精品解析：湖北省十堰市房县第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

2024—2025学年高二（上）学期期中考试 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．回答非选择题时，将答案写在答题纸上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线与轴平行，即可求解. 【详解】，直线与轴平行，故倾斜角为， 故选:A 2. 已知，若，则实数（ ） A. 0或1 B. C. 1 D. 0或 【答案】C 【解析】 【分析】用两直线垂直的充要条件得解. 【详解】若，则， 解得，或. 时，不存在，舍去，故. 故选：C. 3. 如图，在四面体OABC中，，点在线段OA上，且为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算求解即得. 【详解】依题意， . 故选：D 4. 从长度为1，3，6，9，10的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先列举出从长度为1，3，6，9，10的5条线段中任取3条，共有10种取法，再求出取出的三条线段能构成一个三角形的情况有2种，根据古典概型的概率公式即可. 【详解】从长度为1，3，6，9，10的5条线段中任取3条， 可能的情况有： 共有10种可能， 其中，能构成三角形的只有共2种可能， 故这三条线段能构成一个三角形的概率为 故选: 5. 两条平行直线和间距离为，则分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行的性质求，再根据平行线的距离公式求即可. 【详解】因为直线和平行， 所以，解得， 所以两直线分别为和， 所以. 故选：B 6. 已知定点，若直线过定点且方向向量是，直线过定点且方向向量是，直线在轴上的截距是，直线在轴上的截距是，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的坐标以及方向向量分别求解出的方程，由此可求结果. 【详解】因为，即，所以， 因为，即，所以， 所以. 故选：A. 7. 甲乙两人各加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否为加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式计算求得结果. 【详解】恰好有一个一等品的概率. 故选：C. 8. 设定点，当到直线距离最大时，直线与轴的交点，则此时过点且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分析所过的定点，然后根据时距离最大求出的方程，再结合直线位置关系，利用点斜式方程求解即可. 【详解】因为， 令，解得，所以过定点， 当到的距离最大时，， 理由如下： 当时，此时到的距离为， 当不垂直于时，过点作，显然在中，， 所以即为到的最大距离， 此时，所以，所以，即， 令，则，所以， 则过点且与直线垂直的直线方程为，即， 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一个袋子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回的依次随机摸出2个球.设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到红球”，“两个球颜色相同”，“两个球颜色不同”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件A与事件B互斥 B. 事件C与事件D对立 C. 事件A与事件C相互独立 D. 事件B与事件D相互独立 【答案】BCD 【解析】 【分析】列出从袋中不放回地依次随机摸出2个球的所有可能情况，利用古典概型求出相应的概率，结合相互独立事件的判定方法和对立事件的概念，即可求出结果. 【详解】从袋中不放回地依次随机摸出2个球的所有可能情况为： ， ，共有12种， 事件A，B可以同时发生，故事件A与事件B不互斥，故选项A错误； 根据对立事件的概念知，C与D互为对立，故选项B正确； 则， 因为， 且，所以A与C相互独立，故选项C正确； 因为； 且，所以B与D相互独立，故D正确. 故选：. 10. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 在轴上的截距为 B. 过点且可能垂直轴 C. 若，则或 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A：根据直线方程求截距即可；对于B：根据直线方程分析斜率，即可得结果；对于C：举反例说明即可；对于D：根据直线垂直列式求参即可． 解答】直线，直线， 对于选项A：在直线中，令，解得， 所以在轴上的截距为，故A正确； 对于选项B：因为直线的斜率， 即斜率存在，直线不垂直轴，故B错误， 对于选项C：若，则直线、均， 即两直线重合，不平行，故C错误； 对于选项D：若，则，解得，故D正确． 故选：AD． 11. 已知正方体中，三棱锥的体积为，线段，BC的中点分别为E，F，动点M在直线上，动点N在下底面内含边界，且，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 动点N的轨迹长度为 C. 不存在点N，使得平面DEF D. 点N到平面DEF的距离的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】A通过判断与所在的平面关系可判断选项正误； B由题可得，可得动点N的轨迹图形，即可判断选项正误； C如图建立以为坐标原点的空间直角坐标系，后由空间向量知识可判断选项正误； D由BC选项分析结合空间中点到平面距离公式可判断选项正误. 【详解】解：对于A，因为为等腰三角形，面积是定值， 动点M在直线上，不平行所在的平面， 点M到面的距离不是定值. 三棱锥的体积为定值，故A错误. 对于B，因为三棱锥的体积为， 设正方形边长a，所以，故. 因为，则EN，而， 故 ， 故动点N的轨迹为以为圆心，为半径的圆在底面内的部分，即四分之一圆弧， 故所求轨迹长度为，故B正确. 对于C，以为坐标原点，、、所在直线分别为 x、y、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，故， 设为平面DEF的法向量，则 令，故为平面DEF的一个法向量， 设，故， 若平面DEF，则，则，解得，但， 所以不存在点N，使得平面DEF，故C正确. 对于D，由BC选项分析，点N到平面DEF的距离 令，则， 则，故D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一组数据的平均数等于21，方差，则这组数据中______． 【答案】 【解析】 【分析】根据方差的计算公式分析出结果. 【详解】因为， 所以， 由平方运算的特点可知，所以. 故答案为：. 13. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的个红球，个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，则袋中约有绿球_________个． 【答案】 【解析】 【分析】用频率估计概率，根据绿球个数除以总个数即可. 【详解】因为通过大量重复的摸球实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，所以摸到绿球的概率为， 设不透明的袋中有个绿球，因为袋中有个红球，个白球， 所以，解得：， 故答案为：8. 14. 若A，B是平面内不同的两定点，动点P满足且，则点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，已知点，圆若圆C上存在点M，使，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得M的轨迹方程，进而得两圆相交，应用相交条件即可得解. 【详解】解：设，因为， 即，平方整理得， 即点M的轨迹是以为圆心，半径的阿氏圆D， 又因为M在圆C上，所以M是圆D、圆C交点，即圆D、圆C相交， 圆C：，圆心，半径， 所以，即， 解得，即 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求满足下列条件的直线方程； （1）过点，且与直线平行的直线方程； （2）过点，且与直线垂直的直线方程； （3）过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据平行直线的斜率相等即可求解； （2）根据互相垂线直线的斜率乘积为，从而求解直线方程； （3）分直线过原点、不过原点讨论可得答案. 【小问1详解】 设与直线平行的直线方程为， 由于过点，代入， 解得，可得， 所以所求的方程为； 【小问2详解】 设与直线垂直的直线方程为； 由于过点，代入，解得， 可得， 所以所求的直线方程为； 【小问3详解】 当直线过原点时，设直线方程为， 代入点，，可得， 当直线不过原点时，设直线方程为， 代入点，，可得， 综上，所求直线方程为或. 16. 如图，在棱长为1的正方体中，、分别是棱，上的中点． （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求平面与平面夹角的正切值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得两条直线的方向向量，根据向量的夹角公式即可求解异面直线的夹角， （2）求两个平面的法向量，然后利用法向量即可求得面面角的余弦值． 【小问1详解】 以为原点，以的方向分别为轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 所以． 故 设直线与所成角为，则 【小问2详解】 因为，所以． 设平面的法向量为， 则， 令，得． 取平面的一个法向量． 设平面与平面的夹角为， 则， 故， 即平面与平面夹角的正切值为． 17. 已知圆的圆心在直线上，且经过点和. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的两条切线，切点分别为，，求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出线段的垂直平分线方程，即可求出圆心坐标，再求出半径，即可得解； （2）依题意点，，，四点在以为直径的圆上，求出圆的方程，再两圆方程作差得到切点弦方程，再求出圆心到直线的距离，最后利用勾股定理求出弦长. 【小问1详解】 的中点为点，， 线段的垂直平分线方程为，即 由，解得，所以圆心， 圆的半径为， 圆的标准方程为； 【小问2详解】 由题可知，点，，，四点在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为，半径为， 以为直径的圆的方程为， 是以为直径圆和圆的公共弦， 两圆方程相减，得，即， 所在的直线方程为， 由于点到所在的直线的距离为， . 18. 已知直线过定点，直线的方程是． （1）若直线的横截距为纵截距2倍，求直线的方程． （2）若直线与，轴正半轴分别交于，两点，过，分别作直线垂线，垂足分别是，．求四边形面积的最小值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分类讨论直线是否经过原点，代入求出参数，由此可求结果； （2）设出的方程，分别表示出的面积，结合基本不等式求解出四边形面积的最小值. 【小问1详解】 当经过时，设，代入，所以，即， 当不经过时，设，代入，解得，即， 所以直线的方程为或. 【小问2详解】 由题意设， 令，则，所以，令，则，所以， 所以，， 因为的倾斜角为，所以， 所以均为等腰直角三角形， 所以， 所以， 因为，所以， 当且仅当，即(舍)时取等号， 由二次函数性质可知，，当且仅当时取等号， 所以四边形面积的最小值为. 19. 为推动孝感市乡村旅游发展提质增效，更好满足人民群众旅游消费升级需求，助力乡村全面振兴，孝感市实施精品示范工程打造“和美休闲旅游乡村”行动方案，实施“微创意、微改造”，促进“精提升”，建设“和美”乡村新风景，打造全国知名的乡村旅游目的地．某学校兴趣小组同学利用暑假时间，在全市范围内调查了个休闲旅游乡村，并从环境风貌、资源价值、基础设施等方面进行综合评分，将评分按照分组，得到如图所示频率分布直方图． （1）求的值，并求这个休闲旅游乡村评分的平均分； （2）若评分在分及以上的乡村称为“值得推荐的旅游乡村”，其中评分在）为“推荐指数四颗星”，评分在为“推荐指数五颗星”．兴趣小组同学用分层抽样的方法在“值得推荐的旅游乡村”中抽取个乡村进行第一批次的校内宣传，并从这个乡村中随机抽取个乡村在校园内做展板宣传，求这个乡村正好是“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”乡村各一个的概率． 【答案】（1），分， （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为得到方程求出，再根据平均数计算公式求出平均数； （2）首先求出“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”各抽取的个数，再由古典概型的概率公式计算可得. 【小问1详解】 由频率分布直方可知， 解得； 则这个休闲旅游乡村评分的平均分为：（分）； 【小问2详解】 “推荐指数四颗星”乡村数为（个）； “推荐指数五颗星”乡村数为（个）； 按照分层抽样，可知“推荐指数四颗星” 乡村抽取个， “推荐指数五颗星” 乡村抽取个， 从个乡村中随机抽取个乡村共有种情形， 其中“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”乡村各一个有种情形， 所以“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”乡村各一个的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年高二（上）学期期中考试 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．回答非选择题时，将答案写在答题纸上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，若，则实数（ ） A. 0或1 B. C. 1 D. 0或 3. 如图，在四面体OABC中，，点在线段OA上，且为BC中点，则等于（ ） A B. C. D. 4. 从长度为1，3，6，9，10的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 两条平行直线和间的距离为，则分别为（ ） A. B. C. D. 6. 已知定点，若直线过定点且方向向量是，直线过定点且方向向量是，直线在轴上的截距是，直线在轴上的截距是，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 7. 甲乙两人各加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否为加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 设定点，当到直线距离最大时，直线与轴的交点，则此时过点且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一个袋子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回的依次随机摸出2个球.设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到红球”，“两个球颜色相同”，“两个球颜色不同”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件A与事件B互斥 B 事件C与事件D对立 C. 事件A与事件C相互独立 D. 事件B与事件D相互独立 10. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 在轴上的截距为 B. 过点且可能垂直轴 C. 若，则或 D. 若，则 11. 已知正方体中，三棱锥的体积为，线段，BC的中点分别为E，F，动点M在直线上，动点N在下底面内含边界，且，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 动点N的轨迹长度为 C. 不存在点N，使得平面DEF D. 点N到平面DEF的距离的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一组数据的平均数等于21，方差，则这组数据中______． 13. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的个红球，个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，则袋中约有绿球_________个． 14. 若A，B是平面内不同的两定点，动点P满足且，则点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，已知点，圆若圆C上存在点M，使，则实数a的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求满足下列条件的直线方程； （1）过点，且与直线平行的直线方程； （2）过点，且与直线垂直的直线方程； （3）过点，且在两坐标轴上截距相等直线方程． 16. 如图，在棱长为1的正方体中，、分别是棱，上的中点． （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求平面与平面夹角正切值． 17. 已知圆的圆心在直线上，且经过点和. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的两条切线，切点分别为，，求 18. 已知直线过定点，直线的方程是． （1）若直线的横截距为纵截距2倍，求直线的方程． （2）若直线与，轴正半轴分别交于，两点，过，分别作直线垂线，垂足分别是，．求四边形面积的最小值． 19. 为推动孝感市乡村旅游发展提质增效，更好满足人民群众旅游消费升级需求，助力乡村全面振兴，孝感市实施精品示范工程打造“和美休闲旅游乡村”行动方案，实施“微创意、微改造”，促进“精提升”，建设“和美”乡村新风景，打造全国知名的乡村旅游目的地．某学校兴趣小组同学利用暑假时间，在全市范围内调查了个休闲旅游乡村，并从环境风貌、资源价值、基础设施等方面进行综合评分，将评分按照分组，得到如图所示频率分布直方图． （1）求值，并求这个休闲旅游乡村评分的平均分； （2）若评分在分及以上的乡村称为“值得推荐的旅游乡村”，其中评分在）为“推荐指数四颗星”，评分在为“推荐指数五颗星”．兴趣小组同学用分层抽样的方法在“值得推荐的旅游乡村”中抽取个乡村进行第一批次的校内宣传，并从这个乡村中随机抽取个乡村在校园内做展板宣传，求这个乡村正好是“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”乡村各一个的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $