专题03 圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系（10大考点50题）（期中真题汇编，湖北专用）高二数学上学期

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系 ☆10大高频考点概览 考点01求圆的方程 考点02表示圆的条件 考点03轨迹问题-圆 考点04判断直线与圆的位置关系 考点05由直线与圆的位置关系求参数 考点06圆中的弦长问题 考点07圆中的切线问题 考点08圆与圆的位置关系及参数求解 考点09圆的公共弦长及公共弦方程 考点10圆中的最值问题 目目 考点01 求圆的方程 一、填空题 1.(24-25高二上·湖北武汉常青联合体期中已知圆C的圆心在直线3x-y-1=0上，且过点A-2,3), B(2,5),则圆C的方程为 二、解答题 2.(24-25高二上湖北“鄂北联考”.期中)已知圆C的圆心在直线x+3y-2=0上，且经过点E(4,2)和 F(2,0) (1)求圆C的标准方程； (2)过点A(1,1)作圆C的两条切线，切点分别为P,Q,求P 3.(24-25高二上湖北楚天教科研协作体·期中已知圆C经过O(0,0),A(1,0),B(1,-2)三点， (1)求圆C的标准方程； (2)求过点(0,1)且被圆C截得的弦长为2的直线1的方程。 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(24-25高二上湖北成宁崇阳县第一中学期中已知三点O(0,0),A2,0),B(-1,-1),记A0B的外接圆为 ⊙C (1)求0C的方程： (2)若直线：x-y-1=0与⊙C交于M,N两点，求△CMN的面积 5.(24-25高二上湖北武汉重点中学5G联合体期中)已知ABC中，A(-1,1),B(3,-1),C(-4,0): (1)求边AB的中线所在直线的方程： (2)求经过A,B,C三点的圆O的标准方程； (3)已知圆02x2+y2-4x-4y-2=0与(2)中圆Q相交于A,B,求直线AB的方程，并求AB 目目 考点02 表示圆的条件 一、单选题 6.(23-24高二上湖北武汉常青联合体·期中)方程x2+y2+4x-2y+5m=0表示圆，则m的范围是() A.m>1 B.m<1 C.m≥1 D.m≤1 7.(23-24高二上湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期中)“k>4”是“方程x2+y2+kx+(k-2)y+5=0表 示圆的方程”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条 件 目目 考点03 轨迹问题一圆 一、多选题 8.(24-25高二上·湖北武汉部分重点中学期中)平面内到两个定点A,B的距离比值为一定值(2≠)的点P 的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”.己知平面内点A(2,0),B(6,0),动点P满足 IPAI1 P83,记点P的轨迹为乙，则下列命题正确的是() A.点P的轨迹t的方程是x2+y2-3x=0 B.过点N(L,)的直线被点P的轨迹τ所截得的弦的长度的最小值是1 / 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.直线2x-y+2=0与点P的轨迹t相离 D.己知点E ,点M是直线1：2x-2√3y+7=0上的动点，过点M作点P的轨迹t的两条切线，切 点为C,D,则四边形ECMD面积的最小值是3 二、解答题 9.(24-25高二上·湖北恩施州高中教育联盟·期中)己知点M与定点A(6,0)和点M与原点0的距离的比为2， 记点M的轨迹为C. (1)求C的方程. (2)已知直线1：x=4与x轴交于点B. ①过点B的直线m与曲线C交于D,E两点，求线段DE的中点F的轨迹方程； ②求证：BD.BE为定值，并求出这个定值 10.(24-25高二上·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校期中)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家， 与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离 之比为常数入(2>0且2≠)，那么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，已 知R(-1,0),Q(0,√2)直线l:tx-y+2t+3=0,直线l2:x+y+3t+2=0,点P为4和Z的交点 (1)求点P的轨迹方程C; (2)点M为曲线C与x轴正半轴的交点，直线I交曲线C于A,B两点，M与A,B两点不重合，直线MA、 MB的斜率分别为小点，且=，证明直线1过定点，并求出该定点： (③)当点P在曲线C上运动时，求引PR+PQ的最小值 11.(24-25高二上·湖北部分级示范高中.期中)已知线段AB的端点B的坐标是(6,4)，端点A在圆 (x+2)+(y+4)=16上运动，记线段AB中点的运动轨迹为曲线C (1)求曲线C的方程 (2)过点B作直线I交曲线C于两个不同的点M，N,且MN不过曲线C的中心，再过点M,N分别作曲线 C的切线，两条切线交于点H,求证：点H在同一直线上，并求出该直线的方程 (3)斜率为k的直线1与曲线C相交于异于原点的两点E,F,直线OE,OF的斜率分别为k,k2,且 长+长-号若BD上BF,D为垂足，证阴：存在定点Q,使得D0为定值 面学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点04 判断直线与圆的位置关系 一、多选题 12.(24-25高二上湖北华中师范大学第一附属中学期中)已知圆0：x2+y2=4,直线：y=x+b,下列说法 正确的是() A.当b<-22或b>2√2时，圆O上没有点到直线1的距离等于1 B.当b=±1时，圆O上恰有三个点到直线1的距离等于1 C.当b=±√2时，圆O上恰有三个点到直线1的距离等于1 D.当b=±1时，圆O上恰有四个点到直线1的距离等于1 13.(24-25高二上湖北孝感一般高中协作体期中)已知直线1：kx-y+(2-k)=0,圆C:(x+2)2+(y-1)2=1 ,以下正确的是() A.1与圆C不一定存在公共点 B.圆心C到1的最大距离为√0 C.当1与圆C相交时， 3<k<0 D.当k=-1时，圆C上仅有一个点到1的距离为2√2-1 14.(24-25高二上湖北黄冈普通高中·期中)已知直线1：x-y+2=0和圆M:(x-3)2+(y-4)2=16,则下列 选项正确的是() A.直线1恒过点(0,2) B.直线I与圆M相交 C.圆M与圆C:x2+y2=1有三条公切线 D.直线1被圆M截得的最短弦长为2√2 15.(24-25高二上·湖北荆门德艺高级中学期中)已知圆C:(x-1)2+(y-2)=25,直线 1:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,则以下命题正确的有() A.直线1恒过定点(3,1 B.圆C被y轴截得的弦长为2+2√6 C.直线1与圆C恒相交 / 函学科网 ww w zxxk com 让教与学更高效 D.直线1被圆C截得最短弦长时，直线1的方程为2x-y-5=0 二、解答题 16.Q425商二上潮北部分名校期中已知圆E:-2mx+y2-m=0,直线：x-y+2=0。 (1)讨论1与圆E的位置关系； (2)若1与圆E相交于M,N两点，圆心E到1的距离为√2，另有一圆C的圆心在线段MN上，且圆C与圆 E相切，切点在劣弧MN上，求圆C的半径的最大值 17.(24-25高二上湖北部分级示范高中.期中)己知圆C:x-1)+(y-2)=25,直线 1:(2k+1x+(k+1y-7k-4=0 (1)求证：直线1与圆C恒有两个交点 (2)设直线1与圆C交于AB两点，当k为何值时，三角形ABC的面积有最大值，并求出该最大值 目目 考点05 由直线与圆的位置关系求参数 一、 多选题 18.(24-25高二上湖北“鄂北联考”.期中)下列说法正确的有() A.经过点P(2,3),并且在两坐标轴上截距相等的直线方程为x+y-5=0 B.已知圆C:x2-2x+y2-2y-4=0关于直线1：ax+y-1=0(ab>0)对称，则1+4的最小值是9 a b C.点M(x,y)在圆0：x2+y2=4上运动，点N(3,4)到点M的最小距离为3 D.若直线1：x-y+m=0与曲线C:x=√4-少有两个不同的交点，则实数m的取值范围是(-2V2,-2] 二、解答题 19.(24-25高二上·湖北武汉外国语学校·期中)己知x,y满足圆C:x2+y2-8y=0的方程 (1)求2x+y的取值范围； (2)若直线I:y=kx-2(k>0)与圆C交于不同的两点A,B,当∠ACB为锐角时，求实数k的取值范围. 函学科网 ww w zxxk com 让教与学更高效 20.(23-24高二上·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)如图，等腰梯形ABCD中，A(-4,0 ,B4,0),CD=4,AB/1CD,AB与CD的距离为6. D B (1)求等腰梯形ABCD的外接圆E的方程， (2)已知直线x+2y+m=0与圆E相交于M,N两点，若∠MAN=60°，求实数m的值 目目 考点06 圆中的弦长问题 一、单选题 21.(23-24高二上湖北武汉部分重点中学5G联盟期中)已知圆C：（x-1)2+(y-2)2=25,直线1： mx-y-3m+1=0与相交于A,B两点，则AB的最小值为() A.4V5 B.2 C.4 D.2√5 二、填空题 22.(23-24高二上湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校期中)已知直线1：mx+y+√3m-1=0与圆 x2+y2=4交于A,B两点，过A,B分别作1的垂线与x轴交于C,D两点，若AB=2,，则梯形ABDC面积 为 三、解答题 23.(23-24高二上·湖北鄂西北六校（曾都区第一中学等）·期中)己知圆心为M的圆经过O(0,0),M1（1,1, M,4,2)这三个点. (1)求圆M的标准方程； / 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)直线1过点P(0,5),若直线1被圆M截得的弦长为6，求直线1的方程： 24.(23-24高二上湖北云学名校联盟·期中)已知圆O:x2+y2=4及点M(4,0),动点P在圆O上运动，线 段MP的中点为Q. (1)求点9的轨迹方程： ②过应（行-2作直线1与Q的轨迹交于4，B两点，满足=5，求直线的方程 25.(24-25高二上·湖北荆州沙第一中学期中)已知圆0：x2+y2=4内有一点P-1,0),倾斜角为0的直线1过 点R且与圆O交于A,B两点 (1)当a=135°时，求AB的长； (2)是否存在弦AB被点B三等分？若存在，求出直线1的斜率；若不存在，请说明理由； (3)记圆O与x轴的正半轴交点为M，直线MA的斜率为k,直线MB的斜率为k2,求证：kk,为定值.并计算 出定值 目目 考点07 圆中的切线问题 一、单选题 26.(24-25高二上湖北部分名校期中已知圆(x-2)+(y-3)=r2经过点P(4,5)，则圆在点P处的切线方 程为() A.x-y-9=0 B.x+y=0 C.x-y=0 D.x+y-9=0 27.(24-25高二上·湖北部分级示范高中·期中)已知点P在直线x+y=4上，过点P作圆0：x2+y2=4的两条 切线，切点分别为A,B则点M(4,2)到直线AB距离的最大值() A.√10 B.210 C.3√10 D.410 二、多选题 28.(24-25高二上湖北楚天教科研协作体·期中)已知点P在圆C:(x-4)2+(y-4)2=9上，点A(4,0),B(0,2), 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则() A.点P到直线AB的距离最小值为) B.在点P处作圆C的切线(P为切点)与直线AB相交于点T,则PT的最小值为5 C.当∠PBA最小时，PB=I D.当∠PBA最大时，|PB=I 29.(24-25高二上·湖北恩施州高中教育联盟·期中)记C为圆C:x2+y2-6x-4y+9=0的圆心.H为y轴上 的动点.过点H作圆C的两条切线，切点分别是M,N,则下列结论正确的是() A.MN的最大值为4 R直线w过定点[得2 C.存在点H,使得MH⊥NH D.四边形HMCN的面积的最小值为2√5 目目 考点08 圆与圆的位置关系及参数求解 一、单选题 30.(23-24高二上湖北部分级示范高中.期中)圆C:(x+2)2+(y-2)2=4和圆C2:(x-2)2+(y-52=16的位 置关系是() A.内切 B.相离 C.相交 D.外切 3引.2425商三上湖北华中师花大学第一附据中学期申)已如国G:2+广-+香-1=0与圆 C,:x2+y2-2y-3=0,若圆C与圆C,恰有三条公切线，则实数t的值为() A.±2√2 B.±42 C.±4V6 D.0 32.(23-24高二上湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校期中)若圆C:x2-2x+y2+4y+4=0与圆 C2:(x+2)2+(y-2)2=r2(r>0)恰有一条公切线，则r=() A.4 B.6 C.4或6 D.8 33.(23-24高二上·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期中己知圆C,:(x-a)2+(y+3)2=9与圆 C,:(x+b)2+(y+1)2=1外切，则ab的最大值为() 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.2 B.2√2 a. D.3 34.(24-25高二上湖北部分级示范高中.期中)若圆C:(x-a)+(y-a)=16上总存在两个点到原点的距离均 为2，则实数a的取值范围是() A.（-32,-V2U(V2,32 B.[-32,-2]U[2,32 C.-4V2,-√2UV2,4V2 D.「-4v2,-2U[2,42 35.(24-25高二上湖北孝感一般高中协作体期中已知圆C1:x2+y2+2ax-4+a2=0和圆 C2:x2+y2-2by-1+b2=0外切（其中a,b∈R),则a+b的最大值为(） A.4 B.3W2 C.8 D.45 二、填空题 36.(2425高二上湖北华中师范大学第一附属中学期中已知点P是椭圆C:亡+上=1上一动点，过点P 4+3 作©G:(+1y+y2=的切线PA、PB,切点分别为A、B,当PGAB最小时，线段AB的长度 为」 三、解答题 37.(24-25高二上·湖北华中师范大学第一附属中学期中)已知圆M:x2+y2-6.x-4y+12=0和A(-1,0),B(1,1) ,C(2,4). (1)求过点C(2,4)且与圆M相切的直线方程； (②试求宣线4C上是否存右点P,使得网历-？若存在，求点P的个数，若不存在，说明理由. 目目 考点09 圆的公共弦长及公共弦方程 一、单选题 38.(24-25高二上·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)圆x2+y2=4与圆 x2+y2-4x-4y+4=0的公共弦长为() 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.2 B.5 C.2W2 D.25 二、多选题 39.(23-24高二上湖北A9高中联盟·期中)已知圆0：x2+y2=4和圆M:x2+y2+4x-2y+4=0,下列说法正 确的是() A.两圆有两条公切线 B.两圆的公共弦所在的直线方程为y=2x+2 C.点E在圆O上，点F在圆M上，EF的最大值为5+3 D.圆0上有2个点到直线x+y+2=0的距离为√2 40.(23-24高二上湖北部分高中联考协作体期中)已知圆O:x2+y2-2x=0和圆Q:x2+y2+2x-4y=0 的交点为A,B,则下列结论中正确的是() A.公共弦AB所在的直线方程为x-y=0 B.公共弦AB的长为 2 C.线段AB的中垂线方程为x+y-1=0 D.若P为圆O上的一个动点，则三角形PAB周长的最大值为2√2-√2+√2 三、填空题 41.(23-24高二上湖北武汉部分重点中学期中)圆G:x2+y2=1与圆C2:（x-1)2+(y+22=4的公共弦所 在的直线方程为一 四、解答题 42.(23-24高二上湖北武汉部分重点中学5G联盟·期中)已知圆C:(x-1)2+(y-1)=1,圆 C2:x2+y2-8x-2y+7=0. (1)若直线1经过圆G与圆C,的公共点，求直线1的方程； (2)若圆G过两圆的交点且圆心C在直线y=x上，求圆C的方程. 专题03 圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系 10大高频考点概览 考点01 求圆的方程 考点02 表示圆的条件 考点03 轨迹问题-圆 考点04 判断直线与圆的位置关系 考点05 由直线与圆的位置关系求参数 考点06 圆中的弦长问题 考点07 圆中的切线问题 考点08 圆与圆的位置关系及参数求解 考点09 圆的公共弦长及公共弦方程 考点10 圆中的最值问题 地 城 考点01 求圆的方程 一、填空题 1．(24-25高二上·湖北武汉常青联合体·期中)已知圆的圆心在直线上，且过点，，则圆的方程为 . 【答案】 【分析】根据题设可得线段中垂线方程为，联立已知直线求圆心坐标，进而得半径，即可得圆的方程. 【详解】由题设，且中点为，故线段中垂线方程为， 由题意知，圆心也在上，联立，可得圆心为， 所以半径，故圆的方程为. 故答案为： 二、解答题 2．(24-25高二上·湖北“鄂北联考”·期中)已知圆的圆心在直线上，且经过点和. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的两条切线，切点分别为，，求 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出线段的垂直平分线方程，即可求出圆心坐标，再求出半径，即可得解； （2）依题意点，，，四点在以为直径的圆上，求出圆的方程，再两圆方程作差得到切点弦方程，再求出圆心到直线的距离，最后利用勾股定理求出弦长. 【详解】（1）的中点为点，， 线段的垂直平分线方程为，即 由，解得，所以圆心， 圆的半径为， 圆的标准方程为； （2）由题可知，点，，，四点在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为，半径为， 以为直径的圆的方程为， 是以为直径的圆和圆的公共弦， 两圆方程相减，得，即， 所在的直线方程为， 由于点到所在的直线的距离为， . 3．(24-25高二上·湖北楚天教科研协作体·期中)已知圆经过三点. (1)求圆的标准方程; (2)求过点且被圆截得的弦长为2的直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据圆的几何性质求出圆心和半径，写出标准方程即可； （2）根据直线是否有斜率分类讨论，再利用圆的弦长公式列方程，求解即可. 【详解】（1）依题知OA，AB的垂直平分线方程分别为：，而圆的圆心为OA，AB的垂直平分线的交点， 所以圆心坐标为，半径为， 所以圆的方程为:. （2）若直线轴，其方程为，与圆相交于两点，弦长为2，满足题意； 若直线不与轴垂直，设， 记圆心到的距离为，则，由，解得， 则， 所以直线的方程为：或. 4．(24-25高二上·湖北咸宁崇阳县第一中学·期中)已知三点，记的外接圆为. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法可求圆的一般方程； （2）利用垂径定理求出弦长，从而可求的面积. 【详解】（1）设的一般方程为， 由题意可知， 解得， 所以， 故的标准方程为. （2）由（1）可知，，半径. 则圆心到直线的距离为， 所以， 故的面积为. . 5．(24-25高二上·湖北武汉重点中学5G联合体·期中)已知中，； (1)求边AB的中线所在直线的方程； (2)求经过A，B，C三点的圆的标准方程； (3)已知圆与（2）中圆相交于，求直线AB的方程，并求. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）先求出AB的中点坐标，进而求出中线的斜率，结合直线的点斜式方程即可求解； （2）根据两点坐标表示求出AB的斜率，进而可得直线AB、BC的中垂线方程，联立方程组，解之可得，结合圆的标准方程即可求解； （3）根据两圆的方程相减可得，利用点线距公式和几何法求弦长计算即可求解. 【详解】（1）AB中点为，所以其中线方程为. （2），直线AB的中垂线方程为， 同理直线BC的中垂线方程为， ，解得，即， 所以所求圆标准方程为. （3）由题意，圆与的方程相减，得， 直线AB的距离为， 所以. 地 城 考点02 表示圆的条件 一、单选题 6．(23-24高二上·湖北武汉常青联合体·期中)方程表示圆，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程表示圆，应当满足求解即可. 【详解】因为方程表示圆， 所以，解得：. 故选：B. 7．(23-24高二上·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期中)“”是“方程表示圆的方程”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据表示圆得到或，然后判断充分性和必要性即可. 【详解】若表示圆，则，解得或， 可以推出表示圆，满足充分性， 表示圆不能推出，不满足必要性， 所以是表示圆的充分不必要条件. 故选：A. 地 城 考点03 轨迹问题-圆 一、多选题 8．(24-25高二上·湖北武汉部分重点中学·期中)平面内到两个定点A，B的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点，，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（   ） A．点的轨迹的方程是 B．过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是1 C．直线与点的轨迹相离 D．已知点，点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为C，D，则四边形面积的最小值是3 【答案】ACD 【分析】根据已知条件求出点的轨迹方程，然后逐个分析每个命题中涉及到的直线与圆的位置关系、弦长公式计算以及四边形面积即可. 【详解】对于A,设，已知，，且. 根据两点间距离公式，. 则.两边平方可得. 展开整理得，配方可得，所以A选项正确. 对于B,点到圆心的距离为. 圆的半径.根据弦长公式，当最大弦长最小，最大为圆心到点的距离.所以弦长最小值为，所以B选项错误. 对于C,圆心到直线的距离. 因为（圆的半径），所以直线与圆相离，C选项正确. 对于D,四边形的面积，因为. 要使面积最小，则最小，即圆心到直线的距离与半径的关系.圆心到直线的距离. . 所以四边形面积最小值，D选项正确. 故选：ACD. 二、解答题 9．(24-25高二上·湖北恩施州高中教育联盟·期中)已知点与定点和点与原点的距离的比为，记点的轨迹为． (1)求的方程． (2)已知直线与轴交于点． ①过点的直线与曲线交于两点，求线段的中点的轨迹方程； ②求证：为定值，并求出这个定值． 【答案】(1) (2)① ；②证明见解析， 【分析】（1）设，根据条件列方程，化简即可求解轨迹方程； （2）①取的中点，根据题意得，即可求得轨迹方程； ②设直线，代入圆的方程，得到，由韦达定理知，再利用，代入计算可求解. 【详解】（1）设，由题知，又，， 所以，化简得． （2）①不妨设曲线的圆心为，所以当不重合时，为直角三角形， 取的中点，则， 当重合时，则， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为3的圆在圆内的部分， 以为圆心，半径为3的圆的方程为， 由，消得， 所以的轨迹方程为． ②由题意知，直线的斜率一定存在，设， 代入，消得， 则，得到， 不妨设，则， 故， 又，所以， 故为定值，且定值为. 10．(24-25高二上·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数且，那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，已知直线，直线，点为和的交点. (1)求点的轨迹方程； (2)点为曲线与轴正半轴的交点，直线交曲线于A，B两点，与A，B两点不重合，直线MA、MB的斜率分别为，且，证明直线过定点，并求出该定点； (3)当点在曲线上运动时，求的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析，（） (3) 【分析】（1）由两直线斜率的关系得到两直线垂直，那么两直线交点就是垂足，由两直线过定点，所以交点轨迹是以两直线定点为直径的圆（注意特殊点不在圆上），由此得到圆的方程； （2）由（1）得出点，设点坐标得到，讨论直线斜率存在，写出直线方程，联立方程组后消元得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求得的关系，代入直线方程得到定点坐标；讨论斜率不存在得到两点坐标的关系，由斜率乘积建立等量关系，求得坐标，得到直线，验证该直线同样经过前一种情况求得的定点； （3）因为点在圆上运动，所以由“阿波罗尼斯圆”思想构造一个点使得点，由三角形三边关系得到最大值. 【详解】（1）当时，，此时，交点为 当时，由，斜率为t， 由，斜率为，综上，. 直线恒过，直线恒过，若为的交点，则，设点， 所以点的轨迹是以EF为直径的圆， 又因为当代入方程得到不成立，所以点的轨迹不包含点. 则圆心为EF的中点，圆的半径为， 故的轨迹方程为 （2），设， 当斜率存在时，直线的方程为，故 将直线方程与圆的方程进行联立， 整理得：， ∴ 将其带入中可得：， 化简得， ∴或， 由于M与A，不重合，则直线的方程为恒过定点（）； 当直线的斜率不存在时， 设，则， 故可得，即则直线，仍恒过定点， 综上可得，则直线恒过定点 （3），易知R、Q在该圆内， 又由题意可知圆上一点满足，取，则，满足. 下面证明任意一点，都满足，即， 即,所以 ，即当且仅当D，P，Q三点共线，且P位于D，Q之间时，等号成立. 即的最小值为 【点睛】方法点睛，题中介绍到了“阿波罗尼斯圆”，本题可以借助这个定理来对线段进行转化，从而变成了两线段和最打问题，就可以借助三角形三边长来得到结论. 11．(24-25高二上·湖北部分级示范高中·期中)已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，记线段中点的运动轨迹为曲线 (1)求曲线的方程 (2)过点作直线交曲线于两个不同的点，，且不过曲线的中心，再过点，分别作曲线的切线，两条切线交于点，求证：点在同一直线上，并求出该直线的方程 (3)斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点，，直线，的斜率分别为，，且.若，为垂足，证明：存在定点，使得为定值 【答案】(1) (2)详见解析； (3)证明见详解 【分析】（1）利用相关点法求轨迹方程； （2）设，，，由，可得直线所在的直线方程，又点在直线上，可得证； （3）设直线与圆的方程联立，利用韦达定理表示，即可求解定点坐标，由几何图形可知，，再利用直角三角形，斜边的中线等于斜边的一半，即可求出定点坐标. 【详解】（1）设线段的中点为，， ，即， 因为点在圆上， 所以，化简得， 所以曲线的方程为. （2）设，，，点在圆外部， 由，可得，即， 又，可得， 同理，由可得， 所以直线所在的直线为，又点在直线上， ，即， 所以点在同一条直线上，直线方程为. （3）设直线，，，， 由，得， ，， ，即， ，所以， 所以直线的方程为，即直线过定点， 因为为定值，为直角三角形，为斜边， 所以当是的中点时，， 所以存在定点，使得为定值. 地 城 考点04 判断直线与圆的位置关系 一、多选题 12．(24-25高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中)已知圆，直线，下列说法正确的是（   ） A．当或时，圆O上没有点到直线l的距离等于1 B．当时，圆O上恰有三个点到直线l的距离等于1 C．当时，圆O上恰有三个点到直线l的距离等于1 D．当时，圆O上恰有四个点到直线l的距离等于1 【答案】CD 【分析】先求出圆心到到直线的距离，根据选项中参数的范围求得的范围，结合图形，即可一一判断. 【详解】 由题设条件，圆的半径为2，圆心到直线的距离为. 对于A，当或时, ，则，当时， 由图1知，圆O上有一点到直线l的距离等于1，故A错误； 对于B，D，当时，，由图2知，圆O上恰有四个点到直线l的距离等于1，故B错误，D正确； 对于C，当时，，由图3知，圆O上恰有三个点到直线l的距离等于1，故C正确. 故选：CD. 13．(24-25高二上·湖北孝感一般高中协作体·期中)已知直线，圆，以下正确的是（   ） A．与圆不一定存在公共点 B．圆心到的最大距离为 C．当与圆相交时， D．当时，圆上仅有一个点到的距离为 【答案】ABD 【分析】数形结合，根据直线过定点判断直线与圆的位置关系判断A，根据定点到圆心的长度判断B，根据圆心到直线的距离小于半径列式判断C，根据圆心到直线的距离判断D. 【详解】由题意可得直线，即 所以直线过定点， 圆的圆心为，半径为， 如图所示， 选项A：根据图象易得与圆不一定存在公共点，故A说法正确； 选项B：当直线变化时，圆心到的最大距离为， 且，故B说法正确； 选项C：当与圆相交时，，解得，故C说法错误； 选项D：当时，直线，此时，圆心到直线的距离， 又圆的半径为，所以圆上仅有一个点到的距离为，故D说法正确； 故选：ABD 14．(24-25高二上·湖北黄冈普通高中·期中)已知直线和圆，则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过点 B．直线与圆相交 C．圆与圆有三条公切线 D．直线被圆截得的最短弦长为 【答案】ABC 【分析】根据定点的特征即可求解A;根据定点在圆内判断B;判断圆与圆的位置关系确定公切线条件判断C;根据垂直时即可结合圆的弦长公式求解D. 【详解】对于A，由直线的方程，当时，，可知直线恒经过定点，故A正确； 对于B，因为直线恒经过定点，且，定点在圆内， 所以直线与圆相交，故B正确； 对于C，由圆的方程，可得圆心，半径， 又由直线，圆，圆心，半径， 此时，所以圆与圆相外切，有三条公切线，故C正确； 对于D，由，根据圆的性质，可得当直线和直线垂直时， 此时截得的弦长最短，最短弦长为，故D错误， 故选：ABC. 15．(24-25高二上·湖北荆门德艺高级中学·期中)已知圆，直线，则以下命题正确的有（　　） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．直线与圆恒相交 D．直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为. 【答案】ACD 【分析】将直线变形整理为，列方程组求出定点坐标判断A，在圆方程中令，求出圆和轴交点的坐标判断B，根据定点在圆的位置关系判断C，当直线被圆截得最短弦长时，，求出斜率进而即可求出直线方程判断D. 【详解】选项A：由题意直线的方程可变形整理为， 由解得，则无论为何值，直线过定点，故A说法正确； 选项B：在圆方程中令，得，解得， 所以圆被轴截得的弦长为，故B说法错误； 选项C：因为，所以定点在圆的内部， 则直线与圆恒相交，故C说法正确； 选项C：由圆的方程可得圆心，当截得的弦长最短时，， 又，则直线的斜率为， 此时直线的方程为，即，故D说法正确.， 故选：ACD 二、解答题 16．(24-25高二上·湖北部分名校·期中)已知圆E：，直线l：． (1)讨论l与圆E的位置关系； (2)若l与圆E相交于M，N两点，圆心E到l的距离为，另有一圆C的圆心在线段MN上，且圆C与圆E相切，切点在劣弧MN上，求圆C的半径的最大值． 【答案】(1)答案见解析. (2). 【分析】（1）通过圆的方程解出圆心和半径，比较圆心到直线的距离与半径的大小，即可得到直线与圆的位置关系. （2）由点到线的距离得出参数的值，从而得到圆的方程，通过内切圆的关系得到半径的范围，由此得出最大值. 【详解】（1）圆：的圆心，且，即或， 圆的半径，设圆心到的距离为，则， 若，则，解得， 则当或时，直线与圆相离； 若，则当或，直线与圆相切； 若，则当或，直线与圆相交. （2）由（1）知，解得或，则， 圆，圆心，半径， 依题意，圆的圆心在圆内且两圆内切，记圆的半径为， 由切点在劣弧上，知，， 又点在线段上，则， 当且仅当圆心与线段的中点重合时，最大，且. 所以圆的半径的最大值为. 17．(24-25高二上·湖北部分级示范高中·期中)已知圆，直线 (1)求证：直线与圆恒有两个交点 (2)设直线与圆交于两点，当为何值时，三角形的面积有最大值，并求出该最大值 【答案】(1)证明见详解 (2)，最大值为 【分析】（1）先证明直线过定点，再说明定点在圆内即可； （2）设圆心到直线的距离为，注意到，又，可以求出面积的最大值，注意验证取等条件，进一步由斜率关系可以求出参数，由此即可得解. 【详解】（1）因为直线，可得， 所以，解得， 所以直线过定点， 将点代入圆方程可得， 所以点在圆的内部，所以直线与圆恒有两交点. （2）设圆心到直线的距离为， 则， ， 因为，所以当时，三角形的面积最大，最大值为. 此时，且，则，即，解得. 所以当时，三角形的面积最大，最大值为. 地 城 考点05 由直线与圆的位置关系求参数 一、多选题 18．(24-25高二上·湖北“鄂北联考”·期中)下列说法正确的有（    ） A．经过点，并且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 B．已知圆关于直线对称，则的最小值是9 C．点在圆上运动，点到点M的最小距离为3 D．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数m的取值范围是 【答案】BCD 【分析】对A，分两种情况（1）直线过原点；（2）直线不过原点讨论求解；对B，由题意直线过圆心，即，然后利用基本不等式可求解；对C，点到点M的最小距离为；对D，问题转化为直线与曲线有两个交点，数形结合求解. 【详解】对于A，当直线过原点且经过点时，可得直线方程为， 当直线不过原点时，设直线为，将点代入解得，所以直线方程为 ，故A错误； 对于B，圆的圆心坐标为，半径为， 因为圆关于直线l：对称， 所以直线过圆心，即，所以，故，且， 所以， 当且仅当，且即时，等号成立，故B正确； 对于C，点到点M的最小距离为，故C正确； 对于D，由，得如图，    当直线与曲线相切时，原点到直线l的距离， 所以当直线过半圆的下顶点时，，所以 若直线与曲线有两个公共点， 则实数 m的取值范围是，故D正确. 故选：BCD. 二、解答题 19．(24-25高二上·湖北武汉外国语学校·期中)已知满足圆的方程. (1)求的取值范围； (2)若直线与圆交于不同的两点，当为锐角时，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）将问题化为直线与圆有公共点，应用点线距离公式求范围； （2）设坐标分别为，，联立直线与圆，应用判别式、韦达定理及求参数k范围. 【详解】（1）由，即， 设直线，即该直线与圆有公共点， 圆心到直线的距离小于等于半径，即， 解得，则． （2）设的坐标分别为，， 将直线代入，整理，得， 则，，且，即， 当为锐角时， ，解得，又， 综上，可得的取值范围为． 20．(23-24高二上·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)如图，等腰梯形ABCD中，，，，，AB与CD的距离为 (1)求等腰梯形ABCD的外接圆E的方程; (2)已知直线与圆E相交于M，N两点，若，求实数m的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由对称性得到圆心在y轴上，设出圆心和半径，由半径相等得到方程，求出圆心和半径，求出圆的方程； （2）由得到，结合半径求出圆心到直线的距离，进而由点到直线距离公式求出答案，舍去不合要求的解. 【详解】（1）由对称性可知，圆E圆心在y轴上， 设，半径为R， 根据题意可得，则， ，， 圆； （2）∵， ∴，， 又， 点到直线MN的距离， ∵，直线MN的方程， ， 或， ∵，故直线MN的方程在轴上的截距在点上方， 当时，，截距为，不合要求， 当时，，截距为，满足要求， 故 地 城 考点06 圆中的弦长问题 一、单选题 21．(23-24高二上·湖北武汉部分重点中学5G联盟·期中)已知圆：，直线：与相交于，两点，则的最小值为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】根据直线的方程得到直线恒过定点，根据几何知识得到当与垂直时，弦长最小，然后根据垂直得到，最后求弦长即可. 【详解】 由圆的方程可得圆心，半径， 直线的方程可整理为：， 令，解得，所以直线恒过定点， 由题意知，当与垂直时，弦长最小， ，，所以，直线：， 点到直线的距离， 所以. 故选：A. 二、填空题 22．(23-24高二上·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)已知直线与圆交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若，则梯形ABDC面积为 . 【答案】 【分析】取AB中点M，求出OM，由梯形的中位线性质和面积公式即可求解. 【详解】直线l的方程可化为， 所以直线l过定点， 又，所以直线l与圆的两个交点都在x轴上方， 取AB中点M， 易知为边长为2的等边三角形， 则， 因为，且M为AB中点， 所以为梯形ABDC的中位线，故， 所以梯形ABDC的面积为， 故答案为： 三、解答题 23．(23-24高二上·湖北鄂西北六校（曾都区第一中学等）·期中)已知圆心为的圆经过，，这三个点． (1)求圆的标准方程； (2)直线过点，若直线被圆截得的弦长为6，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设出圆的标准方程，根据过点列出方程组求解即可； （2）直线斜率不存在讨论，直线斜率存在，设方程，根据圆心到的距离，被圆截得的弦长列方程组即可. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 因为过，，，所以，解得 所以圆的标准方程为； （2）当直线的斜率不存在时，其方程为，符合题意， 当直线l的斜率存在时，设其方程为，即， 则圆心到直线的距离为， 因为直线被圆截得的弦长为6，所以， 即，解得， 直线的方程为， 故直线方程为或. 24．(23-24高二上·湖北云学名校联盟·期中)已知圆O：及点，动点P在圆O上运动，线段MP的中点为Q． (1)求点Q的轨迹方程； (2)过点作直线l与Q的轨迹交于A，B两点，满足，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）解法1：设，，由中点坐标公式可得，再将点P代入圆O的方程即可得出答案；解法2：设线段OM的中点为N，连接NQ，由题意可得点Q的轨迹为以N为圆心，1为半径的圆，即可得出答案. （2）讨论直线斜率存在或不存在，设出直线方程，设圆心Q到直线l的距离为d，由代入求解即可得出答案. 【详解】（1）解法1：设，，由中点坐标公式可得： 解得： 由于点P在圆O：上，所以：， 代入可得： 化简可得点Q的轨迹方程为：． 解法2：设线段OM的中点为N，连接NQ， ∵Q为的中点，∴， ∴点Q的轨迹为以N为圆心，1为半径的圆，则点Q的轨迹方程为： ．    （2）当k不存在时，直线l的方程为．此时圆心Q到直线l的距离为 所以：满足条件． 当k存在时，直线l的方程为，设圆心Q到直线l的距离为d， 则，所以： 而Q到直线l的距离为，解得： 此时直线l方程为：． 综上：满足条件的直线l的方程为：或，    25．(24-25高二上·湖北荆州沙第一中学·期中)已知圆内有一点，倾斜角为的直线过点且与圆交于两点. (1)当时，求的长； (2)是否存在弦被点三等分？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由； (3)记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.并计算出定值. 【答案】(1) (2)存在， (3)证明见解析， 【分析】（1）由题意求出直线方程，利用圆的几何性质求弦长即可； （2）假设存在，求出弦心距，讨论直线的斜率是否存在，利用点到直线距离即可得解； （3）分类讨论直线斜率是否存在，存在时由根与系数的关系及斜率公式化简即可证明. 【详解】（1）因为，所以，直线的方程为， 圆的圆心为，半径， 设圆心到直线的距离为，则， 所以； （2）取的中点为，如图， 假设存在弦被点三等分，设，，则， ，解得， 当斜率不存在时，，故斜率存在， 设斜率为，则：， ，解得， 即存在弦被点三等分，直线的斜率为； （3）由题意知，, 当直线斜率不存在时，，， 不妨取， 则，此时； 直线斜率存在时，设方程为， 代入圆的方程可得， 设，则， 又， 所以， 综上，为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 地 城 考点07 圆中的切线问题 一、单选题 26．(24-25高二上·湖北部分名校·期中)已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心坐标，利用圆的切线性质求出切线的斜率即可得切线方程. 【详解】圆的圆心，直线的斜率， 因此圆在点P处的切线方程为，即. 故选：D 27．(24-25高二上·湖北部分级示范高中·期中)已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线距离的最大值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】假设点，求得以为直径的圆的方程，与已知圆的方程作差可得直线的方程，然后可知直线过定点，最后判断和计算可得结果. 【详解】设，则， 则以为直径的圆的方程为， 与圆的方程相减，得到直线的方程为：， 又，可得，即， 可得，解得，所以直线恒过定点， 点到直线距离的最大值即为点，之间的距离，， 所以点到直线距离的最大值为. 故选：A. 二、多选题 28．(24-25高二上·湖北楚天教科研协作体·期中)已知点在圆上，点，则（   ） A．点到直线AB的距离最小值为 B．在点处作圆的切线（为切点）与直线AB相交于点，则|PT|的最小值为 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】BCD 【分析】根据题意，确定圆心坐标与半径，结合直线与圆的位置关系逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为圆的圆心，半径， 且，则直线方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以点到直线AB的距离最小值为，故A错误； 在中，， 当最小时，则最小，由选项A可知，的最小值为， 则，故B正确； 如图所示，当直线与圆相切时，取到最大值和最小值， 此时，切线长， 其中，则，故C,D正确； 故选：BCD 29．(24-25高二上·湖北恩施州高中教育联盟·期中)记为圆的圆心．H为轴上的动点．过点H作圆的两条切线，切点分别是M，N，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为4 B．直线过定点 C．存在点，使得 D．四边形HMCN的面积的最小值为 【答案】BD 【分析】A选项，由图可得，后由小于1可判断选项正误； B选项，取HC中点为D，则MN所在直线为以D为圆心，为半径的圆与圆C的交点弦，两圆方程相减可得MN所在直线方程，即可得所过定点； C选项，等价于判断是否存在H点，使; D选项，四边形HMCN的面积为，设，可得面积关于表达式，求出最值即可判断选项正误. 【详解】由题如图，圆C：，则C，. A选项，如图，由几何知识可知，HC垂直平分MN， 则，因HM与圆C相切， 则是以M为直角顶点的直角三角形， 则，故，则A错误； B选项，设，取HC中点为D，则，. 则圆D：， 与圆C方程相减并化简可得直线MN为：. 令，即直线MN过定点，故B正确； C选项，若，则，又由题可知， 结合，可知此时四边形HMCN为正方形. 则.当与y轴垂直时，最小为3，因， 则不存在相应的H点，使，故C错误； D选项，设四边形HMCN的面积为S， 则. 由题，. 则，当且仅当时取等号. 故D正确. 故选：BD 【点睛】结论点睛：设圆的方程为，及一点.若该点在圆上，方程表示过该点的切线；若该点在圆外，方程表示过该点圆的两条切线切点所形成的切点弦方程. 地 城 考点08 圆与圆的位置关系及参数求解 一、单选题 30．(23-24高二上·湖北部分级示范高中·期中)圆和圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相离 C．相交 D．外切 【答案】C 【分析】求出两圆的圆心和半径，得到圆心距与两圆半径的关系，得到两圆位置关系. 【详解】易得圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 圆心距，, 所以，故两圆相交． 故选：C 31．(24-25高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中)已知圆与圆，若圆与圆恰有三条公切线，则实数t的值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】由两圆恰有三条公切线判断两圆外切，再由即可求得t的值. 【详解】由圆与圆恰有三条公切线，可知圆与圆外切. 由配方得：，知圆心半径； 由配方得：，知圆心半径. 由，可得，解得. 故选：B. 32．(23-24高二上·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)若圆与圆恰有一条公切线，则（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．8 【答案】B 【详解】根据圆与圆的位置关系即可求解. 【解答】圆，，， ，又圆与圆只有一条公切线， 所以圆与圆内切，则， 故选：B. 33．(23-24高二上·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期中)已知圆与圆外切，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】D 【分析】利用两圆外切求出的关系，再利用基本不等式求解即得. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径，依题意，， 于是，即，因此，当且仅当时取等号， 所以的最大值为3. 故选：D 34．(24-25高二上·湖北部分级示范高中·期中)若圆上总存在两个点到原点的距离均为2，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】问题转化为圆与圆有两个交点，利用圆与圆的位置关系，即可求的取值范围. 【详解】到原点的距离为2的点的轨迹为圆， 因此问题转化为圆与圆有两个交点， 易知，，，，， 所以，即， 解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 35．(24-25高二上·湖北孝感一般高中协作体·期中)已知圆和圆外切（其中），则的最大值为（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】将圆的一般方程变形为标准方程，可得圆心坐标和半径，由两圆外切，可得的关系，由均值不等式即可求解. 【详解】圆的标准方程为，则，半径， 圆的标准方程为，则，半径， 因为两圆外切，所以，即，所以， ， 则， 所以的最大值为，当且仅当时等号成立. 故选：B. 二、填空题 36．(24-25高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中)已知点P是椭圆上一动点，过点P作的切线PA、PB，切点分别为A、B，当最小时，线段AB的长度为 ． 【答案】 【分析】根据题意结合四边形的面积分析可知当且仅当点P为左顶点时，取到最小值，进而可得线段AB的长度. 【详解】由椭圆方程可知：， 圆的圆心为（也为椭圆的左焦点），半径， 因为，可知四边形的面积， 当最小时，即为四边形的面积最小， 又因为， 可知当取到最小值时，四边形的面积最小，即最小， 且点P是椭圆上一动点， 由椭圆性质可知：当且仅当点P为左顶点时，取到最小值， 此时，由对称性可知：， 即，为等边三角形，则. 故答案为：. 三、解答题 37．(24-25高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中)已知圆和，，． (1)求过点且与圆M相切的直线方程； (2)试求直线上是否存在点P，使得？若存在，求点P的个数，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)存在, 点有两个 【分析】（1）结合图形，将过点且与圆M相切的直线分成斜率不存在和存在两类情况，在斜率存在时，由圆心到直线的距离等于半径即可求得直线斜率，即得切线方程. （2）法一：先求出直线的方程，设出点，利用向量数量积的坐标公式计算即得关于的方程，通过判断方程根的个数即可判断点的个数；法二：先求出直线的方程，设点，根据求出点的轨迹方程为：，从而将问题转化为直线与圆的位置关系，由圆心到直线的距离与半径比较即得. 【详解】（1） 由，可得， 如图1，因过点且斜率不存在的直线恰与圆相切，故有一条切线方程为； 设另一条切线方程为：，即， 由圆心到直线的距离，解得， 故另一条切线方程为：. 综上，过点且与圆M相切的直线方程为或； （2） 解法一：如图2，因，，，故,则直线的方程为：， 设在直线AC上存在点，满足， 则有，即， 因，方程有两个不等根， 即在直线AC上存在两个点，满足. 故符合题意的点有两个. 解法二：设在直线上存在点，其坐标为， 因，，，故,则直线的方程为：. 由，可得，化简得：， 即，故点的轨迹是以为圆心，半径为的圆（如图3）， 故要判断点的个数，只需判断直线与圆的位置关系即可. 因圆心到直线的距离为， 可知直线与圆相交，即满足题意的点有两个. 地 城 考点09 圆的公共弦长及公共弦方程 一、单选题 38．(24-25高二上·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)圆与圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将两圆方程做差可得公共弦方程，再求出其中一个圆的圆心到公共弦的距离，利用公共弦长为求解即可． 【详解】圆①与圆②， ①－②得，即公共弦方程为， 又圆的半径为，圆心为， 圆心到直线距离， 所以公共弦长为. 故选：C. 二、多选题 39．(23-24高二上·湖北A9高中联盟·期中)已知圆和圆，下列说法正确的是（    ） A．两圆有两条公切线 B．两圆的公共弦所在的直线方程为 C．点在圆上，点在圆上，的最大值为 D．圆上有2个点到直线的距离为 【答案】ACD 【分析】由两圆的位置关系可判断A，将两圆的方程作差可判断B，转化为圆心间的距离可判断C，根据点到直线的距离判断D. 【详解】对于A，由圆得..， 圆心，半径为1，则， 故两圆相交，故两圆有两条公切线，故A正确； 对于B，因为圆，圆， 将两圆的方程作差得即， 所以直线的方程为，故B不正确； 对于C，由圆得圆心，半径为1， 由圆得圆心为，半径为2， 所以，故C正确； 对于D，圆心到直线的距离， 而圆的半径为，显然， 故只有一条与平行且距离为的直线与圆相交， 故圆上有2个点到直线的距离为，故D正确. 故选：ACD. 40．(23-24高二上·湖北部分高中联考协作体·期中)已知圆：和圆：的交点为A，B，则下列结论中正确的是（    ） A．公共弦AB所在的直线方程为 B．公共弦AB的长为 C．线段AB的中垂线方程为 D．若P为圆上的一个动点，则三角形PAB周长的最大值为 【答案】AC 【分析】将两圆方程相减，即得公共弦方程，判断A；根据弦长的几何求法求得公共弦AB的长，判断B；求出直线的方程，即可判断C；利用特殊点，求出此时三角形PAB周长，可判断D. 【详解】对于A，圆：，即，圆：， ，， 即两圆相交，将两圆方程相减得， 即公共弦AB所在的直线方程为，A正确； 对于B，到的距离为，圆的半径为1， 故，B错误； 对于C，线段AB的中垂线即为直线，而， 故的斜率为，则线段AB的中垂线方程为， 即，C正确； 对于D，当时，即和AB的中点三点共线， 此时， 此时三角形PAB周长为, 即角形PAB周长的最大值不是，D错误， 故选：AC 三、填空题 41．(23-24高二上·湖北武汉部分重点中学·期中)圆：与圆：的公共弦所在的直线方程为 . 【答案】 【分析】两圆的方程相减即可得公共弦所在直线方程. 【详解】圆：与圆：， 两圆方程相减可得，即， 则两圆的公共弦所在直线方程为. 故答案为：. 四、解答题 42．(23-24高二上·湖北武汉部分重点中学5G联盟·期中)已知圆，圆. (1)若直线经过圆与圆的公共点，求直线的方程； (2)若圆过两圆的交点且圆心在直线上，求圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两圆的方程作差可得到公共弦所在的直线方程，即得到直线的方程. （2）先联立方程组求出圆和圆的两个交点坐标，写出弦AB的垂直平分线方程；再根据题意求出圆的圆心坐标和半径；最后写出圆的标准方程即可. 【详解】（1）联立方程组，作差可得： 即两圆的交点所在直线方程为： 故直线的方程为. （2）联立方程组，解得或， 即两圆的交点坐标为和. 弦AB的垂直平分线方程为 圆过两圆的交点且圆心在直线上 圆的圆心既在弦AB的垂直平分线又在直线上. 联立方程组，解得，即得圆的圆心坐标为. 圆的半径 圆的方程为 43．(23-24高二上·湖北武汉新洲区部分学校·期中)已知圆，点是直线上的一动点，过点作圆的切线、，切点为、. (1)当切线的长度为时，求点的坐标； (2)求线段长度的最小值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分析可知圆的半径，设，利用勾股定理求出，再利用两点间的距离公式求出的值，即可得出点的坐标； （2）设，分析可知，、、、四点共圆，求出以为直径的圆的方程，可求出圆和圆的公共弦所在直线的方程，求出直线所过定点的坐标，分析可知，当时，取最小值，结合勾股定理可求得的最小值. 【详解】（1）解：由题可知，圆的半径，设， 因为是圆的一条切线，所以， 所以， 解得或，所以点的坐标为或. （2）解：设，因为、是圆的两条切线，所以， 所以、、、四点共圆，且以为直径， 设圆心为，易知，则， 圆的半径为， 则其方程为， 即①， 又圆②， ①②得圆与圆相交弦所在直线方程为， 即，由可得， 所以，直线恒过定点， 因为，则点在圆内， 当时，取最小值，且， 故. 44．(24-25高二上·湖北鄂州部分高中教科研协作体·期中)已知圆和点. (1)过点作一条直线与圆交于两点，且，求直线的方程； (2)过点作圆的两条切线，切点分别为，求所在的直线方程. 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）计算出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接检验即可；在直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数值，综合可得出直线的方程； （2）求出以点为圆心，半径为的圆的方程，将该圆方程与圆的方程作差，即可得出直线的方程. 【详解】（1）圆的标准方程为，圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时直线AB的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或； （2）因为，则， 所以以点为圆心，为半径为圆的方程为， 联立，两式相减整理可得：， 即EF所在的直线方程为. 地 城 考点10 圆中的最值问题 一、单选题 45．(24-25高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中)已知圆，若圆C关于直线对称，则的最小值为（   ） A．8 B．1 C．16 D． 【答案】A 【分析】根据题意直线过圆心，进而有，应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值. 【详解】由题意，直线过圆心，则，且， 所以， 当且仅当时取等号，故的最小值为8. 故选：A 46．(24-25高二上·湖北云学部分重点高中·)已知实数，满足方程，则的最大值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】根据点和圆、直线和圆的位置关系求得正确答案. 【详解】由得，所以在以为圆心， 半径为的圆上，表示圆上的点和点连线的斜率， 设过的圆的切线方程为， 到直线的距离，解得或， 所以的最大值为. 故选：D 二、多选题 47．(24-25高二上·湖北云学部分重点高中·)已知圆，为直线上一动点，过向圆引两条切线，为切点，则下列四个命题正确的是（   ） A．直线与圆总有两个交点. B．不存在点，使. C．直线过定点. D．过作互相垂直的两条直线分别交圆于、和、，则四边形面积的最小值为6 【答案】ACD 【分析】利用直线过定点且定点在圆内判断A，假设存在点，利用三角形边长关系和的取值范围判断B，求出以为直径的圆的方程，结合条件可得公共弦的方程，即可求出定点判断C，设到直线，的距离为，利用圆的几何性质求弦长，再结合面积公式和的取值范围判断D. 【详解】选项A：因为直线过定点， 且，即该定点在圆内，所以直线与圆总有两个交点，A说法正确； 选项B：连接，因为为切点，所以与全等，    假设存在点，使，则，此时， 因为，所以假设成立，即存在点，使，B说法错误； 选项C：设，则， 以为直径的圆的方程为，即， 又圆，两圆作差可得公共弦直线方程为， 消去可得，整理得， 令可得直线过定点，C说法正确； 选项D：设到直线，的距离为，则，    因为，， 所以， 又因为，当且仅当或过原点时等号成立， 所以，四边形面积， 即四边形面积的最小值为6，D说法正确； 故选：ACD 48．(24-25高二上·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)已知曲线，点为曲线上任意一点，则（   ） A．曲线的图象表示两个圆 B．的最大值是 C．的取值范围是 D．直线与曲线有且仅有2个交点 【答案】ACD 【分析】对于A对于判断曲线表示的图形，需要对给定方程进行化简变形. 对于求的最大值，可考虑将其转化为到原点距离的平方再加1，画图求解即可. 对于求的取值范围可联系到点与点连线的斜率范围.画图找出临界状态即可. 对于D，判断直线与圆的交点个数，运用圆心到直线距离与半径比较的方法判断. 【详解】对于A，由得， 即， 所以或， 所以曲线表示以为圆心，为半径的两个圆．故A正确. 对于表示到原点距离的平方再加1，如图，根据两圆关于原点对称，故最大值考虑一种情况即可，即为.故B错误. 对于表示点与点连线的斜率.如图，设过点且与圆相切的直线为 ，由直线与圆相切得或故C正确. 对于D，由C知，时，则直线为，与圆M相切. 圆心N到直线距离，故直线为，与圆N相切. 直线与曲线有且仅有两个交点.故D正确. 故选：ACD. 49．(24-25高二上·湖北部分名校·期中)四叶草也叫幸运草，四片叶子分别象征着：成功，幸福，平安，健康，表达了人们对美好生活的向往，梵客雅宝公司在设计四叶草吊坠时，利用了曲线Ω：，进行绘制，点在曲线Ω上，点，则下列结论正确的是（   ） A．曲线Ω围成的图形面积为 B．的最小值是 C．直线PQ的斜率的最大值为1 D．的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对A：根据曲线与圆的关系，结合面积公式，直接求解即可；对B：将问题转化为求到直线的距离的最小值问题，数形结合解决问题；对C：根据直线和圆的位置关系，数形结合，求解问题；对D：根据圆外一点到圆上一点距离的最值求解方法，数形结合，求解即可. 【详解】对曲线方程：， 当时，可化为，即， 故曲线Ω在第一象限是圆心为，半径为的圆上的一段圆弧； 根据对称性可知，该曲线关于轴，轴，以及坐标原点均对称，故其曲线绘制如下： 对A：记点，显然均在曲线Ω上，如下所示： 因为，故三点共线，则该曲线在第一象限内的面积为一个半圆的面积和△面积之和； 故曲线Ω围成的图形面积，故A正确； 对B：设点到直线的距离为，则 ， 根据对称性可知，曲线Ω在第三象限内的部分是在圆心为，半径为的圆上； 数形结合可知，点到直线的距离最小值为， 故的最小值为，故B错误； 对C：根据题意，作图如下： 数形结合可知，当且仅当为过且与曲线Ω在第四象限内的圆弧相切时，其斜率取得最大值； 根据对称性，曲线Ω在第四象限的部分是在圆心为，半径为的圆弧， 其方程为，设过点，且斜率存在的直线为， 故可得，整理得：，，解得（舍去）或， 故斜率的最大值为，故C正确； 对D：记曲线Ω在第一和第二象限圆弧的圆心分别为，显然，如下所示： 根据圆上一点到圆外一点距离的最值求解，数形结合可知： 当点在第一，第四象限时，可以取到最小值；当点在第二，第三象限时，可取到最大值； 为方便，只讨论第一，第二象限的情况； 当点在第一象限时，的最小值为； 当点在第二象限时，的最大值为； 故的取值范围为：，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：处理本题的关键，一是能够合理转化曲线方程，将其和圆建立关系；二是，借鉴处理圆中问题的方法，进而处理本题中遇到的问题，属综合困难题. 三、填空题 50．(24-25高二上·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)已知实数满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】数形结合，把问题转化成圆上的点到直线的距离的最大值问题求解. 【详解】设，， 因为，，所以、为圆上的两点.如图：    则. 又，所以， 取中点，则. 作直线：，作，，，，垂足分别为，，，. 所以 又，所以. 即. 所以. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是将代数问题转化为几何问题，数形结合，根据点到直线的距离公式求解. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $