平面向量线性运算 试题-2026届高三数学一轮复习

第一讲 平面向量线性运算

1、向量的模：向量的长度叫向量的模，记作||或||2、零向量:长度为0的向量，记作；零向量与任一向量平行．3、单位向量:长度为1的向量。举例：（0,1）、（1,0）、（sin a , cos a）等。

4、平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量. 平行向量就是共线向量

5、相等向量：长度（模）相等且方向相同的向量叫相等向量.6、向量的加法： 首尾相连； 同一个起点：                   

7、向量的减法：1）同一个起点：，差向量的终点“箭头”指向被减数

2）同一个终点：，用“相反向量”定义法作差向量.

8、若，，则.  说明：终点坐标减去始点的坐标

当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则；

9、若，则：=，= ，.

若和实数，则10、若，则的模；

11、两个非零向量夹角：是与的夹角.    夹角的范围是.

特别提醒：求两个向量夹角一定要将两个向量移到同一个起点；

12、平面向量数量积的定义：（与的夹角是θ）

当与同向时，； 当与反向时，

当与夹角为锐角时：；当与夹角为钝角时： . 当与夹角为直角角时：

13、特别的 = ||2或  遇模先平方

14、两向量夹角的余弦（）：

16、两个向量平行的充要条件符号表示：若∥，时同向；时反向.

坐标表示：设，，若∥。

17、两个向量垂直的充要条件

符号语言：. 坐标语言：设，，则.

18、三点共线：

（1）三点共线（2）三点共线，则。

19．外心、内心、垂心、重心1．四心的概念介绍：

（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．

（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．

（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．

（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．

①在中，若或，则点是的外心；

②在中，若，则点是的重心；

③在中，若，则直线过的重心；

④在中，若，则点是的垂心；

⑤在中，若，则直线通过的内心．

2．奔驰定理---解决面积比例问题

重心定理：三角形三条中线的交点.

已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为.

注意：（1）在中，若为重心，则．

（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等．

重心的向量表示：．

奔驰定理：，则、、的面积之比等于

奔驰定理证明：如图，令，即满足

，，，故.

3．三角形四心与推论：

（1）是的重心：．

（2）是的内心：．

（3）是的外心：

．

（4）是的垂心：．

 

 

考点1、向量的概念

1．下列命题正确的是（    ）

A．零向量没有方向   B．若，则   C．若，，则 D．若，，则

2．设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

3．已知平面向量，，则“”是“存在，使得”的（    ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4（多选）．已知非零向量、，下列命题正确的是（   ）

A．若，则   B．若，则  C．若，则 D．若，则

5．已知平面向量，，均为单位向量，则“”是“与共线”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5.1多选 ．下列说法中正确的是（    ）

A．若，，则  B．若，则存在唯一实数使得

C．两个非零向量，，若，则与共线且反向  D．若是的重心，则

5.2多选．下列结论中正确的是（    ）

A．向量与不共线，则与都是非零向量  B．若向量与同向，且，则

C．若为所在平面内任一点，且满足，则一定为等腰三角形

D．已知是平面内任意三点，则

5.3多选 ．下列说法中正确的是（    ）．

A．四边形是平行四边形，则必有

B．是所在平面上的任意一点，且满足，，则直线一定通过的重心