专题1.4 随机事件的运算（高效培优讲义）高一数学北师大版2019必修第一册

专题1.4 随机事件的运算 教学目标 1.了解随机事件的并、交与互斥的含义. 2.能结合实例进行随机事件的并、交运算. 教学重难点 1.重点：用简单随机事件的并、交表示复杂的随机事件 2.难点：对互斥事件、对立事件的理解. 知识点01 事件的运算（重点） 定义 记法 图示 事件A与事件B的并事件（和事件） 事件A与事件B至少有一个发生所构成的事件，称为事件A与事件B的并事件（和事件），这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B 中 A∪B(或A+B) 事件A与事件B的交事件（积事件） 事件A与事件B都发生所构成的事件，称为事件A与事件B的交事件（或积事件），这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中 A∩B(或AB) 【知识剖析】 （1）和事件 ①按照定义可知，事件A+B发生时，当且仅当事件A与事件B中至少有一个发生. ②不难看出，A（A+B）且 B（A+B） （2）积事件 按照定义可知，事件AB发生时，当且仅当事件A与事件B都发生. 【即学即练】 1．打靶3次，事件表示“共击中发”，其中，那么表示（    ） A．“全部击中” B．“至少击中1次” C．“至多脱靶2次” D．“至少击中2次” 【答案】D 【详解】“击中2发或3发”，对比选项可知，只有D正确. 故选：D． 2．从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，若“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数” 为事件，则和包含的样本点数分别为（   ） A．1，6 B．4，2 C．5，1 D．6，1 【答案】C 【分析】列出样本空间，进而可得到事件A与事件B，根据事件的运算求解即可. 【详解】从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间． 其中事件A包含的样本点有：，，，共4个． 事件包含的样本点有：，共2个． 所以事件包含的样本点有：，，，，共5个； 事件包含的样本点有：共1个． 故选：C 知识点02 事件的关系（重点） 定义 记法 图示 包含关系 一般地，如果事件A发生时，事件B一定发生，则称“A包含于B” （或B“包含A”） 或 相等关系 如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“ A与B相等”记作A=B.A=BAB且BAA与B有相同的样本点 A=B 互斥事件 给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥， AB=∅或AB=∅ 对立事件 若A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，则称事件A与事件B互为对立事件，事件A的对立事件记作 =∅,=Ω 【知识剖析】 （1）包含关系 ①不可能事件记作∅，任何事件都包含不可能事件，即C∅（C为任一事件）. ②事件A也包含于事件A，即AA. ③事件B包含事件A，其含义就是事件A发生，事件B一定发生，而事件B发生，事件A不一定发生. ④AB也可用充分必要的语言表述为∶A发生是B发生的充分条件，B发生是A发生的必要条件. （2）相等关系 ①两个相等事件总是同时发生或同时不发生. ②所谓事件A=B，就是说事件A，B是同一事件. ③在验证两个事件是否相等时，常用到相等事件的定义. ④A=BAB且 BA，A=B也可用充分必要的语言表述为∶A发生是 B发生的充要条件· (3)互斥与对立的理解 ①事件A与事件B互斥:表示事件A与事件B不可能同时发生，即A与B两个事件 同时发生的概率为0. ②用集合的观点来看，是A在Ω中的补集，如果B=，则称A与B 相互对立. 【即学即练】 1.(2025湖北省新八校协作体高二上联考，易)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是（   ） A．至少有1名女生与全是女生 B．至少有1名女生与全是男生 C．恰有1名女生与恰有2名女生 D．至少有1名女生与至多有1名男生 【答案】C 【解析】“从中任选2名同学参加比赛”所包含的基本情况有：两男、两女、一男一女. 至少有1名女生与全是女生可以同时发生，不是互斥事件，故A错误； 至少有1名女生与全是男生是对立事件，故B错误； 恰有1名女生与恰有2名女生是互斥不对立事件，故C正确； 至少有1名女生与至多有1名男生是相同事件，故D错误. 故选C. 2．（多选）（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟·期末）从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都是白球”互斥而非对立的事件是以下事件中的哪几个（    ） A．事件“两球都不是白球” B．事件“两球恰有一白球” C．事件“两球至少有一个白球” D．事件“两球不都是白球” 【答案】AB 【分析】由对立事件，互斥事件的定义结合题意逐一判断即可. 【详解】从口袋内一次取出2个球，这个试验的样本空间 (白，白)，(红，红)，(黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)，包含6个基本事件， 当事件“两球都为白球”发生时，事件“两球都不是白球”和事件“两球恰有一白球”不可能发生，满足互斥事件的定义， 且“两球都为白球”不发生时，事件“两球都不是白球”不一定发生，事件“两球恰有一白球”不一定发生，故非对立事件，故A、B正确； “两球都为白球”发生时，事件“两球至少有一个白球”可以发生，故不是互斥事件，故C错误； 事件“两球不都是白球”意思是“两球至少有一个不是白球”与事件“两球都是白球”是对立事件， 故D错误. 故选：AB 3.连续掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：为“3次正面向上”， 为“只有1次正面向上”， 为“至少有1次正面向上”，试判断事件之间的包含关系． 【详解】当事件A发生时，事件一定发生，当事件发生时，事件一定发生，因此有，； 当事件发生时，事件一定不发生，当事件发生时，事件一定不发生， 因此事件与事件之间不存在包含关系． 题型01 进行事件的运算 【典例1-1】（2025·湖南娄底·二模）某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件（）表示随机事件“第i（）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意依次判断各项事件运算对应的含义，即可得. 【详解】表示前两次测试成绩均及格，故A错误； 表示后两次测试都没有及格，故B错误； 表示前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格，故C正确； 表示三次测试成绩均不及格，故D错误， 故选：C 【典例1-2】对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，由事件之间的基本关系，逐一判断，即可得到结果. 【详解】“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中、第二枚没中或第一枚没中、第二枚击中， “至少有一弹击中飞机”包含两种情况，一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中， 故，，，. 故选：BC 互斥事件与对立事件的判断方法 要判断两个事件是不是互斥事件，只需要找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生，在互斥的前提下，看两个事件中是否必有一个发生，可判断是否为对立事件．注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义，知道它们对事件结果的影响．必要时可以把具体的事件列举出来，更易于分辨． 【变式1-1】（2025吉林通化高二上联考）掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则（    ） A． B．表示向上的点数是1或3或5 C．表示向上的点数是1或3 D．表示向上的点数是1或5 【答案】B 【详解】由题可知，“向上的点数是1或3”为事件，“向上的点数是1或5”为事件， 所以事件不等于事件，故A错误； 事件表示“向上的点数是1或3或5”，故B正确，C错误； 事件表示“向上的点数是1”，故D错误； 故选B. 【变式1-2】(多选)从5个女生和4个男生中任选两个人参加某项活动,有如下随机事件:A=“至少有一个女生”,B=“至少有一个男生”,C=“恰有一个男生”,D=“两个都是女生”,E=“恰有一个女生”.下列结论正确的有(　　) A.C=E　　　B.A=B C.D∩E≠⌀　　　D.B∩D=⌀,B∪D=Ω 【答案】AD 【详解】对于A,事件C,E均为“1个男生1个女生”,则C=E,A正确; 对于B,事件A为“1个男生1个女生或2个女生”,B为“1个男生1个女生或2个男生”,则A≠B,B错误; 对于C,事件D为“两个都是女生”,E为“1个男生1个女生”,包含的样本点不相同,则D∩E=⌀,C错误; 对于D,事件B为“1个男生1个女生或2个男生”,D为“两个都是女生”,则B∩D=⌀,B∪D=Ω,D正确.故选AD. 题型02 互斥事件与对立事件 【典例2-1】（24-25高一下·全国·课后作业）若干人站成一排，其中为互斥事件的是（    ） A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙站排尾” C．“甲站排头”与“乙不站排头” D．“甲不站排头”与“乙不站排头” 【答案】A 【分析】利用互斥事件的概念，对各个选项逐一分析判断，即可得出结果. 【详解】对于选项A，因为“甲站排头”与“乙站排头”不能同时发生，所以选项A正确， 对于选项B，因为“甲站排头”与“乙站排尾”可以同时发生，所以选项B不正确， 对于选项C，因为“甲站排头”与“乙不站排头” 可以同时发生，所以选项C不正确， 对于选项D，因为“甲不站排头”与“乙不站排头” 可以同时发生，所以选项D不正确， 故选：A. 【典例2-2】（23-24高一下·北京通州·期末）一个口袋内装有大小、形状相同的红色、黄色和绿色小球各2个，不放回地逐个取出2个小球，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有（    ） A．2个小球恰有一个红球 B．2个小球至多有1个红球 C．2个小球中没有绿球 D．2个小球至少有1个红球 【答案】A 【分析】根据题意，由互斥事件的定义依次分析选项，即可得到结果. 【详解】2个小球恰有一个红球包括2个小球1个红球1个黄球和2个小球1个红球1个绿球，与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立，符合题意，故A正确； 2个小球至多有1个红球包括2个小球都不是红球和2个小球恰有1个红球，则2个小球至多有1个红球与事件“2个小球都为红色”是对立事件，故B错误； 2个小球中没有绿球包括2个小球都为红色，2个小球都为黄色和2个小球1个红球1个黄球，则事件“2个小球都为红色”是2个小球中没有绿球的子事件，故C错误； 2个小球至少有1个红球包括2个小球都是红球和2个小球1个红球1个不是红球，则事件“2个小球都为红色”是2个小球至少有1个红球的子事件，故D错误； 故选：A 【变式2-1】从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取3个球，那么互斥不对立的事件是(    ) A．恰有一个黄球与恰有一个蓝球 B．至少有一个黄球与都是黄球 C．至少有一个黄球与都是蓝球 D．至少有一个黄球与至少有一个蓝球 【答案】A 【详解】从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下4种： ①3个球全是黄球； ②2个黄球和1个蓝球； ③1个黄球2个蓝球； ④3个球全是蓝球． 对于A，恰有一个黄球是情况③，恰有一个蓝球是情况②， ∴恰有一个黄球与恰有一个蓝球是互斥不对立的事件，故A正确； 对于B，至少有一个黄球是情况①②③，都是黄球是情况①， ∴至少有一个黄球与都是黄球能同时发生，不是互斥事件，故B错误； 对于C，至少有一个黄球是情况①②③，都是蓝球是情况④， ∴至少有一个黄球与都是蓝球是对立事件，故C错误； 对于D，至少有一个黄球是情况①②③，至少有一个蓝球是情况②③④， ∴至少有一个黄球与至少有一个蓝球能同时发生，不是互斥事件，故D错误． 故选：A． 【变式2-2】(24-25高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）从一批产品（其中正品､次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是 .①恰好有1件次品和恰好有2件次品；②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件正品和至少有1件次品；④至少有1件次品和全是正品. 【答案】①④ 【详解】从一批产品中任取2件，观察正品件数和次品件数，其中正品、次品都多于2件， 恰有1件次品和恰有2件次品是互斥的； 至少有1件次品和全是正品是互斥的； 至少有件正品和至少有件次品能同时发生，两者不是互斥事件； 至少有件次品和全是次品能同时发生，两者不是互斥事件； ∴①④是互斥事件. 故答案为：①④ 题型03 事件的包含与相等 【典例3-1】（23-24高二上·河南信阳·阶段练习）同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件，“向上的面至少有一枚是正面”为事件，则有(　　) A． B． C． D．与之间没有关系 【答案】C 【分析】根据题意，结合列举法求得事件和事件，进而得到两事件的关系，得到答案. 【详解】由同时抛掷两枚硬币，基本事件的空间为{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}， 其中事件{（正，正）}，事件{（正，正），（正，反），（反，正）}， 所以. 故选：C. 【典例3-2】在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件={出现1点}，事件={出现2点}，事件={出现3点}，事件={出现4点}，事件={出现5点}，事件={出现6点}，事件={出现的点数不大于1}，事件={出现的点数大于3}，事件={出现的点数小于5}，事件E={出现的点数小于7}，事件F={出现的点数为偶数}，事件G={出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题． (1)请举出符合包含关系、相等关系的事件； (2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件． 【分析】（1）根据事件的包含关系和相等关系的概念，即可得到答案； （2）根据和事件的定义，即可判断结果. 【详解】（1）因为事件，，，发生，则事件必发生， 所以，，，． 同理可得，事件E包含事件，，，，，；事件包含事件，，；事件F包含事件，，；事件G包含事件，，． 因为在掷骰子的试验中，出现的点数不大于1即为出现1点， 所以事件与事件相等，即． （2）因为事件{出现的点数大于3}={出现4点或出现5点或出现6点}， 所以（或）． 同理可得，，，，， 即事件,为和事件. 判断事件间关系的方法 （1）要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的. （2）考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析. 【变式3-1】（多选）（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）抛一枚质地均匀的骰子，记“向上的点数是4或5或6”为事件A，“向上的点数是1或2”为事件B，“向上的点数小于5”为事件C，“向上的点数大于3”为事件D，则（    ） A．A与B是互斥事件，但不是对立事件 B． C．A与C是互斥事件 D． 【答案】AD 【分析】根据互斥事件，对立事件，事件的包含关系，事件相等的定义判断各命题即可. 【详解】根据题意，试验的样本空间，，，，. 对于选项A:因为，，所以A与B是互斥事件，但不是对立事件，故A正确； 对于选项B:因为，，所以，故B错误； 对于选项C:因为，所以A与C不是互斥事件，故C错误； 对于选项D:因为，，所以，故D正确. 故选：AD. 【变式3-2】从一副52张的扑克牌中任取一张，设事件A：抽出红桃，事件B：抽出黑桃，事件C：抽出红色牌，事件D：抽出黑色牌．分别讨论以下事件之间的关系： (1)A与B； (2)C与D； (3)B与D． 【分析】（1）由于“抽出红桃”与“抽出黑桃”不可能同时发生，故A与B是互斥事件．再由这两个事件的和不是必然事件，故A与B不是对立事件． （2）由于“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”不可能同时发生，故它们时互斥事件；再由这两个事件的和事件是必然事件，故它们也是对立事件． （3）根据若事件B发生，事件D一定发生；若事件D发生，则事件B不一定发生，即可解答. 【详解】（1）从52张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花各13张，且点数都是从1～13）中，任取一张，“抽出红桃”与“抽出黑桃”不可能同时发生，故它们是互斥事件． 再由这两个事件的和不是必然事件（还有可能是“方片”或“梅花”），故它们不是对立事件． 综上可得，与是互斥事件，但不是对立事件． （2）由于“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”不可能同时发生，故C与D是互斥事件；再由这两个事件的和事件是必然事件，故C与D也是对立事件． （3）若事件B：抽出黑桃发生，则一定是黑色牌，即事件D一定发生；若事件D：抽出黑色牌发生，则不一定是黑桃，即事件B不一定发生，所以 练基础 1．事件M⊆N，当N发生时，下列必发生的是(　　) A．M B．M∩N C．M∪N D．M的对立事件 【答案】C 【详解】由于M⊆N，则当N发生时，M不一定发生，M∩N也不一定发生，而M∪N一定发生． 2．若干人站成一排，其中为互斥事件的是(　　) A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙站排尾” C．“甲站排头”与“乙不站排头” D．“甲不站排头”与“乙不站排头” 【答案】A 【详解】根据互斥事件不能同时发生，判断A是互斥事件；B、C、D中两事件能同时发生，故不是互斥事件． 3.(2025广东佛山市顺德区乐从中学高二上月考)向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件表示两次点数之和小于8，事件表示两次点数之和既能被2整除又能被3整除，则事件用样本点表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，事件表示两次点数和为6， 因此事件用样本点表示为. 故选A. 4.(2025湖北省新八校协作体高二上联考)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是（   ） A．至少有1名女生与全是女生 B．至少有1名女生与全是男生 C．恰有1名女生与恰有2名女生 D．至少有1名女生与至多有1名男生 【答案】C 【详解】“从中任选2名同学参加比赛”所包含的基本情况有：两男、两女、一男一女. 至少有1名女生与全是女生可以同时发生，不是互斥事件，故A错误； 至少有1名女生与全是男生是对立事件，故B错误； 恰有1名女生与恰有2名女生是互斥不对立事件，故C正确； 至少有1名女生与至多有1名男生是相同事件，故D错误. 故选C. 5．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，则下列关系不正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】至少有1名男生包含2名全是男生､1名男生1名女生，故，， 故A，C正确； 事件B与D是互斥事件，故，故B正确， 表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示2名全是女生或名至少有一名男生， 故，D错误，故选：D. 6．（多选）一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：事件A：恰有1件次品；事件B：至少有2件次品；事件C：至少有1件次品；事件D：至多有1件次品，以下结论正确的是（  ） A． B．是必然事件 C． D． 【答案】AB 【详解】表示的事件：至少有1件次品，即事件C，所以A正确，C不正确； 表示的事件：至少有2件次品或至多有1件次品，包括了所有情况，所以B正确； 表示的事件：至多有1件次品，即事件D，所以D不正确. 故选：AB. 7．向上抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数为2或4”，事件“点数为2或6”，事件“点数为偶数”，则事件C与A，B的运算关系是 ． 【答案】 【详解】设事件“点数为2或4”，事件“点数为2或6”，事件“点数为偶数”“点数为2或4或6”，则. 8.抛掷相同硬币3次，记“至少有一次正面向上”为事件A，“一次正面向上，两次反面向上”为事件B，“两次正面向上，一次反面向上”为事件C，“至少一次反面向上”为事件D，“3次都正面向上”为事件E. (1)试判断事件 与事件B，C，E的关系； (2)试求AD，B+C所包含的样本点，并判断AD与B+C的关系. 【详解】(1)事件A为“至少有一次正面向上”，包含“一次正面向上，两次反面向上”， “两次正面向上，一次反面向上”和“3次都正面向上”三个基本事件，所以B⊆A，C⊆A，E⊆A，A=B+C+E (2)“至少一次反面向上”为事件D，包含“一次正面向上，两次反面向上”， “两次正面向上，一次反面向上”和“3次都反面向上”三个基本事件，可以看出事件A与事件D有相同的两个基本事件，即“一次正面向上，两次反面向上”， “两次正面向上，一次反面向上”，故AD={一次正面向上或两次正面向上}，B+C={一次正面向上或两次正面向上}，所以AD=B+C 9．（22-23高一下·天津河北·期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球（标号为1和2），2个绿球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两个球颜色相同”，N＝“两个球颜色不同”． (1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件； (2)写出事件R与G，M与N之间的关系； (3)写出事件R与事件G的并事件与事件M的关系． 【详解】（1）用数组表示可能的结果，是第一次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号， 所以试验的样本空间， 事件，事件，事件， 事件. （2）由（1）知，，而，所以事件互斥，不对立； ，所以事件互为对立事件. （3）由（1）知，，所以事件是事件与事件的并事件. 练提升 10．从1，2，3，4，5中任取2个数，设事件“2个数都为偶数”，“2个数都为奇数”，“至少1个数为奇数”，“至多1个数为奇数”，则下列结论正确的是(    ) A．与是互斥事件 B．与是互斥但不对立事件 C．与是互斥但不对立事件 D．与是对立事件 【答案】A 【详解】根据题意 ， 则，所以与是互斥事件，A正确； ，所以与是互斥且对立事件，B错误； ，所以与是互斥且对立事件，C错误； 所以与不是对立事件，D错误. 故选：A. 11．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则(    ) A．甲与丙是互斥事件 B．乙与丙是对立事件 C．甲与丁是对立事件 D．丙与丁是互斥事件 【答案】D 【详解】对于A，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”， 丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则两次取球的情况有， 所以事件甲丙可能同时发生，不是互斥事件，A错误； 对于B，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”， 丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，是互斥不对立的事件，B错误； 对于C，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”， 丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”， 则两次取球的情况有等，所以甲丁可能同时发生，不是互斥事件，C错误； 对于D，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”， 丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，两个事件不会同时发生，是互斥事件，D正确； 故选：D． 12．（多选）（23-24高一上·安徽亳州·期末）中国四大名楼是一种泛称，特指山西永济鹳雀楼、江西南昌滕王阁、湖北武汉黄鹤楼、湖南岳阳岳阳楼．记事件“只去黄鹤楼”，事件“至少去两个名楼”，事件“只去一个名楼”，事件“一个名楼也不去”，事件“至多去一个名楼”，则下列命题正确的是（    ） A．E与H是互斥事件 B．F与I是互斥事件，且是对立事件 C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A，事件E，H不可能同时发生，是互斥事件，故A正确； 对于B，事件F与I不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且为对立事件，故B正确； 事件“至多去一个名楼”刚好包含事件“只去一个名楼”与事件“一个名楼也不去”，所以，，故C正确，D错误 故选：ABC． 13．（24-25高一下·全国·课后作业）给出以下三个命题：（1）将一枚硬币抛掷两次，记事件A：“二次都出现正面”，事件B：“二次都出现反面”，则事件A与事件B是对立事件；（2）在命题（1）中，事件A与事件B是互斥事件；（3）在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，记事件A：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与事件B是互斥事件，其中真命题的个数是 ． 【答案】1 【分析】根据题意结合互斥与对立事件的定义，分析每个命题的真假判断即可. 【详解】对于（1）（2），因为抛掷两次硬币，除事件A，B外， 还有“第一次出现正面，第二次出现反面”和“第一次出现反面，第二次出现正面”两个事件， 所以事件A和事件B不是对立事件，但它们不会同时发生，所以是互斥事件； 对于（3），若所取的3件产品中恰有2件次品，则事件A和事件B同时发生， 所以事件A和事件B不是互斥事件． 故命题（1）是假命题，命题（2）是真命题，命题（3）是假命题． 14．从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中随机选取1张，下列每组事件是否为互斥事件？若是互斥事件，则是否互为对立事件？若不是对立事件，请分别说出事件、事件的对立事件． (1)表示“抽出的牌是红心”，表示“抽出的牌是方片”； (2)表示“抽出的牌是红心”，表示“抽出的牌是K”； (3)表示“抽出的牌是红色牌”，表示“抽出的牌是黑色牌”； (4)表示“抽出的牌面是2，3，4，6，10之一”，表示“抽出的牌是方片”； (5)表示“抽出的牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10之一”，表示“抽出的牌面是J，Q，K，A之一”； (6)表示“抽出的牌面是2，3，4，5，6，7之一的一张方片”，表示“抽出的牌面是8，9，10，J，Q，K，A之一的一张方片”． 【详解】(1)因为表示“抽出的牌是红心”，表示“抽出的牌是方片”， 所以与互斥，但与不对立． 的对立事件是“抽出的牌不是红心”， 的对立事件是“抽出的牌不是方片”． (2)因为表示“抽出的牌是红心”，表示“抽出的牌是K”； 当出现红心K时，事件、都发生，所以与不互斥也不对立． (3)因为表示“抽出的牌是红色牌”，表示“抽出的牌是黑色牌”； 所以与互斥且与对立． (4)因为表示“抽出的牌面是2，3，4，6，10之一”，表示“抽出的牌是方片”； 当出现方片2，3，4，6，10之一，则事件、都发生，所以与不互斥也不对立． (5)因为表示“抽出的牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10之一”，表示“抽出的牌面是J，Q，K，A之一”； 所以与互斥且与对立． (6)因为表示“抽出的牌面是2，3，4，5，6，7之一的一张方片”， 表示“抽出的牌面是8，9，10，J，Q，K，A之一的一张方片”． 所以与互斥，但与不对立． 的对立事件是“抽出的牌面不是方片2，3，4，5，6，7之一”， 的对立事件是“抽出的牌面不是方片8，9，10，J，Q，K，A之一”． 15．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：=“点数为i”，其中；=“点数不大于2”，=“点数大于2”，=“点数大于4”；E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”.判断下列结论是否正确. (1)与互斥；(2)，为对立事件；(3)；(4)；(5)，； (6)；(7)；(8)E，F为对立事件；(9)；(10) 【解析】该试验的样本空间可表示为, 由题意知,,,,,. (1),,满足,所以与互斥,故正确； (2),,满足但不满足.所以为互斥事件,但不是对立事件,故错误； 根据对应的集合易得,(3)正确；(4)正确；(5)正确； (6),所以,故正确；(7),故正确； (8)因为, ,所以E,F为对立事件,故正确； (9)正确；(10)正确. 16．扑克牌中的秘密 扑克牌有54张，52张正牌表示一年有52个星期，2张副牌中的大猫代表太阳，小猫代表月亮；黑桃、红桃、方块、梅花表示春、夏、秋、冬四季，红色牌代表白昼，黑色牌代表黑夜；每一季13个星期与扑克牌每一花色13张正好一致，52张牌的点数相加是364，再加上小猫的一点，是365，与一般年份天数相同；如果再加上大猫的一点，那就正好是闰年的天数.扑克牌的K、Q、J共有12张，既表示一年有12个月，又表示太阳在一年中经过12个星座. 现从52张扑克牌（除去大猫和小猫）中任抽1张. 问题 （1） “抽出代表夏季的牌”与“抽出代表秋季的牌”是不是互斥事件，是不是对立事件？ （2） “抽出代表白昼的牌”与“抽出代表黑夜的牌”是不是互斥事件，是不是对立事件？ （3） “抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”是不是互斥事件，是不是对立事件？ 【详解】(1)“抽出代表夏季的牌”与“抽出代表秋季的牌”，即“抽出红桃”与“抽出方块”，这是不可能同时发生的，所以是互斥事件.同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“黑桃”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件. (2)“抽出代表白昼的牌”与“抽出代表黑夜的牌”，即“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们是互斥事件，也是对立事件. (3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出的牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，也不是对立事件. 17．连续掷一颗骰子两次，观察掷得的点数．设A：第一次掷得的点数为1，：第一次掷得的点数为1，第二次掷得的点数为j，B：两次掷得的点数之和为6，C：第二次掷得的点数比第一次的大3． (1)写出下列事件的对应子集： ①A、B至少有一个发生；  ②A、B同时发生． (2)分别判断A与B、A与C、B与C是否为互斥事件？ (3)讨论与A的关系． 【详解】（1）①根据和事件的定义可得，A、B至少有一个发生为；②根据积事件的定义可得，A、B同时发生为； （2）因为，，故A与B不互斥，A与C不互斥， 又，, 所以，所以B与C互斥； （3）由题意，. 练创新 18.(多选)(2025广东佛山高二上联考，中)如图，一个电路中有甲、乙、丙三个电子元件，设“甲元件故障”，“乙元件故障”，“丙元件故障”，则能表示电路是通路的事件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】 对于A项，由题意得， “甲元件正常”， “乙、丙元件同时故障”， “乙原件和丙原件至少有一个正常”，故表示电路是通路； 对于B项，“甲、乙元件同时故障”，“甲原件和乙原件至少有一个正常”， “乙、丙元件同时故障”，“乙原件和丙原件至少有一个正常”，不能得到甲原件一定正常，故不能表示电路是通路； 对于C项，“甲元件正常”， “乙元件正常”， “丙元件正常”， “乙原件和丙原件至少有一个正常”，故表示电路是通路； 对于D项，“甲、乙元件均正常”， “甲、丙元件均正常”， 故表示电路是通路. 故选ACD. 19.如图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中A表示订阅数学学习资料的学生，B表示订阅语文学习资料的学生，C表示订阅英语学习资料的学生． (1)从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述1，4，5，8各区域所代表的事件； (2)用A，B，C表示下列事件： ①至少订阅一种学习资料； ②恰好订阅一种学习资料； ③没有订阅任何学习资料. 【详解】（1）由给定图形可知，区域1表示该生语文、数学、英语三种学习资料都订阅； 区域4表示该生只订阅语文、数学两种学习资料； 区域5表示该生只订阅语文学习资料； 区域8表示该生语文、数学、英语三种学习资料都没有订阅. （2）①至少订阅一种学习资料的事件即是事件A发生，或者事件B发生，或者事件C发生， 所以至少订阅一种学习资料的事件为：A+B+C； ②恰好订阅一种学习资料的事件包含只订阅数学资料的事件，只订阅语文资料的 事件，只订阅英语资料的事件，它们互斥， 所以恰好订阅一种学习资料的事件为：； ③没有订阅任何学习资料的事件是事件、、同时发生，所以这个事件表示为：. 17 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 随机事件的运算 教学目标 1.了解随机事件的并、交与互斥的含义. 2.能结合实例进行随机事件的并、交运算. 教学重难点 1.重点：用简单随机事件的并、交表示复杂的随机事件 2.难点：对互斥事件、对立事件的理解. 知识点01 事件的运算（重点） 定义 记法 图示 事件A与事件B的并事件（和事件） 事件A与事件B 所构成的事件，称为事件A与事件B的并事件（和事件），这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B 中 A∪B(或A+B) 事件A与事件B的交事件（积事件） 事件A与事件B 所构成的事件，称为事件A与事件B的交事件（或积事件），这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中 A∩B(或AB) 【知识剖析】 （1）和事件 ①按照定义可知，事件A+B发生时，当且仅当事件A与事件B中至少有一个发生. ②不难看出，A（A+B）且 B（A+B） （2）积事件 按照定义可知，事件AB发生时，当且仅当事件A与事件B都发生. 【即学即练】 1．打靶3次，事件表示“共击中发”，其中，那么表示（    ） A．“全部击中” B．“至少击中1次” C．“至多脱靶2次” D．“至少击中2次” 2．从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，若“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数” 为事件，则和包含的样本点数分别为（   ） A．1，6 B．4，2 C．5，1 D．6，1 知识点02 事件的关系（重点） 定义 记法 图示 包含关系 一般地，如果事件A发生时，事件B ，则称“A包含于B”（或B“包含A”） 或 相等关系 如果事件A发生时，事件B ；而且事件B发生时，事件A也 ，则称“ A与B相等”记作A=B.A=BAB且BAA与B有相同的样本点 A=B 互斥事件 给定事件A，B，若事件A与B ，则称A与B互斥， AB=∅或AB=∅ 对立事件 若 ，且 ,则称事件A与事件B互为对立事件，事件A的对立事件记作 =∅,=Ω 【知识剖析】 （1）包含关系 ①不可能事件记作∅，任何事件都包含不可能事件，即C∅（C为任一事件）. ②事件A也包含于事件A，即AA. ③事件B包含事件A，其含义就是事件A发生，事件B一定发生，而事件B发生，事件A不一定发生. ④AB也可用充分必要的语言表述为∶A发生是B发生的充分条件，B发生是A发生的必要条件. （2）相等关系 ①两个相等事件总是同时发生或同时不发生. ②所谓事件A=B，就是说事件A，B是同一事件. ③在验证两个事件是否相等时，常用到相等事件的定义. ④A=BAB且 BA，A=B也可用充分必要的语言表述为∶A发生是 B发生的充要条件· (3)互斥与对立的理解 ①事件A与事件B互斥:表示事件A与事件B不可能同时发生，即A与B两个事件 同时发生的概率为0. ②用集合的观点来看，是A在Ω中的补集，如果B=，则称A与B 相互对立. 【即学即练】 1.(2025湖北省新八校协作体高二上联考，易)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是（   ） A．至少有1名女生与全是女生 B．至少有1名女生与全是男生 C．恰有1名女生与恰有2名女生 D．至少有1名女生与至多有1名男生 2．（多选）（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟·期末）从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都是白球”互斥而非对立的事件是以下事件中的哪几个（    ） A．事件“两球都不是白球” B．事件“两球恰有一白球” C．事件“两球至少有一个白球” D．事件“两球不都是白球” 3.连续掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：为“3次正面向上”， 为“只有1次正面向上”， 为“至少有1次正面向上”，试判断事件之间的包含关系． 题型01 进行事件的运算 【典例1-1】（2025·湖南娄底·二模）某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件（）表示随机事件“第i（）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 互斥事件与对立事件的判断方法 要判断两个事件是不是互斥事件，只需要找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生，在互斥的前提下，看两个事件中是否必有一个发生，可判断是否为对立事件．注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义，知道它们对事件结果的影响．必要时可以把具体的事件列举出来，更易于分辨． 【变式1-1】（2025吉林通化高二上联考）掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则（    ） A． B．表示向上的点数是1或3或5 C．表示向上的点数是1或3 D．表示向上的点数是1或5 【变式1-2】(多选)从5个女生和4个男生中任选两个人参加某项活动,有如下随机事件:A=“至少有一个女生”,B=“至少有一个男生”,C=“恰有一个男生”,D=“两个都是女生”,E=“恰有一个女生”.下列结论正确的有(　　) A.C=E　　　B.A=B C.D∩E≠⌀　　　D.B∩D=⌀,B∪D=Ω 题型02 互斥事件与对立事件 【典例2-1】（24-25高一下·全国·课后作业）若干人站成一排，其中为互斥事件的是（    ） A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙站排尾” C．“甲站排头”与“乙不站排头” D．“甲不站排头”与“乙不站排头” 【典例2-2】（23-24高一下·北京通州·期末）一个口袋内装有大小、形状相同的红色、黄色和绿色小球各2个，不放回地逐个取出2个小球，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有（    ） A．2个小球恰有一个红球 B．2个小球至多有1个红球 C．2个小球中没有绿球 D．2个小球至少有1个红球 【变式2-1】从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取3个球，那么互斥不对立的事件是(    ) A．恰有一个黄球与恰有一个蓝球 B．至少有一个黄球与都是黄球 C．至少有一个黄球与都是蓝球 D．至少有一个黄球与至少有一个蓝球 【变式2-2】(24-25高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）从一批产品（其中正品､次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是 .①恰好有1件次品和恰好有2件次品；②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件正品和至少有1件次品；④至少有1件次品和全是正品. 题型03 事件的包含与相等 【典例3-1】（23-24高二上·河南信阳·阶段练习）同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件，“向上的面至少有一枚是正面”为事件，则有(　　) A． B． C． D．与之间没有关系 【典例3-2】在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件={出现1点}，事件={出现2点}，事件={出现3点}，事件={出现4点}，事件={出现5点}，事件={出现6点}，事件={出现的点数不大于1}，事件={出现的点数大于3}，事件={出现的点数小于5}，事件E={出现的点数小于7}，事件F={出现的点数为偶数}，事件G={出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题． (1)请举出符合包含关系、相等关系的事件； (2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件． 判断事件间关系的方法 （1）要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的. （2）考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析. 【变式3-1】（多选）（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）抛一枚质地均匀的骰子，记“向上的点数是4或5或6”为事件A，“向上的点数是1或2”为事件B，“向上的点数小于5”为事件C，“向上的点数大于3”为事件D，则（    ） A．A与B是互斥事件，但不是对立事件 B． C．A与C是互斥事件 D． 【变式3-2】从一副52张的扑克牌中任取一张，设事件A：抽出红桃，事件B：抽出黑桃，事件C：抽出红色牌，事件D：抽出黑色牌．分别讨论以下事件之间的关系： (1)A与B； (2)C与D； (3)B与D． 练基础 1．事件M⊆N，当N发生时，下列必发生的是(　　) A．M B．M∩N C．M∪N D．M的对立事件 2．若干人站成一排，其中为互斥事件的是(　　) A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙站排尾” C．“甲站排头”与“乙不站排头” D．“甲不站排头”与“乙不站排头” 3.(2025广东佛山市顺德区乐从中学高二上月考)向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件表示两次点数之和小于8，事件表示两次点数之和既能被2整除又能被3整除，则事件用样本点表示为（   ） A． B． C． D． 4.(2025湖北省新八校协作体高二上联考)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是（   ） A．至少有1名女生与全是女生 B．至少有1名女生与全是男生 C．恰有1名女生与恰有2名女生 D．至少有1名女生与至多有1名男生 5．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，则下列关系不正确的是(    ) A． B． C． D． 6．（多选）一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：事件A：恰有1件次品；事件B：至少有2件次品；事件C：至少有1件次品；事件D：至多有1件次品，以下结论正确的是（  ） A． B．是必然事件 C． D． 7．向上抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数为2或4”，事件“点数为2或6”，事件“点数为偶数”，则事件C与A，B的运算关系是 ． 8.抛掷相同硬币3次，记“至少有一次正面向上”为事件A，“一次正面向上，两次反面向上”为事件B，“两次正面向上，一次反面向上”为事件C，“至少一次反面向上”为事件D，“3次都正面向上”为事件E. (1)试判断事件 与事件B，C，E的关系； (2)试求AD，B+C所包含的样本点，并判断AD与B+C的关系. 9．（22-23高一下·天津河北·期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球（标号为1和2），2个绿球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两个球颜色相同”，N＝“两个球颜色不同”． (1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件； (2)写出事件R与G，M与N之间的关系； (3)写出事件R与事件G的并事件与事件M的关系． 练提升 10．从1，2，3，4，5中任取2个数，设事件“2个数都为偶数”，“2个数都为奇数”，“至少1个数为奇数”，“至多1个数为奇数”，则下列结论正确的是(    ) A．与是互斥事件 B．与是互斥但不对立事件 C．与是互斥但不对立事件 D．与是对立事件 11．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则(    ) A．甲与丙是互斥事件 B．乙与丙是对立事件 C．甲与丁是对立事件 D．丙与丁是互斥事件 12．（多选）（23-24高一上·安徽亳州·期末）中国四大名楼是一种泛称，特指山西永济鹳雀楼、江西南昌滕王阁、湖北武汉黄鹤楼、湖南岳阳岳阳楼．记事件“只去黄鹤楼”，事件“至少去两个名楼”，事件“只去一个名楼”，事件“一个名楼也不去”，事件“至多去一个名楼”，则下列命题正确的是（    ） A．E与H是互斥事件 B．F与I是互斥事件，且是对立事件 C． D． 13．（24-25高一下·全国·课后作业）给出以下三个命题：（1）将一枚硬币抛掷两次，记事件A：“二次都出现正面”，事件B：“二次都出现反面”，则事件A与事件B是对立事件；（2）在命题（1）中，事件A与事件B是互斥事件；（3）在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，记事件A：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与事件B是互斥事件，其中真命题的个数是 ． 14．从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中随机选取1张，下列每组事件是否为互斥事件？若是互斥事件，则是否互为对立事件？若不是对立事件，请分别说出事件、事件的对立事件． (1)表示“抽出的牌是红心”，表示“抽出的牌是方片”； (2)表示“抽出的牌是红心”，表示“抽出的牌是K”； (3)表示“抽出的牌是红色牌”，表示“抽出的牌是黑色牌”； (4)表示“抽出的牌面是2，3，4，6，10之一”，表示“抽出的牌是方片”； (5)表示“抽出的牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10之一”，表示“抽出的牌面是J，Q，K，A之一”； (6)表示“抽出的牌面是2，3，4，5，6，7之一的一张方片”，表示“抽出的牌面是8，9，10，J，Q，K，A之一的一张方片”． 15．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：=“点数为i”，其中；=“点数不大于2”，=“点数大于2”，=“点数大于4”；E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”.判断下列结论是否正确. (1)与互斥；(2)，为对立事件；(3)；(4)；(5)，； (6)；(7)；(8)E，F为对立事件；(9)；(10) 16．扑克牌中的秘密 扑克牌有54张，52张正牌表示一年有52个星期，2张副牌中的大猫代表太阳，小猫代表月亮；黑桃、红桃、方块、梅花表示春、夏、秋、冬四季，红色牌代表白昼，黑色牌代表黑夜；每一季13个星期与扑克牌每一花色13张正好一致，52张牌的点数相加是364，再加上小猫的一点，是365，与一般年份天数相同；如果再加上大猫的一点，那就正好是闰年的天数.扑克牌的K、Q、J共有12张，既表示一年有12个月，又表示太阳在一年中经过12个星座. 现从52张扑克牌（除去大猫和小猫）中任抽1张. 问题 （1） “抽出代表夏季的牌”与“抽出代表秋季的牌”是不是互斥事件，是不是对立事件？ （2） “抽出代表白昼的牌”与“抽出代表黑夜的牌”是不是互斥事件，是不是对立事件？ （3） “抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”是不是互斥事件，是不是对立事件？ 17．连续掷一颗骰子两次，观察掷得的点数．设A：第一次掷得的点数为1，：第一次掷得的点数为1，第二次掷得的点数为j，B：两次掷得的点数之和为6，C：第二次掷得的点数比第一次的大3． (1)写出下列事件的对应子集： ①A、B至少有一个发生；  ②A、B同时发生． (2)分别判断A与B、A与C、B与C是否为互斥事件？ (3)讨论与A的关系． 练创新 18.(多选)(2025广东佛山高二上联考，中)如图，一个电路中有甲、乙、丙三个电子元件，设“甲元件故障”，“乙元件故障”，“丙元件故障”，则能表示电路是通路的事件是（   ） A． B． C． D． 19.如图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中A表示订阅数学学习资料的学生，B表示订阅语文学习资料的学生，C表示订阅英语学习资料的学生． (1)从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述1，4，5，8各区域所代表的事件； (2)用A，B，C表示下列事件： ①至少订阅一种学习资料； ②恰好订阅一种学习资料； ③没有订阅任何学习资料. 11 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $