专题08 数列的概念与数列新定义（6大考点35题）（期中真题汇编，江苏专用）高二数学上学期

专题08 数列的概念与数列新定义 6大高频考点概览 考点01 数列的概念及辨析 考点02 数列周期性的应用 考点03 数列单调性的应用 考点04 判断或写出数列中的项 考点05 由递推关系求数列通项公式 考点06 数列新定义 地 城 考点01 数列的概念及辨析 一、单选题 1．(24-25高二上·江苏盐城七校联考·期中)已知数列的通项公式是，则下列结论中，正确的是（   ） A．该数列是公差为的等差数列 B．该数列的图象只能在第一象限 C．该数列是个有穷数列 D．该数列的图象是直线上满足的点集 【答案】D 【分析】根据数列的通项公式逐项分析即可得解. 【详解】由知数列为等差数列，公差为1，故A错误； 因为，所以数列的图象上有点在x轴上，故B错误； 由通项公式是知，数列是无穷数列，故C错误； 由通项公式是知该数列的图象是直线上满足的点集，故D正确. 故选：D 2．(24-25高二上·江苏西交大附中·期中)意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2024项中有（    ）个奇数 A．1012 B．1348 C．1350 D．1352 【答案】C 【分析】对数列中的数进行归纳，发现规律，结合题意得到答案. 【详解】对数列中的数归纳发现，每3个数中前2个都是奇数，后一个是偶数， 又，故该数列前2024项有个奇数. 故选：C 地 城 考点02 数列周期性的应用 一、单选题 3．(23-24高二上·江苏响水县清源高级中学·期中)已知数列中，，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意代入计算可得数列是周期为3的周期数列，即可得. 【详解】根据并利用可得， ， ，，… 所以可得数列是周期为3的周期数列， 即. 故选：D 二、填空题 4．(24-25高二上·江苏马坝高级中学·期中)已知数列满足，，，则 ． 【答案】 【分析】根据数列的递推公式可得数列的项，可得解. 【详解】由已知，则， 且， 所以， 故答案为：. 5．(24-25高二上·江苏盐城七校联考·期中)若数列满足，若，则的值为 【答案】 【分析】根据数列的递推公式，利用代数法可得数列的周期为，即，，即可得解. 【详解】由已知，则，， 可得，进而可得，，， 即，， 所以， 故答案为：. 6．(24-25高二上·江苏南通海安高级中学·期中)定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项加上它的前一项所得的和都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和.已知数列是等和数列，，，则公和为 . 【答案】7 【分析】根据题意分析可知数列是以2为周期的周期数列，结合周期性分析求解. 【详解】由题意可知：（公和），则， 可得，可知数列是以2为周期的周期数列， 可得，，所以公和. 故答案为：7. 地 城 考点03 数列单调性的应用 一、单选题 7．(23-24高二下·江苏南京金陵中学·期中)已知等差数列的前项和为，公差为，且单调递增，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分析可得，即数列从第二项开始，各项均为正数，结合等差数列的通项公式，列出不等式，即可求解． 【详解】解：由为等差数列，且，所以， 因为数列为递增数列，则，即从第二项开始，各项均为正数， 又因为恒成立，所以数列为常数数列或递增数列，所以， 则有，解可得， 综上可得，，所以实数的取值范围为． 故选：D． 8．(24-25高二上·江苏镇江一中、徐州三中等十三校联盟·期中)已知无穷等比数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（   ） A．是递增数列 B．是递减数列 C．一定有最大值 D．一定有最小值 【答案】D 【分析】根据给定条件，可得等比数列的公比的范围，再按的正负逐项判断得解. 【详解】设等比数列的公比为，由，得，则， 对于AB，当时，，则，数列不单调，AB错误； 对于C，当时，，是递增数列，无最大值，C错误； 对于D，当时，；当时，， 若为奇数，；若为偶数， ，而， 因此当时，对任意整数，，D正确. 【点睛】关键点点睛：选项D，按公比的正负探讨是求解的关键. 二、多选题 9．(24-25高二上·江苏西交大附中·期中)设为数列的前n项和.若，则（    ） A． B．数列为递减数列 C． D． 【答案】BC 【分析】A选项，利用得到为公比为2的等比数列，求出；B选项，当时，，B正确；C选项，计算出，得到C正确；D选项，利用等比数列求和公式计算出，，D错误. 【详解】A选项，当时，，解得， 当时，， 故， 所以为公比为2的等比数列，，A错误； B选项，当时，， 故，所以为递减数列，B正确； C选项，，，， 故，C正确； D选项，，， 故，D错误. 故选：BC 10．(24-25高二上·江苏连云港灌云县第一中学·期中)数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A．若，则数列的前项和最大 B．若等比数列是递减数列，则公比满足 C．已知等差数列的前项和为，若，则 D．已知为等差数列，则数列也是等差数列 【答案】CD 【分析】根据等差数列的单调性判断A，根据等比数列的单调性判断B，根据等差数列前项和公式及下标和性质判断C，根据等差数列的定义判断D. 【详解】选项A，由， 令，解得，令，解得， 又，所以，，又数列单调递减， 故数列前项的和最大，故 A错误； 选项B，当，时，等比数列也是递减数列，故B错误； 选项C，，若，则，故C正确； 选项D，若为等差数列，则，， 则（为常数），数列也是等差数列，故D正确. 故选：CD 11．(24-25高二上·江苏淮阴中学·期中)下列说法正确的有（   ） A．若数列为等差数列，其公差，则数列是递增数列 B．若数列为等比数列，其公比，则数列是递减数列 C．若数列为等差数列，则数列为等比数列 D．若数列的前n项和为，且，则数列是等差数列 【答案】ACD 【分析】由等差、等比数列的概念及性质逐个判断即可. 【详解】对于A，由，可得，故单调递增，正确； 对于B，取，此时，由于，此时数列是递增数列，错误； 对于C：等差数列公差为，由，为常数，故数列为等比数列，正确； 对于D：由，令，可得：， 可得： 即：， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，正确， 故选：ACD 12．(24-25高二上·江苏西交大附中·期中)无穷项数列它的前n项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若为等差数列，且，则单调递增 B．若为等比数列，且，则单调递增 C．若为等差数列，且对任意，均有，则存在最小项 D．若为等比数列，且对任意，均有，则存在最小项 【答案】ACD 【分析】A选项，推出公差，A正确；B选项，推出公比，所以为摆动数列，不单调；C选项，分析出公差，存在最小项；D选项，分析出，，和时满足要求，且存在最小项. 【详解】A选项，为等差数列，且，则， 所以，则当时，， 所以单调递增，A正确； B选项，为等比数列，且，则， 解得，所以为摆动数列， 当为奇数时，，当为偶数时，， 其中当时，，故不单调，B错误； C选项，为等差数列，且对任意，均有， 当时，， 若公差，存在且，使得， 故，所以与矛盾，舍去， 当公差时，，满足，此时的最小值为，满足要求， 当公差时，，满足， 此时的最小值为，满足要求，故C正确； D选项，当时，， ，若公比，此时，满足，存在最小值， 若，则有，即， 若，此时，需满足， 若，当为偶数时，，不合要求， 若，当为偶数时，，不合要求， 若，满足，， 当为偶数时，，当为奇数时，， 此时, 当为偶数时，，即， 当为奇数时，，即， 故，又，故， 每四项分为一组，进行研究，可得，且， ……， 且，故存在最小值， 若，此时，，故存在最小值， 若，此时，，故存在最小值， 综上，若为等比数列，且对任意，均有，则存在最小，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：针对公差和公比进行分类讨论，特别是D选项，针对公比的分类讨论，较为繁琐，需细心谨慎. 地 城 考点04 判断或写出数列中的项 一、单选题 13．(24-25高二上·江苏南通海安高级中学·期中)已知数列满足，且，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据递推公式，逐项求解，可得答案. 【详解】由，则，，，. 故选：C. 14．(24-25高二上·江苏徐州第三中学等学校·期中)已知数列的通项公式为，则146是该数列的（   ） A．第9项 B．第10项 C．第11项 D．第12项 【答案】D 【分析】令通项公式等于项的值，解出的值即可. 【详解】令，则. 则146是该数列的第12项, 故选：D. 15．(24-25高二上·江苏连云港灌云县第一中学·期中)已知数列，，，，，，，则是这个数列的（ ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 【答案】C 【分析】令，解出即可得. 【详解】令，解得， 所以是这个数列的第项. 故选：C. 16．(24-25高二上·江苏连云港灌云县第一中学·期中)如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，，设各层球数构成一个数列，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据累加法求解出的通项公式，由此可求的值. 【详解】由题意可知， 所以， 所以, 所以，所以， 当时，符合的情况， 所以，所以， 故选：D. 二、解答题 17．(24-25高二上·江苏苏州·期中)已知数列满足且. (1)求； (2)证明数列是等比数列，并求. 【答案】(1) (2)证明见详解； 【分析】（1）已知的值，代入递推公式得出，再代入递推公式即可得到的值. （2）由两式消元得到，将变为得到等式，代入①式消元得到，构造出数列，得到等式，即可证明数列是等比数列，由等比数列的通项公式得出. 【详解】（1）当时，， 当时，， （2）∵， ∴得到，∴， 又满足上式，∴， 则代入①得：， 则 ∴，且， ∴数列是以1为首项，3为公比的等比数列， ∴， ∴ 地 城 考点05 由递推关系求数列通项公式 一、单选题 18．(24-25高二上·江苏南通海门·)已知数列的前4项依次为，则其通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依次求出各个选项中数列的前几项即可判断. 【详解】对于A，，不合题意； 对于B，，符合题意； 对于C，，不合题意；对于D，，不合题意． 故选：B 二、多选题 19．(24-25高二上·江苏南通海安高级中学·期中)设数列的前项和为，则数列为常数列（各项均为同一个常数的数列）的一个充分条件是（   ） A． B． C． D．， 【答案】ACD 【分析】A选项，利用得到，为常数列，A正确；B选项，推出，，不妨设，举出反例；CD选项，均可得到，为充分条件. 【详解】A选项，当时，，当时，， 故的通项公式为，为常数列，故A正确； B选项，，，不妨设，则此时不为常数列，B错误； C选项，，，两者相减得， 故，即，故为常数列，故C正确； D选项，时，，即， 又，故在上恒成立，为常数列，故D正确； 故选：ACD 20．(24-25高二上·江苏南通如皋部分学校·期中)已知数列的首项为1，前和为，且，则（   ） A．数列是等比数列 B．是等比数列 C． D．数列的前项和为 【答案】BD 【分析】先根据与的关系，求出数列的通项公式，再结合等比数列和等差数列的前和公式逐一判断即可. 【详解】因为①， 所以， 当时，②， 由①②得，即， 又， 所以数列是从第二项开始，以为公比的等比数列，故A错误； 对于C；当时，，所以，故C错误； 对于B，当时，， 当时，，符合上式 所以， 则，所以数列是等比数列，故B正确； 对于D，由C选项知， 所以数列的前项和为，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 21．(24-25高二上·江苏镇江三校、泰州部分学校·期中)设是数列的前项和，且，则的通项公式为 . 【答案】 【分析】利用，可求数列的通项公式． 【详解】由题意时，， 又也满足上式，所以． 故答案为：. 四、解答题 22．(24-25高二上·江苏海门中学·期中)已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用的关系式，由可求得数列的通项公式； （2）判断得出的单调性，求出其最大值即可得出实数的取值范围． 【详解】（1）当时， ； 当时，满足上式， 所以 （2）令，； 当时，，即 当时，，即 所以当时， 所以 23．(24-25高二上·江苏常熟·期中)已知数列和数列，为数列的前项和，，，. (1)求数列和数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用判断为等比数列，再求通项公式；又因为，解得，再得到为常数即可求解； （2）由（1）得，然后利用裂项相消法即可. 【详解】（1）已知①， 当时，，得， 当时，②， ①-②得：，即， 又，，则， 所以是首项为，公比为的等比数列，则 因为，所以， 又由，得， 所以是首项为，公差为的等差数列，则，即 （2）由（1）得， 则 24．(24-25高二上·江苏镇江一中、徐州三中等十三校联盟·期中)已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式． (2)已知，求数列的最大项，以及取得最大项时的值． (3)已知，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2)当时，取最大值； (3). 【分析】（1）根据给定条件，结合变形等式，再利用等比数列定义求出通项. （2）求出，作差并探讨数列的单调性求出最大项. （3）求出，利用裂项相消法求和即得. 【详解】（1）数列中，，当时，， 两式相减得，即，由，得， 因此数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以数列的通项公式. （2）由（1）知，， 则， 当时，，即，当时，，即， 所以当时，取得最大值. （3）由（1）知，， 所以. 25．(24-25高二上·江苏镇江中学·期中)数列的前项和记为，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)对于（2）中的数列，问是否存在正整数，使得、、成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的正整数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）由已知得出，令可求出的值，令，由可得出，两式作差可推出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式； （2）求出，利用错位相减法可求得； （3）由可得，令，分析数列的单调性，即可得出结论. 【详解】（1）因为，所以， 所以当时，，所以， 当时，， 所以，整理可得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以． （2）因为，所以，，① 可得，② ①②可得 ， 因此，. （3）结合（2），， 令，即，即， 设，则， 当时，，数列为递减数列， ，， 故对所有正整数，， 所以不存在正整数，使得、、成等差数列． 26．(24-25高二上·江苏淮阴中学·期中)已知数列的前项和为，且数列是首项为，公比为的等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求满足条件的最大正整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的通项公式可得，再利用退一相减法可得； （2）由，可得，即可得，解不等式，结合的单调性可得解. 【详解】（1）由已知数列是首项为，公比为的等比数列， 则，即， 当时，， 当时，， 综上所述； （2）由（1）得，则， 所以， 所以，即， 又函数，，单调递增， 且，， 即满足的最大正整数为， 综上所述满足的最大正整数为. 27．(23-24高二下·江苏南京某校·期中)数列满足，，. (1)的通项公式； (2)，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用配凑法证得数列 是以 3 为首项，3 为公比的等比数列，进而求得的通项公式. （2）利用错位相减法求得数列的前项和. 【详解】（1）数列 满足 ， 整理得 ，又， 即 (常数)， 所以数列 是以 3 为首项，3 为公比的等比数列. 故 ， 整理得 . （2）由于 ，所以 ， 所以 ①， ②， ① - ②得： ， 所以 . 28．(24-25高二上·江苏西交大附中·期中)已知数列的首项为1，前n项和为，且对任意的，均有. (1)当时，证明为等比数列，并求数列的通项公式； (2)当时，均为整数，若使得对一切恒成立的的所有可能取值有9个，求T的值. 【答案】(1)证明过程见解析，； (2)，20，21. 【分析】（1）利用得到为公比为2的等比数列，且； （2）利用得到，，利用和得到，由于，随着的增大，的取值范围内的整数个数越大，经验证，，20，21时满足要求. 【详解】（1）当时，①，当时，， 当时，②，①－②得，即， 又，所以为公比为2的等比数列，且； （2）时，③， 当时，，当时，④， 式子③－④得， 故，故， ，，即，故，， ，即，， ， 其中，，故不等式恒成立， ，， 解得， 其中， 由于，故 所以，， 同理可得， 故需满足的范围为， 由于，随着的增大，的取值范围内的整数个数越大， 当时，， 的所有可能取值为，为8个，不合要求， 当时，， 的所有可能取值为，为9个，满足要求， 经验值和时，满足要求， 当时，， 的所有可能取值为，为10个，不合要求， 因为对一切恒成立的的所有可能取值有9个， 所以，20，21. 【点睛】对于公式， （1）当时，用替换中的得到一个新的关系式，利用，可得时的表达式， （2）当时，，求出， （3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写，如果不符合，则要分开写. 29．(24-25高二上·江苏镇江三校、泰州部分学校·期中)已知数列满足. (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列； (3)令，如果对任意，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据递推关系求值即可； （2）由递推关系可得，与原式相减可得，即，于是可得数列是以0为首项，以为公差的等差数列； （3）由（2）可得，故，作差并分析判断数列的单调情况，确定数列的最大项．由题意可得恒成立，于是，解不等式可得的范围． 【详解】（1）， ，，，， ，， （2）证明：由题可知：①， ②， ②-①得，即：， 所以，， 即，又， ∴数列是以0为首项，以为公差的等差数列. （3）由（2）可得，，， 则， 由可得；由可得， ∴， 故有最大值，∴对任意，有，                如果对任意，都有成立， 则，∴ ，解得或， ∴实数的取值范围是 【点睛】方法点睛：（1）本题的突破口是通过与的关系得到和的关系，进而通过构造等差数列或等比数列进行求解； （2）本题求解中巧妙地将恒成立问题转化为数列的最值问题求解．而求数列项的最值时，又通过判断数列的单调性进行，解题时可通过作差或作商的方法得到数列的单调性，然后再求出数列项的最值． 30．(24-25高二上·江苏南通如皋部分学校·期中)已知数列的前项和为，，且． (1)求； (2)若从数列中删除中的项，余下的数组成数列． ①求数列的前项和； ②若成等比数列，记数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）由可得，两式作差可得，利用累乘法可得结果. （2）①确定数列中的项为数列的偶数项，求数列的通项公式，通过裂项相消法即可求. ②利用条件可得，利用放缩法可得，即可证明结论. 【详解】（1）∵，∴当时，， 两式相减得，，整理得，即， ∴当时，，满足此式， ∴. （2）①由（1）得，，∴，， ∴数列是首项为，公差为的等差数列. 当为奇数时，为偶数，为的整数倍，是数列中的项， 当为偶数时，为奇数，不是数列中的项， ∴数列中的项为数列的偶数项，且， ∴数列是首项为，公差为的等差数列， ∴， ∴，， ∴. ②由①得，，∴， ∵成等比数列，∴，即， ∴，∴， ∴. 【点睛】关键点点睛：解决第（2）问①的关键是确定数列中的哪些项需要删去，以此得到数列，解决第（2）问②的关键是利用得到，以此证明不等式成立. 地 城 考点06 数列新定义 一、单选题 31．(23-24高二上·江苏泰州中学·期中)在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第项与第项之间插入首项为2，公比为2的等比数列的前项，从而形成新的数列，数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设介于第个与第个之间或者为这两个当中的一个，求出，然后即可求出、，再利用错位相减法求出新数列的和. 【详解】设介于第个与第个之间或者为这两个当中的一个， 则从新数列的第个到第个一共有项， 从新数列的第个到第个一共有项， 所以， 因为，且，所以， 而，即，，，所以、，故A、B错误； ， 令， 则， 所以， 则， 所以，故D正确，C错误. 故选：D. 二、多选题 32．(22-23高二上·江苏苏州·期中)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（    ） A． B．1225既是三角形数，又是正方形数 C． D．，总存在，使得成立 【答案】BCD 【分析】用累加法求出、，再用裂项相消法可判断A； 分别令和，看有无正整数解即可判断B； 将放缩后用裂项相消求和即可判断C； 取即可判断D. 【详解】三角形数构成数列：1，3，6，10，…， 则有， 利用累加法，得，得到，n=1时也成立； 正方形数构成数列：1，4，9，16，…， 则有， 利用累加法，得，得到，n=1时也成立. 对于A，，利用裂项求和法：，故A错误； 对于B，令，解得； 令，解得；故B正确； 对于C，，则 ， 整理得，，故C正确； 对于D，取，且，则令， 则有，故，总存在，使得成立， 故D正确. 故选：BCD. 33．(23-24高二上·江苏盐城响水中学·期中)为提高学生学习数学的热情，某校积极筹建数学兴趣小组，小组成员仿照教材中等差数列和等比数列的概念，提出“等积数列”的概念：从第二项起，每一项与前一项之积为同一个常数（不为0）．已知数列是一个“等积数列”，，，其前项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据数列新定义可得，结合已知确定通项公式，进而逐项判断正误. 【详解】由“等积数列”定义得：，即， ∴数列奇数项相同，偶数项相同， 又∵，， ∴当为奇数时，， 当为偶数时，， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，若，则当为奇数时，，当为偶数时，，符合题意，C正确； 对于D，当为奇数时，，满足， 当为偶数时，，满足，D正确； 故选：ACD. 34．(23-24高二上·江苏常熟·期中)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据数列各项可知其是以为周期的周期数列，由此可判断A，B；根据斐波那契数列的定义，采用累加法可判断C；由斐波那契数列定义可推导得到，累加即可判断D. 【详解】斐波那契数列：，则 ，即数列是以6为周期的周期数列， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，，，， ，故C正确； 对于D，因为， 所以， 所以，，，， 所以， 又，所以，故D正确， 故选：BCD. 【点睛】解题关键是能够根据斐波那契数列的定义，确定其数列前后项所满足的关系式，进而验证得到新定义的数列为周期数列. 三、解答题 35．(24-25高二上·江苏徐州第三中学等学校·期中)已知数组，，…，和，，…，，若，且（，3，…，），则称为的“应联数组”. (1)写出数组，3，1的“应联数组”； (2)若的“应联数组”是，证明：，，成等差数列； (3)若为偶数，且的“应联数组”是，求证：. 【答案】(1)，6，. (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用“应联数组”的定义，求出，，，得； （2）由“应联数组”的定义，有，化简得证，，成等差数列； （3）由“应联数组”的定义，有，化简可得. 【详解】（1）数组，3，1，，，， ，，得，，得， 所以，6，. （2）证明：由定义知，，，， ，…，， 所以， 即， 即，所以，，成等差数列. （3）证明：，，，…，， 由于为偶数， ， 即，所以. 【点睛】方法点睛： 在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决! 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 专题08数列的概念与数列新定义 ☆6大高频考点概览 考点01数列的概念及辨析 考点02数列周期性的应用 考点03数列单调性的应用 考点04判断或写出数列中的项 考点05由递推关系求数列通项公式 考点06数列新定义 考点01 数列的概念及辨析 一、单选题 1.(24-25高二上江苏盐城七校联考期中)已知数列a,的通项公式是，=”-1，则下列结论中，正确的是 () A.该数列是公差为-1的等差数列 B.该数列的图象只能在第一象限 D.该数列的图象是直线=一上满足r∈N y=x-1 C.该数列是个有穷数列 的点集 2.(24-25高二上·江苏西交大附中·期中)意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列： 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2024项中 有()个奇数 A.1012 B.1348 C.1350 D.1352 考点02 数列周期性的应用 一、 单选题 24高上江苏响水县清源商级中学期中尼知数列0中，42,41一2 an-l ∠，则a23等 1/11 耐学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 于() 1 A.-1 B.-2 C. D.2 二、填空题 2 4.2425高二上江苏马坝高级中学期中已知数列a清足a=1,4=2,0:G,则a- 2a 0sa<对 5.(24-25高二上·江苏盐城七校联考·期中)若数列 满足1 2a。-1, ≤a<1 若6，则 a a2024 的值为 6.(24-25高二上·江苏南通海安高级中学·期中)定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项加上它的 前一项所得的和都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和.已知数 列a,是等和数列，4=-1，a。=8,则公和为 目目 考点03 数列单调性的应用 一、单选题 7.2324高二下江苏南京金陵中学期中)已知等差数列a,的前”项和为S,公差为d,且5，单调递增， 若%6 ,则的取值范围为() n.[o") c D.[0,2 8.(24-25高二上江苏镇江一中、徐州三中等十三校联盟期中)已知无穷等比数列a,的前”项和为。，且 2/11 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 a3>a5>0 ,则下列说法正确的是() A.{5,是递增数列 B.S是递减数列 c.1s.) 一定有最大值 D.S一定有最小值 二、多选题 9.(24-25高二上江苏西交大附中期中)设s,为数列{a,}的前n项和若S,=20+2,则() A.0n-2m-2 B.数列a,}为递减数列 C.d=4d;+a,D. 6=a 10.(24-25高二上江苏连云港灌云县第一中学期中)数列a,的前”项和为。，则下列说法正确的是( A.若0，=-2m+13,则数列4的前5项和9最大 B.若等比数列a是递减数列，则公比9满足0<g<1 C.已知等差数列a的前”项和为S,若Sm>0,则a0>0 (s. D.已知{an为等差数列，则数列nJ也是等差数列 11.(24-25高二上江苏淮阴中学·期中)下列说法正确的有（) A.若数列a为等差数列，其公差1>0，则数列a,是递增数列 B.若数列0为等比数列，其公比9∈(0,1 ，则数列a,是递减数列 C.若数列a,为等差数列，则数列2为等比数列 3/11 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 D.若数列a,的前n项和为S,且5，-2 a+ neN) 则数列S是等差数列 12.(24-25高二上江苏西交大附中期中)无穷项数列a,它的前n项和为S。,则下列说法正确的是（) A,若a,为等差数列，且4<0，a+a>0,则，单调递增 B.若a,为等比数列，且4<0，a+a,>0,则}单调递增 C.若a,为等差数列，且对任意neN,均有，>0，则S存在最小项 D.若a,为等比数列，且对任意n∈N,均有S,>0,则5，存在最小项 考点04 判断或写出数列中的项 一、单选题 13.(24-25高二上江苏南通海安高级中学期中)已知数列a满足“=-1a,+1,且4，=1，则4， () A.-1 B.0 C.1 D.2 14.24-25高二上江苏徐州第三中学等学校期中)已知数列a,的通项公式为0，=T+2,则146是该数 列的() A.第9项 B.第10项 C.第11项 D.第12项 15.24-25高二上江苏连云港灌云县第一中学期中)已知数列2,6,25,0，，2n+2.… 则V46 是这个数列的() A.第20项 B.第21项 C.第22项 D.第19项 16.(24-25高二上·江苏连云港灌云县第一中学·期中)如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章 算法·商功》中，后人称为“三角垛”·“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球， 4/11 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,设各层球数构成一个数列a,则1=（) A.58 B.225 C.210 D.231 二、解答题 ant an -b +2n, 5 17.(24-25高二上江苏苏州：期中)已知数列a,b,}满足1b1=-2a,+2b,+4,且4=26=-1. (求4： (2)证明数列 an-n- 2是等比数列，并求a 目目 考点05 由递推关系求数列通项公式 一、单选题 18.24-25高二上江苏南通海门)已知数列a,的前4项依次为020,2，则其通项公式可能为() A.0,=1-(-10° B.0=1+(-1) C. an=c0S1π-1 D.d=sinn+1 二、多选题 5/11 品学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 19.24-25高二上江苏南通海安高级中学期中)设数列a,的前”项和为5，则数列a,为常数列（各项 均为同一个常数的数列)的一个充分条件是() A.S.=n B.S=5,+1 C.S,=na, D.S1=2,-S(n≥2,4=a 20.(2425高二上江苏南通如皋部分学校期中)已知数列a,的首项为1，前和为S。,且01=2.，则 () A.数列a是等比数列 B.{S是等比数列 C.4,=81 D。数列1og,S的前n项和为”？ 2 三、填空题 21.24-25高二上江苏镇江三校、泰州部分学校期中)设是数列a,的前”项和，且5=3加，则a,的 通项公式为”， 四、解答题 22.(4-25高二上江苏海门中学·期中)已知数列a,的前”项和5，=口-2n」 ()求数列a的通项公式： 2)若号≤1，求实数，的取值范围。 23.(24-25高二上江苏常熟期中)已知数列a和数列6，，S为数列a,的前”项和，S,=2a,-2, nb,1-(n+1)b。=m2+nn∈N）,a2=4h 6/11 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 ()求数列a,和数列的通项公式： 1 (2)若数列{c,}满足。4地，-，求数列{c}的前n项和Tn 24.(24-25高二上江苏镇江一中、徐州三中等十三校联盟期中)已知数列0，的前”项和为。，且满足 2S,=3(a,-1) (①求数列a,的通项公式。 2已知b-2+。,求数列么的最大项，以及取得最大项时n的值。 4 1-2n 6)已知，n+D。,求数列c的前n项和. 25(425高三上江苏镇江中学期中微列a的前n项和记为5,4，-号8，+1 ①求数列a,的通项公式： b= log;an (2)设 an,求数列ba}的前n项和Tn: ③)对于(2)中的数列6，，问是否存在正整数k,使得%、26，、他，成等差数列？若存在，请求出所有 符合条件的正整数k；若不存在，请说明理由， 26.24-25高二上江苏准阴中学期中)已知数列0，的前”项和为S,且数列5，+2是首项为4，公比为 2的等比数列. (①求数列a,的通项公式： 1+1++1<2023 (2)若41a2 a.2024,求满足条件的最大正整数n的值. 27.(23-24高二下江苏南京某校期中)数列a,满足4=1,01=3a,+4,neN 7/11 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 ()a,的通项公式 ②。=(a,+21og,a.+2),求数列b,的前”项和 28.(24-25高二上江苏西交大附中期中)已知数列a,的首项为1，前n项和为S,且对任意的”EN 均有a=S+k(k∈N) (①)当k=1时，证明a,为等比数列，并求数列a的通项公式： 2)当k=2时，a,TT≥12均为整数，若使得@-a,asT对一切”≥2neN恒成立的“的所有可能取 值有9个，求T的值. 29.24-25高二上江苏镇江三校、泰州部分学校期中)已知数列a满足a+a,++a,=2n-a.(n∈N） (求2+，+a的值： 2求证：数列1og口，-2 是等差数列： (3)冷b,=(2n-(2-a,川n∈N,如果对任意n∈N,都有，+t≤2，求实数，的取值范围. 30.(2425高二上江苏南通如皋部分学校期中)已知数列a,的前”项和为S,25,=(n+a,且4=3. (①求4； (2)若从数列n了中删除a,}中的项，余下的数组成数列{b.}. 1 ①求数列b,bn1的前n项和T,; 1 ②若么，6,4.成等比数列，记数列⊙的前n项和为4，证明：4< 6 8/11 函学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 目目 考点06 数列新定义 一、单选题 31.(23-24高二上江苏泰州中学·期中)在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构 造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第n∈N)项与第+1项之间插入首项为2，公比 为2的等比数列的前”项，从而形成新的数列a,,数列a,的前”项和为S,则() A.0223=26 B.0224=26 C.S23=24-3 D.S2=24+189 二、多选题 32.(22-23高二上·江苏苏州·期中)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙 粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1,3,6,10，…称为 三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1,4,9,16，…称为正方形数，记三角形数构成数列a,,正 方形数构成数列 ,},则下列说法正确的是（） 以识 1+1+1++1= A.a az as a n+l 9/11 品学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 B.1225既是三角形数，又是正方形数 ++++<8 C.bbb b20 D.meN,m≥2 总存在P,g∈N ,使得.=a,+a成立 33.(23-24高二上·江苏盐城响水中学·期中)为提高学生学习数学的热情，某校积极筹建数学兴趣小组，小 组成员仿照教材中等差数列和等比数列的概念，提出“等积数列”的概念：从第二项起，每一项与前一项 之积为同一个常数（不为0）.已知数列a,是一个“等积数列”，4=1,4,4a=2,其前”项和为 ,则下列说法正确的是() A.42023-1 B.Sa3=3033 3+(-1)” C.a= 2 D.3=n+-”-1 2 4 34.(23-24高二上·江苏常熟·期中)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一 列数：1,1,2,3,5,8，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面 两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列a称为斐波那契数列，现将a中的各项除以4所得余数 按原顺序构成的数列记为，则() A.么+h,+么++b2=2697 B.bxon2 =3 C.4+a4+a,++a2=a04-1 D.=daod2-d 三、解答题 5.2425商二上江苏徐州第三中学等学校期中)已知数组4：4，，，“和8：4，么，，6，若 10/11