专题4.1 点与线（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024六年级上册

专题4.1 点与线 教学目标 1. 知道点、直线、射线、线段的概念； 2. 学会直线、射线、线段的特点； 3. 掌握点在射线上的三种情况； 4. 线段的度量与大小比较。 教学重难点 1.重点 （1）直线、射线、线段的概念、表示，联系与区别； （2）直线、射线、线段的有关尺规作图及语言表述； （3）两点确定一条直线；两点之间，线段最短； 2.难点 （1）尺规作图及其应用； （2）直线、射线、线段的数量问题。 知识点1 点与线 一、点 点是图形的基本元素之一.当我们用削尖的铅笔轻轻在纸上点下去时，纸上就会出现一个小小的黑点(图4-1-1),这使我们能够形象地理解点的概念.我们通常用一个大写字母来表示点，就像图4-1-1中的点可以记为“点A”. 2、 直线、射线、线段 Ⅰ、直线 ①如图4-1-2,用铅笔沿着一把直尺的边在纸上连续移动，会画出一个什么图形? 如图4-1-3,把圆规装有针尖的脚固定在一点上，另一只装有铅笔芯的脚绕着这个点旋转一周，会画出一个什么图形? 在上述过程中，我们可以把铅笔尖看作一个移动的点.当这个点在纸上移动时，它留下的痕迹形成了一条线，这条线可以是直线，也可以是曲线.这给我们展现了“点动成线”的直观形象.通过点的运动，我们可以得到各种形状的线. 在小学阶段，我们已经知道经过一个点可以画无数条直线，经过两个点只能画一条直线， 因此我们得到：经过两点有且只有一条直线. 在直线上任意取两个点，可以用表示这两点的两个大写字母表示这条直线，如图4-1-4(1)的直线可以记作“直线AB”或“直线BA”.有时为了简便也可以用一个小写字母表示，如图4-1-4(1)的直线也可以记作“直线l”. 要点： 直线的特征：（1）直线没有长短，向两方无限延伸． （2）直线没有粗细． （3）两点确定一条直线． （4）两条直线相交有唯一一个交点． ②.点与直线的位置关系： （1）点在直线上，如图3所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A． （2）点在直线外，如图4，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B． Ⅱ、射线 ①直线上任意一点及其一侧的部分叫作射线.射线可以用表示它的端点和射线上任意一点(端点除外)的两个字母表示，表示端点的字母要写在前面，如图4-1-4(2)中的射线记作“射线AB”. ②.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长． ③.表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图8所示，可记为射线OA． （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图所示，射线OA可记为射线l． 要点： (1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图1中射线OA，射线OB是不同的射线． 图1 (2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图2中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线． 图2 Ⅲ、线段 ①直线上任意两点间的部分(包括端点)叫作线段.线段可以用表示它的端点的两个大写字母表示，如图4-1-4(3)中的线段可以记作“线段AB”或“线段BA”,也可以用一个小写字母表示，记作“线段a”. ②. “作一条线段等于已知线段”的两种方法： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a． 法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段． 要点： （1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短． （2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离． （3）线段的比较： ①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短． ②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短． 三、两点间的距离 在小学阶段，我们也知道关于线段的基本事实：两点之间，线段最短. 如果一条线段的两个端点的位置确定了，那么这条线段的位置就确定了.这可以简单地表达为两点确定一条以这两点为端点的线段.因此，我们把连接两点的线段的长度叫作这两点间的距离. 四、直线、射线、线段的区别与联系 1.直线、射线、线段之间的联系 （1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线． （2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线． 2．三者的区别如下表 要点： （1） 联系与区别可表示如下： （2）在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样． 五、点在射线上的三种情况 任意画两条线段AB、CD,将线段AB移到线段CD的位置，使端点A与端点C重合，且端点B在射线CD上.端点B有以下三种可能的位置情况，如表4-1所示. 六、线段的度量与大小比较 线段的度量需要先取单位长度.有了单位长度，线段的长度就可以用一个数来描述长短.一旦单位长度确定，我们就可以用相应的刻度尺对线段进行度量.进一步，线段的长短也可以通过长度来加以比较. 在不产生混淆的前提下，AB(或a)也可以用以表示线段AB(或线段a)的长度.例如，在表4-1的结论中，情况一可记为AB<CD,情况二可记为AB=CD,情况三可记为AB>CD. 如果没有刻度尺，我们还可以借助圆规比较两条线段的长短.如图4-1-7所示. 【即学即练】 1．如图，下列说法正确的是（   ） A．点O在射线上 B．点B是直线的一个端点 C．点A在线段上 D．射线和射线是同一条射线 2．将一根细木条固定在墙上，最少需要2个钉子，其中的道理可以解释为（   ） A．线段有两个端点 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．线段可以比较大小 3．下列说法正确的是（    ） A．直线和直线表示不同的直线 B．过一点能作无数条直线 C．射线和射线表示同一条射线 D．射线比直线短 4．根据语句“直线与直线相交，交点为．”画出的图形是（　　） A． B． C． D． 5．如图，用圆规比较两条线段和的长短，图中的两个圆规大小相同且夹角相等，其中正确的是（   ） 如图，用同一个圆规张开一定角度比较两条线段和的长短，下列结论正确的是（ A． B． C． D．没有刻度尺，无法确定 6．平面上有四点、、、，根据下列语句画图． (1)画直线AD； (2)连接、，相交于点O； (3)画射线． 题型01 直线、射线、线段的表示 【典例1】．下列直线的表示方法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．下列各图中表示射线，线段的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，表示方法正确的是（    ）    A．①② B．②④ C．③④ D．①④ 题型02 尺规作图的语句辨析 【典例1】．下列语句中正确的是（    ） A．画直线 B．延长射线到 C．画射线厘米 D．延长线段到，使得 【变式1】．下列说法错误的是（   ） A．画线段厘米 B．画射线厘米 C．在射线上截取厘米 D．延长线段到C，使得 【变式2】．下列说法正确的是（　　） A．画一条长的射线 B．线段和线段不是同一条线段 C．射线是直线的一部分 D．延长直线至点 【变式3】．下列语句准确规范的是（    ） A．直线相交于一点 B．延长直线 C．延长线段到，使 D．反向延长射线（是端点） 题型03 直线、射线、线段的联系与区别 【典例1】．下列说法正确的是（    ） A．直线和直线表示不同的直线 B．过一点能作无数条直线 C．射线和射线表示同一条射线 D．射线比直线短 【变式1】．下列四个选项中，说法正确的一项是（    ） A．直线的长度是5分米 B．两点的所有连线中，线段最短 C．直线不可以度量，但射线可以度量 D．射线可以有两个端点 题型04 两点确定一条直线；两点之间，线段最短 【典例1】．经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的黑线，而且只能弹出一条黑线，能解释这一实际应用的数学知识是（   ） A．两点确定一条直线 B．过一点，有无数条直线 C．两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离 D．两点之间的所有连线中，线段最短 【变式1】．挖地基时在地上画线，先在地上钉两根木桩就可以拉一条线，说明原理 ． 【变式2】．如图，把一段弯曲的公路改成直道可以缩短路程，其理由是 ． 【变式3】．如图，从A地到C地有四条道路，某同学认为第③条路线最近，其中的数学道理是 ． 题型05 尺规作图 【典例1】．按下列语句画出图形： (1)直线经过点C； (2)点A在直线l外； (3)经过点O的三条线段； (4)线段相交于点B，连接． 【变式1】．如图所示，平面上有四个点A、B、C、D，根据下列语句画图： ①作射线． ②作线段． ③作直线． ④连接，并将其延长至E，使． 【变式2】．如图，平面内有四个点A，B，C，D．根据下列语句作图（保留作图痕迹），并回答问题． (1)连接； (2)画射线，并在线段的延长线上用圆规截取； (3)作直线与射线交于点F．观察图形发现，线段，得出这个结论的依据是：　 　． 题型06 线段的度量；图形语言描述辨析 【典例1】．如图，用圆规比较两条线段的长短，其中正确的是（　　） A． B． C． D．不能确定 【变式1】．下列几何图形与相应语言描述相符的是（   ） A．如图1，线段经过点 B．如图2，射线的端点是点 C．如图3，直线与直线相交于点 D．如图4，射线和线段有交点 【变式2】．下列几何图形与相应语言描述相符的是(   ) A．如图1，直线，相交于点 B．如图2，直线与线段没有公共点 C．如图3，延长射线 D．如图4，点在直线上 题型07 点与直线的位置关系 【典例1】．如图，已知点P与直线l，用适当的语句表述图中点P与直线l的关系： ． 【变式1】．正方形网格中，直线经过的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式2】．如图，直线m和直线n相交于点O，对于图形，说法正确的语句有（　 　） ①点O在直线m上． ②点O在直线n上． ③点O在直线m上． 也在直线n上．              ④直线m经过点O． A．1个． B．2个． C．3个． D．4个． 题型08 数量问题 【典例1】．如图，以A、B、C、D的任意一点为端点，在图中找到不同的射线条数共有（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1】．图中，共有 条线段． 【变式2】．如图，以点O为端点的射线有 条． 题型09 直线交点个数问题 【典例1】．在同一平面内，不重合的三条直线的交点个数是 ． 【变式1】．平面内四条直线两两相交，交点有（    ） A．1个或4个 B．3个或4个 C．1个、4个或6个 D．1个、3个、4个或6个 【变式2】．观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字： ①两直线相交，最多1个交点；②三条直线相交最多有3个交点；③四条直线相交最多有6个交点；那么十条直线相交交点个数最多有（　　） A．40个 B．45个 C．50个 D．55个 一、单选题 1．下列四个选项中，说法正确的一项是（    ） A．直线的长度是5分米 B．两点的所有连线中，线段最短 C．直线不可以度量，但射线可以度量 D．射线可以有两个端点 2．如图，下列不正确的几何语句是（    ） A．直线和直线是同一直线 B．射线和射线是同一射线 C．射线和射线是同一射线 D．线段和线段是同一线段 3．已知三点A，B，C，按下列要求画图：画直线，画射线，连接，正确的是（　　） A． B． C． D． 4．如图所示，从A村出发到B村，最近的路线是（   ）    A． B． C． D． 5．如图，用圆规比较两条线段的长短，其中正确的是（　　） A． B． C． D．不能确定 6．下列几何图形与相应语言描述相符的是（　　） A．延长线段到C B．射线经过点A C．直线a与直线b相交于点P D．射线与线段没有交点 7．下列说法：（1）两点确定一条直线；（2）画一条射线，使它的长度为；（3）线段和线段是同一条线段；（4）射线和射线是同一条射线；（5）直线和直线是同一条直线．其中错误的有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．一趟高铁从西安站出发，沿途经过渭南站、华山站、洛阳龙门站，最后到郑州站，那么从西安站到郑州站这一趟的高铁票最多需要准备（   ） A．6种 B．20种 C．10种 D．12种 9．如图，共有线段（　　） A．12条 B．10条 C．8条 D．6条 10．同一平面内的六个点最多可以确定的直线条数是（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 二、填空题 11．连接两点的所有连线中， 最短，两点之间， 最短． 12．如图，从甲地到乙地有四条道路，最近的一条是③依据是 ． 13．如图，已知点P与直线l，用适当的语句表述图中点P与直线l的关系： ． 14．如图，用圆规比较两条线段和的长短，则 ．（填“”“”或“”）    15．两根木条，与，将它们一端重合且放在同一条直线上如图所示，此时 （填“”，“”或“”）． 16．尺规作图：作一条线段等于已知线段． 已知：线段，如图 求作：线段，使． 小亮的作法如下： 如图，（1）作射线 ； （2）以点 为圆心， 长为半径作弧交于点 ． 线段就是所求作的线段． 17．已知线段和，如果将移动到的位置，使点与点重合，与叠合，点在线段上，那么 ．（填“”、“”或“”） 18．在同一平面内任三点不在同一直线的五个点最多能确定 条直线、n个点最多能确定 条直线． 三、解答题 19．如图，平面内三个点A，B，C，按照下列要求画图． (1)画线段； (2)画射线； (3)画直线． 20．如图，线段a，b请按下列语句作出图形：（不写作法，保留作图痕迹） (1)作射线； (2)请用尺规在射线上依次截取线段，，使得， 21．如图，已知三点A，B，C． (1)作图：画线段，画射线，画直线； (2)在（1）的条件下，比较线段的大小：______（填“>”“<”或“=”），理由是__________． 22．读下列语句，在图中画出图形： (1)画射线； (2)画线段； (3)画直线与线段相交于点O； (4)画射线与射线相交于点E． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 点与线 教学目标 1. 知道点、直线、射线、线段的概念； 2. 学会直线、射线、线段的特点； 3. 掌握点在射线上的三种情况； 4. 线段的度量与大小比较。 教学重难点 1.重点 （1）直线、射线、线段的概念、表示，联系与区别； （2）直线、射线、线段的有关尺规作图及语言表述； （3）两点确定一条直线；两点之间，线段最短； 2.难点 （1）尺规作图及其应用； （2）直线、射线、线段的数量问题。 知识点1 点与线 一、点 点是图形的基本元素之一.当我们用削尖的铅笔轻轻在纸上点下去时，纸上就会出现一个小小的黑点(图4-1-1),这使我们能够形象地理解点的概念.我们通常用一个大写字母来表示点，就像图4-1-1中的点可以记为“点A”. 2、 直线、射线、线段 Ⅰ、直线 ①如图4-1-2,用铅笔沿着一把直尺的边在纸上连续移动，会画出一个什么图形? 如图4-1-3,把圆规装有针尖的脚固定在一点上，另一只装有铅笔芯的脚绕着这个点旋转一周，会画出一个什么图形? 在上述过程中，我们可以把铅笔尖看作一个移动的点.当这个点在纸上移动时，它留下的痕迹形成了一条线，这条线可以是直线，也可以是曲线.这给我们展现了“点动成线”的直观形象.通过点的运动，我们可以得到各种形状的线. 在小学阶段，我们已经知道经过一个点可以画无数条直线，经过两个点只能画一条直线， 因此我们得到：经过两点有且只有一条直线. 在直线上任意取两个点，可以用表示这两点的两个大写字母表示这条直线，如图4-1-4(1)的直线可以记作“直线AB”或“直线BA”.有时为了简便也可以用一个小写字母表示，如图4-1-4(1)的直线也可以记作“直线l”. 要点： 直线的特征：（1）直线没有长短，向两方无限延伸． （2）直线没有粗细． （3）两点确定一条直线． （4）两条直线相交有唯一一个交点． ②.点与直线的位置关系： （1）点在直线上，如图3所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A． （2）点在直线外，如图4，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B． Ⅱ、射线 ①直线上任意一点及其一侧的部分叫作射线.射线可以用表示它的端点和射线上任意一点(端点除外)的两个字母表示，表示端点的字母要写在前面，如图4-1-4(2)中的射线记作“射线AB”. ②.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长． ③.表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图8所示，可记为射线OA． （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图所示，射线OA可记为射线l． 要点： (1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图1中射线OA，射线OB是不同的射线． 图1 (2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图2中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线． 图2 Ⅲ、线段 ①直线上任意两点间的部分(包括端点)叫作线段.线段可以用表示它的端点的两个大写字母表示，如图4-1-4(3)中的线段可以记作“线段AB”或“线段BA”,也可以用一个小写字母表示，记作“线段a”. ②. “作一条线段等于已知线段”的两种方法： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a． 法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段． 要点： （1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短． （2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离． （3）线段的比较： ①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短． ②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短． 三、两点间的距离 在小学阶段，我们也知道关于线段的基本事实：两点之间，线段最短. 如果一条线段的两个端点的位置确定了，那么这条线段的位置就确定了.这可以简单地表达为两点确定一条以这两点为端点的线段.因此，我们把连接两点的线段的长度叫作这两点间的距离. 四、直线、射线、线段的区别与联系 1.直线、射线、线段之间的联系 （1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线． （2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线． 2．三者的区别如下表 要点： （1） 联系与区别可表示如下： （2）在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样． 五、点在射线上的三种情况 任意画两条线段AB、CD,将线段AB移到线段CD的位置，使端点A与端点C重合，且端点B在射线CD上.端点B有以下三种可能的位置情况，如表4-1所示. 六、线段的度量与大小比较 线段的度量需要先取单位长度.有了单位长度，线段的长度就可以用一个数来描述长短.一旦单位长度确定，我们就可以用相应的刻度尺对线段进行度量.进一步，线段的长短也可以通过长度来加以比较. 在不产生混淆的前提下，AB(或a)也可以用以表示线段AB(或线段a)的长度.例如，在表4-1的结论中，情况一可记为AB<CD,情况二可记为AB=CD,情况三可记为AB>CD. 如果没有刻度尺，我们还可以借助圆规比较两条线段的长短.如图4-1-7所示. 【即学即练】 1．如图，下列说法正确的是（   ） A．点O在射线上 B．点B是直线的一个端点 C．点A在线段上 D．射线和射线是同一条射线 【答案】C 【分析】本题考查了直线，射线，线段的有关概念；由直线，射线，线段的有关概念，即可判断． 【详解】解：A、点在射线的反向延长线上，故此选项不符合题意； B、直线没有端点，故此选项不符合题意； C、点在线段上，原说法正确，故此选项符合题意； D、射线和射线的端点不同，不是同一条射线，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．将一根细木条固定在墙上，最少需要2个钉子，其中的道理可以解释为（   ） A．线段有两个端点 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．线段可以比较大小 【答案】B 【分析】根据直线的性质，分析将细木条固定在墙上最少用2个钉子的原理，从而选择正确选项．本题主要考查了直线的性质，熟练掌握“两点确定一条直线”是解题的关键． 【详解】解：因为两点确定一条直线，所以用2个钉子能将细木条固定在墙上，使其位置确定． 故选：B． 3．下列说法正确的是（    ） A．直线和直线表示不同的直线 B．过一点能作无数条直线 C．射线和射线表示同一条射线 D．射线比直线短 【答案】B 【分析】本题主要考查直线和射线的区别，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．根据直线和射线的定义解答即可． 【详解】解：A、直线和直线表示同一条直线，选项错误，不符合题意； B、过一点能作无数条直线，选项正确，符合题意； C、射线和射线表示不同的射线，选项错误，不符合题意； D、射线、直线都是无限长的，不能比较长短，选项错误，不符合题意． 故选：B． 4．根据语句“直线与直线相交，交点为．”画出的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据语句作图，熟记作图方法及准确读懂几何语言是解题的关键．利用几何语言对各选项进行判断即可． 【详解】解：直线与直线相交，交点为， 点A既在直线a上，也在直线b上，如图所示：   ，   故选：C． 5．如图，用圆规比较两条线段和的长短，图中的两个圆规大小相同且夹角相等，其中正确的是（   ） 如图，用同一个圆规张开一定角度比较两条线段和的长短，下列结论正确的是（ A． B． C． D．没有刻度尺，无法确定 【答案】C 【分析】本题考查线段的长短比较，利用圆规作线段可得结论. 【详解】由图可得，， 故答案为：C. 6．平面上有四点、、、，根据下列语句画图． (1)画直线AD； (2)连接、，相交于点O； (3)画射线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了复杂作图、直线、射线、线段，解决本题的关键是掌握直线、射线、线段的定义． （1）画直线即可； （2）连接、，相交于点O即可； （3）画射线即可． 【详解】（1） （2） （3） 题型01 直线、射线、线段的表示 【典例1】．下列直线的表示方法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线的表示方法．解题的关键在于熟练掌握：直线有两种表示方法： ①可以用一个小写字母表示，如直线a； ②用直线上任意两点的大写字母表示，如直线或直线．根据直线的表示方法作答即可． 【详解】解：由题意知，图中直线的表示方法正确的是直线． 故选：B． 【变式1】．下列各图中表示射线，线段的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查线段、射线和直线的区别；线段有两个端点且可以被度量；射线只有一个端点向一个方向无限延伸不可以被度量；直线没有端点向两个方向无限延伸不可以被度量．根据线段和射线的特征判定即可． 【详解】解：A选项表示直线和射线；不符合题意； B选项表示射线和线段；符合题意； C选项表示线段和射线；不符合题意； D选项表示线段和射线；不符合题意． 故选：B． 【变式2】．如图，表示方法正确的是（    ）    A．①② B．②④ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了直线、射线和线段的表示方法，根据直线、射线和线段的表示方法逐项进行判断即可． 【详解】解：不能用一个大写字母表示直线，故①错误； 可以用一个小写字母表示射线，故②正确； ③中的射线应表示为射线，故③错误； 可用表示线段两个端点的大写字母表示线段，故④正确； 综上，表示方法正确的只有②④． 故选：B． 题型02 尺规作图的语句辨析 【典例1】．下列语句中正确的是（    ） A．画直线 B．延长射线到 C．画射线厘米 D．延长线段到，使得 【答案】D 【分析】本题考查作图尺规作图的定义，根据各个选项中的语句，可以判断其是否正确，从而可以解答本题．解题的关键是明确尺规作图的方法，哪些图形可以测量，哪些不可以测量． 【详解】解：直线无法测量，故选项A错误； 射线本身是以点为端点，向着方向延伸，故选项B错误； 射线无法测量，故选项C错误； 延长线断到，使得是正确的，故选项D正确． 故选：D． 【变式1】．下列说法错误的是（   ） A．画线段厘米 B．画射线厘米 C．在射线上截取厘米 D．延长线段到C，使得 【答案】B 【分析】本题主要考查了画线段和射线，射线无法度量，线段可以度量，据此结合线段的画法可得答案． 【详解】解：A、线段可以度量，因此可以画线段厘米，原说法正确，不符合题意； B、射线无法度量，因此不可以画射线厘米，原说法错误，符合题意； C、在射线上可以截取厘米，原说法正确，不符合题意； D、延长线段到C，使得，原说法正确，不符合题意； 故选：B． 【变式2】．下列说法正确的是（　　） A．画一条长的射线 B．线段和线段不是同一条线段 C．射线是直线的一部分 D．延长直线至点 【答案】C 【分析】依据射线、线段、直线的相关定义和性质，分别对每个选项进行分析，判断其正确性即可．本题主要考查了射线、线段、直线的定义和性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 【详解】解：∵射线是无限延伸的，不可度量长度， ∴不能画一条长的射线，A选项错误； ∵线段和线段端点相同，长度相同，是同一条线段， ∴B选项错误； ∵射线是直线的一部分， ∴C选项正确； ∵直线本身是无限延伸的，无需延长， ∴不能延长直线至点C，D选项错误 故选：C． 【变式3】．下列语句准确规范的是（    ） A．直线相交于一点 B．延长直线 C．延长线段到，使 D．反向延长射线（是端点） 【答案】C 【分析】本题主要考查几何语言的规范性．根据几何语言的规范对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、交点应该用大写字母，原说法错误，故本选项不符合题意； B、直线是向两方无限延伸的，不能延长，原说法错误，故本选项不符合题意； C、延长线段到，使，原说法正确，故本选项符合题意； D、反向延长射线，端点是应该点，原说法错误，故本选项不符合题意； 故选：C． 题型03 直线、射线、线段的联系与区别 【典例1】．下列说法正确的是（    ） A．直线和直线表示不同的直线 B．过一点能作无数条直线 C．射线和射线表示同一条射线 D．射线比直线短 【答案】B 【分析】本题主要考查直线和射线的区别，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．根据直线和射线的定义解答即可． 【详解】解：A、直线和直线表示同一条直线，选项错误，不符合题意； B、过一点能作无数条直线，选项正确，符合题意； C、射线和射线表示不同的射线，选项错误，不符合题意； D、射线、直线都是无限长的，不能比较长短，选项错误，不符合题意． 故选：B． 【变式1】．下列四个选项中，说法正确的一项是（    ） A．直线的长度是5分米 B．两点的所有连线中，线段最短 C．直线不可以度量，但射线可以度量 D．射线可以有两个端点 【答案】B 【分析】本题考查了直线、射线、线段，根据直线、射线、线段的意义，可得答案． 【详解】解：A. 直线的长度无法度量，故不符合题意；     B. 两点的所有连线中，线段最短，故该选项正确，符合题意； C. 直线和射线都不可以度量，故该选项不正确，不符合题意； D. 射线只有一个端点，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 题型04 两点确定一条直线；两点之间，线段最短 【典例1】．经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的黑线，而且只能弹出一条黑线，能解释这一实际应用的数学知识是（   ） A．两点确定一条直线 B．过一点，有无数条直线 C．两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离 D．两点之间的所有连线中，线段最短 【答案】A 【分析】本题考查了直线的性质，掌握“经过两点有且只有一条直线”是解题的关键．根据“经过两点有且只有一条直线”即可得出结论． 【详解】解：∵经过两点有且只有一条直线， ∴经过木板上的A、B两个点，只能弹出一条笔直的墨线． ∴能解释这一实际应用的数学知识是两点确定一条直线． 故选：A． 【变式1】．挖地基时在地上画线，先在地上钉两根木桩就可以拉一条线，说明原理 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】此题主要考查了直线的性质，正确把握直线的性质是解题的关键．直接利用直线的性质进而分析得出答案． 【详解】解：挖地基时在地上画线，先在地上钉两根木桩就可以拉一条线，说明原理为两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 【变式2】．如图，把一段弯曲的公路改成直道可以缩短路程，其理由是 ． 【答案】两点间线段最短 【分析】本题考查了线段的性质：两点间线段最短；根据此性质解答即可． 【详解】解：把一段弯曲的公路改成直道可以缩短路程，其依据是两点间线段最短； 故答案为：两点间线段最短． 【变式3】．如图，从A地到C地有四条道路，某同学认为第③条路线最近，其中的数学道理是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查线段的性质，由两点之间，线段最短，即可得到答案，关键掌握是掌握两点之间，线段最短． 【详解】解：从地到地有四条道路，某同学认为第③条路线最近，其中的道理是两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 题型05 尺规作图 【典例1】．按下列语句画出图形： (1)直线经过点C； (2)点A在直线l外； (3)经过点O的三条线段； (4)线段相交于点B，连接． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查线段，直线的画法，正确画出图形是解题的关键． 根据直线、线段的概念，结合各选项的表述作图即可． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：如图所示， （3）解：如图所示， （4）解：如图所示， 【变式1】．如图所示，平面上有四个点A、B、C、D，根据下列语句画图： ①作射线． ②作线段． ③作直线． ④连接，并将其延长至E，使． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查的是直线、射线、线段的定义等知识点，掌握直线向两方无限延伸、射线向一方无限延伸、线段有两个端点是解题的关键． ①根据射线的定义作图即可；②根据线段的定义连接C、D两点即可；③根据直线的定义作图即可；④连接，并将其延长至E，使． 【详解】解：①射线即为所求； ②线段即为所求； ③直线即为所求； ④线段即为所求． 【变式2】．如图，平面内有四个点A，B，C，D．根据下列语句作图（保留作图痕迹），并回答问题． (1)连接； (2)画射线，并在线段的延长线上用圆规截取； (3)作直线与射线交于点F．观察图形发现，线段，得出这个结论的依据是：　 　． 【答案】(1)见解答 (2)见解答 (3)画图见解答；两点之间，线段最短 【分析】本题考查作图—复杂作图、直线、射线、线段、线段的性质：两点之间线段最短，熟练掌握直线、射线、线段的定义、线段的性质是解答本题的关键． （1）根据线段的定义画图即可． （2）根据射线的定义可画出射线，以点D为圆心，线段的长为半径画弧，交线段的延长线于点E． （3）根据直线的定义画图即可；根据线段的性质可得答案． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求． （2）解：如图，射线和线段即为所求． （3）解：如图，直线即为所求． 观察图形发现，线段，得出这个结论的依据是：两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 题型06 线段的度量；图形语言描述辨析 【典例1】】．如图，用圆规比较两条线段的长短，其中正确的是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查利用圆规比较两条线段的大小，熟练掌握利用圆规比较两条线段的大小是解题的关键，根据圆规张口的大小即可判断，从而得到答案． 【详解】解：如图可知，用圆规的两个脚分别对准线段，的两个端点， ∵对准线段的圆规张口大于对准线段的圆规张口， ∴， 故选：C． 【变式1】．下列几何图形与相应语言描述相符的是（   ） A．如图1，线段经过点 B．如图2，射线的端点是点 C．如图3，直线与直线相交于点 D．如图4，射线和线段有交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线，射线和线段有关的概念辨析，根据射线，线段，直线的概念对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：A、点C在线段的延长线上，即线段不经过点，原说法错误，不符合题意； B、射线的端点是点，原说法错误，不符合题意； C、直线与直线相交于点P，原说法正确，符合题意； D、射线和线段没有交点，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式2】．下列几何图形与相应语言描述相符的是(   ) A．如图1，直线，相交于点 B．如图2，直线与线段没有公共点 C．如图3，延长射线 D．如图4，点在直线上 【答案】A 【分析】本题考查直线、射线、线段，解题的关键是根据图形，能用几何语言描述它们的关系．根据直线、射线、线段的定义与图形逐项判断即可． 【详解】解：①如图1，直线、相交于点，与图相符，故选项A符合题意； ②如图2，直线与线段有公共点，故选项B不符合题意； ③如图3，只能反向延长射线，故选项C不符合题意； ④如图4，点不在直线上，故选项D不符合题意． 故选：A． 题型07 点与直线的位置关系 【典例1】．如图，已知点P与直线l，用适当的语句表述图中点P与直线l的关系： ． 【答案】点P在直线l外 【分析】本题考查点和直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外．根据点与直线的位置关系可得答案． 【详解】解：由图知，点P在直线l外， 故答案为：点P在直线l外． 【变式1】．正方形网格中，直线经过的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】此题考查了网格作图，延长线段即可得到答案． 【详解】解：如图，可知直线经过的点是点， 故选：C． 【变式2】．如图，直线m和直线n相交于点O，对于图形，说法正确的语句有（　 　） ①点O在直线m上． ②点O在直线n上． ③点O在直线m上． 也在直线n上．              ④直线m经过点O． A．1个． B．2个． C．3个． D．4个． 【答案】D 【分析】题考查直线、线段、射线的画法，解题的关键是根据点与直线的位置关系进行判断得出答案． 【详解】解：①点O在直线m上，说法正确； ②点O在直线n上，说法正确； ③点O在直线m上，也在直线n上，说法正确；             ④直线m经过点O，说法正确； 故选D． 题型08 数量问题 【典例1】．如图，以A、B、C、D的任意一点为端点，在图中找到不同的射线条数共有（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查射线的定义，能够在图中找到不同的射线是解决本题的关键． 在图中分别找出以B为端点的射线，以C为端点的射线，以D为端点的射线各有多少条，相加即可． 【详解】解：以B为端点的射线有2条，以C为端点的射线有2条，以D为端点的射线有2条， ∴共有条． 故选B． 【变式1】．图中，共有 条线段． 【答案】15 【分析】本题考查了线段的数量问题． 线段有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度，据此数出两个端点之间的线段即可． 【详解】解：图中共有6个端点，则共有线段（条）． 故答案为：15． 【变式2】．如图，以点O为端点的射线有 条． 【答案】 【分析】根据射线的定义，进行作答即可． 【详解】解：以点O为端点的射线有：射线，共4条； 故答案为：． 【点睛】本题考查射线．熟练掌握射线的定义：直线上一点及其一旁的部分，是解题的关键． 题型09 直线交点个数问题 【典例1】．在同一平面内，不重合的三条直线的交点个数是 ． 【答案】0或1或2或3 【分析】平面中不重合的三条直线可能平行或相交，相交时又可以分为两直线平行和第三条直线相交，或三条直线相交于一点，或三条直线两两相交，据此分类讨论即可． 【详解】当三条直线互相平行时交点个数是0个； 当两条直线互相平行，另一条直线与它们相交时，交点个数是2个； 当三条直线交于一点时，交点个数是1个； 当三条直线两两相交，并且不交于一点时，交点个数是3个； 故答案为：0或1或2或3． 【点睛】本题考查平面中不重合的直线交点个数问题，准确分类讨论是解题关键． 【变式1】．平面内四条直线两两相交，交点有（    ） A．1个或4个 B．3个或4个 C．1个、4个或6个 D．1个、3个、4个或6个 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线与直线的交点，理解两两相交的含义是解题的关键． 分三种情况讨论：当四条直线都交于一点；当三条直线交于一点；当两条直线两两相交，再结合图形得出答案即可． 【详解】分三种情况讨论：当四条直线都交于一点时，如图所示，有1个交点； 当三条直线交于一点时，如图所示，有4个交点； 当两条直线分别两两相交，如图所示，有6个交点． 综上所述，可以有1或4或6个交点． 故选：C． 【变式2】．观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字： ①两直线相交，最多1个交点；②三条直线相交最多有3个交点；③四条直线相交最多有6个交点；那么十条直线相交交点个数最多有（　　） A．40个 B．45个 C．50个 D．55个 【答案】B 【分析】本题考查图形类规律探究、直线的交点个数问题，根据题意，观察图形，得出直线交点个数最多的变化规律即可求解． 【详解】解：①两直线相交，最多1个交点； ②三条直线相交最多有个交点； ③四条直线相交最多有个交点； …… 由此可得10条直线相交交点个数最多为（个）， 故选：B． 一、单选题 1．下列四个选项中，说法正确的一项是（    ） A．直线的长度是5分米 B．两点的所有连线中，线段最短 C．直线不可以度量，但射线可以度量 D．射线可以有两个端点 【答案】B 【分析】本题考查了直线、射线、线段，根据直线、射线、线段的意义，可得答案． 【详解】解：A. 直线的长度无法度量，故不符合题意；     B. 两点的所有连线中，线段最短，故该选项正确，符合题意； C. 直线和射线都不可以度量，故该选项不正确，不符合题意； D. 射线只有一个端点，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 2．如图，下列不正确的几何语句是（    ） A．直线和直线是同一直线 B．射线和射线是同一射线 C．射线和射线是同一射线 D．线段和线段是同一线段 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段等知识点，根据直线、射线、线段的意义作答即可，能理解直线、射线、线段的意义是解此题的关键． 【详解】解：A、直线与直线是同一条直线，原说法正确；故本选项不符合题意； B、射线与射线是同一条射线，原说法正确；故本选项不符合题意； C、射线和射线不是同一射线，原说法错误；故本选项符合题意； D、线段和线段是同一线段，原说法正确；故本选项不符合题意； 故选：C． 3．已知三点A，B，C，按下列要求画图：画直线，画射线，连接，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了依据直线、射线、线段的定义作图，正确理解定义区别三者的特点是解题的关键． 根据直线、射线、线段定义判断即可． 【详解】解：A：直线，射线，线段，故A符合题意； B：直线，直线，直线，故B不符合题意； C：直线，射线，线段，故C不符合题意； D：线段，线段，线段，故D不符合题意； 故选：A． 4．如图所示，从A村出发到B村，最近的路线是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数学知识的实际应用，熟练掌握两点之间线段最短是解题的关键．根据两点之间线段最短即可得出答案． 【详解】解：根据两点之间，线段最短可知为最短路线． 故选B． 5．如图，用圆规比较两条线段的长短，其中正确的是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查利用圆规比较两条线段的大小，熟练掌握利用圆规比较两条线段的大小是解题的关键，根据圆规张口的大小即可判断，从而得到答案． 【详解】解：如图可知，用圆规的两个脚分别对准线段，的两个端点， ∵对准线段的圆规张口大于对准线段的圆规张口， ∴， 故选：C． 6．下列几何图形与相应语言描述相符的是（　　） A．延长线段到C B．射线经过点A C．直线a与直线b相交于点P D．射线与线段没有交点 【答案】C 【分析】本题考查直线、射线、线段，关键是掌握直线、射线、线段的概念．由直线、射线、线段的概念，即可判断． 【详解】解：A、延长线段到C，故选项不符合题意； B、射线不经过点A，故选项不符合题意； C、几何图形与相应语言描述相符，故选项符合题意； D、射线与线段有交点，故选项不符合题意． 故选：C． 7．下列说法：（1）两点确定一条直线；（2）画一条射线，使它的长度为；（3）线段和线段是同一条线段；（4）射线和射线是同一条射线；（5）直线和直线是同一条直线．其中错误的有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了直线、射线、线段，掌握直线、射线、线段的定义是正确判断的关键．根据线段的性质，射线、直线、线段的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：（1）两点确定一条直线，因此（1）正确； （2）由于射线是无限长的，无法度量其长度，因此（2）不正确； （3）线段和线段是同一条线段，因此（3）正确； （4）射线和射线是两条不同的射线，因此（4）不正确； （5）直线和直线是同一条直线，因此（5）正确， 综上所述，错误的结论有（2）（4），共2个， 故选：B． 8．一趟高铁从西安站出发，沿途经过渭南站、华山站、洛阳龙门站，最后到郑州站，那么从西安站到郑州站这一趟的高铁票最多需要准备（   ） A．6种 B．20种 C．10种 D．12种 【答案】C 【分析】本题考查排列组合的实际应用，需计算单程路线中不同起点到终点的车票种类数． 【详解】解：高铁从西安出发，依次经过渭南、华山、洛阳龙门，终点为郑州，共5个车站．每张车票对应一个起点和一个终点，且终点必须在起点之后，分类计算如下： 西安为起点，有4个终点（渭南、华山、洛阳龙门、郑州），共4种； 渭南为起点，有3个终点（华山、洛阳龙门、郑州），共3种； 华山为起点，有2个终点（洛阳龙门、郑州），共2种； 洛阳龙门为起点，有1个终点（郑州），共1种； 郑州为起点，无后续车站，共0种． 总车票种类数为：． 因此，最多需要准备10种高铁票， 故选：C． 9．如图，共有线段（　　） A．12条 B．10条 C．8条 D．6条 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段，根据线段的定义进行判定即可得出答案． 【详解】解：图中线段有．共10条． 故选：B． 10．同一平面内的六个点最多可以确定的直线条数是（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】B 【分析】本题考查了直线，熟记个点最多有条直线是解题的关键．根据每两点之间有一条直线，可得个点最多有条直线，即可求解． 【详解】解：同一平面内的个点最多可以确定直线条， 故选：B． 二、填空题 11．连接两点的所有连线中， 最短，两点之间， 最短． 【答案】 线段 线段 【分析】根据线段的性质即可得出答案． 本题主要考查了线段的性质，熟练掌握线段的性质是解题的关键． 【详解】解：连接两点的所有连线中，线段最短，两点之间，线段最短． 故答案为：线段，线段． 12．如图，从甲地到乙地有四条道路，最近的一条是③依据是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查了线段的性质，两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．根据线段的性质，可得答案． 【详解】解：从甲地到乙地有四条道路，最近的一条是③依据是：两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 13．如图，已知点P与直线l，用适当的语句表述图中点P与直线l的关系： ． 【答案】点P在直线l外 【分析】本题考查点和直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外．根据点与直线的位置关系可得答案． 【详解】解：由图知，点P在直线l外， 故答案为：点P在直线l外． 14．如图，用圆规比较两条线段和的长短，则 ．（填“”“”或“”）    【答案】 【分析】根据比较线段长短的方法解答即可． 【详解】解：由题图可知，． 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了比较线段的长短，解题的关键是掌握比较线段长短的方法． 15．两根木条，与，将它们一端重合且放在同一条直线上如图所示，此时 （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的长短比较，根据图形上线段的长短即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：， 故答案为：． 16．尺规作图：作一条线段等于已知线段． 已知：线段，如图 求作：线段，使． 小亮的作法如下： 如图，（1）作射线 ； （2）以点 为圆心， 长为半径作弧交于点 ． 线段就是所求作的线段． 【答案】 C D 【分析】根据尺规作图的要求进行作图即可． 【详解】作法如下： 如图，（1）作射线； （2）以点C为圆心，长为半径作弧交于点D． 线段就是所求作的线段． 故答案为：（1）；（2）C，，D． 【点睛】本题考核知识点：作一条线段等于已知线段．解题关键点：注意尺规作图的要求． 17．已知线段和，如果将移动到的位置，使点与点重合，与叠合，点在线段上，那么 ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了线段比较长短，根据题意画出图形求解即可．正确理解题意画出图形是解题的关键． 【详解】解：如图所示，， 故答案为：． 18．在同一平面内任三点不在同一直线的五个点最多能确定 条直线、n个点最多能确定 条直线． 【答案】 10 【分析】本题考查了直线的确定．因为n个点中，过其中每一个点可以画条直线，由此即可得出平面内有个点（任三点不在同一直线），过其中任意两点画直线，最多画条． 【详解】解：∵在平面内，有 2 点最多画 1 条直线，有 3 点最多能画条直线，有 4 点最多能画条直线，有5点最多能画条直线，， ∴平面内有个点（任三点不在同一直线），过其中两点画直线，最多画条， 故答案为：10，． 三、解答题 19．如图，平面内三个点A，B，C，按照下列要求画图． (1)画线段； (2)画射线； (3)画直线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查线段、射线和直线的画法，掌握三者的画法是关键． （1）根据线段的画法：连接即可； （2）根据射线的定义画图即可，注意射线向C点方向延伸； （3）根据直线的画法画图即可，注意向A、C两个方向延伸． 【详解】（1）线段如图所示； （2）射线如图所示； （3）直线如图所示； 20．如图，线段a，b请按下列语句作出图形：（不写作法，保留作图痕迹） (1)作射线； (2)请用尺规在射线上依次截取线段，，使得， 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据射线定义即可画射线AM； （2）以点A为圆心，为半径画弧即可在射线上截取，再以点B为圆心，为半径画弧即可在射线上截取， 本题考查尺规作图，画线段，射线，掌握线段与射线的定义，会用尺规作图的步骤与要求作图是解题关键． 【详解】（1）解：射线，如图所示： （2）解：线段，，如图所示： 21．如图，已知三点A，B，C． (1)作图：画线段，画射线，画直线； (2)在（1）的条件下，比较线段的大小：______（填“>”“<”或“=”），理由是__________． 【答案】(1)见解析 (2)>；两点之间，线段最短 【分析】本题考查线段、射线、直线的作图以及线段大小比较的原理，解题的关键是掌握三种线的作图方法和理解两点之间线段最短这一基本原理． 明确线段、射线、直线的作图要求并进行作图； 根据两点之间线段最短的原理比较线段大小． 【详解】（1）画线段：用直尺连接点A和点B，线段有两个端点A和B ，长度是固定的， 画射线：以A为端点，向C的方向无限延伸画出射线，射线有一个端点，向一端无限延伸， 画直线：用直尺经过点B和点C向两端无限延伸画出直线，直线没有端点，向两端无限延伸， 如图： （2）因为A，B两点之间，线段是最短路径．而表示从经过到的路径长度，根据两点之间，线段最短，所以． 故答案为：>；两点之间，线段最短． 22．读下列语句，在图中画出图形： (1)画射线； (2)画线段； (3)画直线与线段相交于点O； (4)画射线与射线相交于点E． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了画直线、射线、线段，熟练掌握相关定义是解此题的关键． （1）根据射线的定义作图即可； （2）连接即可得解； （3）根据直线的定义作图即可； （4）根据射线的定义作图即可． 【详解】（1）解：如图所示，射线即为所作， ； （2）解：如图所示，线段即为所作； （3）解：如图所示，直线与线段相交于点即为所作； （4）解：如图所示，射线与射线相交于点即为所作． 2 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $