十2.得B(-1,4),所以A(4,4),所以|AF引=4+1=5.故 选C. 5.C【解析】如图，设该正四棱锥为S-ABCD,则AB=AD=4cm.取底面ABCD的中心O,棱AB的中点H,连接 SO,SH,OH,则SH⊥AB,OH⊥AB,且OH=2cm.所以∠SHO即为侧面SAB与底面ABCD的夹角，所以 a∠SH0=号，所以S0=0Han∠SH0=2×号=3cm.则SH=√S0+OF=√cm.故该正四棱能的侧面 积为4X合AB·SH=8V丽cm.故选C. 6.D【解析】由f(.x)-f(4-x)=e-+e-一(e-+e-)=0,知f(.x)关于直线x=2对称，设t=e-2(x≥ 2.则)=+号-2026由1=e在[2+∞)上单调递增，得)=1+-2026在∈[1.十0)上单调递增，可知 f(x)在.x∈[2，+∞)上单调递增.由f(m+1)<f(2m-1).可得|m+1-2|<|2m-1-2|..(m-1)2< (2m-3),整理得32-10m+8>0.解得m<专或m>2.故选D. 7.B【解析】由题知圆心为(0，-2)，圆心到直线y=5x十2的距离为d=2十2=2.因为圆上到直线的距离为1 √3+I 的点有且仅有2个，所以|r-2|<1.解得1<<3.故选B. 8.D【解析】由题意在玩具旋转过程中，若其在水平面上的投影形状与孔洞的形状相同.则该玩具可以通过旋转严 丝合缝地通过孔洞塞人收纳箱中，将A,B,C选项中三个形状的孔洞以如图所示的形式摆放.可以得到形状相同的 结果，此时图示玩具可以通过旋转严丝合缝地塞人.对于D选项.无法找到合适的情况使其可以严丝合缝地塞人· 故其不会出现在该玩具收纳箱的表面.故选D. 二、选择题 9.ABD【解析】折叠屏手机季度出货量的极差为2771一1857=914千台，即91.4万台，故A正确；将各季度折叠 屏手机出货量（千台）从小到大排列为1857,2233,2505,2571,2771，故中位数为2505千台，即250.5万台，故B 正确；同比是指与上一年同期相比，故折叠屏手机2024年第三季度的出货量比2023年第三季度的出货量增加 13.7%,故C错误；由图可知，2024年前3个季度折叠屏手机的同比增长率均为正数，故D正确.故选ABD. 10.AC【解析】画出曲线C的图象，如图， B 5π 3π 由图可知A正确，B错误：直线x=a(-平<a<平)被曲线C截得的弦长为cosa一sina=Ecos(a+冬) <厄，当a=一冬时，取得最大值厄，故C正确；当一-平≤<子时，图中4个阴影部分面积相等.区城②的面积小 于区域①的面积，区域③的面积小于区域④的面积.利用制补法知曲线C在[一买，牙]上固成的图形的面积小 于以为宽、2为高的矩形ABCD的面积元，所以曲线C围成的图形的面积小于2π，故D错误.故选AC 11.BCD【解析】因为g(x)的图象关于点(1,0)对称，所以g(x+1)=一g(-x十1)，令x=0.可得g(1)=0,所 以A错误；因为f(x十2)=g(1一x)+2,所以f(x十2)十g(1-x)=0,所以f(x)十g'(3-x)=0,又 f(x)=g(x十1)，所以g(x十1)十g(3一x)=0,所以g(4-x)+g(x)=0,所以B正确；因为f(x)= g(x十1)，所以[f(x)-g(x+1)]'=0,所以f(x)-g(x+1)=c(c为常数)，因为f(x+2)=g(1-x)+2, 所以f(x)-g(3-x)=2,所以g(x十1)-g(3-x)=2-c,令x=1,可得c=2,所以g(x十1)=g(3-x),所以 g(4一x)=g(x),故C正确；由g(4一x)=g(x),得g(x)的图象关于直线x=2对称，则g(x)为周期为4的 周期函数，则g(x十4)=g(x),因为f(x十2)=g(1-x)+2,所以f(x十2)=2-g(x十1)，所以f(x十6)= 2一g(x十5)=2一g(x十1)=f(x十2)，所以f(x十4)=f(x),故函数f(x)为周期为4的周期函数，所以 f(x十4)g(x十4)=f(x)g(x),所以D正确.故选BCD. 三、填空题 l2.士2【解析】设公比为q,由题意得a1十a2十ag十a=4,a1十a2十ag十a4十a6十a6十a,+ag=a1十a2十a3十a:十 (a1十a2十a3十a4)g=68,解得g=16,∴.q=士2. 13.114【解析】所有可能的分配方法数为：若一个楼层分配三个机器人，其余两个楼层各分配一个，则总数为CC A ·A=60种，若一个楼层分配一个机器人，其它两个楼层各分配两个机器人则分配方法的总数为C·A习 90种，两者相加可得所有分配方法总数为150种.甲、乙在同一个楼层的分配方法为：先从三个楼层中选一个楼 层安排机器人甲、乙，有C=3种分法，若剩下三个机器人分配到其余两个楼层，有CA=6种分法，若剩下的三 个机器人分配到三个楼层，有A3=6种分法，故甲、乙在同一个楼层的不同的分配方法种数为3×(6十6)=36， 所以甲、乙不在同一个楼层的不同分配方法数为150-36=114种. 1.V5【解析】“飘带”函数y=竖-是的渐近线为y=是x与y轴，设两渐近线夹角为a(0<a<受），则a(受- a）=冬，解得ana=专，又ana 2tan 2 ,整理得2tar2号+3an号-2=0，由0<a<受，解得tan号= 1-tan2 a 所以旋转之前双曲线C的一条渐近线的斜率为及=ta(受-受）=12=2，所以双曲线C的离心率为e= tan号 √+（合T-+R-1=后. 四、解答题 15.解：(1)因为(sinA+sinB+sinC)(c-a+b)=3 csin B, 所以由正弦定理得3bc=(b+c十a)(b十c-a)=(b十c)2-a2=b2+c2-a+2bc, 所以b2+c2-a2=bc, (3分) 则由余弦定理得cosA=+c2一a2=1 2bc 2 又A∈(0，)，所以A=号， (5分) 设△ABC外接圆的半径为R, a=2=2. 则R=2sinA-5 (7分) (2)由BD=2DC,得AD-AB=2AC-2AD, 所以A市=号A+号A心， (10分) 则1A:=号A迹+号A心+2×号×号1×1Acos骨-号+告+号bc×2 =号×4+号×9+号×8×2x号-碧， 所以AD=|Ad1=23 (13分) 3 16.解：(1)记事件A为该芯片是良品， 则PA)=号×+×号+号×日- 6=901 (3分) (2)设A,,B,C(i=1,2)分别为甲、乙、丙三种芯片第i次光刻为良品， 则PA)=告，PAe)=,P(B)=,P(B)=号，PC)=吾，P(C)=号 甲芯片是合格品的概率为P(A)P(A:)=号， 乙芯片是合格品的概率为P(B,)P(B:)=号， 丙芯片是合格品的概率为P(C)P(C)=号 (7分) X的可能取值为一75,50,175,300， (8分) P(X=-75)=号×号×号-清： Px=50=是×号x号+是×号×号×2-器-吉 ==5 P(X=175)-号×号×号×2+号×号×号-器-号 pX-80)=号×号×号-8=会· (12分) 其分布列为 X -75 50 175 300 P 6 7 15 25 数学别塑E(0=-75×号+50X是+175×号+300×号-4智 (15分) 17.解：(1)因为AC⊥BC,AB=2BC=6, 所以∠ABC=60°， 因为E为AB的中点，所以△BCE是等边三角形. 取BE的中点G,连接CG,FG,则CG⊥BE· 则FG∥PE,CG∥DE. 因为FG在平面PDE,CG士平面PDE,PEC平面PDE,DEC平面PDE, 所以FG∥平面PDE,CG∥平面PDE, (3分) 又CG∩FG=G,CG,FGC平面FCG, 所以平面FCG∥平面PDE, 又CFC平面FCG, 所以CF∥平面PDE. (5分) (2)(1)因为PE=AE=BE=3,PB=3√2， 所以PE2+BE=18=PB2. 所以PE⊥BE, 因为DE⊥AB,所以DE⊥PE, 又BE∩DE=E,BE,DEC平面BCDE, 所以PE⊥平面BCDE, (6分) 以E为原点，ED,EB,EP所在直线分别为x轴，y轴之轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以E0,00,P00,3,B030.C(9.号0），Dc500, 则市=00,3).成-(，号0），i=50,-9.P庇-(9是，-3）亦=(0，-33 设BF=λB2(0<1<1), 则F(0,3-3入，3λ)，EF=(0,3-31,3). (8分) 设平面PEC的法向量为n=(x1,少，)， 则/n·E市-0。 [3x1=0 m·t=0,即35 9+号=0 令x1=1,得y1=-√3,1=0，则n=(1,一√3,0). (10分) 设直线EF与平面PEC所成的角为6， 所以sin9=|cos(E京，m1=。、-5(3-3)L 2√/(3-3)2+(3λ)7 51 整理得3+2A-1=0,解得=号(a=-1舍)” 所以器=子 (12分) (1)由(1)知DF=(-3.2,1). 设平面PCD的法向量为m=(x2:y2,z2), 则/m·P市=03-3=0 ,即33， mpi-=02+2-3=0 令x2=√3，得y2=-1,=1, 则m=(W3,一1,1)， (14分) 所以点F到平面PCD的距离为d=D市，m=-3-2+1=45 (15分) m √5 5 18.解：(1)由题意得F1(-c,0),F2(c,0), 设G(x0,y),P(x,y), 因为点G到点R(-0)与到点S(停，0)的距离之和为台， 所以1GR+1GS1-等>29=1RS1, 3 则点G的钱迹是长轴长为专，焦距为2的椭圆，其方程为兰+运-1. (2分) 4 99 因为点G是△PFF2的重心，O为FF2的中点， 所以OG=号OP, 1 1 则x0=3x州=3y” 代人入点G的轨迹方程得 4+y2=1, 所以椭圆C的方程为号+少=1. (4分) (2)(1)由对称性可知直线MN经过的定点必在x轴上且异于原点， 设定点为T(t,0),≠0， 当直线MN的斜率不为0时，设直线MN的方程为x=my十t,M(,y),N(x2y2),x1,x≠士2， (x=my+t 蛛立x+v2=1,得（m+4)y+2mtw+-4=0, △=4m2t2-4(m2+4)(2-4)>0, 则的+为=34n% t2一4 m2+41 (6分) 由(1)可得A(-2,0),B(2,0),， 则直线MA的方程为y=并+2》. 直线NB的方程为)=是2x-2), 由题意知直线MA与NB交于点Q,且点Q在直线x=4上， 所以6 +22兰2即3 = x+2x2-2 所以3y1(x2一2)=y2(x1+2), 所以3y1(my2+t-2)=y2(my1+t+2), 所以2my1+3(t-2)y1-(t十2)y=0.① (8分) 当m≠0，即直线MN的斜率存在且不为0时， t2-4 由业= m2十4-4-t2 y+y2 -2mt 21t1 m2+4 4-t2 得y1y%=2mt (y1+y2), 代入①，得(t-1)(t-2)y1=(t-1)(t+2)y2, 当t=1时，上式恒成立，所以T(1,0); (10分) 当m=0,即直线MN的斜率不存在时， 若T(1,0),则直线MN的方程为x=1. 取M(1.)N(1-)满足①式. (11分) 当直线MN的斜率为0时，直线MN:y=0,过点T(1,0). 综上，直线MN过定点，且该定点的坐标为(1,0). (12分) (iⅱ)由题可知直线MN的斜率不为O, 由（ⅰ）可知直线MN过定点T(1,0)、 2m 3 则n+为=一m44n=一示中4 47m2 12 12+3 所以一为=√+)-4为=√m平4+年4=4√m+· 令m2+3=s≥3， 则-|=4√+z=4 1 s++2 (15分) 因为函数f()=+】十2在[3，十∞)上单调递增， s 所以f6≥f3)=9. 则|1-y2|≤3， 所以|yⅥ一2|mx=3, 所以四边形ANBM面积的最大值为号|AB·|一光s=号X4X=2V3。 (17分) 19.解：(1)若b=1,则f(x)=alnx十x十1，x>0, 所以f(x)=a+1=x+」 (1分) x 当a≥0时，f(x)>0, 则f(x)在(0，十∞)上单调递增； (2分) 当a<0时，令f(x)>0,得x>-a; 令f(x)<0,得0<x<-a, 所以f(x)在(0，一a)上单调递减，在（一a,十o∞）上单调递增. (3分)