专题05 椭圆、双曲线离心率问题（3大考点45题）（期中真题汇编，江苏专用）高二数学上学期

面学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05椭圆、双曲线离心率问题 ☆3大高频考点概览 考点01求离心率的值 考点02求离心率的范围 考点03离心率的应用 目目 考点01 求离心率的值 一、单选题 .®4高上界学D已知焦点在油上的胸圈C无士士=川口>0，的长抽长为42，则重 离心率为( A.日 B. 4 C.3 D.② 2 2425高上江赤宿期中已知椭圆的两个焦点分别为0,3，(0,3)，点 在该椭圆上，则该 椭圆的离心率为() A.月 B. 3 c.3 D. 5 3.(23-24高二上江苏常州高级中学·期中)设F,F是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点， 且∠FPE,=60°，若双曲线的离心率为√2，则椭圆的离心率为() A.② B.10 5 D.月 42425高上江苏泰州兴化文止实验学校期中设阴圈C。+广口>6>0的左、右焦点分那 F,F,P是椭圆C上的点，PF2⊥FE,∠PFF2=30°，则椭圆C的离心率为() A.3 C.3 3 B.3 D.v6 3 5.2425商二上江苏扬州江都区寿中设裤個C三+后-1(a>b>0)的左焦点为F,0为坐标原点 过点F且斜率为3的直线与C的一个交点为0（点9在x轴上方），且OF=0Q,则C的离心率为() A.3 B C.V10 D.5 2 4 4 / 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.2425商三上江苏徐州第三中学等学校期中在直角坐标系：0，中已知辋假C:号+茶=a>b>0的 右顶点为A,上顶点为B,点P在C上，若AM=MB,OM=eOP,则C的离心率e=() B. √2 C.3 3 2 2 D,4 7.2425高一上江苏泰州期已知A、B分别为椭圆C:+片=1a>b>0)的左右顶点，P为椭圆C上 B的一点，若直线PA、PB的率之积为，则椭圆C的离心载 A. B.3 2 c D 8.(24-25高二上江苏邗江中学期中)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F,F2,若曲线Γ上存在点P满足 P:FF:PF=5:4:2,则Γ的离心率等于() 4 A.7 4 B.2 c.2或 D. 3 9.2425高二上江苏扬州第一中学期中)设双曲线C:号- a2-b2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F, 直线I过点F,若点F关于l的对称点P恰好在双曲线C右支上，且FP.FF,=6a2,则C的离心率为() A.5 B.V5-1 C.V5+1 D.2 10.(23,24商二上江苏益城导宁巾学期中)已如双曲线E:等片-1a>0,6>0的左、右反点分别为A、 B,M是E上一点，△ABM为等腰三角形，且△ABM的外接圆面积为3πa2,则双曲线E的离心率为() A.2 B.√2 C.5 D.√5 小24商士江苏商京期在平面直角半标系0，小.已充效线C号芳-a>06>0的左、 右焦点分别为F,F,A为双曲线右支上一点，连接AF交y轴于点B,若△ABF为等边三角形，则双曲线 C的离心率为() A.25 B. 3-2 C.5 D.3V3 2 12.2425底三上江方益城中学期已点斤、尽是猫丽：荐+名=Q>6>0的左、右焦点，点女 、7 为椭圆B上一点，点F关于∠FMB,的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若cos∠FMB=g,则椭圆B 的离心率为() 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.3 C.v10 D.10 6 B.3 3 25 1B②24商三上江苏益城八妆（大丰区新车中学等）期已如粮题C:器+芳=@6>0的左、右 焦点分别是F,F,点P是椭圆C上位于第一象限的点，且PF与y轴平行，直线PF与C的另一个交点为 Q,若PF=4FQ,则C的离心率为() A.21 B. V33 C.分 D.V27 11 11 7 7 14.(22-23高二上江苏南京期中)已知椭圆C: a+京=1(a>b>0)的上顶点为A,左、右焦点分别为 x2y2 F,E,连接AF并延长交椭圆C于另一点B,若FB:F,B=7:3,则椭圆C的离心率为() B.1 C. D.3 3 152425商=士江方徐州围收期中废值线C手若-口>06>0的左、在货点分别为，B,点 P是英右支上一点，若P所=4，OP-厅，∠FPR=骨则双曲线C的离心率为《) A. B.3 C.3 D.√ 2 16.2425商二上江苏常州高级中学期钓已知双南线C:若卡=a>06>0,过点P心40的直线与双 曲线C交于A,B两点，若线段AB的中点是M(2,6),则双曲线E的离心率为() A.√2 B.3 C.2 D.3 17@425高二上江方南适海安商级中学期中已划双曲线C:号芳-a>0b>0的宽心车为2，一个 焦点在抛物线y2=12x的准线上，则C的顶点到渐近线的距离为() A.35 C.33 D.3 4 2 18.(24-25高二上江苏无锡第一中学·期中)如图，某同学用两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪.木条 中间挖一道槽，在另一活动木条PAB的P处钻一个小孔，可以容纳笔尖，A,B各在一条槽内移动，可以放 松移动以保证PA与PB的长度不变，当A,B各在一条槽内移动时，P处笔尖就画出一个椭圆E.己知 PA=4AB,且P在右顶点时，B恰好在O点，则E的离心率为() 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A. C. 3 D. 4 B. 5 4 19.(24-25高二上江苏扬州扬州大学附属中学期中)函数y=X+二的图象如图，已知此函数的图象是以直 线y=x和x=0为渐近线的双曲线，设它的离心率为e,则e2=() A.√2 B.2W2 C.4-22 D.1+√2 20.(24-25高二上·江苏连云港灌南县·期中)如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光 线经过双周线锁面反射，光反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点若双曲线上：号茶=。>06>0 的左、右焦点分别为F,F,从F发出的光线经过图2中的A,B两点反射后，分别经过点C和D,且 Cos/BAC--4 'AB上BD,则E的离心率为() A B 图1 图2 A. B. 17 C.V10 D.√5 2 / 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 二、填空题 21.(24-25高二上江苏南通启东等2地期中)已知曲线E:x2+y2-xy=6是椭圆，则该椭圆的离心率 为；P为E上任意一点，P与点-V2,√2)之间的距离的最大值为■ 22.(23-24高二上江苏南通崇川区、通州区·期中)已知椭圆E以矩形ABCD的两个顶点A,B为焦点，且经 过C,D两点.若AB=2AD,则E的离心率为 23.2425商三上江苏雅阴中学期中设双面线E:等若=a>06>0的左、有焦点分别为R、5, 点P是双曲线E上的一点，若∠FPR-子，PF=3PF,则双曲线E的离心率为一 4亿3.24高合标区期已知，乃分别为椭圆C:,+>b>0的左、右焦点，过 的直线与C交于P,Q两点，若|PF=2|PF=3|FQ|,则C的离心率是」 25.(24-25高二上江苏淮安高中校协作体期中)过点M,)作斜率为的直线与双曲线C 名-a>0b>0相交于AB,若M是线段4B的中点，则双曲线C的离心率为 26425高上南苏附期已知椭C+” +F=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F,F,4,B是 椭圆上两点，四边形AFBF,为矩形，延长AE,交椭圆C于点P,若AP=4BE,则椭圆C的离心率为 3 272425高上泰州必化文图买验学校期中已知双曲线C,-1a>0,6>0的离心率为V2 则点(4,0)到C的渐近线的距离为_ 28.2425资二上江苏海们中学期中已知双曲线C:亏片-1a>06>0过左焦点F作C的一条海近线 的垂线，垂足为P,交另一条渐近线于点Q,其中点P在第二象限，点Q在第一象限，若S.oro=5S.orP,则 双曲线C的离心率为 92425高上江卷知上，E是圈C云+片a>b>0的左，右焦点，过原点的直发雪 C交于P,Q两点，当P9=FF,时，四边形PFQF面积为60，且△PF2的周长为30，则C的离心率大小 为 60.23-24尚上江苏无霜备级中学中已知椭固C:名+(Q>6>0)，小、为椭圆的 左右焦点，A为椭圆上一点，连接AF并延长交椭圆于另一点B,若AF,=2AF,BF,=3BF,则椭圆 面学科网 ww w zxxk com 让教与学更高效 C的离心率为 3引.2425商=上江苏连云港东海县别已知双曲线C芳茶=@>6>0的左、右焦点分别为、 点F的直线与双曲线C的左支交于A、B两点，若ABF,，且∠AF,B=90则双m 心率为」 三、解答题 2425商=上江赤扬州销华中学期中已知40)和P3引为描圆C号+号-a>6>0上商点。 (1)求椭圆C的离心率； (2)若过点P且斜率为，的直线1交C于另一点B,求△ABP的面积 3.2425高上南家外国脂学校期设双由线C的方程为。-=1Q>0,6>0。 (1)若点A(3,-1)在双曲线C上，且双曲线C为等轴双曲线. (i)求双曲线C的方程； (ⅱ)直线1的方程为y=x+1,直线I与双曲线C的右支仅有一个交点，求实数k的取值范围. (2)已知过点(a,0),(0,b)的直线的倾斜角为150°，求双曲线C的离心率. 34.(24-25高二上江苏盐城七校联考期中)已知动点P(x,y)满足方程√x2+(y-4)2+√x2+(y+4)2=10 (1)试将上面的方程改写为椭圆的标准方程并求其离心率； (2)类比圆的面积公式可以得到椭圆的面积公式为S=πab,其中a,b分别是椭圆的长半轴和短半轴的长， 求该椭圆的面积 药.2425高上》安温覆体期已知双面骏C大1与稀险+=1a>0.6>加 62+5 有相同焦点， (1)求Q值并求椭圆离心率的范围 (2)若双曲线的左顶点为抛物线的焦点，求抛物线的标准方程 (3)A为双曲线C的右顶点，B在第一象限且为双曲线C上的点，若B到x轴的距离为4√5.若直线AB与 圆x2+y2=b2相切，求双曲线C的离心率 / 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点02 求离心率的范围 36.(24-25高二上江苏南京南京师范大学附属中学期中)已知点P(5,4),点F为抛物线C:y2=8x的焦点.若 以点P,F为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为· 37.公24商三上江方徐州山区调所泼，乃分别为翰额G+茶-a>鸡>与双曲线 C: :正区=1(4>0，么>0)的公共焦点，它们在第一象限内交于点M,∠FMR,=60°，若椭圆的离心率 25 e1∈ 2’2 则双曲线C,的离心率e的取值范围为() V5√ 32V6 614 22 c. 42 D. 2’2 38.(24-25高二上·江苏常州奔牛、二中、武高·期中)设双曲线C: x2 y2 a2 b2 =1(a>0,b>0)的右焦点为F, 双曲线C上的两点AB关于原点对称，且满足FA.FB=0,FB<FA≤3FB,则双曲线C的离心率的取值 范围是() √10 A. B.[V2,+∞ D.(V2,+∞】 39.(24-25高二上江苏南通通州区、如东县2地期中在平面直角坐标系x0y中，已知点 Ax,),B(x2,y2),定义d(A,B)=x1-x+y-y2为“曼哈顿距离”若d(0,P)=2,则点P的轨迹所围成图形 的面积为一， 圆C:+=1a>0上有且仅有8个点P满足d0,P)-2,则椭圆C的离心率胸 值范围是_ 0。(2324高三上江苏南道海交商级市学期中已知个、6分别内双曲线号若=Q>0b>0的左、右 焦点，过F的直线与双曲线的右支交于A、B两点，记△AF,的内切圆半径为，△BFF,的内切圆半径为 2,且r5≤3a2，则此双曲线离心率的取值范围为 目目 考点03 离心率的应用 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 41.(24-25高二上江苏泰州兴化期中)已知双曲线 。-少=l(a>0)的离心率为V2,则实数a的值为() A.1 B.√ C.2 D,√3 2.②324商二上江苏宿迁泗县期中双确线C:号茶-0>0b>0)的海心米为5，则斑由袋的洁 近线方程为() 1 A.y=±5x B.y= C.y=±V3x D.y=+2x 2 3 8.2425商二上江苏道云港赣价区期已知双圃线C:若-芳=a>0b>0的离心车为+测则双曲线 C的渐近线方程为() A.y=x B.y=±Vx C.y=tv15 D.y=±V15x 3 44.(24-25高二上江苏扬州扬州大学附属中学期中)椭圆可以看作圆沿定直线方向拉伸或压缩而得.如图， M是圆O上动点，M在y轴上身影为N,则满足N亚=2NM(2>1)的动点P的轨迹是椭圆若椭圆的离心 率e=】,则=() M A.2 B.√5 C.3v5 2 D.25 3 45.24235窝三上江苏连云适锁输区期申已勿箱国C:号+若-a>b>0.C的上顶点为A,两个焦点为 一王水/日∽☑业M上-g口‘YM‘O与石月8F士厚世日H小头长经'☒ ADE的周长是」 / 专题05 椭圆、双曲线离心率问题 3大高频考点概览 考点01 求离心率的值 考点02 求离心率的范围 考点03 离心率的应用 地 城 考点01 求离心率的值 一、单选题 1．(24-25高二上·江苏盐城中学·期中)已知焦点在轴上的椭圆的长轴长为，则其离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义求出长轴，再根据算出即可. 【详解】由题意得，，所以 所以， 所以椭圆的离心率. 故选：D. 2．(24-25高二上·江苏宿迁·期中)已知椭圆的两个焦点分别为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义求出，再由焦点坐标求出，求出离心率即可. 【详解】设椭圆的两个焦点为，，点， 则，， ，所以椭圆的离心率为. 故选：C. 3．(23-24高二上·江苏常州高级中学·期中)设，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线以及椭圆的定义，以及在焦点三角形中运用余弦定理建立关于双曲线和椭圆离心率的方程解出即可. 【详解】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为， 则根据椭圆及双曲线的定义得： ， ， 设， 则在中由余弦定理得： ， 即 化简得：， 所以， 又因为双曲线的离心率为， 所以椭圆的离心率为， 故选：B. 4．(24-25高二上·江苏泰州兴化文正实验学校·期中)设椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆C上的点，，，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直角三角形性质和椭圆定义求出，根据正切函数定义列式整理可得. 【详解】在中，，所以， 又，所以， 所以，即，整理得. 故选：A    5．(24-25高二上·江苏扬州江都区·期中)设椭圆（）的左焦点为，为坐标原点，过点且斜率为的直线与的一个交点为（点在轴上方），且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据可知，结合椭圆定义及斜率与倾斜角的关系可得，，结合勾股定理可得离心率. 【详解】    设椭圆右焦点为，连接，， 由，则为直角三角形，， 由已知直线的斜率为， 则，即， 又，则，， 在中由勾股定理得， 即， 整理可得离心率， 故选：C. 6．(24-25高二上·江苏徐州第三中学等学校·期中)在直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为，上顶点为，点在上，若，，则的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，设，根据得到，代入椭圆方程，求出，求出离心率. 【详解】，，故为的中点， 所以，设， 由得，，故，解得， 又在椭圆上，故， 化简得，故离心率. 故选：B 7．(24-25高二上·江苏泰州·期中)已知、分别为椭圆的左右顶点，为椭圆上异于、的一点，若直线、的斜率之积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用斜率的坐标公式，结合点在椭圆上求出，进而求出离心率. 【详解】依题意，，设点，则，即， 依题意，，因此， 所以椭圆的离心率. 故选：A 8．(24-25高二上·江苏邗江中学·期中)设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足，则的离心率等于（   ） A． B．2 C．2或 D．或 【答案】D 【分析】由题意设，，，然后分圆锥曲线为椭圆或双曲线分类求得曲线的离心率． 【详解】由题意可设：，，． 当圆锥曲线为椭圆时，，．离心率； 当圆锥曲线为双曲线时，，，离心率． 综上可知，圆锥曲线的离心率为或． 故选：． 9．(24-25高二上·江苏扬州第一中学·期中)设双曲线的左、右焦点分别为，，直线过点，若点关于的对称点恰好在双曲线右支上，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据已知结合双曲线的定义可推得，.然后根据，可推得.最后根据余弦定理，即可得到关于的齐次方程，即可得出离心率. 【详解】 设， 由已知可得，， 根据双曲线的定义有. 又，所以. 在中，由余弦定理可得，， 即， 整理可得， 等式两边同时除以可得，， 解得或（舍去）， 所以. 故选：B. 10．(23-24高二上·江苏盐城阜宁中学·期中)已知双曲线的左、右顶点分别为、，是上一点，为等腰三角形，且的外接圆面积为，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨设点在第一象限，作出图形，分析可知，利用正弦定理求出的值，进而可得出直线的斜率，求出直线的方程，结合二倍角的正切公式以及点斜式可得出直线的方程，可求出点的坐标，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可求出双曲线的离心率的值. 【详解】不妨设点在第一象限，如下图所示： 由图可知，，且， 因为为等腰三角形，则， 设的外接圆半径为，则，可得， 由正弦定理可得，则，即， 易知，为锐角，则， 所以，， ， 所以，直线的方程为，直线的方程为， 联立，解得，即点， 将点的坐标代入双曲线的方程可得，可得， 因此，双曲线的离心率为. 故选：C. 11．(23-24高二上·江苏南京·期中)在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线右支上一点，连接交轴于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由长度关系可得，知，在中，利用可构造齐次方程求得双曲线离心率. 【详解】 设， 为等边三角形，，，又， ，，， ，， ，解得：（舍）或， 双曲线的离心率为. 故选：C. 12．(24-25高二上·江苏盐城中学·期中)已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的对称性质和椭圆的性质得，再结合题设得，进而求出，再结合椭圆的定义以及余弦定理即可求解. 【详解】由题意可知，， 且，， 所以，    因为，所以， 所以即， 又，所以， 所以由余弦定理得， 整理得，所以即. 故选：B. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键1是抓住角平分线的对称性之和椭圆的几何性质求出，关键2是利用和的关系求出，再在中结合余弦定理即可求解. 13．(23-24高二上·江苏盐城八校（大丰区新丰中学等）·期中)已知椭圆：的左、右焦点分别是，，点是椭圆上位于第一象限的点，且与轴平行，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意求出，作轴，利用三角形相似求出点坐标，代入椭圆方程，即可得的关系，即可求得椭圆离心率. 【详解】由题意知点是椭圆上位于第一象限的点，且与轴平行， 故轴，将代入得， 则，即，即， 作轴，垂足为E，设，    则，故∽， 由可得， 故，则； ，则, 将Q点坐标代入得， 结合得， 故选：D 14．(22-23高二上·江苏南京·期中)已知椭圆：（）的上顶点为，左、右焦点分别为，，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用椭圆定义，结合余弦定理和离心率公式计算即可. 【详解】由题意可得，因为， 所以，， 因为为椭圆的上顶点，所以，则， 在中，， 在中，， 即，所以. 故选：C. 15．(24-25高二上·江苏徐州铜山区·期中)双曲线的左、右焦点分别为，，点P是其右支上一点．若，，，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量法得：，然后结合双曲线定义：和余弦定理即可求解. 【详解】由双曲线的几何性质，可知点是线段的中点，则， 即， 所以，解得， 所以，故， 由，解得， 所以，故C项正确. 故选：C. 16．(24-25高二上·江苏常州高级中学·期中)已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用“点差法”得到，结合条件得到 ，即可求解. 【详解】设，因为点在双曲线上， 则，两式相减可得， 整理可得，又线段的中点是，则， 所以，又直线过点，得到，所以，得到， 故选：C. 17．(24-25高二上·江苏南通海安高级中学·期中)已知双曲线的离心率为2，一个焦点在抛物线的准线上，则的顶点到渐近线的距离为（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据抛物线准线可得，根据离心率可得顶点和渐近线，即可得结果. 【详解】由题意可知：抛物线的准线为， 则为双曲线的焦点，即， 又因为离心率为，可得， 且，解得， 取渐近线为，即，取顶点为， 所以的顶点到渐近线的距离为. 故选：A. 18．(24-25高二上·江苏无锡第一中学·期中)如图，某同学用两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪．木条中间挖一道槽，在另一活动木条的P处钻一个小孔，可以容纳笔尖，A，B各在一条槽内移动，可以放松移动以保证与的长度不变，当A，B各在一条槽内移动时，P处笔尖就画出一个椭圆E．已知，且P在右顶点时，B恰好在O点，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据已知结合图形，得出a，b，然后求出c，由椭圆的离心率公式求得答案． 【详解】由题意知与的长度不变， 已知，设，则， 当A滑动到O位置处时，P点在上顶点或下顶点，则短半轴长， 又由已知可得，当P在右顶点时，B恰好在O点，则长半轴长． 所以， 故椭圆E的离心率为． 故选：B． 19．(24-25高二上·江苏扬州扬州大学附属中学·期中)函数的图象如图，已知此函数的图象是以直线和为渐近线的双曲线，设它的离心率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件得到双曲线的渐近线与实轴的夹角为，即，利用二倍角公式求出，最后由离心率公式计算可得. 【详解】由题意知双曲线的两条渐近线之间的夹角为， 若其等价于标准形式， 则其两条渐近线之间的夹角为，设渐近线与实轴之间的夹角为， 则，所以，则， 由，解得或（舍）， 故，所以. 故选：C. 20．(24-25高二上·江苏连云港灌南县·期中)如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用表示，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答. 【详解】依题意，直线都过点，如图，有，，    设，则，显然有，， ， 因此，，在，， 即，解得，即，令双曲线半焦距为c， 在中，，即，解得， 所以E的离心率为. 故选：C. 【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，进而转化为的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以或转化为关于的方程（不等式），解方程（不等式）即可得（的取值范围）. 二、填空题 21．(24-25高二上·江苏南通启东等2地·期中)已知曲线是椭圆，则该椭圆的离心率为 ；为上任意一点，与点之间的距离的最大值为 ． 【答案】 【分析】由题意可得椭圆关于和对称，求出椭圆的长轴顶点和短轴顶点，结合题意分析即可求解. 【详解】中，用替换，方程不变， 所以椭圆关于对称， 用替换，方程不变， 所以椭圆关于对称， 由， 解得椭圆的长轴顶点：， 由， 解得椭圆的短轴顶点：， 所以，， 所以， 设，则 ， 当且仅当即或者时等号成立， 故答案为：； 【点睛】方法点睛：椭圆的离心率的求解方法：求出旋转椭圆的长轴顶点和短轴顶点，即可得，继而根据离心率公式即可求解. 22．(23-24高二上·江苏南通崇川区、通州区·期中)已知椭圆E以矩形的两个顶点A，B为焦点，且经过C，D两点．若，则E的离心率为 ． 【答案】 【分析】 画出图形，设，，则椭圆的定义可知：，从而可得出答案. 【详解】设矩形的边长，， 故，由椭圆的定义可知：， 所以，所以. 故答案为：.    23．(24-25高二上·江苏淮阴中学·期中)设双曲线E：的左、右焦点分别为、，点P是双曲线E上的一点，若，，则双曲线E的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】由双曲线定义和，求出，由余弦定理得到，求出离心率. 【详解】由双曲线定义知， 又，所以， 又，由余弦定理得 ， 解得，故离心率为 故答案为： 24．(23-24高二上·江苏常州金坛区·期中)已知，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与C交于P，Q两点，若，则C的离心率是 . 【答案】 【分析】根据椭圆定义，都用表示，由，构造齐次式即可求解. 【详解】依题得，，又， 则，， 则， 则， 即， 则，则， 即. 故答案为： 25．(24-25高二上·江苏淮安高中校协作体·期中)过点作斜率为的直线与双曲线相交于，若是线段的中点，则双曲线的离心率为 【答案】/ 【分析】利用点差法，结合是线段的中点，直线的斜率为，即可求出双曲线的离心率. 【详解】设, ，则 ①, ②, ∵是线段的中点, ∴ 故过点作斜率为的直线的方程是， ∴ ①②两式相减可得: ∴. ∴. ∴ ∴ ∴ 故答案为:. 26．(24-25高二上·江苏南航苏附·期中)已知椭圆的左、右焦点分别是是椭圆上两点，四边形为矩形，延长交椭圆C于点P，若，则椭圆C的离心率为 . 【答案】 【分析】设，则，，表示出，在中求出，再结合椭圆的定义可得，然后在中利用勾股定理列方程可求出离心率． 【详解】 设，则由题意可得，，， 所以， 在中，， 因为，所以，解得， 所以，， 因为，所以， 所以，解得， 所以离心率． 故答案为：． 27．(24-25高二上·江苏泰州兴化文正实验学校·期中)已知双曲线的离心率为，则点到C的渐近线的距离为 . 【答案】 【分析】由离心率等于求出的值，可得出双曲线的渐近线方程，再利用点到直线的距离公式可求得结果. 【详解】因为双曲线的离心率为，可得，即，解得， 所以双曲线的渐近线方程为， 所以点到双曲线的渐近线的距离为. 故答案为：. 28．(24-25高二上·江苏海门中学·期中)已知双曲线过左焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，其中点在第二象限，点在第一象限，若，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】求出双曲线的渐近线和，根据面积关系得到，求出，联立直线和渐近线方程，求出，，从而求出方程，求出，故，求出离心率. 【详解】渐近线方程为，焦点，其中， 如图，，故， 其中，直线的斜率为， 故直线的方程为， 联立，解得，故， 故， 由得，其中， 解得，故，双曲线的离心率为.    故答案为： 29．(24-25高二上·江苏南通海门·)已知是椭圆的左､右焦点，过原点的直线与交于两点，当时，四边形面积为60，且的周长为30，则的离心率大小为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，结合椭圆的对称性可得四边形为矩形，结合勾股定理及椭圆定义建立关系求出即可得解. 【详解】令椭圆的半焦距为c，依题意，点关于原点对称，而是的中点，又， 则四边形为矩形，有，， 于是，由的周长为30， 得， 则，解得，所以的离心率. 故答案为： 30．(23-24高二上·江苏无锡辅仁高级中学·期中)已知椭圆：（），、为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，，则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【分析】由题意，，结合椭圆定义可将这些长度以及用同一个参数表示，然后分别在在、中，对利用余弦定理，结合离心率公式化为其次方程即可得解. 【详解】如图所示： 由题意，，， 所以不妨设， 而由椭圆定义有， 所以， 所以， 在中，由余弦定理有， 在中，由余弦定理有， 交叉相乘得，即，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解决问题的关键在于表示出以及，然后利用余弦定理即可顺利得解. 31．(24-25高二上·江苏连云港东海县·期中)已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点的直线与双曲线的左支交于、两点，若，且，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】设，利用双曲线的定义由，得，再由，余弦定理得，可求离心率． 【详解】由，令，则． 由双曲线的定义可知， ． 由，所以，即， 得，解得． 则有，，， ． 因为，所以． 由余弦定理可得， 所以，得，所以双曲线的离心率. 故答案为：． 【点睛】方法点睛： 设，先利用双曲线的定义结合，建立起与的关系，再借助余弦定理建立起与的关系，最后利用离心率的计算公式求解. 三、解答题 32．(24-25高二上·江苏扬州新华中学·期中)已知和为椭圆上两点． (1)求椭圆的离心率； (2)若过点且斜率为的直线交于另一点，求△的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入两点得到关于的方程，解出即可； （2）直线求出来，发现经过原点，得出B坐标，用两点间的距离公式求出长度，再运用点到直线距离公式求出的高，求出面积即可． 【详解】（1）由题意得，解得，则， 所以椭圆的标准方程为：，离心率为. （2）如图过点且斜率为的直线设为：化简即， 即，经过原点，由椭圆的对称性知道，关于原点对称， 则，， 由点到直线距离公式求得到的距离， 则， 故的面积为． 33．(24-25高二上·江苏南京外国语学校·期中)设双曲线C的方程为． (1)若点在双曲线C上，且双曲线C为等轴双曲线． （ⅰ）求双曲线C的方程； （ⅱ）直线l的方程为，直线与双曲线C的右支仅有一个交点，求实数k的取值范围． (2)已知过点，的直线的倾斜角为，求双曲线C的离心率． 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）； (2) 【分析】（1）（ⅰ）代入已知点的坐标，结合解方程组可得；（ⅱ）直线方程与双曲线方程联立方程组，消去后得关于的一元二次方程，由方程有两个相等的正根或一正一负根分类讨论可得； （2）由斜率得，平方后可求得离心率． 【详解】（1）（ⅰ）由题意，又，故解得， 所以双曲线标准方程为； （ⅱ）由得（*）， ①若，，时，方程（*）的解为，不合题意； 时，方程（*）的解为，满足题意， ②若，则方程（*）有两个相等正根，或一正一负根， 时，方程有两个相等实根： ， 时，方程（*）的解为，不合题意， 时，方程（*）的解为，满足题意， 时，方程有两个不等实根，方程（*）要有一正根一负根， 则，解得， 综上，的范围是； （2）由题意， ，所以． 34．(24-25高二上·江苏盐城七校联考·期中)已知动点满足方程. (1)试将上面的方程改写为椭圆的标准方程并求其离心率； (2)类比圆的面积公式可以得到椭圆的面积公式为，其中a，b分别是椭圆的长半轴和短半轴的长，求该椭圆的面积. 【答案】(1), (2) 【分析】（1）根据所给式子及椭圆的定义判断轨迹方程为椭圆，即可求出标准方程及离心率； （2）根据所给公式直接计算即可. 【详解】（1）由， 可以看作动点到定点的距离和为常数， 所以由椭圆的定义知动点轨迹为焦点在轴上的椭圆，且， 所以， 所以椭圆的方程为：，其离心率. （2）由（1）知， 由所给椭圆面积公式. 35．(24-25高二上·江苏淮安高中校协作体·期中)已知双曲线与椭圆有相同焦点. (1)求值并求椭圆离心率的范围. (2)若双曲线的左顶点为抛物线的焦点，求抛物线的标准方程. (3)A为双曲线C的右顶点，B在第一象限且为双曲线C上的点，若B到x轴的距离为．若直线AB与圆 相切，求双曲线C的离心率. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据焦点相同求出，再由可得答案； （2）根据抛物线的焦点可得答案； （3）设直线AB与圆的切点为，B坐标为，代入双曲线方程求出，过B作在x轴的垂线交点为N，根据相似求出，可得双曲线方程，从而求出双曲线离心率. 【详解】（1）由题得，所以， 所以，； （2）抛物线的焦点坐标为，设抛物线方程为， 则，所以抛物线方程为； （3）设直线与圆的切点为，B坐标为， 所以，解的， 过作在轴的垂线交点为N，则与相似， 可得，解的， 则双曲线方程为，所以双曲线离心率为. 【点睛】关键点点睛：第三问解题的关键点是过B作在x轴的垂线交点为N，根据与相似求出. 地 城 考点02 求离心率的范围 36．(24-25高二上·江苏南京南京师范大学附属中学·期中)已知点，点F为抛物线的焦点．若以点P，F为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为 ． 【答案】 【分析】焦点，根据椭圆的定义得到，设椭圆和抛物线的交点为，根据抛物线性质得到，得到离心率的最大值. 【详解】由抛物线方程得，准线方程为， 又点，则， 在抛物线上取点H，过H作HG垂直直线，交直线于点G， 过P作PM垂直直线，交直线于点M， 由椭圆和抛物线定义得，故椭圆离心率．    故答案为：. 37．(23-24高二上·江苏徐州铜山区·调研)设，分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆以及双曲线的定义可得，.进而在中，由余弦定理变形可得，.根据不等式的性质，结合已知，求解即可得出答案. 【详解】 根据椭圆及双曲线的定义可得， 所以. 在中，，由余弦定理可得 ， 整理可得，， 两边同时除以可得，. 又，， 所以有， 所以，. 因为，所以， 所以，所以，，， 所以，. 则， 故. 故选：C. 38．(24-25高二上·江苏常州奔牛、二中、武高·期中)设双曲线：的右焦点为，双曲线上的两点关于原点对称，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性结合，得到四边形为矩形，设，，在直角中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到，再根据，得到的范围，从而利用对勾函数的值域得到的范围，进而由即可得解. 【详解】如图所示： 设双曲线的左焦点，由双曲线的对称性可知，四边形为平行四边形， 又，则，所以平行四边形为矩形，故， 设，，则， 在中，，， 所以，则， 所以， 令，得， 又由，得， 因为对勾函数在上单调递增，所以， 所以 ，即， 则，故， 所以， 所以双曲线离心率的取值范围是， 故选：A 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用椭圆的对称性证得四边形为矩形，再利用椭圆的定义与勾股定理，结合条件得到关于的齐次不等式，从而得解. 39．(24-25高二上·江苏南通通州区、如东县2地·期中)在平面直角坐标系中，已知点，定义为“曼哈顿距离”.若，则点的轨迹所围成图形的面积为 ，若椭圆上有且仅有8个点满足，则椭圆的离心率的取值范围是 【答案】 【分析】根据“曼哈顿距离”列方程，结合绝对值的知识求得点的轨迹所围成图形的面积.根据已知条件列不等式，求得的范围，进而求得离心率的取值范围. 【详解】设，则， 若，则；若，则； 若，则；若，则， 由此画出点的轨迹如下图所示（正方形）， 由图可知点的轨迹所围成图形的面积为. 椭圆，对应，， 要使椭圆上有且仅有8个点满足， 根据对称性，由方程组有两个解，且， 所以，整理得， ， 解得， 所以. 故答案为： 【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 40．(23-24高二上·江苏南通海安高级中学·期中)已知、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于A、B两点，记的内切圆半径为，的内切圆半径为，且，则此双曲线离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】设圆切、、分别于点、、，推导出，可得出，可得出关于、的不等式，即可求得该双曲线离心率的取值范围. 【详解】设、的内切圆圆心分别为、， 设圆切、、分别于点M、N、G， 过的直线与双曲线的右支交于A、B两点， 由切线长定理可得，，， 所以，则，所以点G的横坐标为． 故点的横坐标也为a，同理可知点的横坐标为a，故轴， 故圆和圆均与x轴相切于，圆和圆两圆外切． 在中，， 即，所以，， 所以，所以，则， 所以， 即，所以，可得，可得， 则，因此. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线中三角形内切圆和离心率相关问题的求解，解题关键是能够利用三角形内切圆的知识点结合双曲线的性质，求得之间的等量关系从而求得结果. 地 城 考点03 离心率的应用 41．(24-25高二上·江苏泰州兴化·期中)已知双曲线的离心率为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的离心率公式可得出关于实数的等式，即可解得实数的值. 【详解】因为双曲线的离心率为， 则，且，解得. 故选：A. 42．(23-24高二上·江苏宿迁泗阳县·期中)双曲线：的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的离心率的定义求出与的关系，从而得出与的关系，再根据渐近线方程定义即得. 【详解】由可得：又因故有而双曲线： 的渐近线方程为即： 故选：D. 43．(24-25高二上·江苏连云港赣榆区·期中)已知双曲线的离心率为4，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据渐近线的斜率与离心率的关系求得正确答案. 【详解】依题意， 解得，所以渐近线方程为. 故选：D 44．(24-25高二上·江苏扬州扬州大学附属中学·期中)椭圆可以看作圆沿定直线方向拉伸或压缩而得.如图，M是圆O上动点，M在y轴上身影为N，则满足（）的动点P的轨迹是椭圆.若椭圆的离心率,则λ=（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由相关点法求出椭圆的轨迹方程，再由，列方程代入解方程即可得出答案. 【详解】设圆的方程为， 设，因为， 则，所以，即 因为是圆上一点， 所以，所以，即， 所以，而椭圆的离心率为：， 所以，解得：. 故选：D. 45．(24-25高二上·江苏连云港赣榆区·期中)已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，离心率为.过且垂直于的直线与交于D，E两点，，则椭圆的方程是 ，的周长是 . 【答案】 8 【分析】先根据离心率求出与的关系，再通过直线与椭圆相交弦长公式求出，的值，从而得到椭圆方程。对于的周长，根据椭圆的定义，椭圆上任意一点到两焦点距离之和等于长轴，所以的周长为。 【详解】 椭圆的离心率为， 不妨可设椭圆，， 的上顶点为，两个焦点为，， 为等边三角形， 过且垂直于的直线与交于，两点， ， 由等腰三角形的性质可得，，， 设直线方程为，，，，， 将其与椭圆联立化简可得，， 由韦达定理可得，，， ， 解得，所以，，椭圆方程为。 的周长等价于. 故椭圆的方程是；的周长是。 故答案为：；8. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $