专题04 椭圆、双曲线的方程及其性质（8大考点40题）（期中真题汇编，湖北专用）高二数学上学期

专题04 椭圆、双曲线的方程及其性质 8大高频考点概览 考点01 轨迹方程-椭圆 考点02 椭圆的定义及应用 考点03 根据方程表示椭圆求参数的范围 考点04 求椭圆方程 考点05 椭圆中的性质综合 考点06 椭圆中的离心率问题 考点07 双曲线综合 考点08 椭圆、双曲线解答题综合 地 城 考点01 轨迹方程-椭圆 一、单选题 1．(24-25高二上·湖北部分名校·期中)已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的位置关系及椭圆的定义可判断点轨迹为椭圆，即可得出轨迹方程. 【详解】圆：的圆心，半径， 圆：的圆心，半径， 由，得圆内含于圆内，设动圆半径为, 依题意，，，则， 因此点的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，， 所以M的方程为. 故选：B 二、填空题 2．(24-25高二上·湖北楚天教科研协作体·期中)已知圆为圆上任意一点，线段BP的垂直平分线和半径AP相交于，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据题设得到，结合椭圆定义写出轨迹方程即可. 【详解】由题意，且，而，已知圆的半径， 所以， 故的轨迹是以为焦点，且焦点在轴上的椭圆，，即， 所以轨迹方程为. 故答案为： 3．(24-25高二上·湖北云学部分重点高中·)设圆：，为圆内一点，为圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】数形结合，分析出动点满足的条件，再根据椭圆定义，即可求得其方程. 【详解】根据题意，作图如下所示： 由题可知：，且，故， 故点的轨迹是椭圆，设其方程为， 故，，，故，故其方程为：. 故答案为：. 三、解答题 4．(23-24高二上·湖北武汉部分重点中学5G联盟·期中)已知动点到两定点，的距离和为6，记动点的轨迹为曲线C. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于，两点，在轴是否存在点（若记直线、的斜率分别为，）使得为定值，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在定点，使得直线为定值. 【分析】（1）由椭圆定义可得动点的轨迹为以点为焦点的椭圆，求出椭圆方程； （2）联立与，设，得到两根之和，两根之积，设，则，从而得到时，，，时，，，得到答案. 【详解】（1）由题意得， 故动点的轨迹为以点，为焦点的椭圆， 其中，则， 故曲线的方程为； （2）联立与得， 设， 则， 则， ， 设，则 ， 当时，，， 当时，，， 所以存在定点，使得直线为定值. 【点睛】处理定点问题的思路： （1）确定题目中的核心变量（此处设为）， （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式， （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到， ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数. 5．(24-25高二上·湖北“鄂北联考”·期中)17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形.带槽杆长为4，点间的距离2，转动杆一周的过程中始终有.点在线段的延长线上，且. (1)以线段中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点的轨迹的方程； (2)过点的直线与交于两点.记直线的斜率分别为， （i）证明：为定值； （ii）若直线的斜率为，点是轨迹上异于的点，且平分，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）由题意，根据椭圆的定义知点的轨迹是以为焦点的椭圆，确定a，b即可求解； （2）（i）设，，联立椭圆方程，利用韦达定理表示，结合两点表示斜率公式即可证明； （ii）根据三角形面积公式化简可得，设，由（i）和平面向量的坐标表示建立的方程，解之即可求解. 【详解】（1）， 点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设椭圆的方程为， ， ， 点的轨迹的方程为； （2）（i）证明：设直线与椭圆的交点坐标为 ①当直线斜率存在时，如图， 设， 联立直线与椭圆的标准方程， 可得：， 显然：恒成立，则， ， ， ， ，即为定值； ②当直线斜率不存在时，直线垂直于轴，如图， 显然，可得：即0， 综上所述：为定值. （ii）， ，由（i）可知：， 设，即， ，可得， 又，，则， 又直线的斜率存在，， ， 综上：. 【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中范围问题的方法：一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化. 6．(24-25高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中)“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸： 步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F，此时圆周上与点F重合的点记为A； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P； 步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点P． 现取半径为8的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为，按上述方法折纸．以线段FE的中点为原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，记动点P的轨迹为曲线C．    (1)求曲线C的方程： (2)若点Q为曲线C上的一点，过点Q作曲线C的切线交圆于不同的两点M，N． （ⅰ）试探求点Q到点的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）是定值，定值为4；（ⅱ） 【分析】（1）根据题意分析可知，结合椭圆定义即可得方程； （2）①联立方程，结合相切关系可得和点Q的坐标，进而可得，进而可得结果；②根据垂径定理求面积，结合分析最值即可. 【详解】（1）由题意可知：， 则， 可知动点P的轨迹是以为焦点的椭圆，且， 所以曲线C的方程为. （2）①联立方程，消去y可得， 因为直线与曲线C相切，则， 整理可得，则原方程为，解得， 将代入直线，可得， 可知，且， 则，为定值； ②由题意可知：圆的圆心为，半径，    因为到直线的距离， 可得， 因为，则， 可得， 则面积， 可知当，即时，取到最大值. 【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法 （1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解． （2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值(注意：有时需先换元后再求最值)． 地 城 考点02 椭圆的定义及应用 一、单选题 7．(24-25高二上·湖北“鄂北联考”·期中)已知分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，则的周长为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】由椭圆的定义求解的周长. 【详解】由题意知：椭圆中，则， 的周长 故选：C 8．(24-25高二上·湖北云学部分重点高中·)为椭圆上任意一点，，，则的最大值为(    ). A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件可知，当且仅当，，三点共线且点在第二象限时，为最大值. 【详解】由椭圆，可得，，，所以可知为椭圆的下焦点， 设为椭圆上焦点，又因为为椭圆上任意一点，所以由椭圆定义可知：， 即，因为当，，三点共线且点在第二象限时有最大值， 即，又因为， 所以. 故选：D. 9．(24-25高二上·湖北武汉重点中学5G联合体·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为是上的任意一点，则错误的是（   ） A．的离心率为 B． C．的最大值为 D．使为直角的点有2个 【答案】D 【分析】AB选项，由题可得a，b，c，后由离心率计算式，椭圆定义可判断选项正误；C选项，由椭圆方程结合两点间距离公式可判断选项正误；D选项，即判断以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆是否有两个交点. 【详解】，则. AB选项，，故A正确；，故B正确； C选项，由题可知，，设， 则， 由题可得，则，故C错误； D选项，因为直角，则P在以原点为圆心，半焦距为半径的圆上， 则，与联立，可得. 则满足条件的点P为， 共4个，故D错误. 故选：D 地 城 考点03 根据方程表示椭圆求参数的范围 一、填空题 10．(24-25高二上·湖北“鄂北联考”·期中)已知曲线表示椭圆，则m的取值范围为 . 【答案】 【分析】先根据曲线为椭圆，列出满足椭圆的条件，进而求出m的范围. 【详解】由题意可得， 解得且， 所以 m的取值范围为 故答案为: 二、多选题 11．(24-25高二上·湖北云学部分重点高中·)已知曲线方程表示椭圆，则下列说法正确的是（   ） A．的取值集合为 B．当时，焦点坐标为 C．当时，记椭圆所包围的区域面积为，则 D．当时，随着越大，椭圆就越接近于圆 【答案】BCD 【分析】根据椭圆的基本性质对选项逐一判断即可. 【详解】A选项，因为，则,且，所以的取值范围是，故A选项错误； B选项，当时，椭圆方程为，则椭圆表示焦点在轴上的椭圆，且，所以焦点坐标为； C选项，当时，椭圆方程为，则椭圆表示焦点在轴上的椭圆，且，，则椭圆所包围的区域面积为，且，则C选项正确； D选项，时，曲线方程表示焦点在轴上的椭圆，则，，，则当，时，离心率表示单调递减的函数，则随着越大，椭圆的离心率越接近0，椭圆越圆，故D选项正确. 故选：BCD 地 城 考点04 求椭圆方程 一、解答题 12．(24-25高二上·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”·期中)已知椭圆的焦点为和，短轴长为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆上､下顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（不与两点重合）.证明直线与直线交点的纵坐标为定值，并求出该值. 【答案】(1) (2)证明见解析，定值为4 【分析】（1）由椭圆的基本知识点可求出，即可得到椭圆的标准方程； （2）由题意可知，直线存在斜率，可设直线方程，与椭圆方程联立，由根与系数的关系，可得到和的表达式；根据两点坐标，可写出直线与直线的方程，将化简得到，则，解得，即可证明并得到结果. 【详解】（1）根据题意可得：，所以， 因为焦点在轴，所以椭圆的标准方程为； （2）因为直线过点，且与椭圆的交点不与重合， 可知直线的斜率存在， 且直线与椭圆必相交，可设直线， 联立方程，消去可得， 由根与系数的关系可得：， 因为，可得直线，直线， 所以. 即，解得， 所以直线的交点在直线上. 13．(24-25高二上·湖北武汉常青联合体·期中)已知椭圆的焦距为，且经过点． (1)求的方程； (2)若直线与相交于不同于的，两点，的中点为，当时， ①求证：为直角． ②求的值． 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）根据点在椭圆上及焦距列方程求椭圆参数，即可得方程； （2）①由题设有，结合，有，即可证结论； ②设，将直线方程和椭圆方程联立，利用韦达定理及列方程求解即可. 【详解】（1）由题意，且，则， 所以椭圆； （2）①在中， 又，两点不同于，的中点为， 当时， 此时， 所以为直角，得证； ②设，联立， 整理得， 则， 所以，则，， 由， 综上，将韦达公式代入上式整理得，可得或， 而时，直线过点，不合题设， 当时，满足条件， 所以. 14．(24-25高二上·湖北宜昌部分级示范高中·期中)已知四个点中恰有三个点在椭圆：上. (1)判断哪个点不在椭圆上，并求出椭圆的方程； (2)设椭圆的左右顶点分别是、，点是直线上一点，直线、与椭圆的另一个交点分别为、，求证：直线过定点. 【答案】(1)不在椭圆上， (2)证明见解析 【分析】（1）分析可得必在椭圆C上，不在椭圆上，代入即得解； （2）方法一，设直线MN： ， M()，N()，P()，利用P、M、A和P、B、N三点共线 得，联立消元结合韦达定理的得， 代入上式求解即可； 方法二，讨论直线PA，PB斜率与零的关系，然后分别设直线PA，PB方程，分别与椭圆方程联立，求出M、N的坐标，进而求出直线MN的方程式，求出定点即可， 【详解】（1）因为关于y轴对称，必定均在椭圆上，代入得：. 若点在椭圆上，则，与上式矛盾. 所以不在椭圆上.                     由，解得， 故椭圆的方程为. （2）方法一： 设直线MN： ， M()，N()，P(). 由题意得：  ① ，       ②，    由①②得：，      又，代入上式得：   ③                         把联立消元得：， 即=0， 所以， ，                                                      由③得：， 即， 将， ，   代入上式得：， 即， 则，故直线MN恒过定点，                     方法二： 当直线PA，PB斜率不为0时， 设直线PA：，直线PB： 令得：，即.                                                      将PA：代入得：， 即， 则，所以， 即，                   又，则有                                                        将PB：代入得：， 即， 则，所以， 即.                    于是，， 而直线MN：，    令得: .                     又当直线PA，PB斜率为0时，MN也过点. 故直线MN过定点.    15．(24-25高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中)已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上． (1)求椭圆M的方程； (2)过x轴上的一定点作两条直线，，其中与椭圆M交于A、B两点，与椭圆M交于C、D两点，（A，C在x轴上方，B，D在x轴下方），如图所示． （ⅰ）已知，直线QA斜率为，直线QC斜率为，且，求证：直线AC过定点； （ⅱ）若直线，相互垂直，试求的取值范围． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）. 【分析】（1）根据离心率、所过的点求椭圆参数，即可得椭圆方程； （2）（ⅰ）令，，且，且均不为2，联立椭圆方程，应用韦达定理得，，结合得到关于的方程，可得的关系，即可证； （ⅱ）利用向量数量积的运算律得，令，，则，且，联立椭圆方程并结合韦达定理、向量数量积的坐标表示得到关于参数t的方程，即可求范围. 【详解】（1）由题设，可得，故椭圆方程为； （2）（ⅰ）由题意，令，，且，且均不为2， 联立，则， 且，所以， 则，， 由， 所以，则， 所以，故或， 当时，，此时过定点； 当时，，此时过定点，不合题意； 综上，直线过定点，得证. （ⅱ）由，，又直线，相互垂直， 即， 所以 ， 若， 则， 所以， 令，则，且， 联立，可得，显然， 则，，同理，， 所以，， ，， 所以 ， 令，则， 所以， 综上， 【点睛】关键点点睛：第二问的二小问，注意应用数量积运算律得到，设，则，且，综合应用韦达定理、数量积的坐标表示得到关于参数t的方程是关键. 16．(24-25高二上·湖北武汉外国语学校·期中)已知椭圆，短轴长为，且经过点.过左焦点 的直线交于两点，过点与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点. (1)求椭圆的标准方程； (2)证明:直线过定点，并求定点坐标； (3)设为直线与直线的交点，求面积的最小值. 【答案】(1)； (2)证明见解析，定点； (3). 【分析】（1）根据短轴长及椭圆上点求椭圆参数，即可得方程； （2）设直线，联立椭圆并应用韦达定理求中点坐标，利用垂直关系确定坐标，进而写出直线的方程，即得定点； （3）由，结合（2）及弦长公式求关于m的表达式，最后应用基本不等式求面积的最值. 【详解】（1）由题设，，可得，故. （2）由点B，D在x轴上方，直线l斜率存在且不为0， 设直线，联立椭圆，消去得， 由韦达定理得，且， 则中点，由，则代替m，得， 所以，故， 化简得，则过定点． 当时，取，，则过定点； 当时，取，，则过定点； 综上，直线MN过定点． （3）由点M，N分别为AB，DE的中点， 由 ， 由（2）知， 以代替m，得， 所以， 当且仅当，即时，． 【点睛】关键点点睛：第三问，数形结合得到为关键. 地 城 考点05 椭圆中的性质综合 一、单选题 17．(23-24高二上·湖北黄冈部分高中·)已知椭圆方程为，则该椭圆的长轴长为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【分析】椭圆方程化为标准形式，可得答案. 【详解】椭圆方程为，即， 因为，所以，， 则该椭圆的长轴长为. 故选：D. 18．(23-24高二上·湖北鄂西北六校（曾都区第一中学等）·期中)椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 【答案】C 【分析】分别求出两个椭圆的长轴长、短轴长、离心率和焦距即可判断. 【详解】解：椭圆的长轴长为，短轴长为， 离心率为，焦距为； 椭圆的长轴长为，短轴长为， 离心率为，焦距为； 故两个椭圆的焦距相等. 故选：C. 二、多选题 19．(24-25高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中)将圆上任意一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到椭圆C，若该椭圆的两个焦点分别为，长轴两端点分别为A，B，则（   ） A．椭圆的标准方程为 B．若点M是椭圆C上任意一点（与A，B不重合），P在的延长线上，MN是的角平分线，过作垂直MN于点Q，则线段OQ长为定值4 C．椭圆上恰有四个点M，使得 D．若点M是椭圆C上任意一点（与A，B不重合），则内切圆半径的最大值为 【答案】BCD 【分析】A若椭圆上点为，则在上代入即可得椭圆方程，B假设是直线与交点，易得为线段的中点，且，结合椭圆定义及中位线性质求；C由为椭圆上下顶点时最大，应用余弦定理求其最大值判断；D利用等面积法列方程求半径. 【详解】若椭圆上点为，则在上，故，所以椭圆，A错； 假设是直线与交点， 因为MN是的角平分线，过作垂直MN于点Q， 所以为线段的中点，且， 而是的中点，故中为中位线， 故为定值，B对； 当为椭圆上下顶点时最大，此时， 又，故， 结合椭圆的对称性，椭圆上恰有四个点M，使得，C对； 若内切圆半径为， 则， 所以，要使最大，只需最大，为， 所以最大，D对. 故选：BCD 三、填空题 20．(24-25高二上·湖北部分名校·期中)椭圆的长轴长为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆长轴长的定义可求. 【详解】根据椭圆方程可知， 所以长轴长为， 故答案为： 地 城 考点06 椭圆中的离心率问题 一、单选题 21．(24-25高二上·湖北楚天教科研协作体·期中)1．已知椭圆为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意和椭圆的定义可得和的各边边长，再结合余弦定理列方程，求解即可. 【详解】如图所示：    由题意得，又，则， 因为，，则，，故， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 所以，化简得，即，解得. 故选：A. 22．(24-25高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中)2．已知分别是椭圆的左、右焦点和上顶点，连接并延长交椭圆C于点P，若为等腰三角形，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】若，根据椭圆的定义有、，应用余弦定理及得到椭圆参数的齐次方程，即可求离心率. 【详解】由为等腰三角形，则有，而， 又，，若，则，， 所以， 在中， 在中， ，即，整理得，则. 故选：D 23．(24-25高二上·湖北部分名校·期中)3．如图，焦点在x轴上的椭圆（）的左、右焦点分别为，，P是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线与y轴的正半轴交于A点，的内切圆在边上的切点为Q，若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用椭圆的定义，结合圆的相切性质列式求出，进而求出椭圆的离心率. 【详解】令与圆相切的切点分别为， 由椭圆定义得，即， 由，得，即， 由对称性得，即，解得， 所以该椭圆的离心率为. 故选：A 24．(24-25高二上·湖北“鄂北联考”·期中)4．已知为椭圆上关于坐标原点O对称的两点，为椭圆的半焦距，P为平面上一点，且，椭圆的左、右顶点分别为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆对称性设出点坐标，再由向量数量积的坐标运算并根据可得点坐标，代入椭圆方程构造关于离心率的二次型方程可得结果. 【详解】由为椭圆上关于坐标原点对称的两点，可设，则， 设，则， 则， 整理得， 又，即可得， 则可得， 由， 则， 解得， 又，则， 代入到椭圆，可得， 又， 可得， 整理得，解得， 又，则， 易知，又， 所以. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用椭圆对称性设出点的坐标，将向量数量积进行坐标表示求得点坐标，代入椭圆方程得出关于离心率的等式即可得出结果. 二、填空题 25．(24-25高二上·湖北武汉常青联合体·期中)5．关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为．”设椭圆的左焦点为，右顶点为，过且垂直于轴的直线与的一个交点为，过作椭圆的切线，若切线的斜率与直线的斜率满足，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】根据题设有，，令，进而有且，结合已知列椭圆参数的齐次方程求离心率. 【详解】由题设，，令代入椭圆，有， 令，则过该点的切线，即为， 所以，而，故， 所以，则， 即，又，则. 故答案为： 地 城 考点07 双曲线综合 一、单选题 26．(23-24高二上·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期中)平面内到两定点、的距离之差等于10的点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．以上选项都不对 【答案】D 【分析】根据动点满足的几何性质判断即可. 【详解】因为、，所以， 而平面内到两定点、的距离之差等于的点的轨迹为一条射线. 故选：D 27．(23-24高二上·湖北云学名校联盟·期中)已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C的左支交于A，B两点，且，，则C的渐近线为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意设，则，根据双曲线定义可得，，在，中分别利用勾股定理可求得答案. 【详解】如图．设，，则， ，在中由勾股定理： ，解得：， 在中，由勾股定理： 解得：，所以， 所以渐近线方程为：. 故选：A． 二、多选题 28．(23-24高二上·湖北武汉东湖中学·期中)若方程所表示的曲线为，则下列说法错误的是（    ） A．若为椭圆，则 B．若为双曲线，则或 C．若为椭圆，则焦距为定值 D．若为双曲线，则焦距为定值 【答案】ACD 【分析】根据椭圆以及双曲线的标准方程，即可结合选项逐一求解. 【详解】方程，由，解得,,，此时曲线是椭圆，所以A不正确．   由得或，此时表示的曲线是双曲线，所以B正确， 当，解得，此时曲线表示焦点在轴上的椭圆， 故焦距为，不为定值，故C错误， 当，解得时，此时曲线表示焦点在轴上的双曲线， 则焦距为，不为定值，故D错误， 故选：ACD． 三、填空题 29．(23-24高二上·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期中)以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据给定的椭圆方程求出双曲线的顶点及焦点坐标，即可求出双曲线方程. 【详解】椭圆的长轴端点为，焦点为， 因此以为顶点，为焦点的双曲线虚半轴长为，方程为. 故答案为： 30．(23-24高二上·湖北云学名校联盟·期中)已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为 ． 【答案】或 【分析】分两种情况，焦点在轴上，焦点在轴上，两种情况，分别代入即可求解. 【详解】当双曲线为时，，． 当双曲线为时，，． 故答案为：或. 31．(23-24高二上·湖北荆荆襄宜七校考试联盟·期中)已知双曲线的方程为，点，是其左右焦点，是圆上的一点，点在双曲线的右支上，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】设点的坐标为，利用双曲线的定义，可得，于是，转化求解即可． 【详解】由题意可得，，即，则，的坐标分别为，， 由双曲线的定义，得， 又是圆上的点，设圆的圆心为，半径为， 由图可知，， 所以， 当且仅当、、、四点共线（、在之间）时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题 32．(23-24高二上·湖北云学名校联盟·期中)已知双曲线的渐近线方程为，且点在双曲线上． (1)求双曲线的标准方程． (2)过点的直线l与双曲线相交于A，B两点； ①若A，B两点分别位于双曲线的两支上，求直线l的斜率的取值范围； ②若，求此时直线l的方程． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据渐近线设双曲线方程，由经过的点代入方程即可求解； （2）运用分类讨论思想，联立直线与双曲线方程，根据条件及韦达定理即可求解. 【详解】（1）因为双曲线的渐近线为， 可设双曲线的方程为： 又点在双曲线上，所以： 双曲线的方程为：. （2）①当k不存在时，直线l交双曲线于左支上两点，不符合题意． 当k存在时，直线l的方程可设为：，设， 联立双曲线方程：, 由题意：，∴， 所以直线l的斜率的取值范围为． ②由，可得： 当直线l与x轴重合时，，，此时，不满足条件； 直线l的方程设为：， 联立方程可得：， ， 由，可得：代入上式可得：， ，解得：，故：． 此时直线l的方程为：或． 33．(24-25高二上·湖北武汉外国语学校·期中)已知双曲线 的实轴长为 4，离心率等于 2 . (1)求双曲线的方程； (2)已知定点 ，若双曲线的左焦点为，为双曲线右支上任意一点，求的最小值. 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）利用待定系数法求双曲线方程； （2）首先利用双曲线的定义，结合数形结合，求距离和的最小值. 【详解】（1）由条件可知，，，得，， 所以双曲线方程为：； （2）∵是双曲线的左焦点， ∴，，，， 设双曲线的右焦点为，则， 由双曲线的定义可得，则， 所以，    当且仅当三点共线时，等号成立， 因此，的最小值为9 地 城 考点08 椭圆、双曲线解答题综合 34．(23-24高二上·湖北武汉新洲区部分学校·期中)如图所示，椭圆的上顶点和右顶点分别是和，离心率，，是椭圆上的两个动点，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)求四边形面积的最大值； (3)试判断直线与的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)4 (3)是，定值为 【分析】（1）由题意求出b的值，根据离心率可求出，即得答案； （2）设直线的方程，联立椭圆方程可得根与系数的关系式，结合弦长公式求出的表达式，即可求得四边形面积的表达式，利用三角代换，结合二次函数性质即可求得面积的最大值； （3）求出直线与的斜率之积的表达式，结合根与系数的关系化简，即可得结论. 【详解】（1）因为，所以，又离心率为，所以， 即，， 所以椭圆的标准方程为 （2）因为，所以，所以， 设直线的方程为，，， 由，得， 由得， 则，，故， 直线方程为，，所以， 直线与之间的距离为， 故四边形的面积为， 令，则 ， 令，则，， 所以，而函数在上单调递增， 所以当时，即时，四边形面积的最大值为4； （3）由第（2）问得，， ， 故直线与的斜率之积为定值，且定值为. 35．(23-24高二上·湖北黄冈部分高中·)已知椭圆：（）的焦距为4，且经过点，过点且斜率为的直线与轴相交于点，与椭圆相交于，两点. (1)求椭圆的离心率； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一：根据焦距得到，，根据过点得到，然后解方程得到，最后求离心率即可； 方法二：根据焦距得到焦点坐标，然后根据椭圆的定义得到，最后求离心率即可. （2）设方程得到点坐标，根据得到，，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理和或或列方程，解方程即可得到. 【详解】（1）方法一： ∵，∴， ∵过点，∴，解得，， ∴， ∴离心率为. 方法二： 焦点，， ∴，. （2） 由（1）知椭圆方程为. 设方程为，则， 设，，则，. ∴，，∴. 联立与，得， ∴，∴，∴， 或：消去得，∴. ∴，. 或：，即，∴，. 36．(24-25高二上·湖北楚天教科研协作体·期中)在平面直角坐标系中，过点作斜率分别为的直线，若，则称直线是定积直线或定积直线. (1)已知直线是定积直线，且直线，求直线的方程; (2)如图所示，已知点，点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线上的点(与均不重合)，且直线是定积直线，直线是定积直线，直线是定积直线，求点的坐标; (3)已知点，直线是定积直线，若，求三角形的面积. 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）根据新定义求得的斜率，得直线方程； （2）设直线的斜率分别为，由新定义列方程组解得，求得直线方程，再联立直线方程求得交点坐标； （3）设出点坐标，根据新定义列出关系式，得到动点轨迹方程，假定在轴上方，根据直线斜率与角之间关系转化列出等式，求出点坐标，进而求得三角形面积. 【详解】（1）由已知得，又， 且直线过点， 的方程; （2）（2）设直线的斜率分别为， 则. 得（负值舍去）， 当时， 直线的方程为，直线的方程为 联立得；故所求为； （3）设， 得的轨迹方程为: 由图形的对称性，不妨设在轴上方，则 ，得，即此时的纵坐标为 . 所以三角形的面积为. 【点睛】方法点睛： “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝． 37．(23-24高二上·湖北荆荆襄宜七校考试联盟·期中)已知椭圆，其上顶点为； (1)若直线与椭圆交于、两点，求证：为定值； (2)由椭圆上不同三点构成的三角形称为椭圆的内接三角形，现以为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形，求内接等腰直角三角形的个数． 【答案】(1)证明见解析 (2)3个 【分析】（1）联立方程后运用韦达定理进行坐标运算即可证明 （2）利用等腰直角三角形的腰互相垂直且相等，设出直线方程后联立，再运用韦达定理进行坐标运算即可 【详解】（1）依题意，设， 和椭圆联立有，消元得， 当，即且时，，， 则， ∴； （2）设椭圆内接等腰直角三角形的两直角边分别为，， 设，，若或与坐标轴平行，则无法构成三角形， 故斜率都存在，且由为直角顶点知， 所以不妨设直线的方程为，则直线的方程为， 由，消去得，所以，， 求得， 由得，故， 求得． 因为是以为直角顶点的等腰直角三角形，所以， 所以，整理得， 所以，所以或， 所以，以为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有3个．    38．(23-24高二上·湖北武汉东湖中学·期中)如图，已知椭圆，长轴长为6，离心率为，过椭圆右焦点作斜率不为0的直线交椭圆于、，过作垂直于直线，连接. (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：直线过定点，并求出定点坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点 【分析】（1）利用椭圆的几何性质求得，从而得解； （2）根据题意得到，再联立直线与椭圆的方程得到，从而推得直线必过定点. 【详解】（1）由题意知，，则，，故， 所以椭圆的标准方程为. （2）设，，则，， 由椭圆对称性可知，若存在定点，则定点必在轴上， 由题意，设， 联立，得，易知， 所以，，则 对于， 令，化简得 ， 所以直线必过定点. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 39．(24-25高二上·湖北楚天教科研协作体·期中)已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距等于，离心率为 (1)求椭圆的标准方程; (2)若直线与椭圆交于M、N两点，求证：为定值; (3)记为椭圆上顶点，过点作相互垂直的两条直线BP，BQ分别与椭圆相交于P，Q两点.设直线BP的斜率为且，若，求的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或1 【分析】（1）根据焦距和离心率求解出，来求解； （2）联立方程组，根据两点间的距离求解； （3）设，联立方程组求解出，，然后根据求解出，从而解得或. 【详解】（1）由已知得， 又，又. 所以椭圆的方程为. （2）依题意，设， 联立直线与椭圆有，消元得： 当，即且时， ， 即为定值. （3）设，设直线BP的方程为， 则直线BQ的方程为， 由，消去得， ， ， 由得 ， ， ， ， 整理得：， ， 或. 40．(24-25高二上·湖北部分级示范高中·期中)已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，记线段中点的运动轨迹为曲线 (1)求曲线的方程 (2)过点作直线交曲线于两个不同的点，，且不过曲线的中心，再过点，分别作曲线的切线，两条切线交于点，求证：点在同一直线上，并求出该直线的方程 (3)斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点，，直线，的斜率分别为，，且.若，为垂足，证明：存在定点，使得为定值 【答案】(1) (2)详见解析； (3)证明见详解 【分析】（1）利用相关点法求轨迹方程； （2）设，，，由，可得直线所在的直线方程，又点在直线上，可得证； （3）设直线与圆的方程联立，利用韦达定理表示，即可求解定点坐标，由几何图形可知，，再利用直角三角形，斜边的中线等于斜边的一半，即可求出定点坐标. 【详解】（1）设线段的中点为，， ，即， 因为点在圆上， 所以，化简得， 所以曲线的方程为. （2）设，，，点在圆外部， 由，可得，即， 又，可得， 同理，由可得， 所以直线所在的直线为，又点在直线上， ，即， 所以点在同一条直线上，直线方程为. （3）设直线，，，， 由，得， ，， ，即， ，所以， 所以直线的方程为，即直线过定点， 因为为定值，为直角三角形，为斜边， 所以当是的中点时，， 所以存在定点，使得为定值. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04椭圆、双曲线的方程及其性质 ☆8大高频考点概览 考点01轨迹方程椭圆 考点02椭圆的定义及应用 考点03根据方程表示椭圆求参数的范围 考点04求椭圆方程 考点05椭圆中的性质综合 考点06椭圆中的离心率问题 考点07双曲线综合 考点08椭圆、双曲线解答题综合 目目 考点01 轨迹方程-椭圆 一、单选题 1.(24-25高二上湖北部分名校期中)已知圆C:（x+32+y2=121和C2:(x-3+y2=1,若动圆P与这 两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M,则M的方程为（) B.+=1 369 3627 c￡+-1 D.+-1 3616 169 二、填空题 2.(24-25高二上湖北楚天教科研协作体·期中)已知圆A:(x+1)2+y2=36,B(1,0),P为圆A上任意一点，线 段BP的垂直平分线1和半径AP相交于Q,当点P在圆A上运动时，点Q的轨迹方程为】 3.(24-25高二上·湖北云学部分重点高中)设圆M:(x-2)2+y2=36,A(-2,0)为圆M内一点，P为圆上 任意一点，线段AP的垂直平分线1和半径MP相交于Q,当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为一 三、解答题 4.(23-24高二上·湖北武汉部分重点中学5G联盟·期中)已知动点P到两定点A-2√2,0)，B22,0的距离 / 面学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 和为6，记动点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)直线I:x-my-1=0与曲线C交于M,N两点，在x轴是否存在点T(若记直线MT、NT的斜率分别为 kr,kr)使得kMwr·kwr为定值，若存在，请求出点T坐标；若不存在，请说明理由. 5.(24-25高二上湖北“鄂北联考”.期中)17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1 所示.四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形LFKQ.带槽杆QF长为4，点F,F间的距离2，转动杆QF一 周的过程中始终有QE=EF,.点M在线段EE的延长线上，且MF,=3. F M 图1 图2 (1)以线段FF中点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点E的轨迹Γ的方程： (2)过点F的直线Z与「交于A、B两点.记直线MA、MB的斜率分别为k,k2, ()证明：k+k2为定值； BN (i)若直线I的斜率为k,点N是轨迹T上异于A、B的点，且WF,平分∠ANB,求 的取值范围。 AN 6.(24-25高二上·湖北华中师范大学第一附属中学期中“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的 艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步 骤折纸： 步骤1：设圆心是E,在圆内异于圆心处取一定点，记为F; 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F,此时圆周上与点F重合的点记为A; 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P; 步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点P. 现取半径为8的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为4√3，按上述方法折纸.以线段FE的中点为原点， F正的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy,记动点P的轨迹为曲线C. 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求曲线C的方程： (2)若点Q为曲线C上的一点，过点Q作曲线C的切线y=kx+m交圆O:x2+y2=16于不同的两点M,N. (1)试探求点Q到点D0,-的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由； (ⅱ)求aOMW面积的最大值. 目目 考点02 椭圆的定义及应用 一、单选题 7.(2425高二上湖北“鄂北联考”期中已知，B分别是椭圆+广=1的左、右焦点，点P在椭圆上， 1612 则△PFF的周长为() A.4 B.8 C.12 D.16 8.(24-25高二上溯北云学部分重点高中)M为椭圆+上=1上任意一点，40，-2,81,1，则 59 MA+MB的最大值为(). A.3+V2 B.6+V10 C.6+V5 D.6+2 9.(24-25高二上·湖北武汉重点中学5G联合体·期中己知椭圆C:x2+4y2=16的左、右焦点分别为F,F2,P 是C上的任意一点，则错误的是() A.C的离心率为 B.PF+PF =8 2 C.PF的最大值为4+2√3 D.使∠FPF,为直角的点P有2个 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点03 根据方程表示椭圆求参数的范围 一、 填空题 10.(24-25高二上湖北“鄂北联考”期中)已知曲线，广 =1表示椭圆，则m的取值范围为 12-mm-4 二、多选题 1.(2425高二上湖北云学部分重点高中)已知曲线方程，。+， =1表示椭圆，则下列说法正确的是() 4-m5+m A.m的取值集合为{m-5<m<4 B.当m=2时，焦点坐标为0，±V5) C.当m=-1时，记椭圆所包围的区域面积为S,则S<8√5 D.当-5<m<- 时， 随着m越大，椭圆就越接近于圆 目目 考点04 求椭圆方程 一、解答题 ,Q425高上湖北、荆、美、宜四地液考式联理期已知椭酸E名+Q>6>0的焦点 为F-2V3,0)和F2V3,0),短轴长为4 (1)求椭圆E的标准方程； (2)设椭圆上、下顶点分别为PP,过点Q(0,1的直线4与椭圆E交于A、B两点（不与P、P,两点重合），证明 直线AP与直线BP交点的纵坐标为定值，并求出该值 1B.2425商二上湖武汉常青联合体期已知椭国C:号+片=Q>6>0的距为2，且经过点 A0,5. (1)求C的方程； (2)若直线：y=x+m与C相交于不同于A的P,Q两点，PQ的中点为M,当∠PMA=2∠PQA时， ①求证：∠PAQ为直角. ②求m的值. 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 14.425商=上潮北宜昌部分级示范高中期中)已知四个点R1,A(0),P-1引引中恰有三 个点在椭圆C： x2,y2 a+F=1(a>b>0)上 (1)判断哪个点不在椭圆C上，并求出椭圆C的方程； (2)设椭圆C的左右顶点分别是A、B,点P是直线x=4上一点，直线PA、PB与椭圆C的另一个交点分别 为M、N,求证：直线MW过定点， 氏，2425高三上湖北华中师范大学第附中学期已知稀圆M无+>h>0)的离心率为V3 3 且点 在椭圆上. 2 (1)求椭圆M的方程； (2)过x轴上的一定点P(1,O)作两条直线4，Z,其中（与椭圆M交于A、B两点，Z与椭圆M交于C、D两 点，(A,C在x轴上方，B,D在x轴下方)，如图所示 (i)已知Q(2,0),直线OA斜率为k,直线QC斜率为k2,且k·k2=1,求证：直线AC过定点； (ⅱ)若直线4，马相互垂直，试求AC.BD的取值范围. 16,2425高二上湖北武议外国语学校期中已知椭圆C:X+1a>b>0,短轴长为23，且经过点 过左焦点F的直线1交C于A,B两点，过点F与l垂直的直线交C于D,E两点，其中B,D在x轴上方， MN分别为AB,DE的中点 (1)求椭圆C的标准方程； (2)证明：直线MN过定点，并求定点坐标； (3)设G为直线AE与直线BD的交点，求aGMN面积的最小值 面学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点05 椭圆中的性质综合 一、单选题 17.(23-24高二上·湖北黄冈部分高中)已知椭圆方程为2x2+y2=16,则该椭圆的长轴长为() A.22 B.4 C.4W2 D.8 18.(2324高二上潮北鄂西北六校（曾都区第一中学等）期中椭圆二+上=1与椭圆 197 x2 =1(m<7列的（） 19-m7-m A.长轴长相等B.短轴长相等 C.焦距相等 D,离心率相等 二、多选题 19.(24-25高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中)将圆x2+y2=16上任意一点的横坐标不变，纵坐 标变为原来的)，得到椭圆C,若该椭圆的两个焦点分别为F,E，,长轴两端点分别为A,B,则() A,椭圆的标准方程为二+上-1 168 B.若点M是椭圆C上任意一点（与A,B不重合），P在FM的延长线上，MN是PMF,的角平分线， 过F作F,Q垂直MN于点Q,则线段OQ长为定值4 C.棉圆上拾有四个点M使得∠RM=号 D.若点M是椭圆C上任意一点（与A,B不重合），则△MFF内切圆半径的最大值为4V3-6 三、填空题 20.(2425高二上湖北部分名校期中)椭圆+二=1的长轴长为 416 目目 考点06 椭圆中的离心率问题 一、单选题 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 21.(2425高二上湖北楚天教科研协作体期中1.已知椭圆C:+ a2 +=1(a>b>0,F,E为椭圆的左右焦点， A为椭圆上一点，连接AF并延长交椭圆于另一点B,若AF,=AF,BF,=3BF,则椭圆C的离心率为() A.3 B.V21 C.2 D, v分 3 7 22.(24-25高二上湖北华中师范大学第一附属中学期中)2.已知F,F2,B分别是椭圆 C: :。+F-1(a>h>0)的左、右焦点和上顶点，连接BF并延长交椭圆C于点P,若aPR,B为等腰三角形， 则椭圆C的离心率为() A.月 B3 C.② 2 D.3 3 23.(2425高二上湖北部分名校期中3.如图，焦点在x轴上的椭圆 交+=(a>0)的左、右焦点分 别为F,F,P是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线FP与y轴的正半轴交于A点，△APF的内切圆 在边PF上的切点为Q,若|F2=8,则该椭圆的离心率为() A.7 D.13 4 B. 4 24.2425商=上湖北鄂北联考期中4.已知从N为第钢号+是-a>6>0)上关于坐标原后O发称 的两点，C为椭圆的半焦距，P为平面上一点，且PM·P=0,OP=c,椭圆的左、右顶点分别为A,B,若 NM.AB=2ac,则椭圆的离心率为() A.② B.V3 2 2 C.5-1 D.5-2 二、填空题 25.425尚上湖武汉靠音俄合休中5.关于椭圆有如下结论：过椭圆名+口>6>0上口 点P比作孩圆的线，践方程为+冷·设椭固C:三+广片Q>6>0的左焦点为F,右 函学科网 ww w zxxk com 让教与学更高效 顶点为A,过F且垂直于x轴的直线与C的一个交点为M,过M作椭圆的切线I,若切线I的斜率k与直线 AM的斜率k2满足k+2k2=0,则椭圆C的离心率为」 目目 考点07 双曲线综合 一、单选题 26.(23-24高二上·湖北武汉华中师范大学第一附属中学期中平面内到两定点A(-6,0)、B(0,8)的距离之差 等于10的点的轨迹为() A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支 D.以上选项都不对 27.2324商三上湖北云学名位联显期中)已知双曲线C:手多=川a>0b>0的左、右焦点分别为5， F,过F的直线与C的左支交于A,B两点，且AE=2EB,∠ABF2=90°，则C的渐近线为() Ay3xB.=去2 C.y=+ 2 D.y=+10 2 二、多选题 28.(2324高二上湖北武汉东湖中学期中)若方程、+，)广=1所表示的曲线为C,则下列说法错误的 9+m16-m 是() A.若C为椭圆，则-9<m<16 B.若C为双曲线，则m>16或m<-9 C.若C为椭圆，则焦距为定值 D.若C为双曲线，则焦距为定值 三、填空题 29.23-24高二上潮北武汉华中师范大学第一附属中学期中)以椭圆二+二-1的焦点为顶点，顶点为焦点 1625 的双曲线的标准方程为 30.(23-24高二上·湖北云学名校联盟·期中)已知双曲线的渐近线方程为y=±√2x,则双曲线的离心率 为 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3引.(23-24高二上湖北荆荆襄宜七校考试联盟期中)已知双曲线的方程为二-二 =1,点F,F是其左右 916 焦点，A是圆x2+(y-5)=4上的一点，点M在双曲线的右支上，则MF+MA的最小值是」 四、解答题 32.(2324高二上湖北云学名校联盟期中)已知双曲线的渐近线方程为y=±5x,且点(2V5,2在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程. (2)过点P-√6,0)的直线1与双曲线相交于A,B两点； ①若A,B两点分别位于双曲线的两支上，求直线1的斜率的取值范围； ②若AP=2PB,求此时直线1的方程， 识.2425高三上薄北武汉外国语学校期已知双曲线号茶-川口>06>0，的安维长为4，离心字 等于2 (1)求双曲线的方程： (2)已知定点A(1,4),若双曲线的左焦点为F,P为双曲线右支上任意一点，求PF+PA的最小值 目目 考点08 椭圆、双曲线解答题综合 42324高上测武议新洲区部分学校期中痴图所示，酸E:无+=（口>6>0）的上顶点和右质 点分别是4O,)和8，离心率e=5,C,D是椭医上的两个动点，且CD11AB 2 D (1)求椭圆的标准方程： (2)求四边形ABCD面积的最大值； (3)试判断直线AD与BC的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 35.234商=上海北演冈部分商中已知烤圆C:号若-1e>6>0)的编距为，且经过点25 ,过点P(0,)且斜率为k的直线1与x轴相交于点G,与椭圆C相交于A,B两点. (1)求椭圆C的离心率； (2)若AP=GB,求k的值 36.(24-25高二上湖北楚天教科研协作体期中)在平面直角坐标系中，过点A(x,y)作斜率分别为k,k2的 直线，，若kk2=μ(u≠0)，则称直线，l是K,()定积直线或K四定积直线。 R (1)已知直线4,2是Ko.0(-3)定积直线，且直线：y=2x,求直线的方程 (2)如图所示，己知点A(0,1),点B(-1,0)和点C(L,0)分别是三条倾斜角为锐角的直线PQ,QR,RP上的点 (A,B,C与P,Q,R均不重合)，且直线PR,PQ是K(I)定积直线，直线QP,QR是Ko(4)定积直线，直线 RP,RQ是K(9)定积直线，求点P的坐标： (3)已知点M(-2,0),N(2,0),直线TM,TN是K 1 4 定积直线，若∠MTN=120°，求三角形△MTN的面积， 37.(23-24高二上湖北荆襄宜七校考试联盟期中已知椭圆C:+y=1,其上顶点为A; 1 (①)若直线y=2x+m(m≠0)与椭圆C交于P、Q两点，求证：oP+00为定值： (2)由椭圆C上不同三点构成的三角形称为椭圆的内接三角形，现以A为直角顶点作椭圆C的内接等腰直角 三角形，求内接等腰直角三角形的个数。 38.324离二上湖北武汉东湖中学期中)友图，已灯椭题三+茶=1，长轴长为6，离心率为子，过椭圆 右焦点F作斜率不为0的直线交椭圆于P、Q,过P作PE垂直于直线x=9, ,连接E0 /