专题03 椭圆方程及其性质（9大考点66题）（期中真题汇编，江苏专用）高二数学上学期

专题03 椭圆方程及其性质 9大高频考点概览 考点01 椭圆的定义及辨析应用 考点02 根据方程表示椭圆求参数的范围 考点03 求椭圆方程 考点04 轨迹方程-椭圆 考点05 椭圆中的焦点焦距 考点06 椭圆中的周长问题 考点07 椭圆中的面积问题 考点08 椭圆中的最值及范围问题 考点09 椭圆的应用 地 城 考点01 椭圆的定义及辨析应用 一、单选题 1．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县·期中)方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴方程可表示平面内点到点与点的距离之和为的图形， 此时， ∴方程表示的轨迹是线段， 故选：C． 2．(24-25高二上·江苏连云港东海县·期中)一动圆与圆外切，与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】B 【分析】先把两圆方程化成标准方程，得出圆心和半径，设出动圆圆心坐标，根据两圆相切的性质推导出满足的关系式后即可求解. 【详解】由可得，，圆心为，半径； 由可得，圆心为，半径. 设动圆的圆心为，半径为， 由于动圆和外切，根据两圆外切的性质，， 由于动圆和内切，根据两圆内切的性质，， 于是， 即动点到的距离之和是，且大于两定点间距离， 根据椭圆的定义，动圆圆心的轨迹是椭圆. 故选：B 3．(24-25高二上·江苏扬州中学·期中)椭圆的焦点为为椭圆上一点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义表达式，代值计算即得. 【详解】由椭圆方程：，可知， 因，故. 故选：D. 地 城 考点02 根据方程表示椭圆求参数的范围 一、单选题 4．(24-25高二上·江苏连云港赣榆区·期中)方程表示椭圆，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据方程表示椭圆列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】由于方程表示椭圆， 所以，解得或. 故选：B 5．(24-25高二上·江苏南通启东等2地·期中)若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合椭圆方程的性质列式求解即可. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 则，解得， 所以的取值范围为. 故选：B. 6．(24-25高二上·江苏南京·期中)若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆方程的概念求解即可. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以，解得，即. 故选：C. 地 城 考点03 求椭圆方程 一、单选题 7．(24-25高二上·江苏无锡锡东高级中学·期中)求长轴长是短轴长的倍，且过点的椭圆的标准方程（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】分析可知，，对椭圆的焦点位置进行分类讨论，将点的坐标代入椭圆方程，求出的值，即可得出椭圆的标准方程. 【详解】由题意可知，， 若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为， 将点的坐标代入椭圆方程可得，解得， 此时，椭圆的标准方程为； 若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为， 将点的坐标代入椭圆方程可得，解得， 此时，椭圆的标准方程为. 综上所述，椭圆的标准方程为或. 故选：C. 8．(24-25高二上·江苏宿迁·期中)椭圆以双曲线的两个焦点为长轴的端点，以双曲线的顶点为焦点，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线方程确定焦点坐标及顶点坐标，进而可求解. 【详解】由 可得其焦点坐标为：，顶点坐标 所以椭圆长轴端点坐标：，焦点坐标为， 所以椭圆方程为：， 故选：C 9．(24-25高二上·江苏泰州兴化文正实验学校·期中)已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，短轴长等于，离心率为，过焦点作轴的垂线交椭圆于两点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的方程为 B．椭圆的焦距为1 C． D．的周长为 【答案】C 【分析】依题设椭圆方程：，列出方程组，解得椭圆方程为：，排除A项，对于B，利用焦距概念为，即得，即可排除B，对于C，利用条件，依次求得的坐标，即得；对于D，根据椭圆的定义式，易得的周长为，排除D. 【详解】 对于A，由题意，可设椭圆方程为：， 则有解得，则椭圆方程为：，故A错误； 对于B，椭圆的焦距为，故B错误； 对于C，依题意，点，把代入题意方程，求得， 即，故，故C正确； 对于D，的周长为，故D错误. 故选：C. 10．(24-25高二上·江苏锡山高级中学·期中)已知椭圆的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，四边形的面积为8，原点到直线的距离为则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意表示椭圆的长轴与短轴的长度，利用四边形面积公式建立方程，由顶点坐标与截距式写出直线方程，利用点到直线距离公式建立方程，联立两个方程，可得答案. 【详解】由题意可得，则四边形的面积，即， 由，则直线的方程为，整理可得， 原点到直线的距离，解得， 联立，解得，所以方程为. 故选：C. 11．(24-25高二上·江苏徐州铜山区·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点P满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取弦的中点D，连接，求出，再根据椭圆定义结合勾股定理求出的关系，即可得解． 【详解】如图，取弦的中点D，连接，则，即， 因为， 所以，因为O为的中点，所以D是的中点，所以， 因为，所以OD垂直平分弦， 因为，， 所以，所以， 由椭圆定义可得，， 所以，解得，， 又，，所以，故， 所以椭圆的方程为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法 （1）几何法：求圆的半径为，弦心距为，弦长为，则； （2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式. 二、解答题 12．(24-25高二上·江苏徐州铜山区·期中)已知，是椭圆上两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线l交椭圆C交于P，Q两点，且，求直线l的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）讨论斜率是否存在，再设直线方程，用韦达定理和弦长公式来求解即可. 【详解】（1）已知，是椭圆上两点, 可得，解得：， 所以椭圆C的标准方程为； （2）设过点的直线l的斜率不存在时，直线方程为， 与椭圆相交的交点坐标分别为， 此时交点弦长，不符合题意， 所以设过点的直线l方程为，与椭圆联立， 消得：， 设交点，则， 则 ， 整理得：，即， 所以直线l的方程为或. 13．(24-25高二上·江苏无锡第一中学·期中)已知椭圆E：的短轴长为2，且离心率为，O为坐标原点. (1)求E的方程； (2)过点且不与y轴重合的动直线l与椭圆E相交于A，B两点，求面积的最大值及此时直线l的方程. 【答案】(1) (2)；或 【分析】（1）待定系数法求椭圆方程； （2）设方程，直线与椭圆联立消去利用韦达定理表示弦长，结合三角形面积公式和基本不等式计算求得直线斜率最后得到直线方程. 【详解】（1）设的半焦距为， 由已知，得，解得， 故的方程为. （2）    由题可设. 将代入，消去，得. 当，即时，有. 所以 又点到直线的距离， 所以的面积. 设，则， 当且仅当，即时等号成立，且满足. 所以的面积最大值为， 此时直线的方程为或. 14．(24-25高二上·江苏南航苏附·期中)已知椭圆的右焦点为，且该椭圆过点，直线l交椭圆E于两点. (1)求椭圆E的方程； (2)若直线l方程为，过作直线的垂线，垂足分别为，点R为线段的中点，求证：四边形为梯形. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意列方程组，解方程组即可； （2）直线与椭圆方程联立，将问题转化为证明，即证即可. 【详解】（1）由题意可知：，，解方程组得：，所以椭圆的标准方程为：. （2）设，则， 直线与椭圆方程联立得： ， 所以， ， 所以，，而与不平行，所以四边形为梯形.    【点睛】关键点睛：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，关键有两点： 1.将问题转化为； 2.与的表达式不易观察出结论，需要进一步转化为，在计算的过程中需要利用韦达定理，有一定的计算量. 15．(24-25高二上·江苏盐城七校联考·期中)已知点在椭圆上，右准线方程为，过右焦点作垂直于轴的直线交椭圆于，两点. (1)求以为直径圆的方程； (2)以椭圆上、两点为直径端点作圆，圆心恰好在直线上，再过点作的垂线，试问直线是否经过某定点，若存在，求此定点；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，定点坐标 【分析】（1）根据准线方程可知，结合点在椭圆上，可得椭圆方程，进而可得圆心与半径，可得圆的方程； （2）易知直线斜率存在且不为，则设直线，联立直线与椭圆，根据中点及韦达定理可得，再令，可得点坐标，进而可得直线，及直线恒过定点. 【详解】（1）由已知椭圆的右准线为，即，则， 则椭圆方程为， 又椭圆过点， 则， 解得， 则，， 椭圆，， 令，解得，即， 又以为直径圆圆心为， 所以圆的方程为； （2） 易知直线斜率存在且不为， 则设直线，，， 联立直线与椭圆，得， 则， 即， 且， 又、两点为直径端点作圆，圆心恰好在直线上， 即，中点在直线上， 即，化简可得， 直线方程为， 令，则，即， 所以直线，即， 即直线恒过定点. 【点睛】方法点睛： 解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 16．(24-25高二上·江苏南京·期中)已知椭圆的右顶点为，上顶点为，离心率为. (1)求的方程； (2)直线平行于直线AB，且与交于M，N两点， ①P，Q是直线AB上的两点，满足四边形MNPQ为矩形，且该矩形的面积等于，求的方程； ②当直线AM，BN斜率存在时，分别将其记为，证明：为定值. 【答案】(1) (2)①或.②,证明见解析. 【分析】（1）根据椭圆以及离心率之间的关系求解； （2）①利用矩形的面积公式可得，再利用直线被椭圆截得的弦长公式，结合韦达定理可求解； ②利用韦达定理得，进而可得，即可证明. 【详解】（1）由题意得，,所以，解得， 所以椭圆的方程为. （2）①由（1）知，,即， 设， 联立，消去整理得，， 由相交得，，即，解得， 由韦达定理得，， 因为，所以矩形中即为两平行线间的距离， 因为，即，， 所以， 又由题意得，, 所以,即， 此时， 所以，化简得，解得或， 所以直线或. ②因为，所以，则有， 由韦达定理， （此处，因为点在椭圆上，所以） 所以，进而， 此时有，， 所以. 17．(24-25高二上·江苏南通启东等2地·期中)已知椭圆的右焦点为，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)直线经过且与椭圆交于两点，证明：当且仅当直线与圆相切时． 【答案】(1) (2)证明见详解. 【分析】（1）由题意得的值，求出的值，即可写出椭圆方程； （2）讨论直线斜率是否存在，斜率不存在时不合意义舍去；斜率存在时设出直线方程和直线与椭圆交点坐标，由弦长公式表示出的值.先讨论当时,直线是否与圆相切；在讨论当直线与圆相切时，是否成立. 【详解】（1）由题意可知，，∴，则 ∴椭圆的方程： （2）当直线斜率不存在时，与圆不相切且此时； 当直线斜率存在时，设，即，联立，得， 设，， 则， 则 当时，则， 直线或， 此时圆心到的距离,或 ∴当时，直线与圆相切； 当直线与圆相切时，，解得，此时； 综上所述：当且仅当直线与圆相切时. 18．(24-25高二上·江苏常州联盟学校·期中)已知双曲线经过点，且左焦点为. (1)求的标准方程； (2)过的右焦点作斜率为的弦，求的周长. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据点在双曲线上及双曲线参数关系列方程求双曲线标准方程； （2）由题设，联立双曲线求得，结合双曲线定义求焦点三角形的周长. 【详解】（1）由题设且，可得，故； （2） 由（1）知，则直线， 联立双曲线，得，整理，可得或， 不妨令，则， 而，故，， 所以. 19．(24-25高二上·江苏扬州扬州大学附属中学东部分校·期中)已知椭圆的短轴的两个端点分别为，，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设点，点为椭圆上异于的任意一点，过原点且与直线平行的直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据短轴的两个端点坐标，可求的值，再结合离心率公式和，可求的值，从而确定椭圆的标准方程. （2）根据题意，可设直线的方程，与椭圆方程联立，表示出点坐标，再表示出直线、的方程，求出点、坐标，利用可证. 【详解】（1）由题意可得，，，解得， 所以椭圆的方程为：. （2）如图： 设直线的方程为：， 则过原点的直线且与直线平行的直线为， 因为是直线与的交点，所以， 因为直线的方程与椭圆方程联立： ，整理可得：， 可得，， 即，因为， 直线的方程为：， 联立，解得：，由题意可得， 所以，， 所以，即，所以. 20．(24-25高二上·江苏连云港灌云县第一中学·期中)若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点． (1)求椭圆的方程； (2)不过原点的直线与椭圆交于两点，当的面积为 时，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据抛物线和双曲线的焦点，结合椭圆的几何性质即可求解， （2）联立直线于椭圆方程，根据弦长公式以及点到直线的距离公式，即可由面积求解. 【详解】（1）抛物线的焦点为 双曲线的焦点为 依题意可得，，则， 所以椭圆的方程为； （2）根据题意，设， 联立直线与椭圆方程，可得， 消去并整理可得，， 则，， 由弦长公式可得，， 又点到直线的距离为， 依题意，令， 当且仅当，即或，此时均满足， 的面积取得最大值为,此时直线l的方程为或 即或 21．(24-25高二上·江苏常州田家炳高级中学·期中)已知椭圆与直线交于点，点为中点，为坐标原点. (1)若过椭圆的一个顶点和一个焦点． ①求椭圆的方程； ②求的坐标. (2)若椭圆的离心率为，以为直径的圆过原点，求椭圆的方程. 【答案】(1)①椭圆的方程为；②的坐标为 (2)椭圆的方程为 【分析】（1）①求得直线与坐标轴的交点，可求椭圆的方程；②联立方程组，利用根与系数的关系可求中点的坐标； （2）由已知可得椭圆的方程可变为，与直线联立结合韦达定理，由已知可得，进而代入计算可得椭圆的方程. 【详解】（1）①因为直线与坐标轴交于，又椭圆的焦点在轴上， 所以，所以, 所以椭圆的方程为； ②联立，消去得，解得或， 所以的坐标为， 所以的坐标为. （2）若椭圆的离心率为，则，解得，所以， 所以椭圆的方程可变为， 联立，消去得， 设的坐标为， 因为直线与椭圆有两个交点， 所以，则， 以为直径的圆过原点，所以， 所以，所以，所以， 所以，解得，符合， 所以椭圆的方程为. 22．(24-25高二上·江苏海门中学·期中)已知椭圆的焦距为，离心率为，，为的左，右焦点，，是椭圆上的两点． (1)求的方程； (2)若，两点都在轴上方，且， ①若，求； ②求四个点，，，所构成的四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)①；②3 【分析】（1）根据已知条件求出即可求解； （2）①设关于原点的对称点为，直线，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求解即可；②根据，将四边形的面积转化为的面积，再利用弦长公式求解即可. 【详解】（1）由已知得，解得，， 所以， 所以椭圆的方程为； （2） ①设关于原点的对称点为，则四边形为平行四边形，所以， 因为两点都在轴上方，且，， 所以， ，设直线， 由，消去得， ， 设，，则，， 因为，即，所以， 由，得， 代入，得，解得， ， 所以， ， 所以； ②由①知，且，所以， 所以， 令，， 则， 因为函数在上单调递增， 所以当时，，所以，此时， 所以四个点，，，所构成的四边形面积的最大值为3. 23．(24-25高二上·江苏徐州第三中学等学校·期中)已知椭圆经过点和. (1)求的标准方程； (2)点，在上，且直线过的右焦点，分别过点，向轴作垂线，垂足分别为，，直线与直线相交于点. ①求点的横坐标； ②求面积的最大值. 【答案】(1) (2)①3；② 【分析】（1）将点的坐标代入进去可求得结果； （2）①设直线的方程，联立方程，利用一元二次方程根与系数的关系得到之间的关系，再结合直线方程得到结果；②根据①中之间的关系得到三角形的面积表达式，再根据基本不等式可求得结果. 【详解】（1）将点和代入可得， 解得，， 即的标准方程为； （2）    ①由（1）知的右焦点为， 可设直线的方程为，， 设，，则，， 联立， 整理可得：， 可得，， 直线的方程为，的方程为， 联立， 两式相减可得，可得 ， 即点的横坐标为3； ②由①可得， 因为，可得， 所以， 所以， ， 令，则， 可得， 当且仅当，即时，取等号， 即的面积的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查了椭圆的定义及性质，解题的关键是找到直线与椭圆相交的两点之间的关系，根据三角形面积公式将纵坐标之间的关系代入进去再结合基本不等式可求出结果，注意运用基本不等式时一定要注意“一正二定三相等”. 24．(24-25高二上·江苏连云港东海县·期中)已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过两点. (1)求的方程； (2)过点的两直线交于，两点，直线，与轴的交点分别为，，且，的中点为，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用待定系数法，代入已知点建立方程组，可得答案； （2）法1：设出直线方程，联立方程，利用韦达定理，结合中点坐标，可得答案； 法2：设出坐标轴上点的坐标，整理直线方程，联立椭圆方程，求得两点，写出直线方程，可得答案. 【详解】（1）设椭圆的方程为，过，， 则，解得， 所以椭圆的方程为： . （2）法1：设线 设直线的方程为，，， 联立，得， 由， 由韦达定理得，， 因为，则直线， 令，解得，即，同理可得， 则，即， 整理得， ， 即，所以， 解得或， 当时，，过定点，舍， 当时，，过定点， 所以直线过定点 法2：设点 设，， 因为，则直线，， 联立，得， 联立，得， 则 ， 所以， ， 即， 所以直线过定点. 25．(24-25高二上·江苏扬州高邮·期中)已知椭圆的焦距为2，，分别为其左右焦点，为原点，且点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)经过左焦点的直线与椭圆交于，两点（异于左右顶点），M为线段AB的中点， ①若，求线段OM的长度； ②求点到直线OM的距离的最小值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由焦距求，代入点的坐标联立方程求解可得； （2）①设直线AB的方程为，将条件转化为，联立直线与椭圆方程，由韦达定理将根的关系转化为系数的方程，求解可得；②由韦达定理用分别表示弦中点坐标与，利用面积关系得关于的函数关系，再求函数最值可得. 【详解】（1）由题知，，即，， 由点在椭圆上，代入椭圆方程得， ，解得，则， 故椭圆的标准方程为：. （2）①由题意可知，直线AB不与轴垂直，且经过点， 所以可设直线AB的方程为，并设， 由得. 则，，. 因为，则，即， 即 ， 解得，. 由， 所以AB的中点为， 即点，所以；      ②由①可知AB的中点为， 则，且直线OM的斜率为， 所以直线OM的方程为. 设点A到直线的距离为， 因为点是弦AB的中点，所以点到直线的距离也为， 又因为 ， 由知，， 所以， 解得， 由，令， 则，由在单调递增， 得，即当时，. 即点到直线OM的距离的最小值为.    【点睛】方法点睛：解析几何中面积求解问题中，当三角形某条边过定点时，可以把三角形某个定顶点和该定点为边，转化为定底边的两个三角形面积之和，从而简化运算. 26．(24-25高二上·江苏常州奔牛、二中、武高·期中)已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B、点P、Q为椭圆上异于A、B的两点，面积的最大值为2． (1)求椭圆C的方程； (2)设直线、的斜率分别为、，且过定点 ①设和的面积分别为、，求的最大值； ②求证：为定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）①分析可知直线斜率不为零，设直线的方程为，设点、，将直线的方程的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，写出关于的函数关系式，利用对勾函数的单调性可求得的最大值；②利用韦达定理，化简，可得定值. 【详解】（1）当点为椭圆短轴顶点时，的面积取最大值， 且最大值为， 由题意可得，解得， 所以，椭圆的标准方程为. （2） ①设点、. 若直线的斜率为零，则点、关于轴对称，不合乎题意. 设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右顶点， 联立可得， ， 由韦达定理可得，， 所以， ， ，则， 因为函数在上单调递增，故， 所以，，当且仅当时，等号成立， 因此，的最大值为. ②由， 所以， ， 即为定值. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 27．(24-25高二上·江苏宿迁·期中)已知椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为、，右顶点为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆的另外一个交点为，当的面积最大时，求直线的方程； (3)若点、是直线上不同的两点，则向量以及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量，当直线时，直线的方向向量称为直线的法向量．设、为实数，直线的一个法向量为，为直线上任一点，点为坐标平面内的定点，我们把称为点在直线上的投影数量．当与椭圆相切时，点、在直线上的投影数量的乘积是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值，且定值为 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）求出直线的方程，设点，其中，利用点到直线的距离公式，辅助角公式可求得点到直线距离的最大值及其对应的的值，可得出点的坐标，进而可求得直线的方程； （3）设直线与椭圆相切于点，则，先证明椭圆在点处的切线方程为，可得出直线的一个法向量，再利用投影的概念可求得点、在直线上的投影数量的乘积，即可得出结论. 【详解】（1）由题意可得，解得， 因此，椭圆的方程为. （2）易知点，直线的斜率为， 则直线的方程为，即， 若的面积最大，则点到直线的距离取最大值， 设点，其中， 则点到直线的距离为， 因为，则， 故当时，即当时，取最大值，此时点， 所以，直线的斜率为，则直线的方程为， 故当的面积最大时，直线的方程为. （3）若直线的方程为，则该直线的斜率为，该直线的一个方向向量为， 该直线的一个法向量为， 设直线与椭圆相切于点，则， 首先证明椭圆在点处的切线方程为， 联立可得，解得， 所以，椭圆在点处的切线方程为，即， 所以，直线的一个法向量为， ，， 所以，点在直线上的投影为， 点在直线上的投影为， 所以，点、在直线上的投影数量的乘积为. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 地 城 考点04 轨迹方程-椭圆 一、多选题 28．(24-25高二上·江苏泰州·期中)《文心雕龙》中说“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意思是自然界的事物都是成双成对的.已知动点到定点的距离和它到直线的距离的比是常数.若某条直线上存在这样的点，则称该直线为“成双直线”，下列说法正确的是（    ） A．动点的轨迹方程为： B．的最大值为16 C．点为动点的轨迹上的任意一点，，，则的面积为 D．直线与动点的轨迹交于两点，则的最小值为 【答案】AD 【分析】首先利用轨迹法求点的轨迹方程，再利用椭圆的性质和定义，以及基本不等式，即可判断选项. 【详解】设，则，化简为，故A正确； B.由A可知，，的最大值为，故B错误； C.由椭圆方程可知，点是椭圆的左焦点，则， 即，， ，所以，则，故C错误； D.四边形是平行四边形，即， , 当，即时，等号成立， 所以则的最小值为，故D正确. 故选：AD 29．(24-25高二上·江苏常州高级中学·期中)如图，圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，圆心的轨迹记为曲线，则（    ）    A．的方程为 B．的最小值为 C． D．曲线在点处的切线与线段垂直 【答案】BCD 【分析】对A，直接根据椭圆的定义可得答案；对B，利用与互补，求出的最大角即可；对于C，直接利用向量的坐标运算求解；对于D，求出点处的切线斜率，再利用，求出点的坐标，再判断切线斜率和的关系即可. 【详解】因为圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 对于选项A，设动圆的半径为，由条件得，则，且不重合， 故点的轨迹为以为焦点的椭圆（去掉重合的点），则曲线的方程为，故选项A错误； 对于选项B，由图可知与互补，设， 在中，，则， 又，所以，当且仅当时取等号， 又，所以，得到的最小值为，故选项B正确； 对于选项C，， 当且仅当时等号成立，故选项C正确； 对于选项D，设点， 下面先证明椭圆上一点的的切线方程为. 联立，消去得， 则，又，所以. 所以椭圆上一点的的切线方程为. 则过点的椭圆的切线方程为，切线斜率为， 又，所以， 则 得，解得， 所以， 又， 因为，所以，所以，所以， 所以，即曲线在点处的切线与线段垂直，故D正确    故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项解题的关键是利用过椭圆上一点的的切线方程为，通过结论可快速找到解题思路. 二、填空题 30．(24-25高二上·江苏常州金坛区·期中)已知点，，点满足直线的斜率之积为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先求出的轨迹方程，再结合向量数量积的坐标形式可求最小值. 【详解】设，则，故， 整理得到：，而 故， 而，故， 故答案为： 三、解答题 31．(24-25高二上·江苏南通海安高级中学·期中)已知为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线与交于点，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点作直线（与轴不重合）与相交于点，，直线与轴交于点，，求的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知点的轨迹是以为焦点的椭圆，进而可得方程； （2）设直线，，根据向量可得，结合韦达定理运算求解. 【详解】（1）由题意可知：的圆心为，半径为4，且，    则， 可知点的轨迹是以为焦点的椭圆，则， 所以的方程为. （2）因为点在椭圆内部，可知直线与椭圆必相交，    设直线，，则， 联立方程，消去x可得， 则， 又因为， 若，则，即， 可得，解得， 所以的方程为，即. 32．(24-25高二上·江苏南航苏附·期中)平面直角坐标系中，已知点，动点C满足条件：的周长为，记动点C的轨迹为曲线W. (1)求W的方程； (2)设过点B的直线l与曲线W交于两点，如果，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用椭圆的定义求解椭圆方程即可； （2）分直线的斜率不存在和存在两种情况，直线与椭圆联立，利用弦长公式计算即可. 【详解】（1），因为的周长为，所以， 所以点的轨迹满足椭圆的定义，，又因为，所以， 并且点不能在轴上，所以点的轨迹方程为. （2）当直线的斜率不存在时，，不合题意； 当直线的斜率不存在时，设，直线的方程为， 与椭圆方程联立得：， 所以， 由弦长公式得 解得， 所以的方程为或. 33．(24-25高二上·江苏常州金坛区·期中)《文心雕龙》有语：“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意指自然界的事物都是成双成对的．已知动点P与定点的距离和它到定直线l：的距离的比是常数（）．设点P的轨迹为曲线H，若某条直线上存在这样的点P，则称该直线为“齐备直线”． (1)若，求曲线H的方程； (2)若“齐备直线”：与曲线H相交于A，B两点，点M为曲线H上不同于A，B的一点，且直线MA，MB的斜率分别为，，试判断是否存在λ，使得取得最小值？说明理由； (3)若，与曲线H有公共点N的“齐备直线”与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且N为线段ST的中点，求证：直线与曲线H有且仅有一个公共点． 【答案】(1) (2)存在使得取得最小值4，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）把点满足的条件用坐标表示出来，整理化简即可； （2）把点满足的条件用坐标表示出来整理可得的方程，利用两点表示斜率公式求出，进而，结合基本不等式计算即可求解； （3）由（2）得曲线：，设，求出点的坐标，进而可得的坐标，代入双曲线方程，求出的关系，联立双曲线方程，整理化简可得一元二次方程，利用即可证明. 【详解】（1）当时，定直线：，比值为：. 设，则点到定点的距离与它到定直线的距离之比为， 即， 两边平方，整理得：，即为曲线的方程. （2）因为动点P与定点的距离和它到定直线l：的距离的比是常数（）， 所以，整理得， 即，即为曲线的方程. 设，则， ， 得， 当且仅当即时，等号成立， 所以存在使得取得最小值4. （3）由（2）知，当时，曲线：，双曲线的渐近线方程为：， 如图： 设，则，解得， 即，所以， 代入双曲线方程，得， 整理得，即， 解得或. 当时，，若，则， ，消去得，方程有唯一的解， 同理，若，得，方程有唯一的解， 故直线与曲线H有且仅有一个公共点； 当时，，消去得， ，方程有唯一的解， 故直线与曲线H有且仅有一个公共点. 综上，直线与曲线H有且仅有一个公共点. 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 34．(24-25高二上·江苏淮阴中学·期中)已知，，动点P满足直线与直线的斜率之积，动点P的轨迹形成曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)设点（t为常数且），求线段PT长度的最大值； (3)经过点的两条直线，，直线与曲线C相交于A，M两点，直线与曲线C相交于B，N两点，若直线AB过定点，证明：直线MN恒过定点． 【答案】(1) (2) (3)过定点，证明见详解. 【分析】（1）写出斜率化简可以得到方程，注意点不能与，点重合； （2）直接写出点到点距离，消元后配方即可； （3）先用特殊位置求出点，然后证明直线过定点即可. 【详解】（1）设点，由题意，化简得到，点不能与或重合， 故曲线的方程为. （2）设点坐标为，根据两点间距离公式写出， 又点在椭圆上，，消去得： , 在椭圆中，可以得到当时，， 当时，； 综上，； （3）直线过点. 如示意图，可先选择特殊位置，将点放置到位置，此时与关于轴对称， 直线方程分别为， 可以连接，得到直线，求出与交于点. 设，，，，设的中点， 将，两点代入椭圆，做差可得，整理得：. ，点是线段中点，则，代入 可得：，整理后可以得到所在曲线的方程为：. 注意到对于两端点在椭圆上的线段，设其中点为，则线段所在直线斜率存在时，都有. 同理，可设，的中点，，用同样方法可以得到和所在的曲线方程. 注意到在靠近点的四等分点处，的中点所在曲线为过和交点的曲线， 由曲线系的方法，，根据曲线关联的点的坐标之间的关系，， 可得，. 假设直线所过的定点为，计算用点和两点表示的斜率，并与点的坐标相乘得到： ，化简得到，可知线段满足两端点在椭圆上，与假设结果相符. 综上，直线过定点. 【点睛】此题第1小问易错点在于忽略点的范围，第2小问需要注意分类讨论，第3小问采用先猜测再证明的方式可以减小计算量. 地 城 考点05 椭圆中的焦点焦距 一、单选题 35．(24-25高二上·江苏淮安高中校协作体·期中)椭圆的右焦点坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出椭圆标准方程，根据参数关系求得，即可写出右焦点坐标. 【详解】由题设，椭圆标准方程为，故， 所以右焦点为. 故选：C 36．(24-25高二上·江苏淮阴中学·期中)若椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据椭圆与双曲线的焦点计算即可. 【详解】易知双曲线的焦点为， 则由题意可知：，即的值为6. 故选：C 37．(24-25高二上·江苏海门中学·期中)椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 【答案】C 【分析】分别由两个椭圆方程求出对应的，由此得到长轴长、短轴长、焦距和离心率的值，然后得到结果. 【详解】椭圆中，，即，，∴， 即长轴长，短轴长，焦距，离心率， 椭圆中，，即，，∴， 即长轴长，短轴长，焦距，离心率， ∴两个椭圆中只有焦距相等. 故选：C. 38．(23-24高二上·江苏启东中学·期中)已知椭圆的的焦距为2，则m的值为（   ） A．5 B． C．3或5 D．或 【答案】C 【分析】根据题意先求出c的值，根据椭圆方程的标准形式，求出m的值． 【详解】由题有，所以 当椭圆方程的交点在轴时， 且，解得； 当椭圆方程的交点在轴时， 且，解得； 的值为5或3. 故选C. 39．(24-25高二上·江苏南通海门·)已知、是椭圆的两个焦点，过的直线交于、两点，若的周长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义求出的值，由此可求得的值. 【详解】因为，则椭圆的焦点在轴上， 过的直线交于、两点， 若的周长为，则， 所以，. 故选：C. 二、多选题 40．(24-25高二上·江苏海门中学·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于、两点，则（    ） A． B．当，，不共线时，的周长为 C．存在，使得 D． 【答案】BD 【分析】由椭圆标准方程求得，由椭圆性质判断A，由椭圆定义判断B，由以为直径的圆与椭圆有没有公共点，判断C，由焦点弦长最长是长轴，最短的是通径，从而可判断D． 【详解】由题意，，， 因此，A错； 当，，不共线时，的周长为，B正确； 由于，因此以为直径的圆与椭圆没有公共点，从而椭圆上不存在点，使得，C错； ，，D正确， 故选：BD． 41．(24-25高二上·江苏无锡第一中学·期中)已知椭圆C：的离心率为，左，右焦点分别为为椭圆上一点（异于左，右顶点），且面积的最大值为，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆C的焦距为1 B．椭圆C的短轴长为 C．的周长为6 D．椭圆C上存在4个点P，使得 【答案】BC 【分析】根据题意分析可得当P为椭圆上顶点或下顶点时，面积最大，进而结合离心率即可求得即可判断AB；结合椭圆定义求出的周长即可判断C；假设椭圆C上存在点P使得，设，，根据椭圆定义和余弦定理求出即可判断D. 【详解】由题意，当P为椭圆上顶点或下顶点时，面积最大， 此时， 结合，解得，，， 则椭圆C的焦距为，故A错误； 椭圆C的短轴长为，故B正确； 的周长为，故C正确； 假设椭圆C上存在点P，使得，设，， 则，， 解得，即为椭圆上顶点或下顶点时，满足题意，故D错误. 故选：BC. 地 城 考点06 椭圆中的周长问题 一、多选题 42．(24-25高二上·江苏南京南京师范大学附属中学·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点．则下列说法错误的是（    ） A．椭圆C的离心率为 B．的周长为5 C． D． 【答案】AB 【分析】对于A：根据方程可得，即可得离心率；对于B：根据椭圆定义分析判断；对于C：可知当点P为椭圆短轴顶点时，取到最大值，运算求解即可；对于D：根据即可判断. 【详解】对于选项A：由题意可知，， 所以离心率，故选项A错误， 对于选项B：由椭圆的定义，， 所有的周长为，故选项B错误， 对于选项C：当点P为椭圆短轴顶点时，取到最大值，此时， 又因为，则，即， 所以，故选项C正确， 对于选项D：由椭圆的几何性质可知，可得，故选项D正确． 故选：AB. 43．(24-25高二上·江苏宿迁·期中)已知椭圆的上顶点为，过椭圆左焦点且斜率为的直线交椭圆于，两点，则的周长为（    ） A．10 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】取椭圆的右焦点，易证直线是线段的垂直平分线，可得，，结合椭圆的定义求得答案. 【详解】由椭圆方程可得，，则， 如图，取椭圆的右焦点，连接， 则，即为正三角形， 又直线的斜率为，则直线的倾斜角为，即， 所以直线是线段的垂直平分线， 所以，， 所以的周长为 . 故选：B. 二、填空题 44．(24-25高二上·江苏连云港赣榆区·期中)已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，离心率为.过且垂直于的直线与交于D，E两点，，则椭圆的方程是 ，的周长是 . 【答案】 8 【分析】先根据离心率求出与的关系，再通过直线与椭圆相交弦长公式求出，的值，从而得到椭圆方程。对于的周长，根据椭圆的定义，椭圆上任意一点到两焦点距离之和等于长轴，所以的周长为。 【详解】 椭圆的离心率为， 不妨可设椭圆，， 的上顶点为，两个焦点为，， 为等边三角形， 过且垂直于的直线与交于，两点， ， 由等腰三角形的性质可得，，， 设直线方程为，，，，， 将其与椭圆联立化简可得，， 由韦达定理可得，，， ， 解得，所以，，椭圆方程为。 的周长等价于. 故椭圆的方程是；的周长是。 故答案为：；8. 地 城 考点07 椭圆中的面积问题 一、单选题 45．(24-25高二上·江苏南通海安高级中学·期中)已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是20，则（   ） A．5 B． C． D．10 【答案】D 【分析】求出，由三角形的面积得到面积为10，设，则，将代入中得，求出，得到. 【详解】由题意得，故，故， 因为的面积为20，所以面积为10， 设，则，解得， 将代入中得， 故，则. 故选：D 二、多选题 46．(24-25高二上·江苏泰州兴化·期中)下列选项中，正确的有（    ） A．直线与垂直 B．点到直线的距离为 C．圆的面积为 D．椭圆的面积大于8 【答案】AC 【分析】根据两直线的系数关系即可求解A，根据点到直线的距离公式即可求解B，根据圆的一般方程可得半径，即可求解C，根据矩形面积即可求解D. 【详解】对于A，由于，两直线垂直，故A正确， 对于B，点到直线的距离为，故B错误， 对于C，圆的半径为，故面积为，C正确， 对于D，由于，则，故椭圆面积小于8，故D错误， 故选：AC 47．(24-25高二上·江苏扬州高邮·期中)已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，点是它们的一个公共点，且在圆上，椭圆和双曲线的离心率分别为，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．双曲线的方程为 C．的面积为 D．的周长为 【答案】ABC 【分析】结合对称性，利用椭圆与双曲线的定义可得，，再由点在圆上得，消去可得的关系，即，联立解得，进而可得，再依选项逐个求解判断可得. 【详解】由题意知，设焦距为，则. 设椭圆的长轴长为，短轴长为， 双曲线的实轴长为，虚轴长为， 根据对称性，不妨设椭圆与双曲线的交点在第一象限， 由椭圆的定义知，，则 由双曲线的定义知，，则 由两式相加化简得， 点在圆上， ，， 则，则，又， A项，联立， 解得，，故A正确； B项，由A可知，，， 解得，， 则， 所以双曲线方程为，故B正确； C项，由，， 则 ， 所以的面积，故C正确； D项，的周长为 ，故D错误. 故选：ABC. 三、解答题 48．(24-25高二上·江苏盐城七校联考·期中)已知动点满足方程. (1)试将上面的方程改写为椭圆的标准方程并求其离心率； (2)类比圆的面积公式可以得到椭圆的面积公式为，其中a，b分别是椭圆的长半轴和短半轴的长，求该椭圆的面积. 【答案】(1), (2) 【分析】（1）根据所给式子及椭圆的定义判断轨迹方程为椭圆，即可求出标准方程及离心率； （2）根据所给公式直接计算即可. 【详解】（1）由， 可以看作动点到定点的距离和为常数， 所以由椭圆的定义知动点轨迹为焦点在轴上的椭圆，且， 所以， 所以椭圆的方程为：，其离心率. （2）由（1）知， 由所给椭圆面积公式. 49．(24-25高二上·江苏扬州新华中学·期中)已知和为椭圆上两点． (1)求椭圆的离心率； (2)若过点且斜率为的直线交于另一点，求△的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入两点得到关于的方程，解出即可； （2）直线求出来，发现经过原点，得出B坐标，用两点间的距离公式求出长度，再运用点到直线距离公式求出的高，求出面积即可． 【详解】（1）由题意得，解得，则， 所以椭圆的标准方程为：，离心率为. （2）如图过点且斜率为的直线设为：化简即， 即，经过原点，由椭圆的对称性知道，关于原点对称， 则，， 由点到直线距离公式求得到的距离， 则， 故的面积为． 50．(24-25高二上·江苏西交大附中·期中)在平面直角坐标系xOy中，，，3，成公差为d的等差数列. (1)求M的轨迹方程； (2)若，求的面积； (3)求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明过程见解析 【分析】（1）由等差中项得到，故点M的轨迹为以为两焦点的椭圆方程，求出答案； （2）利用椭圆定义和余弦定理求出，由三角形面积公式求出答案； （3）由（1）得，，计算出，，得到故，得到结论. 【详解】（1）因为，3，成公差为d的等差数列， 故， 又，， 故点M的轨迹为以为两焦点的椭圆方程， 其中，故，， 故M的轨迹方程为； （2），，，    由余弦定理得， 即，解得， 则； （3）由（1）得，， 其中， 其中，故， 故，同理可得， 故，， 故，证毕. 51．(24-25高二上·江苏扬州江都区·期中)已知椭圆：（）经过点，焦距为，过点且斜率为1的直线与椭圆相交于，两点. (1)求椭圆的方程； (2)求的面积. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据焦距和点列式求，即可得椭圆方程； （2）由题意可知：直线的方程，联立方程求点的坐标，即可得，以及点到直线的距离，即可得面积 【详解】（1）因为焦距为，即，可得， 又因为点在椭圆：上，即， 联立方程，解得， 所以椭圆的方程为. （2）由题意可知：直线，即， 联立方程，解得或， 不妨设，则， 且点到直线的距离， 所以的面积. 52．(24-25高二上·江苏南通通州区、如东县2地·期中)在平面直角坐标系中，已知椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求的方程； (2)如图，过点的直线（异于轴）与交于点P，Q，过左焦点作直线PQ的垂线交圆于点M，N，垂足为.    ①若点，设直线AM，AN的斜率分别为，证明：为定值； ②记的面积分别为，求的取值范围. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得的方程. （2）①设出直线的方程并与圆的方程联立，化简写出根与系数关系，由此化简求得为定值. ②先求得的表达式，利用换元法，结合函数的单调性来求得的取值范围. 【详解】（1）依题意，，解得， 所以的方程为. （2）①设直线的方程为，， 由，消去并化简得， 则， ，则， 所以 . ②由题得，， 又，所以， 由椭圆的对称性可知， 所以， 因为直线的方程为，所以， 因为，所以直线的方程为， 将其代入，解得， 所以， 所以， 令，则， 所以， 函数在上单调递增， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以，即， 综上所述，的取值范围是. 【点睛】思路点睛： 利用已知条件求椭圆方程：首先利用短轴长和离心率，通过焦距和半长轴长度，得出椭圆的标准方程，这是确定椭圆方程的基础. 结合根与系数关系证明斜率的定值：设定直线的方程，结合椭圆方程，通过根与系数关系证明斜率的定值，这是确保直线和椭圆之间关系的有效方法. 利用函数单调性求取值范围：通过设定面积的函数表达式，结合椭圆的对称性和函数的单调性，得出面积的取值范围. 地 城 考点08 椭圆中的最值及范围问题 一、多选题 53．(24-25高二上·江苏淮安高中校协作体·期中)已知椭圆，直线圆下列结论正确的是（      ） A．椭圆的离心率为 B．直线与圆相交 C．圆与圆C外离 D．椭圆上点到直线l的距离范围为 【答案】AD 【分析】由题意易求离心率判断A；求得圆心到直线的距离判断B；求得两圆的圆心距判断C；利用平行直线系，联立直线与椭圆方程，利用判别式可求解相切时的直线，即可根据平行线间距离公式求解判断D. 【详解】由椭圆，可得，所以， 所以椭圆的离心率为，故A正确； 由圆，可得，所以圆心，半径， 由圆心到的距离， 所以直线与圆相离，故B错误； 由，可得，所以心，半径为， 所以，圆与圆C外切，故C错误； 设与直线，平行的直线为， 联立，整理得， 因为与椭圆有公共点，所以， 解得， 又与的距离为，所以， 所以椭圆上点到直线l的距离范围为，故D正确. 【点睛】关键点点睛：关键在于求出与直线平行且与椭圆有公共点的直线方程，进而利用两直线间的距离公式求解可得答案. 54．(24-25高二上·江苏南通启东等2地·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．△的周长为4 C．若°，则△的面积为 D．的取值范围为 【答案】ACD 【分析】根据椭圆的性质及题意求出可判断A，由椭圆的定义可判断B，根据余弦定理求出得三角形面积判断C，利用向量的数量积坐标运算求出范围判断D. 【详解】由的最大值为3，最小值为1知，， 解得，所以离心率，故A正确； 由椭圆的定义知， 所以△的周长为，故B错误； 由余弦定理，， 即，所以， 解得，所以，故C正确； 由题意可得椭圆方程为，, 设，则， 所以，由， 可知，故D正确. 故选：ACD 55．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县·期中)已知椭圆，且两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（    ） A．的周长为12 B．的最小值为3 C．存在点，使得 D．的最大值为16 【答案】AD 【分析】对于A：根据椭圆定义即可判断；对于B：根据椭圆性质即可判断；对于C：可知点在以为直径的圆上，分析椭圆与圆的交点情况即可；对于D：根据椭圆定义结合基本不等式分析判断. 【详解】由椭圆方程可知：， 则.    对于选项A：的周长为，故A正确； 对于选项B：的最小值为，故B错误； 对于选项C：存在点，使得，可知点在以为直径的圆上， 但，可知圆与椭圆没有交点， 所以不存在点，使得，故C错误； 对于选项D：因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为16，故D正确； 故选：AD. 56．(24-25高二上·江苏常州金坛区·期中)已知F、为椭圆C：的左、右焦点，直线l：（）与椭圆C交于A，B两点，轴，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，则（   ） A．四边形周长为8 B．的最小值为 C．直线BE的斜率为2k D． 【答案】ABD 【分析】由椭圆的定义判断A，结合基本不等式求得最小值判断B，设，得出坐标，求出斜率判断C，由直线与椭圆相交求得点坐标后根据斜率即可判断D． 【详解】由已知，，A正确； ， 则， 当且仅当，即时等号成立，B正确； 设，则，，， 则，C错； 直线方程为， 由，消去得， 显然是此方程的一个解，则， ， 因此， ，，所以与垂直，D正确． 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：直线与椭圆相交问题，常常设交点坐标为，设直线方程为，代入椭圆方程后应用韦达定理得，如果直线方程是以直线与椭圆相交的一个点为基础得出的方程，那么该点的坐标（横坐标或纵坐标）就是相应一元二次方程的一个解，从而利用韦达定理易求得另一解． 57．(24-25高二上·江苏常州田家炳高级中学·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为为椭圆上异于的动点，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值为20 C．的外接圆圆心到x轴的距离的最小值为 D．直线的斜率之差可能为1 【答案】AC 【分析】得用已知椭圆求得，再结合每个选项的条件逐项计算可判断结论. 【详解】由椭圆C：的方程可知，，解得， 所以，即，故A正确； 因为，所以， 当且仅当时取等号，故B错误； 由的外接圆的圆心在的垂直平分线上，可得圆心在轴上， 由， 所以为锐角，且在短轴的端点处时，最大， 由外接圆的半径为可知，越大，半径越小， 此时外心到x轴的距离最小，设外心为，取在上顶点时， 所以，解得，故C正确； 设，由，得，所以， 不妨取，则，， ， 当且仅当时取等号， 所以直线的斜率之差不可能为1，故D不正确. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：根据点在椭圆上，可求得为定值，进而可利用基本不等式判断直线的斜率之差是否可能为1. 58．(24-25高二上·江苏南通如皋部分学校·期中)已知椭圆的左，右焦点分别为，上顶点，且°．为椭圆上任意一点（异于左，右顶点），直线分别与椭圆交于，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．内切圆的半径为 C．△的外接圆方程为 D．△与△内切圆半径之和的最大值为 【答案】ABD 【分析】由已知条件直接求得得离心率判断A，得椭圆标准方程，解方程组求出交点坐标得直角的边长后可求得其内切圆半径判断B，同样由三点坐标求出外接圆方程判断C（可用点的坐标代入判断），利用面积的两种不同计算方法可求得内切圆半径与点坐标的关系，结合韦达定理可求出两内切圆半径和的最大值，判断D． 【详解】A选项，由题意，是等腰直角三角形，因此，， 离心率为，A正确； B选项，由上知，，直线的方程为，椭圆方程为， 由，解得或，∴， ，，而， 则，即为直角三角形， ∴△内切圆的半径为，B正确； C选项，由题意设△的外接圆圆心坐标为，则，解得， 即圆心坐标为，半径为， 圆方程为，C错； D选项，设，的内切圆在三边上的切点分别为，如图，    一方面，， 另一方面，记的内切圆半径为，， 所以，，事实上，不论点在轴上方还是下方，都有与同号，所以，从而， 则的内切圆半径为，内切圆半径为， △与△内切圆半径之和为， 设直线方程为， 由得， ， ， 所以当，即时，取得最大值，D正确， 故选：ABD． 【点睛】结论点睛：设是椭圆上的点，是椭圆焦点，与不共线，的内切圆圆心为，半径为，椭圆离心率为， 则，，， 二、填空题 59．(24-25高二上·江苏常州联盟学校·期中)已知椭圆的左右焦点分别为，，上的一点满足，且的面积为，则的值为 ，的取值范围为 . 【答案】 4 . 【分析】在椭圆焦点三角形中，应用余弦定理和三角形面积公式推得（），即可求参数b，进而有，再由，要保证最大角能取到，应用余弦定理和基本不等式求参数a的范围. 【详解】由，（）， 所以， 又，则， 所以，结合， 所以， 由题设，则，故， 由上分析知， 而， 当且仅当时取等号，所以，则， 当且仅当时取等号，则， 综上，. 故答案为：4，. 【点睛】关键点点睛：要注意保证最大角能取到求参数a的范围. 三、解答题 60．(24-25高二上·江苏连云港赣榆区·期中)已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.点为椭圆的左顶点. (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率为1的直线与椭圆交于另外一点，求的坐标； (3)点，点为椭圆上任意一点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）先求得直线的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，从而求得点的坐标. （3）设，利用两点间的距离公式表示，根据二次函数的性质求得的最小值. 【详解】（1）依题意，解得， 所以椭圆方程为. （2），直线的方程为， 由解得或，则. （3）设是椭圆上任意一点，则， ， ， 由于，所以当时， 取得最小值为.    【点睛】方法点睛： 椭圆方程的确定：通过椭圆的离心率来推导其标准方程，是解题的重要步骤，利用椭圆的几何性质（如顶点和离心率）是求解方程的核心方法. 联立方程求解交点：在求直线与椭圆的交点时，通过联立方程并求解，是解决此类问题的常用手段. 距离公式与二次函数最值：通过两点间的距离公式建立关系，并利用二次函数的性质来求得最小值，是求解最小距离问题的有效方法. 61．(24-25高二上·江苏南京外国语学校·期中)已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点C是椭圆上异于A，B的动点，过原点O平行于AC的直线与椭圆交于点M，N，D为线段AC的中点，直线OD与椭圆E交于点P，Q，点P，C，M在x轴的上方． (1)设直线CQ，AQ分别与直线MN交于点E，F，且满足，求点C的坐标； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因为可得，再由椭圆的对称性可得，可证明四边形是平行四边形，所以，则，即，将其代入椭圆的方程即可求出点C的坐标； （2）设点，得到，设直线的方程为，联立方程组求得，同理得到，方法1、求得，令，利用二次函数的图象与性质，求得，结合，即可求解；方法2、求得，利用基本不等式求得，进而求得的最大值. 【详解】（1）因为，所以，又因为， 所以与的相似比为， 又因为分别为与的中线， 所以，所以， 由椭圆的对称性可知，，所以，所以， 所以为的中点，连接， 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，设，由椭圆的对称性知，， ，由四边形的性质可得， 所以，所以， 将代入可得，则， 所以点C的坐标为. （2）解：设点，由，可得， 则, 可得， 又由直线的斜率一定存在且不为零，故可设其方程为， 由，解得，则， 因为，可得，同理可得， 方法1： 由题可得， 令，则，可得， 当时，即时，取等号，即 又因为，所以的最大值为. 方法2 ：由题可知， 所以，当且仅当时，等号成立， 又因为，所以的最大值为. 【点睛】方法技巧：圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多样，但主要有两种方法： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）平面向量；（6）导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 62．(24-25高二上·江苏连云港灌南县·期中)已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)，为椭圆上两个不同的点，且， ①求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标； ②过点作直线的垂线，垂足为，求的最大值. 【答案】(1) (2)①证明见解析，定点坐标为；②. 【分析】（1）根据离心率和关系得到方程，解出即可； （2）①先考虑斜率不存在的情况，再采用设线法，设，再将其与椭圆方程联立得到韦达定理式，代入向量表达式化简即可； ②根据①中结论得在以为直径的圆上，则得到最值情况. 【详解】（1）由题意知，故，即， 又因为椭圆过点，所以，解得， 所以椭圆的方程为:. （2）①设，， ， (i)当直线斜率不存在时，设， 联立得， ， 解得(舍)或，此时. (ii)当直线斜率存在时，设， 联立得， . 又， ， 整理得， 将代入整理得， ， 或， 当时，，过点，不成立； 当时，，则过定点， 综上所述，过定点.    ②过定点， ，即在以为直径的圆上， 圆心为的中点，半径， . 【点睛】关键点点睛：本题第二问的第一小问的关键是采用设线法联立椭圆方程得到韦达定理式，再将向量式化简整理，最后代入韦达定理式即可. 地 城 考点09 椭圆的应用 一、单选题 63．(24-25高二上·江苏扬州高邮·期中)椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆，为坐标原点，是点处的切线，过左焦点作的垂线，垂足为，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】C 【分析】延长、交于点，由光学性质分析可知，则为的中点，且，利用中位线的性质结合椭圆的定义可求得的值. 【详解】由椭圆，则，长轴长. 如图，在平面直角坐标系中， 延长交于点，连接， 由题意可知，又因为， 则为的中点，且， 所以， 又因为为的中点，则为的中位线， 则. 故选：C. 64．(24-25高二上·江苏泰州民兴实验中学·期中)如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆离心率以及卫星近地点离地面的距离列方程，求解得出椭圆的长半轴和半焦距，即可求得答案. 【详解】由题意，不妨以椭圆中心为坐标原点，建立如图所示坐标系，    则椭圆方程为， 则，且，解得，， 故该卫星远地点离地面的距离为， 又，所以. 故选：A. 二、多选题 65．(24-25高二上·江苏常州金坛区·期中)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面m千米，远地点B（离地面最远的点）距地面n千米，并且F、A、B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a、2b、2c，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题设条件可得，逐项判断后可得正确的选项. 【详解】由题设，， 所以，，故AB正确，C错误， 而，故D正确. 故选：ABD. 66．(24-25高二上·江苏盐城七校联考·期中)如图所示，2024年5月3日“嫦娥六号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，给出下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定图形，根据焦距含义直接判断A；由轨道Ⅰ和Ⅱ的相同值判断B；由变形推理判断C，D作答. 【详解】对A，观察给定图形，显然，则，故A正确； 对B，由及得，B正确； 对CD，因，即，有， 得， 令，，即有，由给定轨道图知，， 因此，，D正确；而，C不正确. 故选：ABD 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 专题03椭圆方程及其性质 ☆9大高频考点概览 考点01椭圆的定义及辨析应用 考点02根据方程表示椭圆求参数的范围 考点03求椭圆方程 考点04轨迹方程-椭圆 考点05椭圆中的焦点焦距 考点06椭圆中的周长问题 考点07椭圆中的面积问题 考点08椭圆中的最值及范围问题 考点09椭圆的应用 考点01 椭圆的定义及辨析应用 一、 单选题 1.(4-25高三上江苏宿迁沭阳县期中方程x-1+广+x++少=2表示的曲线为（） A.圆 B.椭圆 C.线段 D.不表示任何图形 2.2425高三上江苏道云港东海基期中)动烟与因+广46+5=0外，与图r+广-6-91=0 内 切，则该动圆圆心的轨迹是() A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 x2,y2 =1 3.(24-25高二上江苏扬州中学期中)椭圆2516的焦点为F,F,P为椭圆上一点，若PF=3,则 PF=() A.4 B.3 C.5 D.7 1/22 命学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 目目 考点02 根据方程表示椭圆求参数的范围 一、单选题 x2y2 =1 4.(24-25高二上·江苏连云港赣榆区·期中)方程m-19-m表示椭圆，则m的取值范围是() A.1<m<9 B.1<m<5或5<m<9 C.1<m<5 D.5<m<9 6Q425高三上苏清油后东等2地期中若方程+表示焦点在，抽上的椭因，则m的取宜 范围为() A.-3<m<-2 1 1 B.-2<m<2 C.m<-3 D.m>2 ￥2 x2 =1 6.(24-25高二上·江苏南京·期中)若方程7-mm-1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是 () A.（0,1 B.(L4) c.47) D.(7,+) 考点03 求椭圆方程 一、单选题 7.(24-25高二上江苏无锡锡东高级中学期中)求长轴长是短轴长的3倍，且过点3-刂的椭圆的标准方程 () x2y2 A.x2y2 1821 B.8282 9 2/22 品学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 r= C.+-1或282 D.2-1 182 9 93 x2 y2 =1 8.(24-25高二上·江苏宿迁·期中)椭圆C以双曲线169的两个焦点为长轴的端点，以双曲线的顶点为 焦点，则椭圆C的方程为() x2,y2 x2y2 x2,y2 x2,y2 A.6+91B.25+i6- C.25+9=1 D.16+7=1 十 9.2425商二上江苏泰州兴化文正实验学校期已知梢圆C的中心为坐标原点，焦点B在'轴上。 √5 短轴长等于2√2，离心率为3，过焦点F作y轴的垂线交椭圆C于P,Q两点，则下列说法正确的是 () y2 x2 A.椭圆c的方程为2+g】 B.椭圆c的焦距为1 c.IPel=43 3 D.△PF2的周长为23 x2y2 10.24-25高二上江苏锡山高级中学期中已知箱园E:。+P=1川a>b>0的左、右顶点分别为M,N, E: 417 上、下顶点分别为P,O,四边形M⑨NP的面积为8，原点O到直线PN的距离为17则椭圆E的方程为 () =1 x2 +y2=1 A.84 B.4 C.16+=1 x2,y2 D.16+4=1 3/22 品学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 1.(24-25高二上江苏徐州铜山区期中)已知椭圆C:,+=1的左、右焦点分别为F-V2,0, (V5,0),椭圆上一点P满足PR1P5,以C的短轴为直径作圆0，截直线P听的弦长为V,则椭圆的 方程为() A.3+y2=1 B.42 c若 1 D.+若 二、解答题 x2,y2 12.24-25高二上江苏徐州铜山区期中已知46.)，B2是椭圆云+=1a>b6>0 上两点 (1)求椭圆C的标准方程： ②过点0，-的直线1交椭圆C交于p,0两点，月P8 3,求直线1的方程. x2,y2 13.(24-25高二上江苏无锡第一中学期中)已知椭圆E:。+不=1(a>b>0) 的短轴长为2，且离心率为 2 2,O为坐标原点. (1)求E的方程： 2过点P10,2 且不与y轴重合的动直线1与椭圆E相交于A,B两点，求△OAB面积的最大值及此时直线1 的方程. x2,y2 14.(2425高二上江苏南航苏附期中)已知椭圆E:,+?=1a>6>0 的右焦点为F(3,O),且该椭圆过点 4/22 品学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 (23,V3) 直线1交椭圆E于4 两点. (1)求椭圆E的方程： y=k(x-3)k≠0)、 作直线m:t=6。 P、Q PO (2)若直线1方程为 的垂线，垂足分别为兰，点R为线段 AROF 的中点，求证：四边形 为梯形 5,45高上联老男尼知片在C子+卡>6>0，我勇 程为x=3,过右焦点F作垂直于x轴的直线交椭圆C于A,B两点. (1)求以AB为直径圆的方程： (2)以椭圆C上D、E两点为直径端点作圆P,圆心P恰好在直线AB上，再过点P作DE的垂线L,试问直 线是否经过某定点，若存在，求此定点；若不存在，请说明理由. .x2,y2 16,24-25高二上江苏南京期中已知精圆E:7+。-a>6>0 的右顶点为A,上顶点为B,AB=3, √2 离心率为2· (I)求E的方程： (2)直线I平行于直线AB,且与E交于M,N两点， ①P,Q是直线AB上的两点，满足四边形MWPO为矩形，且该矩形的面积等于？MW,求，的方程： ②当直线AM,BW斜率存在时，分别将其记为 为，，证明 kk为定值， 17.2425高二上江苏南通启东等2地：期中)已知椭圆C:号+广 a+F=1a>h>0)的右焦点为FN2,0):且离 6 心率为3. (1)求椭圆C的方程： ②)直线'经过F且与椭圆C交于M,N两点，证明：当且仅当直线与圆+少=：相切时MW=V5 5/22 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 ,x2y2 18,2425高=上江苏常州联盟学校期中)已知双曲线C:云下-1a>0,6>0经过点(4,7列，且左焦点 为F-30) (1)求C的标准方程： 2过C的右焦点F作斜率为万的弦AB,求△F4B 周长 19,(24-25高二上江苏扬州扬州大学附居中学东部分校期中)已知椭圆C:云+广 。+京=l(a>b>0)的短轴的两 6 个端点分别为4(0,1，B(0,-,离心率为3. (1)求椭圆C的方程： 2)设点N(0,-3引，点M为椭圆C上异于4B的任意一点，过原点且与直线M4平行的直线与直线”=3交于 、y=3 点”，直线份与直线=3交于点O,求证： NP⊥NQ E:y 20.(24-25高二上江苏连云港灌云县第一中学期中)若椭圆E:。+F=1(a>6>0) 过抛物线x2=4y的焦 点，且与双曲线-广=1 有相同的焦点. (1I)求椭圆E的方程： 3 (2)不过原点o的直线1：y=x+m与椭圆E交于A,B两点，当△OAB的面积为4时，求直线，的方程. 2L,24-25高三上江苏常州田家炳高级中学期中已知椭圆C:怎+。(a>b>0)与直线：x+v1交 A,B 点 ,点M为 AB 中点，为坐标原点 (1)若过椭圆C的一个顶点和一个焦点. ①求椭圆C的方程； ②求M的坐标. 6/22 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 √2 2)若椭圆c的离心率为2，以AB为直径的圆过原点0，求椭圆c的方程。 22.2425高二上江苏海门中学期申已知椭圆C+片=a>6>0)的焦距为，离心率为)，乃？？ 为C的左，右焦点，A,B是椭圆C上的两点. (1)求C的方程： ②若A,B两点都在轴上方，且MG1BS ①若M=2B,求H: ②求四个点A,B,F,F所构成的四边形面积的最大值， 23.(24-25高二上江苏徐州第三中学等学校期中)已知椭圆C:+ :。+京=1经过点W5,)和0,2 (1)求C的标准方程； (2)点A,B在C上，且直线AB过C的右焦点，分别过点A,B向x轴作垂线，垂足分别为D,E,直线 AE与直线BD相交于点P. ①求点P的横坐标： ②求△PAB面积的最大值， 24.(24-25高二上·江苏连云港东海县·期中)已知椭圆C的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过 A-1,0),B 两点 ()求C的方程： ②过点A的两直线交C于P,。 两点，直线P,4y P与'轴的交点分别为M,N,且M,V 的中点为 证明：直线PQ过定点. 25.(24-25高二上江苏扬州高邮期中)已知椭圆C:。+户=1a>b>0) 的焦距为2，F,乃分别为其左右 7/22 的学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 1V14 焦点，O为原点，且点气24在椭圆c上. (1)求椭圆C的标准方程： (2②)经过左焦点的直线与椭圆C交于A,B两点（异于左右顶点），M为线段AB的中点， ①若∠AOB=90°，求线段OM的长度： ②求点A到直线OM的距离d的最小值. C: 26.(24-25高二上江苏常州奔牛、二中、武高期中)已知椭圆C:立+万-1(a>b>0) 的离心率为2，左、 右顶点分别为A、B、点P、Q为椭圆上异于A、B的两点，△PAB面积的最大值为2. (1)求椭圆C的方程： (2)设直线AP、BQ的斜率分别为k、飞，且PQ过定点“ ④设△POB和△PO4的面积分别为S、S,求S-S的最大值： k ②求证：k2为定值，并求出该定值. 2引2425省=上江苏痛迁期尼知格西C:号+若-川0>b>0过点 D1,2 离心率为2，左、右 焦点分别 为5、B,右顶点为B. (1)求椭圆C的方程： (2)过点D的直线m与椭圆C的另外一个交点为E,当△BDE的面积最大时，求直线m的方程： (③)若点M、N是直线'上不同的两点，则向量 派以及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量，当 直线I⊥1时，直线'的方向向量称为直线I的法向量.设k、h为实数，直线：y=x+h的一个法向量为， i.HT H为直线上任一点，点x为坐标平面内的定点，我们把称为点T在直线！上的投影数量.当/与椭 8/22 耐学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 ☒C相切时，点厂、B在直线上的投影数最的乘积是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理 由. 目目 考点04 轨迹方程一椭圆 一、多选题 28.(24-25高二上江苏泰州期中)《文心雕龙》中说“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意 思是自然界的事物都是成双成对的.已知动点。到定点F40的距离和它到直线I:x的距离的比费 4 数5·若某条直线上存在这样的点，则称该直线为“成双直线”，下列说法正确的是(） x2,y2 -=1 A.动点P的轨迹方程为：259 B.PF的最大值为16 C.点M为动点P的轨迹上的任意一点，2(-4,0，∠FM0=60,则△MF0的面积为65 14 9 D.直线y=x(k≠0)与动点P的轨迹交于小、B两点，则AFBF的最小值为10 29.2425商二上江苏常州高级中学期中)如图，因：+2y+少=4，因5：x-2+广=36，动圆P与 F 圆外切于点M,与圆？内切于点N,圆心P的轨迹记为曲线C,则() M 9/22 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 x2,y2 =1 A.C的方程为1612 B.∠MPN的最小值为120° C.MP-PF+NP.PFs2 D.曲线C在点P处的切线与线段MN垂直 二、填空题 30.24-25高二上江苏常州金坛区期申)已知点44,0)，B4,0),点P满足直线PA,PB的斜率之积为 9 16,则pAPB的最小值为一· 三、解答题 31.(2425高二上江苏南通海安高级中学期中已知P为圆M:(x+1+y=16上任意一点，点N(1,0), PN PM C 线段“的垂直平分线与交于点，记点的轨迹为 (1)求C的方程： ②过点V作直线（与轴不重合）与C相交于点D,E,直线与'轴交于点8，D=丽，求的方程 xOy A(-1,0),B(1,0) 32.(24-25高二上·江苏南航苏附期中)平面直角坐标系中，已知点 动点C满足条件： △ABC 的周长为2+2V2 记动点C的轨迹为曲线W (1)求W的方程： (2)设过点B的直线1与曲线W交于M,N两点，如果 MwK4v② 3，求直线1的方程. 33.(24-25高二上·江苏常州金坛区·期中)《文心雕龙》有语：“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤 10/22