专题01 空间向量与立体几何（8大考点68题）（期中真题汇编，湖北专用）高二数学上学期

面学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01空间向量与立体几何 ☆8大高频考点概览 考点01空间向量线性运算及基本定理 考点02空间向量的数量积运算 考点03空间向量的坐标运算 考点04异面直线浃角的向量求法 考点05线面角的向量求法 考点06面面角的向量求法 考点07空间距离的向量求法 考点08（附加）空间几何体的表面积与体积 目目 考点01 空间向量线性运算及基本定理 一、单选题 1.(24-25高二上湖北华中师范大学第一附属中学期中)在长方体ABCD-A,B,C,D,中，(AA+AD)-CD运算 的结果为() A.AC B.BD C.AC D.AD 2.(24-25高二上湖北“鄂北联考”.期中如图，己知空间四边形OABC,OA,BC的中点分别为点M,N,点G在 线段MN上，且MG=!MN,则向量OG表示为() M G 元-+g丽+goc 6 B.0-0+50丽+oc c.o-oi+5o丽+oc / 函学科网 ww w zxxk com 让教与学更高效 D.0G=0A+10B+0C 6 3 3.(24-25高二上湖北恩施州高中教育联盟·期中)在平行六面体ABCD-A,B,C,D,中，M为DB上靠近点D的 三等分点，N为CC的中点，设A,B,=a,A,D,=b,AA=c,则MN=(） B.2a-16-1 3a-30-2 c. 34+ D.2a+61 -3+3b-2 4.(24-25高二上湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校期中)如图，在正四棱台ABCD-A,B,C,D,中， AB-24B,正-}瓜，DF-号Di,4G=44直线4C与平面FG交于点M,则 A M=() C A D B G品 …D E B4 A 8 3 B. 3 16 C.9 D.2 17 二、填空题 5.(24-25高二上湖北黄冈普通高中期中)已知空间向量a=(4,7,m),6=(0,-5,2),c=(2,6,n),若a,五，c共面， 则m的最小值为一 三、解答题 6.(23-24高二上湖北武汉部分重点中学·期中如图，ABCD和ABEF是不在同一平面上的两个矩形， DM=}D丽，不-；A花，记B=a,D=万，AF=c请用基底{a,6,C,表示下列向量： (1)FC: (2)MN; 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(24-25高二上湖北孝感一般高中协作体·期中)如图，平行六面体ABCD-A,B,C,D,中，AC与BD相交于 M,设AB=a,AD=b,AA=c. D 1B D (1)用a、b、c表示B,M; (2)若该平行六面体所有棱长均为1，且∠AAB=∠AAD=60°，∠DAB=90°，求B,M: 目目 考点02 空间向量的数量积运算 一、 单选题 8.(24-25高二上湖北宜昌协作体·期中)如图，己知A,B,C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点， 点P为平面ABC外一点，且(AP,AB)=(AP,AC)=120°，|AP=3,若A0=AB+AC,则OP=() A.2V10 B.V37 C.6 D.√35 9.(24-25高二上湖北黄冈普通高中期中)如图所示，在平行六面体ABCD-A'B'CD'中， AD=1,AB=1,AA=3,∠BAD=90°，∠BAA=∠DAA=60°，则BD的长为() D D--- B A.5 B.11 面学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.√7 D.5 10.(24-25高二上·湖北黄冈普通高中·期中)如图，边长为4的正方形ABCD沿对角线AC折叠，使 AD.BC=14,则三棱锥D-ABC的体积为() O.- B A.214 c.2 D, 4V14 3 3 二、填空题 11.(24-25高二上湖北荆门德艺高级中学期中)已知空间四边形0ABC各边及对角线长都相等，E,F分别 为AB,OC的中点，向量OE与BF夹角的余弦值 三、解答题 12.(24-25高二上湖北宜昌协作体·期中)如图，在三棱柱ABC-A,B,C,中，AB=a,AC=b,AA=c,点D 满足CD=2DC A D B 面学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)用a,b,c表示B,D; (2)若三棱锥A-ABC的所有棱长均为2，求B,D及AC.BD 13.(24-25高二上·湖北部分级示范高中·期中如图，在平行六面体ABCD-A,B,C,D中，以顶点A为端点的 三条棱的长度都为2，且∠BAD=∠BAA,=∠DAA,=60 D A B (1)求BD的长度： (2)求直线BD,和直线CB所成角的余弦值 目目 考点03 空间向量的坐标运 一、 单选题 14.(24-25高二上湖北宜昌协作体期中)已知向量ā=(2x,1,),6=4,4,2),且a16,则x=（) A.-3 B.-1 C.1 D.0 15425商三上满北孝移板商协作体期钓西-小50，C=522小 则AB-3AC=() A.（0,6,5 B.(0,6,-5 C.2W2,5,-5 D.-2W2,5,-5 16.(24-25高二上湖北楚天教科研协作体期中)若空间向量ā=(-2,1，)，b=(1,0,1),则向量a在向量五上 的投影向量的坐标是() A 9a9 c.（5o D.哈 17.(24-25高二上湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校期中)已知A(2,1,3),B(1,3,4), C(4,-1,3),则AB在AC方向上的投影向量的坐标为() 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.（2,-2,0 B C.（-1,2,1 D 18.(24-25高二上湖北云学部分重点高中)已知空间向量a=(-1,2,4),，b=(1,-4,2),c=(4,4,z,若 (a+2b)1c,则z=() B.2 D. 19.(24-25高二上·湖北武汉重点中学5G联合体期中)已知P为棱长为1的正方体ABCD-A,B,C,D,的内切 球表面一动点，且AP=xAB+yAD+zAA,则x+y+2的取值范围是() 3-5, 3-V33+√3 B 2’2 C.[3,2W5] D 52 20.(24-25高二上湖北武汉部分重点中学.期中)现有一段底面周长为12π厘米和高为15厘米的圆柱形水管， AB是圆柱的母线，两只妈蚁分别在水管内壁爬行，一只从A点沿上底部圆弧顺时针方向爬行2π厘米后再 向下爬行5厘米到达P点，另一只从B沿下底部圆弧逆时针方向爬行2π厘米后再向上爬行4厘米爬行到达 2点，则此时线段PQ长（单位：厘米）为() P A.6N2 B.12 C.122 D.125 二、多选题 21.(24-25高二上·湖北分名校·期中)在空间直角坐标系O-z中，已知A(1,3,-5),B(-2,1,1),下列结论 正确的有() A.AB =7 B.0A.0B=4 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.若=4,2，且1丽，则： D.若m=(1,1,k)且m/1AB,则k=-3 三、填空题 22.(24-25高二上湖北华中师范大学第一附属中学期中)对于任意实数x,y,z, Vx-1)2+y-2)2+(z-3)2+Vx-3)2+(y-2)2+(z-1)2的最小值为一· 23.(24-25高二上湖北仙桃田家炳实验高级中学期中)已知ā=(2,2,1)，万=1，-1，V2),则āi=一 24.(24-25高二上湖北部分级示范高中.期中已知向量d=(1,0,m,向量b=(2,n,1),若ā1乃，则m+n为 25.(24-25高二上湖北鄂州部分高中教科研协作体期中)已知向量=(1，m,-1),b=(n,2,-2),若ā11b, 则m-n= 目目 考点04 异面直线夹角的向量求法 一、单选题 26.(24-25高二上湖北“鄂北联考”期中)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖懦”， 在鳖臑”A-BCD中，AB⊥平面BCD,且AB=BC=CD=2,M为AD中点，则异面直线CM与AB所成 角的余弦值为（) A.② c. 4 B. 3 D.3 3 27.(24-25高二上湖北华中师范大学第一附属中学期中如图所示，在正三棱柱ABC-A,B,C,中， AA,=AB=2,则异面直线A,C与AB,所成角的余弦值为() 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.5 B. √2 D.v2 2 c.4 4 二、解答题 28.(24-25高二上·湖北部分普通高中期中如图，在棱长为1的正方体ABCD-A,B,C,D,中，E、F分别是 棱AB,BC上的中点. D A B D (I)求直线A,F与D,E所成角的余弦值； (2)求平面B,EF与平面BEF夹角的正切值， 目目 考点05 线面角的向量求法 一、单选题 29.(24-25高二上湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)阅读材料：空间直角坐标系O-z中， 过点P(xo,yo,2o)且一个法向量为元=(a,b,c)的平面0的方程为a(x-x)+(y-yo)+c(z-2o)=0.阅读上面 材料，解决下面问题：已知平面0的方程为x+y+4z-3=0,直线1是平面β：x+2y-3=0与平面 Y:2y+z+1=0的交线，则直线1与平面所成角的正弦值为() A号 B.② c.3 D.3 2 3 3 二、多选题 30.(24-25高二上湖北鄂州部分高中教科研协作体期中)（多选)在正方体ABCD-A,B,C,D,中，AB=2, AP=xAD+yAA(x,y∈[O,),则() / 函学科网 ww w zxxk com 让教与学更高效 A.若x+y=1,则点P的轨迹为线段AD B若x方 则点P的轨迹为连接棱AD的中点和棱AD中点的线段 C.若x=y,则三棱锥P-A,BC,的体积为定值 D.若y-,则BP与平面ABCD所成角的余弦值的最大值为5 31.(24-25高二上·湖北黄冈普通高中期中)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中，点0为线段BD 的中点，且点P满足BP=2BC+μBB,则下列说法正确的是() D A D以： B A.若2=0,4=1，则D,P/1平面A,BD 1 B.若元=Lu=2则P01平面4BD C.若及=A=分则P到平面48D你距离为行 √6 D.若入=l,0≤4≤1时，直线DP与平面A,BD所成角为O,则sin0∈ 3 ’3 三、解答题 32.(24-25高二上湖北黄冈普通高中.期中)如图，四棱台ABCD-A,B,C,D,中，上、下底面均是正方形，且 侧面是全等的等腰梯形，AB=2A,B,=4,E,F分别为DC,BC的中点，上下底面中心的连线O,O垂直于上下 底面，且O0与侧棱所在直线所成的角为45 D A B D 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求证：B,D/平面C,EF; (2)求点D到平面C,EF的距离； (3)在线段BD,上是否存在点M,使得直线AM与平面C,EF所成的角为45°，若存在，求出线段BM的长； 若不存在，请说明理由 33.(24-25高二上·湖北武汉部分重点中学期中)如图所示，己知斜三棱柱ABC-A,B,C,中，A8=ā，AC=b ,AA=C,在AC,上和BC上分别有一点M和N且AM=kAC,BN=kBC,其中0≤k≤1. B, B B B 图(1) 图(2) (I)求证：M,a,c共面； (2)若IāHbHc=2,AB,=3且∠BAC=∠BB,C=60°，设P为侧棱BB,上靠近点B的三等分点，求直线PC与 平面ACC,A所成角的正弦值. 34.(24-25高二上湖北武汉外国语学校·期中如图，在三棱锥P-ABC中， AC=4,BC=2,AC⊥BC,PA=PB=PC,M,E,F分别是AB,PA,PB的中点 D A B (1)求证：PM⊥平面ABC; (2)若四面体BCEF的体积为1，求PM; (3)在(2)的条件下，若CD=2CP(0<2<1),求直线AD与平面PBC所成角的正弦值的最大值. 35.(24-25高二上·湖北仙桃田家炳实验高级中学.期中如图，在四棱锥P-ABCD中， 专题01 空间向量与立体几何 8大高频考点概览 考点01 空间向量线性运算及基本定理 考点02 空间向量的数量积运算 考点03 空间向量的坐标运算 考点04 异面直线夹角的向量求法 考点05 线面角的向量求法 考点06 面面角的向量求法 考点07 空间距离的向量求法 考点08 （附加）空间几何体的表面积与体积 地 城 考点01 空间向量线性运算及基本定理 一、单选题 1．(24-25高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中)在长方体中，运算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量对应线段的位置关系，结合向量加减法的几何意义求结果. 【详解】如下图示，. 故选：C 2．(24-25高二上·湖北“鄂北联考”·期中)如图，已知空间四边形的中点分别为点，点在线段上，且，则向量表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算知识结合已知条件直接求解即可. 【详解】解： ， 故选：A 3．(24-25高二上·湖北恩施州高中教育联盟·期中)在平行六面体中，为上靠近点的三等分点，为的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算法则求解即可. 【详解】如图，连接，并作的中点， 由题意得， 因为为上靠近点的三等分点，为的中点， 所以，故A正确. 故选：A 4．(24-25高二上·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)如图，在正四棱台中，.直线与平面EFG交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，通过四点共面，即可求解. 【详解】依题意，，在四棱台中， ， 设，则四点共面， . 故选：A 二、填空题 5．(24-25高二上·湖北黄冈普通高中·期中)已知空间向量，若共面，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】先利用题给条件求得之间的关系，再利用二次函数即可求得的最小值. 【详解】空间向量， 若共面，则可令， 则 ，解之得 则 二次函数的最小值为，则的最小值为. 故答案为： 三、解答题 6．(23-24高二上·湖北武汉部分重点中学·期中)如图，和是不在同一平面上的两个矩形，，，记，，.请用基底，表示下列向量：    (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】利用空间向量的运算求解即可. 【详解】（1）. （2） . 7．(24-25高二上·湖北孝感一般高中协作体·期中)如图，平行六面体中，与相交于，设，，. (1)用表示； (2)若该平行六面体所有棱长均为1，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合空间向量基本定理，根据空间向量的线性运算表示所求向量. （2）利用空间向量的数量积求向量的模. 【详解】（1）. （2）由题意：，，， ， 所以. 地 城 考点02 空间向量的数量积运算 一、单选题 8．(24-25高二上·湖北宜昌协作体·期中)如图，已知是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且，，若，则（   ）    A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】由向量的线性运算用表示出，再用模长公式计算可得结果. 【详解】因为，所以， 则 ，所以. 故选：B. 9．(24-25高二上·湖北黄冈普通高中·期中)如图所示，在平行六面体中，，则的长为（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】利用空间向量加减的几何意义得到，应用向量数量积的运算律求长度. 【详解】由题设， 所以 ， 所以. 故选：B 10．(24-25高二上·湖北黄冈普通高中·期中)如图，边长为4的正方形ABCD沿对角线AC折叠，使，则三棱锥的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设得且，结合已知条件求得，再利用棱锥体积公式求体积. 【详解】若为正方形的中心，由题设知， 所以，且， 所以，即， 所以，则，则， 所以三棱锥的体积为.    故选：D 二、填空题 11．(24-25高二上·湖北荆门德艺高级中学·期中)已知空间四边形各边及对角线长都相等，分别为的中点，向量与夹角的余弦值 . 【答案】 【分析】根据向量的四则运算，用表示，，再根据数量积的计算公式和运算律求解即可. 【详解】如图，设，，，， 由题意易知，则， 因为，，， 所以， 所以, 所以向量与夹角的余弦值为， 故答案为： 三、解答题 12．(24-25高二上·湖北宜昌协作体·期中)如图，在三棱柱中，，，，点满足.    (1)用表示； (2)若三棱锥的所有棱长均为，求及. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据，可表示出； （2）先确定的模长以及两两之间的夹角，然后根据计算出， 再根据展开计算求得结果. 【详解】（1）因为，所以， 所以. （2）因为三棱锥的所有棱长均为， 所以，所以， 所以， 所以， 所以. 13．(24-25高二上·湖北部分级示范高中·期中)如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为，且.    (1)求的长度； (2)求直线和直线所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，，将用、、表示，利用空间向量数量积的运算性质可求得线段的长度； （2）计算得出，利用空间向量数量积的运算性质可求得直线和直线所成角的余弦值. 【详解】（1）设，，， 由题意可知，，， 由空间向量数量积的定义可得， ， 则， 故. （2）， 则， ，则. 故直线和直线所成角的余弦值为. 地 城 考点03 空间向量的坐标运 一、单选题 14．(24-25高二上·湖北宜昌协作体·期中)已知向量，，且，则（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】根据向量垂直列方程，由此求得的值. 【详解】因为，故，即. 故选：C 15．(24-25高二上·湖北孝感一般高中协作体·期中)，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的坐标运算求得正确答案. 【详解】. 故选：B 16．(24-25高二上·湖北楚天教科研协作体·期中)若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的定义计算. 【详解】由于空间向量，， 则向量在向量上的投影向量为 . 故选：. 17．(24-25高二上·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)已知，，，则在方向上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据坐标写出对应向量坐标，再应用投影向量的定义求在方向上的投影向量即可. 【详解】由题设，，， 在方向上的投影向量为. 故选：D 18．(24-25高二上·湖北云学部分重点高中·)已知空间向量，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量垂直，数量积为0求参数的值. 【详解】因为，且， 所以. 故选：C 19．(24-25高二上·湖北武汉重点中学5G联合体·期中)已知P为棱长为1的正方体的内切球表面一动点，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图建立坐标系，可将转化为在方向上的投影向量长度的倍，结合图形可得答案 【详解】如图以A为原点，分别为x，y，z轴建系， 则， 则，又， 则. 表示在方向上的投影向量的长度. 如图当P在G或F时，即当A，O，P共线时，取最值. 因，内切球半径为.则, 则，则. 故选：B    20．(24-25高二上·湖北武汉部分重点中学·期中)现有一段底面周长为厘米和高为15厘米的圆柱形水管，AB是圆柱的母线，两只蚂蚁分别在水管内壁爬行，一只从A点沿上底部圆弧顺时针方向爬行厘米后再向下爬行5厘米到达P点，另一只从B沿下底部圆弧逆时针方向爬行厘米后再向上爬行4厘米爬行到达Q点，则此时线段PQ长（单位：厘米）为（   ） A． B．12 C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件建系结合弧长得出角及点的坐标，最后应用空间向量两点间距离计算. 【详解】应用圆柱的特征取上下底面的圆心连线为轴，BO所在直线为y轴， 再过作的垂线为轴，如图建系， 过向圆作垂线垂足为，，设圆半径为，所以， 设，所以圆弧的长度为：，， 则， 同理，过向圆O作垂线垂足为，则， 所以. 故选：B. 二、多选题 21．(24-25高二上·湖北部分名校·期中)在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（   ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 【答案】AC 【分析】利用空间向量的坐标表示，再结合空间向量的坐标运算逐项分析判断得解. 【详解】由，，得， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，由，，得，解得，C正确； 对于D，由且，得，无解，D错误. 故选：AC 三、填空题 22．(24-25高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中)对于任意实数，的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据目标式的几何意义是空间任意点到定点距离的和，判断距离和最小时的位置，即可得答案. 【详解】由目标式的几何意义为空间任意点到定点距离的和， 要使它们的距离和最小，只需在线段上，此时最小值为. 故答案为： 23．(24-25高二上·湖北仙桃田家炳实验高级中学·期中)已知，，则 ． 【答案】 【分析】由空间数量积的定义求解即可. 【详解】因为，， 则. 故答案为：. 24．(24-25高二上·湖北部分级示范高中·期中)已知向量，向量，若，则为 【答案】/ 【分析】根据空间向量的共线，可得向量之间有倍数关系，由此可得方程组，即可求解答案. 【详解】已知向量，向量， 因为，则， 所以， 即，解得， 所以. 故答案为：. 25．(24-25高二上·湖北鄂州部分高中教科研协作体·期中)已知向量，，若，则 . 【答案】 【分析】利用平行求出的值，根据向量坐标运算求出结果. 【详解】∵，，， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 地 城 考点04 异面直线夹角的向量求法 一、单选题 26．(24-25高二上·湖北“鄂北联考”·期中)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在“鳖臑”中，平面BCD，且，M为AD中点，则异面直线CM与AB所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三棱锥 放入正方体中，建立空间直角坐标系，利用向量求异面直线CM与AB夹角的余弦值. 【详解】由题可知AB、BC、CD两两垂直，且 因此，如图，正方体内三棱锥即为满足题意的鳖臑 ，    以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，正方体棱长为2， 则 ，，， ， 则 ， ， ， 则异面直线CM与AB夹角的余弦值为. 故选：D 27．(24-25高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中)如图所示，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，，利用空间向量数量积的运算律及夹角公式求，即可得答案. 【详解】由，，而且， 则 ， 显然，则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C 二、解答题 28．(24-25高二上·湖北部分普通高中·期中)如图，在棱长为1的正方体中，、分别是棱，上的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求平面与平面夹角的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得两条直线的方向向量，根据向量的夹角公式即可求解异面直线的夹角， （2）求两个平面的法向量，然后利用法向量即可求得面面角的余弦值． 【详解】（1）以为原点，以的方向分别为轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 所以． 故 设直线与所成角为，则 （2）因为，所以． 设平面的法向量为， 则， 令，得． 取平面的一个法向量． 设平面与平面的夹角为， 则， 故， 即平面与平面夹角的正切值为． 地 城 考点05 线面角的向量求法 一、单选题 29．(24-25高二上·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过阅读材料得到平面，，的法向量，由直线包含在，内，得到直线的方向向量与两个平面法向量垂直，求得直线的方向向量，由空间向量求线面角的公式求出线面角的正弦值. 【详解】依题意，平面的法向量为，平面的法向量为，平面的法向量为， 设直线的方向向量为， ，， ∴，令，∴ 直线与平面所成角的正弦值为. 故选：B. 二、多选题 30．(24-25高二上·湖北鄂州部分高中教科研协作体·期中)（多选）在正方体中，，，则（    ） A．若，则点P的轨迹为线段 B．若，则点P的轨迹为连接棱的中点和棱中点的线段 C．若，则三棱锥的体积为定值 D．若，则与平面所成角的余弦值的最大值为 【答案】BC 【分析】以点A为坐标原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出点P的坐标，可判断AB选项；利用空间向量法求点到面的距离和线面角的余弦值可判断CD选项. 【详解】以点A为坐标原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则， ， 对于A选项，当，时，则三点共线， 即点P的轨迹为线段，A错； 对于B选项，若，即点， 此时，点P的轨迹为连接棱的中点和棱中点的线段，B对； 对于C选项，若，即点，其中， ，设平面的法向量为， 则，取，可得， 又，则点P到平面的距离为为定值， 因为的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，C对； 对于D选项，若，则，其中， 易知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为，则， 当时，取最小值，此时取最大值，且， 则， 因此当时，则与平面所成角的余弦值的最大值为，D错. 故选：BC. 31．(24-25高二上·湖北黄冈普通高中·期中)如图，在棱长为2的正方体中，点为线段BD的中点，且点满足，则下列说法正确的是（    ） A．若，则平面 B．若，则平面 C．若，则到平面的距离为 D．若时，直线DP与平面所成角为，则 【答案】ABD 【分析】根据各项参数确定的位置，分别应用线面平行的判定定理判断A；线面垂直的判定定理判断B；由到平面的距离，即为到平面的距离的一半，几何法求点面距离判断C；应用向量法求线面角，进而求范围判断D. 【详解】A：，即重合，故即为，又，即， 由面，面，则面，对； B：，易知为的中点，此时，且 所以，故，即， 根据正方体的结构特征，易得， 若为的中点，则，又，则， 显然面，面，则， 由且在面内，则面，面，则， 所以，又都在面内，则面，对； C：，即是面的中心， 易知到平面的距离，即为到平面的距离的一半， 根据正方体的结构特征，为正四面体，且棱长为， 所以到平面的距离， 所以到平面的距离为，错； D：，则在线段上运动，如图构建空间直角坐标系， 所以，且，故， 令面的一个法向量为，且， 所以，令，则， 故，令，则， 所以，， 故，对. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：根据各项参数值确定对应点的位置为关键. 三、解答题 32．(24-25高二上·湖北黄冈普通高中·期中)如图，四棱台中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，分别为DC，BC的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为.    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为，若存在，求出线段BM的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)或. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，判断即可； （2）应用向量法求到平面的距离即可； （3）假设在上存在点，且，，结合线面角正弦值列方程，求参数即可； 【详解】（1）由题设，得四棱台为正四棱台，可建立如图所示空间直角坐标系，    故， 所以， 若平面的一个法向量为，则， 令，则，显然，而面， 所以面； （2）由（1）知：，所以到平面的距离为 （3）假设在上存在点，且，， 则， 直线与平面所成的角为，故， 所以，即，可得或， 时，，则， 时，，则， 综上，长为或. 33．(24-25高二上·湖北武汉部分重点中学·期中)如图所示，已知斜三棱柱中，，，，在上和BC上分别有一点和且，，其中． (1)求证：，，共面； (2)若，且，设为侧棱上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明三个向量共面，根据平面向量共面定理，即证明，且； （2）通过建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，即可求得. 【详解】（1）因为， ， 所以． 由共面向量定理可知，，，共面． （2）取BC的中点为，在中，，， 由余弦定理可得， 所以，依题意，均为正三角形，所以，， 又，平面，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面，所以在平面内作，则平面， 以OA，OC，Oz所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图所示： 则，，，，，， 设是平面的一个法向量， ，， 则，即，取得， 依题意可知， 则． 设直线与平面所成角为， 则． 故直线与平面所成角的正弦值为． 34．(24-25高二上·湖北武汉外国语学校·期中)如图，在三棱锥 中， 分别是 的中点. (1)求证: 平面 ； (2)若四面体的体积为 ，求； (3)在（2）的条件下，若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明，可证线面垂直； （2）由已知四面体体积求得体积，再由体积公式可得； （3）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求线面角． 【详解】（1）.的中点为，则. . ，则， 故，即. 因为，，平面，平面， 所以平面. （2）因为，所以. 而， 所以，解得：. （3）过作轴垂直平面，以方向分别为 则， ， 设平面法向量为 由得， 所以为平面的一个法向量， 设与平面所成角为， 所以 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 35．(24-25高二上·湖北仙桃田家炳实验高级中学·期中)如图，在四棱锥中，，，点为棱上一点． (1)证明：PD⊥平面ABCD； (2)当点为棱的中点时，求直线PB与平面所成角的正弦值； (3)当二面角的余弦值为时，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)． 【分析】（1）由勾股定理证得，再由线面垂直的判定定理即可证得； （2）由条件如图建立空间直角坐标系，先求平面的法向量，再利用公式求解； （3）设 ，分别求平面的法向量是和平面的法向量，利用公式，求点的位置. 【详解】（1）证明：因为， 所以，，所以 又，且 所以. （2）由（1）可知两两垂直，以为原点，以所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 当点为棱的中点时，． 设平面的一个法向量， 则即取， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． （3）由（2）可知， 设，则， 设平面的一个法向量， 则，即 令，解得，故， 设平面的一个法向量为， 由，得令，解得， 故， 所以， 即，整理，得， 解得或（舍去）． 故． 36．(24-25高二上·湖北部分级示范高中·期中)如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，平面，. (1)若平面平面，求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)若是线段上动点，为中点，试确定点的位置，使得直线与平面所成角最大，并求出该最大角. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，最大角为 【分析】（1）先证明平面，再证明即可得证； （2）计算出平面的法向量，而平面的一个法向量为，两个法向量的夹角即为所求二面角； （3）设，求出与平面的夹角的正弦值为，再经过适当变形结合二次函数的性质得出最大值及取得最大值的条件. 【详解】（1）因为平面，平面，所以，， 因为，所以， 又因为平面，，所以平面， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面平面，所以， 又因为平面，所以平面. （2）以为原点，分别为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， ，， 设平面的法向量为，则有，取，则， 因为平面，所以平面的一个法向量为， ，所以与平面所成角的余弦值为. （3），，设，则，，设平面的法向量为， 则有，取，则，，则与平面的夹角的正弦值为， 设，则， 当时，取得最大值，所以的最大值为， 所以当点满足时，与平面的夹角的最大值为. 地 城 考点06 面面角的向量求法 37．(24-25高二上·湖北楚天教科研协作体·期中)如图，三棱锥中，，为BC的中点.      (1)证明：; (2)点N满足，求平面APB与平面PBN夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面PMA，进而证得；另外，也可以根据空间向量的数量积运算证明； （2）求出平面APB与平面PBN的法向量，利用面面角的向量公式求解即可. 【详解】（1）法一：连接MP，MA，因为为BC中点，又，所以， 因为，所以与均为等边三角形， 所以，从而， 又平面PMA， 所以平面PMA，而平面PMA， 所以. 法二：依题意， 所以. 又， 所以，， 所以. （2）依题意，，由及得，， ，， 又且平面ABC， 平面ABC. 以点M为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，   ， ， 所以，即有. 设平面PAB与平面PBN的一个法向量分别为, 设平面APB与平面PBN夹角为， 由，得，取，则； 由，得，取，则； 所以， 故平面APB与平面PBN夹角的余弦值为. 38．(24-25高二上·湖北黄冈普通高中·期中)如图，在四棱锥中，平面为PD的中点. (1)若，证明：； (2)若，求平面ACE和平面ECD的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由线面垂直的判定及性质定理证、，结合直角三角形性质即可证结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值. 【详解】（1）由平面，平面，则，， 而，且都在面内，则面， 由面，则，即均为直角三角形，且为斜边， 由为PD的中点，故，得证. （2）由题意，易知为直角梯形，且，，且平面， 以为原点，建立如下图示空间直角坐标系，则， 所以， 若分别是面、面的法向量， 则，令，则， 且，令，则， 所以，故平面ACE和平面ECD的夹角余弦值为. 39．(24-25高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中)如图，直三棱柱的体积为1，的面积为． (1)求点A到平面的距离； (2)设D为的中点，，平面⊥平面，求二面角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可得三棱锥的体积为，由等体积法运算即可得解； （2）由垂直关系可得平面，求相应长度，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解. 【详解】（1）因为直三棱柱的体积为1，则三棱锥的体积为， 设点A到平面的距离为，则， 即，解得， 所以点A到平面的距离为. （2）过作，垂足为， 又平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 在直三棱柱中，平面， 由平面，平面，可得，， 又因为平面且相交，所以平面， 所以两两垂直， 设，则， 由的面积可得， 即，解得， 即，， 又因为的面积为，解得， 以B为原点，建立空间直角坐标系，如图， 则， 则，， 设平面的一个法向量，则， 令，则，可得， 设平面的一个法向量，则， 令，则可得， 则， 设二面角为，则，可得 所以二面角的正弦值为. 40．(24-25高二上·湖北十堰六县区一中教联体·)如图1，在梯形中，为的中点，与交于点.将沿折起到的位置，得到三棱锥，使得二面角为直二面角（如图2）.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）证明，根据直线和平面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，计算法向量之间夹角的余弦值，即可得到二面角的大小； （3）假设存在点满足题意，设，分别求出平面和平面的法向量，根据其法向量垂直，数量积为零列方程解的值得到答案. 【详解】（1）证明：在梯形中，因为为的中点， 所以，连接，所以四边形为平行四边形， 因为，所以为的中点，所以. 因为平面平面，所以平面. （2）在平行四边形中，因为， 所以四边形为菱形，所以， 所以在三棱锥中，. 因为平面平面，所以即为二面角的平面角， 所以，即. 如图所示，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，    则，所以. 设平面的一个法向量为， 则，令，得. 易知平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面的夹角的大小为. （3）假设在线段上存在点，使得平面平面， 设，因为，所以， 所以， 易知. 设平面的一个法向量为， 则，令，得. 设平面的一个法向量为， 则，令，得. 由，解得， 所以当为线段的中点时，平面平面，此时. 41．(24-25高二上·湖北部分名校·期中)图1是边长为的正方形ABCD，将沿AC折起得到如图2所示的三棱锥，且．    (1)证明：平面平面ABC； (2)点M是棱PA上的点，且，求平面PBC与平面MBC的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）取中点为，连接，利用勾股定理证明，再结合，即可由线线垂直证明线面垂直； （2）根据（1）中所证，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得的坐标，以及两个平面的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【详解】（1）由于正方形ABCD的边长为，所以， 取AC的中点O，连接PO，BO， 由题意，得，再由，可得，即． 由题易知，又，面，所以平面ABC， 又平面PAC，所以平面平面ABC． （2）由（1）可知，，且， 故以OC，OB，OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．    则，，，． 所以，，， 由题意知，则．可得． 设平面MBC的法向量为，则， 令，则，可得； 设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 则， 所以平面PBC与平面MBC的夹角的余弦值. 42．(24-25高二上·湖北恩施州高中教育联盟·期中)如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是的中点． (1)求证：平面． (2)求平面与平面夹角的余弦值． (3)在棱上是否存在一点，使直线平面？若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）在平面中，构造与平行的直线，即可由线线平行推出线面平行； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面与平面的法向量，利用向量的数量积求平面的夹角即可； （3）设，用参数表示，根据与平面的法向量平行，即可求得，进而求得的长度. 【详解】（1）证明：连接，交于点，连接． 因为是的中点，是的中点， 所以，又平面平面， 所以平面． （2）如图，以的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 即，则． 设平面的法向量为，则 令，得，所以可取． 易知平面的一个法向量为． 设平面和平面的夹角为， 则， 所以平面和平面夹角的余弦值为． （3）由（2）知， 则， ． 由（2）知平面的一个法向量可为， 根据题意可得：，即，解得， 又当时，，，则BF的长为． 综上所述，棱上存在一点，使直线平面，且BF的长为. 43．(24-25高二上·湖北“鄂北联考”·期中)如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，是斜边为AD的等腰直角三角形，    (1)求证：平面 (2)求PB与平面PCD所成角的正弦值； (3)在棱PB上是否存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得平面PAD，再由线面垂直的判定定理可得证； （2）利用空间向量法求线面角； （3）设利用空间向量的数量积，求解，推出结果. 【详解】（1）平面平面ABCD，平面平面 平面ABCD，， 平面PAD， 平面， 又且，PA、平面平面PAB； （2）取AD中点为O，连接PO、CO， 又， 则， ，则， 以O为坐标原点，分别以所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ， 设为平面PCD的一个法向量， 由，得，令，则， 设PB与平面PCD所成角的角为， （3）假设在棱PB上存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为， 由可知，， ，设 设为平面ADM的一个法向量， 由得， 则， 易知平面ABCD的一个法向量为， 设平面ADM与平面ABCD的夹角为 ， ， 44．(24-25高二上·湖北云学部分重点高中·)如图，由等腰与直角梯形组成的平面图形，已知，，，，，现将沿折起，使其成四棱锥，且. (1)证明：平面平面； (2)求二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理与线面的判定定理证得平面，再利面面垂直的判定与性质定理，结合线面垂直的性质定理证得平面，进而得证； （2）根据题意建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，求出平面法向量，利用空间向量法求二面角，结合三角函数的基本关系式即可得解. 【详解】（1）在中，，， ， 又，，， ，又，平面， 平面，平面，平面， 所以平面平面，平面平面， 取中点，连， 则，又平面平面，平面， 平面，取中点，连，， 则，，四边形为平行四边形， ，平面， 又平面，平面平面； （2）由（1）知以为原点，，分别为轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 设平面的法向量为， ，，， ，即， 令，则，设平面法向量， 则，即， 令，则， ，则， ， 由图形可知二面角为锐角，故二面角的正切值为. 45．(24-25高二上·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”·期中)在如图所示的四棱锥中，底面是梯形，且面，为的中点. (1)若，证明：平面； (2)已知，斜线和平面所成角的正切值为2，求平面和平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平面可得，由条件可得，从而，由线面垂直的判定定理可证出结论； （2）以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 【详解】（1）因为平面平面， 可知， 在中，为的中点，则， 因为，所以，所以，即， 又因为平面平面，所以平面. （2）由题意可知：平面， 所以是斜线在平面上的射影，即为和平面所成的角， 在中，，所以. 又因为，故两两垂直， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量为， 则，即，可取 设平面的法向量为， 则，即，可取； 从而可知， 所以平面和平面的夹角的余弦值为. 46．(24-25高二上·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)如图，在四棱锥中，为等边三角形，，为的中点. (1)求证：平面平面； (2)若点在线段上运动（不包括端点），设平面平面，当直线与平面所成角取最大值时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：连，又， 即， 均为等边三角形，， 所以四边形为菱形． 取中点，连. 为等边三角形，， 又，即， 又平面. 平面. 又平面平面平面. （2）解：平面平面平面PCD又平面平面， 建立如图的空间直角坐标系， 易得， ， 令， ，令平面法向量为， ， 令，可得：， 即 ， ， 令 ， 当， ， 所以平面的法向量， ， 设平面的法向量， 令，， 得 设二面角的夹角为， 47．(24-25高二上·湖北荆州沙第一中学·期中)如图，在四棱锥中，底面是正方形，边长是，侧棱底面，，是的中点，作交于点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求平面与平面的夹角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，利用中位线可证线线平行，进而可证线面平行； （2）根据线面垂直及正方形可证平面，即，再由，可得证； （3）建立空间直角坐标系，利用坐标法可得平面的法向量，进而可得面面角. 【详解】（1）连接，设，连接， 则为中点， 又是的中点， ， 又平面，平面， 平面； （2）底面，底面， ， 又是正方形， ， 又，平面，且， 平面， 平面， ， ， ， ，平面，， 平面， 平面， ， ，且，，平面， 平面； （3）由（2）得平面，则平面， 所以可以点为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 即，，， 设平面的法向量， 则，令，则， 设平面的法向量， 则，令，则， 所以， 即平面与平面夹角余弦值为， 所以平面与平面夹角为. 48．(24-25高二上·湖北部分名校·期中)如图，在多面体ABCDPQ中，底面ABCD是平行四边形，，，M为BC的中点，，，．    (1)证明：； (2)若平面PCD与平面QAB夹角的余弦值为，求多面体ABCDPQ的体积． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据余弦定理求解，即可求证，进而根据线线垂直可证明线面垂直，即可得线线垂直； （2）设，建立空间直角坐标系，利用空间向量结合面面夹角可得，根据体积公式，结合棱柱与棱锥的体积关系求体积即可. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得， 所以，所以， 所以． 又因为，平面, 所以平面,平面． 所以． 由于,所以四边形为平行四边形，所以． 又，所以， 所以． （2）因为，所以， 又，平面，所以平面． 取中点，连接，设． 建立如图所示的空间直角坐标系，    则，． 则， 则平面的一个法向量．则， 令，则，可得； 设平面的一个法向量，则， 令，则，可得； 则，解得， 设多面体的体积为， 则 ， 所以多面体ABCDPQ的体积. 49．(24-25高二上·湖北部分普通高中·期中)在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记． (1)求的长（用表示）； (2)为何值时，的长最小？ (3)当平面与平面夹角时．求的长． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】． （1）以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，求得、、、、、的坐标，直接由两点间的距离公式可得； （2）把（1）中求得利用配方法求最值； （3）求出两平面的法向量，根据面面夹角列方程求出参数，然后代入（1）可得． 【详解】（1）因为，为正方形，所以， 又平面平面，所以， 如图建立空间直角坐标系， ，， ， ， 分别作，垂足分别为， 易知， 因为，由相似比可得， 所以， ． ； （2）， 当时，最小，最小值为； （3）， 设平面与平面的法向量分别为， 则， ， 令，得， 令，， 因为平面与平面夹角， 所以， 即，解得（增根已舍去）， 所以此时. 50．(24-25高二上·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”·期中)球面几何学是非欧几何的例子，是在球表面上的几何学.对于半径为的球，过球面上一点作两条大圆的弧，，它们构成的图形叫做球面角，记作（或），其值为二面角的大小，其中点称为球面角的顶点，大圆弧称为球面角的边.不在同一大圆上的三点，可以得到经过这三点中任意两点的大圆的劣弧，这三条劣弧组成的图形称为球面，这三条劣弧称为球面的边，三点称为球面的顶点；三个球面角称为球面的三个内角. 已知球心为的单位球面上有不同在一个大圆上的三点. (1)球面的三条边相等（称为等边球面三角形），若，请直接写出球面的内角和（无需证明）； (2)与二面角类比，我们称从点出发的三条射线组成的图形为三面角，记为.其中点称为三面角的顶点，称为它的棱，称为它的面角.若三面角的三个面角的余弦值分别为. ①求球面的三个内角的余弦值； ②求球面的面积. 【答案】(1) (2)①，，；② 【分析】（1）通过已知条件直接证明三个平面两两垂直，然后由球面角的定义即可得出； （2）使用空间解析几何方法求出球面的三个球面角，再证明球面球面的面积，即可得到结果. 【详解】（1）由可知在两个互相垂直（即交点处切线垂直）的大圆上， 从而，故， 设，则， 从而，注意到到直线的距离均为，故， 所以由知，所以，即， 这得到， 从而，又在两个互相垂直的大圆上， 故， 从而两两垂直， 从而由在平面内交于点，可知垂直于平面， 而在平面和平面内， 故平面垂直于平面，同理平面垂直于平面， 平面垂直于平面，所以三个平面两两垂直， 故由球面角的定义知， 所以球面的内角和是. （2）①由已知条件，可设， 如图，以为原点，构建空间直角坐标系，则，不妨设， 设，则由可知 ； ； ， 故， 不妨设，则，所以有， 设平面的法向量分别为，并设， 则即， 从而，故可以取 所以我们有 ， ， ， 故球面的三个内角的余弦值分别为. ②先证明一个引理. 引理：若在单位球面上的球面的三个球面角， 设该球面的面积为，则， 引理的证明： 记球的表面积为，则， 设的对径点分别为， 则所在的大圆和所在的大圆， 它们将球面分成了四个部分， 其中面积较小的两个部分的面积之和等于球的表面积的倍， 即，类似可定义，且同理有， 而根据球面被这三个大圆的划分情况，又有， 所以， 故， 引理得证， 回到原题，根据①的结论，有， 再由引理知球面的面积. 【点睛】结论点睛：球面的面积求解定理： 若球面的三个球面角，设该球面的面积为，则. 地 城 考点07 空间距离的向量求法 一、单选题 51．(24-25高二上·湖北部分名校·期中)已知点，平面，其中，则点到平面的距离是（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用空间向量求出点到平面的距离. 【详解】由平面，得是平面的法向量，点在平面内， ，所以点到平面的距离是. 故选：C 52．(24-25高二上·湖北宜昌协作体·期中)在正三棱锥P-ABC中，，且该三棱锥的各个顶点均在以O为球心的球面上，设点O到平面PAB的距离为m，到平面ABC的距离为n，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据长度关系先证明出两两垂直，然后通过补形法求解出的值，再通过向量法求解出的值，则结果可知. 【详解】在正三棱锥中，，又，， 所以，所以， 同理可得，，即两两垂直， 把该三棱锥补成一个正方体，则三棱锥的外接球就是正方体的外接球， 正方体的体对角线就是外接球的直径，易得， 如图，建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，所以， 则点到平面的距离，所以， 故选B.      【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点有两个，一方面是能通过给定的长度关系确定出位置关系，同时能利用补形法完成计算，另一方面是能利用向量方法求解出点到面的距离. 二、多选题 53．(23-24高二上·湖北云学名校联盟·期中)如图所示，正方体的棱长为1，、、分别为、、的中点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与直线所成角的余弦值为 B．点到距离为 C．直线与平面平行 D．三棱锥的体积为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式计算A；利用点到直线距离公式计算B；利用线面平行的判定定理判定C；借助C中的线面平行，利用等体积法判定D. 【详解】在棱长为1的正方体中，建立以为原点， 以，，所在的直线为轴、轴、轴的空间直角坐标系， 如图所示： 因为、、分别为、、的中点， 则、、、， 对于A，，，， 设直线与直线所成角为， 所以，故A正确； 对于B，，， 所以，， 所以， 所以点到AF距离为，故B错误； 对于C，连接、，， 在正方体中，因为、分别为、的中点，则， 又易得，所以，故、、、四点共面， 又因为且，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面，故C正确； 对于D，因为平面， ∴，故D正确. 故选：ACD 54．(24-25高二上·湖北“鄂北联考”·期中)已知正方体中，三棱锥的体积为，线段，BC的中点分别为E，F，动点M在直线上，动点N在下底面内含边界，且，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．动点N的轨迹长度为 C．不存在点N，使得平面DEF D．点N到平面DEF的距离的最大值为 【答案】BC 【分析】A通过判断与所在的平面关系可判断选项正误； B由题可得，可得动点N的轨迹图形，即可判断选项正误； C如图建立以为坐标原点的空间直角坐标系，后由空间向量知识可判断选项正误； D由BC选项分析结合空间中点到平面距离公式可判断选项正误. 【详解】解：对于A，因为为等腰三角形，面积是定值， 动点M在直线上，不平行所在的平面， 点M到面的距离不是定值. 三棱锥的体积为定值，故A错误. 对于B，因为三棱锥的体积为， 设正方形边长为a，所以，故. 因为，则EN，而， 故 ， 故动点N的轨迹为以为圆心，为半径的圆在底面内的部分，即四分之一圆弧， 故所求轨迹长度为，故B正确. 对于C，以为坐标原点，、、所在直线分别为 x、y、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，故， 设为平面DEF的法向量，则 令，故为平面DEF的一个法向量， 设，故， 若平面DEF，则，则，解得，但， 所以不存在点N，使得平面DEF，故C正确. 对于D，由BC选项分析，点N到平面DEF的距离 令，则， 则，故D错误. 故选：BC 三、填空题 55．(24-25高二上·湖北宜昌协作体·期中)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若，则直线BD1与CD之间的距离为 . 【答案】 【分析】求得与，都垂直的一个向量，利用可求直线与之间的距离. 【详解】以为轴，为轴，为轴建立空间直线坐标系，    则，，， 设与，都垂直的一个向量， 则，取，则，， 所以与BD1，CD都垂直的一个向量， 所以直线与之间的距离为. 故答案为： 56．(24-25高二上·湖北孝感一般高中协作体·期中)棱长为4的正方体中，分别是平面和平面内动点，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】取点关于平面的对称点为，设点到平面的距离为，可得，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出点到平面的距离即可求解. 【详解】取点关于平面的对称点为， 设点到平面的距离为，则， 所以， 以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为4，且， 所以， ， 设平面的法向量为， 则， 取，则，则， 所以点到平面的距离. 即的最小值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：处理空间几何体中的距离之和的最值问题的方法： （1）借助参数表达，转化为函数最值求解； （2）利用展开图，将空间距离之和转化为平面距离之和，再利用两点之间线段最短求解； （3）借助对称，化线（面）的同侧为线（面）的异侧，转化为两点间的距离（点线距、点面距）求解. 四、解答题 57．(24-25高二上·湖北孝感一般高中协作体·期中)如图，在四棱锥中，平面与底面所成角为，四边形是梯形，． (1)证明：平面平面； (2)若点是的中点，点是的中点，求点到平面的距离． (3)点是线段上的动点，上是否存在点，使平面，若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)存在点，当时，满足平面. 【分析】（1）利用线面垂直性质以及勾股定理，再根据面面垂直判定定理证明即可得出结论； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用点到平面距离的向量求法即可得出结果； （3）设，可得，再由线面垂直列出关于的方程组即可得结果. 【详解】（1）由平面与底面所成角为，即， 所以，又，所以； 因为四边形是梯形，，，可得； 又可得， 因此满足，可得； 由平面，平面，可得， 易知平面， 可得平面，又平面， 因此平面平面； （2）根据题意以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 易知， 由点是的中点，点是的中点，， 即， 设平面的一个法向量为， 所以，解得，令，可得； 可得, 而，所以点到平面的距离为； 即点到平面的距离为. （3）由点是线段上的动点，可设， 即，所以； 因此， 设，又，因此可得； 又， 若平面，可得， 解得； 可得， 即存在点，当时，满足平面. 地 城 考点08 （附加）空间几何体的表面积与体积 一、单选题 58．(24-25高二上·湖北恩施州高中教育联盟·期中)若圆锥的表面积为，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆锥表面积公式可得母线长，即可得圆锥的高，然后可得圆锥体积. 【详解】设圆锥底面圆半径为r，母线长为l，高为h. 由题，，则. 则圆锥体积为. 故选：C 59．(24-25高二上·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”·期中)若圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球），且母线与底面所成角的余弦值为，则此圆台的表面积与其内切球的表面积之比为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据含内切球的圆台轴截面中的几何性质求出上下底面半径与内切球半径的关系，再应用圆台、球体表面积求法求结果. 【详解】设上、下底面半径分别为、，如图，取圆台的轴截面，作，垂足为，    设内切球与梯形两腰分别切于点，知， 由题意知：母线与底面所成角为，则，可得， 即，得，则内切球的半径， 所以圆台表面积，球的表面积 所以. 故选：C 60．(24-25高二上·湖北楚天教科研协作体·期中)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出球的半径，再根据球的表面积公式（为表面积，为半径）来求解.通过构造直角三角形等方法来求出球半径. 【详解】对于正三棱台，设上底面所在圆面半径为，下底面所在圆面半径为. 对于正三角形，其外接圆半径与边长的关系为. 上底面边长，则. 下底面边长，则.   设球心到上下底面的距离分别为，，球的半径为 因为正三棱台的高，且. 根据和. 设，则或. 由和可得： ,解得. 把代入，得.   根据球的表面积公式. 把代入可得.   故该球的表面积为. 故选：A. 61．(24-25高二上·湖北武汉外国语学校·期中)已知三棱锥中，平面，则此三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形外接圆半径求法求底面的外接圆半径，再由平面，根据线面垂直模型求外接球半径，进而求球体面积. 【详解】由题设，底面的外接圆半径， 又平面，且，则三棱锥的外接球半径， 所以外接球表面积为. 故选：B 二、多选题 62．(24-25高二上·湖北楚天教科研协作体·期中)在棱长为2的正方体中，为侧面正方形的中心，点为平面ABCD上的一点，则下列说法正确的有（   ） A．若点P在棱BC上运动，则三棱锥的体积为定值 B．若点在棱BC上运动，则最小值为 C．若点满足，则动点的轨迹是一条直线 D．若点满足，则的面积最小值为 【答案】ACD 【分析】根据正方体性质及线面平行的判定证平面，判断A；将平面展开与底面ABCD共面，即可判断B；利用线面垂直的判定及性质定理判断C、D项中的位置即可判断. 【详解】A，由，面，面，则平面， 所以直线BC上任意一点到平面的距离都相等，而的面积为定值，正确; B，若将平面展开与底面ABCD共面，此时错误； C，由面，面，则，又， 由且都在面内，则平面，只需面， 则恒有，所以的轨迹为直线AB，正确； D，如图，取AB中点F，BC中点，易证， 所以，易得， 而面，面，则， 又且都在面内，得平面， 由平面，所以， 在等腰中且为中点，得， 且都在面内，所以平面， 所以，只需平面，恒有，即在直线FC上运动， 由得，当为DG与CF的交点，时，的面积最小值为，正确. 故选：ACD 63．(24-25高二上·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内的一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（   ） A．的最小值为 B．当与垂直时，直线与平面所成的角的正切值为 C．三棱锥体积的最小值为 D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 【答案】ABC 【分析】将平面和平面展开到一个平面内，求得即可得结论判断A；与平面ABCD所成的角即与平面所成的角，求解可判断B；面积最小时，体积最小，求解可判断C；当在处时，三棱锥的体积最大时，求得外接球半径可判断D． 【详解】如图，令中点为中点为，连接MN， 又正方体中，为棱的中点，可得， 平面平面，又， 且平面平面平面， 又平面，且平面平面， 又为正方形内一个动点（包括边界），平面平面，而平面平面，的轨迹为线段， 对A，将平面和平面展开到一个平面内，的最小值即点和点连线的距离，由题意易得， 所以，从而可得取最短距离时，是的中点，且， 又，所以，所以，故A正确； 对B，的轨迹为线段与平面ABCD所成的角即与平面所成的角， F点到平面的距离为点在平面的射影P在上靠近点的四等分点， ，故直线与平面ABCD所成的角的正切值为，故选项B正确； 对C，由正方体侧棱底面， 所以三棱锥体积为， 所以面积最小时，体积最小，如图，， 易得在处时最小，此时，所以体积最小值为，故选项C正确； 对D，如图，当在处时，三棱锥的体积最大时， 由已知得此时，所以在底面的射影为底面外心， ，所以底面为直角三角形， 所以在底面的射影为中点，设为，如图，设外接球半径为， 由，可得外接球半径，其外接球的表面积为，故选项D错误． 故选：ABC. 64．(24-25高二上·湖北武汉外国语学校·期中)在棱长为 的正方体 中， 为 的中点，为平面 上的一动点，则下列选项正确的是（    ） A．二面角 的平面角的正切值为 B．三棱锥 体积为 C．以点 为球心作一个半径为 的球，则该球被平面 所截的圆面的面积为 D．线段 的最小值为 【答案】ACD 【分析】设交于点，证明是二面角的平面角，计算其正切判断A，由体积公式计算体积判断B，设交于点，证明平面，由球性质得为截面圆圆心求出半径后再计算圆面积判断C，作出点关于平面的对称点，建立空间直角坐标系，计算的长判断D． 【详解】如图，设交于点， 平面，平面，则，同理， 又，，平面， 所以平面，而平面，所以， 所以是二面角的平面角， 由已知，， 所以，A正确； 由正方体性质知，B错； 如图，设交于点，由且得， 即，， 由平面，平面，得，同理可得， 而，平面，所以平面， （易得实际上等边是的中心） 以点为球心作一个半径为的球，则该球被平面所截的圆面， 为圆心，设是圆周上一点，则， 圆面积为，C正确； 延长至点，使得，则，即是关于平面的对称点， 因此，当且仅当是与平面的交点时，等号成立， 以为原点，o 轴建立空间直角坐标系，如上图， 则，，，∴， ，D正确． 故选：ACD． 65．(24-25高二上·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”·期中)某四面体的棱中恰好有一条的长度大于2，则此四面体的体积可能是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】ABC 【分析】设到底面的高为，在中，到的距离为，则，可得，从而，同理点到的距离，，求出四面体的体积，利用基本不等式求出，得解. 【详解】设四面体，棱，而其余每条棱长都小于等于2， 设到底面的高为，在中，到的距离为，则. 若是的高，则中有一条的长度，（设的长为）. 于是，从而. 类似的，在中，点到的距离小于等于， 所以. 所以，. 故选：ABC. 三、填空题 66．(24-25高二上·湖北云学部分重点高中·)已知圆台上、下底面半径分别为1和2，母线与底面所成角为，则圆台的外接球体积与圆台体积之比为 . 【答案】 【分析】根据题意结合轴截面可知，即可得圆台的体积，根据圆台的结构特征列式求球的半径和体积，即可得结果. 【详解】由题意可知：上底面半径，下底面半径， 由轴截面可知：，可知， 可得圆台的体积， 设外接球的半径为， 则，即，解得， （假设球心在圆台内，则，此时无解） 可得球的体积， 所以. 故答案为： 67．(24-25高二上·湖北楚天教科研协作体·期中)三棱锥中，，，，直线BD与AC所成的角为，则该三棱锥的体积为 . 【答案】 【分析】根据和的数量积求出的长，可知平面，即可求出三棱锥的体积. 【详解】依题可知，△，△均为直角三角形，其中，， 则在△中，，即， 在△中，，即， 所以 ， 所以，， 所以，， 又因为，平面，且，，， 所以平面， 所以， 故答案为：. 68．(24-25高二上·湖北武汉重点中学5G联合体·期中)已知四棱锥的底面是平行四边形ABCD，过棱PC的中点和点作一平面，分别交棱PB和PD于点和. ①设，则 .（用向量表示） ②记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】①根据向量加法的平行四边形法则可得，从而得解； ②设,利用空间向量基本定理中的推论四点共面得到, 设,利用体积分割转化将表示为然后利用得到的关系将此式转化为关于的函数，适当整理，利用对勾函数的单调性即可求得其取值范围. 【详解】根据题意，底面是平行四边形ABCD， 所以，即得， 如图所示，设， ，又A，M，E，F四点共面，不共面， ， 设，则 ， 由，求得， 当时，取得最小值为，此时，当，或时， 即当或时取得最大值为， 故答案为：，    【点睛】关键点点睛：设,利用空间向量基本定理中的推论四点共面得到, 设,利用体积分割转化将表示为然后利用得到的关系将此式转化为关于的函数，适当整理，利用对勾函数的单调性即可求得其取值范围. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $